专题02概率统计与数学文化-高考中的数学文化试题(解析版)

1、专题02概率统计与数学文化纵观近几年高考,概率统计局部以数学文化为背景的问题,层出不穷,让人耳目一新.同时它也使考生 们受困于背景陌生,阅读受阻,使思路无法翻开.本专题通过对典型高考问题的剖析、数学文化的介绍、 及精选模拟题的求解,让考生提升审题水平,增加对数学文化的熟悉,进而加深对数学文理解,开展数学 核心素养.典题精练卦描述万物的变化.每一 重卦由从下到上排列【例1】2021全国I理6我国古代典籍?周易?用的6个爻组成,爻分为阳爻“一和阴爻“一一,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,那么该重卦恰有3个阳爻的概率是16【答案】A11B . 一3221 C.32D.1116【解析】在所有

2、重卦中随机取一重卦,根本领件总数n = 26 = 64 ,该重卦恰有3个阳爻包含的根本个数此题,那么该重卦恰有3个阳爻的概率p = m = 20 =-5 应选a.n 64 16【试题赏析】?周易?是我国最古老的一部筮占之书,约成书于西周时期.起初编纂此书的目的,是为了便 于占算时检索吉凶的结果.后有人依附于它的卦爻形式借以发挥哲学思想,对中华文化影响最深远的一部书.此题以?周易?卦象为背景,考查古典概率的计算,可联系经典实验抛硬币,相当于一枚硬币抛了6次,求有3次正面向上的概率.【例2】2021全国卷H 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜测的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜测是 每个大于2的偶

3、数可以表示为两个素数的和",如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于 30的概率是1 111A. 12B.14C.15D.18【解析】先弄清不超过 30的素数有哪些,然后通过列举,得到根本领件的总数和所求事件包含的根本领件数,利用古典概型的概率公式进行求解.不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,随机选取两个不同的数,列举如下:2,3 , 2,5 , 2,7 , 2,11 , 2,13 , 2,17 , 2,19 , 2,23 , 2,29,3,5 , 3,7 , 3,11 , 3,13 , 3,17 , 3,

4、19 , 3,23 , 3,29,5,7 , 5,11 , 5,13 , 5,17 , 5,19 , 5,23 , 5,29,7,11 , 7,13 , 7,17 , 7,19 , 7,23 , 7,29,11,13 , 11,17 , 11,19 , 11,23 , 11,29, 13,17 , 13,19 , 13,23 , 13,29,17,19 , 17,23 , 17,29,19,23 , 19,29 , 19,29, 1 9故共有 9 + 8+7+- + 2+1 = -2-9 = 45种.而和为30的有7,23, 11,19 , 13,17这3种情况,所以所求概率为31=45 15

5、.【试题赏析】每个大于的偶数可以表示为两个素数的和是德国数学家哥德巴赫(C.Goldbach,1690 1764)于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的,所以被称作哥德巴赫猜测.18、19世纪,所有的数论专家对这个猜测的证实都没有作出实质的推进,直到20世纪才有所突破.1966年,我国年轻的数学家陈景润,在经过多年潜心研究之后,成功地地证实了2,也就是任何一个大偶数都可以表示成一个素数与另一个素因子不超过 2个的数之和.这是迄今为止,这一研究领域最正确的成果,距摘取这颗 数学王冠上的明珠仅一步之遥,在世界数学界引起了轰动.“讣2也被誉为陈氏定理.此题以 哥德巴赫猜测为背景,将数学文化

6、与概率计算相结合,不仅考查了古典概型的概率计算,同时也展示了我国数学家陈景润的研究成果.【例3】(2021高考新课标I文)如图,正方形 ABCD内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色局部和白色局部关于正方形的中央成中央对称.在正方形内随机取一点,那么此点取自黑色局部的概率是B【解析】此题以古代的太极图为背景,考查几何概型的概率计算,通过审题,要弄清太极图的特征,得到 黑色局部的面积所占的比例,然后进行计算._2设正方形边长为a,那么圆的半径为 -,那么正方形的面积为 a2,圆的面积为 .由图形的对称性可知,太 24极图中黑白局部面积相等,即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式

7、得,此点取自黑色局部的概1 -2率是V,应选B.a28秒杀解法：由题意可知,此点取自黑色局部的概率即为黑色局部面积占整个面积的比例,由图可知其概率11一 < p <_ ,应选 B.42【试题赏析】太极是中国古代的哲学术语,意为派生万物的根源,太极图形象地表达了阴阳轮转、相反 相成是万物生成变化根源的哲理.此题以此为情境设计了一个简单的概率问题.试题不仅考查几何概型的 计算,同时也引导师生重视我国传统文化的学习,关注生活中的数学问题,增强数学的应用意识【例4】2021湖北卷我国古代数学名著?数书九章?有米谷粒分题：粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得2

8、54粒内夹谷28粒,那么这批米内夹谷约为A. 134 石B. 169 石【答案】B【解析】由样本的频率估计总体的频率,C. 338 石D. 1365 石254粒和1534石中夹谷的百分比含量是大致相同的,据此估计.设1534石米内夹谷x石,那么由题意知 /或48 解得x窄8-169-故这批米内夹谷约为169石【试题赏析】此题考查样本估计总体的统计知识,却自然地将数学史作为一种数学文化融入高考.试题源于古代数学名著 ?九章算术?中的 米谷粒分,渗入其中的是我国古代数学中最朴实的统计思想,能使学生接受数学文化的熏陶,领略数学思想方法的魅力,领会统计思想在现实生活中的应用,形成直接应用数学知识指导社

9、会实践,解决生活、生产问题的意识1 .?张邱建算经?张邱建算经?分上、中、下三卷,北魏数学家张邱建著.?张邱建算经?的主要奉献有以下三方面：一是提出求最小公倍数的算法；二是提出计算等差级数的公式；三是百鸡问题首创不定方程的研究,对后世影响深远.2 .?算学启蒙?算学启蒙?是中国元代数学家朱世杰撰,分上中下三卷,20门,259问.卷上8门,113问,包括各种乘除捷算法和歌诀的应用题,以及各种比例算法.许多问题反映了元代的社会经济情况.卷中7门,71问,是面积、体积及各种算术问题.卷下 5门,75问,是关于分数运算、垛积即高阶等差级数求和 卜盈不 足术、线性方程组解法、天元术及增乘开方法等问题,还

10、处理了开方过程中系数变号的问题.?算学启蒙?是一部很好的数学教材,它把当时的初级和中级数学知识从乘除口诀开始,包括面积、体积、比例、开方、高次方程、天元术等,有例题,有方法,分门别类,由浅入深,循序渐进,自成系统,确是部很好的数学启蒙读物.1. 2021贵阳一模齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现从双方的马匹中随机选一匹1D.6进行一场比赛,那么田忌的马获胜的概率为1 A.- 3【解析】设齐王的上、中、下三个等次马分别为1,3,5,田忌的上、中、下三个等次马分别为2,4,6,记齐王的马匹

11、为 A= 1,3,5,田忌的马匹为 B= 2,4,6.从集合A, B中各抽取一个数字,共有 9种: 1,2) , 1,4) , 1,6) , 3,2) , 3,4) , 3,6) , 5,2) , 5,4) , 5,6).其中田忌获胜的三种：3,2) , 5,2) , 5,4).故所求概率为1.2. 2021宝鸡模拟洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上心有此图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.如图,假设从四个阴数和五个阳数中随机选取3个不同的数,其和等于 15的概率是【解析】先计算从四个阴数和五个阳数

12、共C.D.D.9个数字中随机选取 3个不同的数,总共有 C；种选法,在计算符合条件和等于15的三个数的种类,即可算出概率.从四个阴数和五个阳数共 9个数字中随机选取 3个不同的数,总共有 C；=84种选法,其和等于15的三个数的种类共有 8种,即：图形中各横,各列,对角线所在的三个数字之和均为15.故其和等于15的概率是：_8 =2_ ,应选：a.84 213. 2021襄阳二模?易经?是中国传统文化中的精髓,右图是易经八卦图含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦,每一卦由三根线组成表示一根阳线, 一表示一根阴线,从八卦中任取一卦,这卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为【解析】从八卦中任取

13、一卦,根本领件总数n=8 ,这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的根本事件个数m=3,由此能求出这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率.从八卦中任取一卦,根本领件总数n=8,这一卦的三根线中恰有 2根阳线和1根阴线包含的根本领件个数 m =3 ,.这一卦的三根线中恰有 2根阳线和1根阴线的概率为p =9 =3 .应选：C .n 84. 2021大兴区模拟“总把新桃换旧符王安石、“灯前小草写桃符陆游,春节是中华民族的传统节日,在宋代入们用写“桃符的方式来祈福避祸,而现代人们通过贴“福字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿,某商家在春节前开展商品促销活动,顾客凡购物金额满50元

14、,那么可以从“福字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件,假设有4名顾客都领取一件礼品,那么他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是7一16C9一16D【答案】B【解析】 从“福字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件,有4名顾客都领取一件礼品,根本领件总数n =34 =81 ,他们中有且仅有 2人领取的礼品种类相同包含的根本领件个数m =C：A2 =36 ,那么他们中有且仅有 2人领取的礼品种类相同的概率是p =史=36 =f .应选：B.n 8195. 2021青岛模拟“石头、剪刀、布,又称“猜丁壳,是一种流传多年的猜拳游戏,起源于中国,然后传到日本、朝鲜等地,随着亚欧贸易的不断开

15、展,它传到了欧洲I,到了近代逐渐风行世界.其游戏规那么是：“石头胜“剪刀、“剪刀胜“布、而“布又胜过“石头.假设所出的拳相同,那么为和局.小明和小华两位同学进行“五局三胜制的“石头、剪刀、布游戏比赛,那么小华获胜的概率是A.-27B.27c 17D .81【解析】：根据“石头胜“剪刀,“剪刀胜“布,而“布又胜“石头, 可得每局比赛中小华胜小明、小华与小明和局和小华输给小明的概率都为 小华获胜有三种情况:小华连胜三局,概率为 p1 =d3,327小华前三局中两胜另一局不胜,第三局小华胜,概率为:1、2-)=一,3272 1 2P2 = C1一)23小华前四局中两胜,另两局不胜,第五局小华胜,概率

16、为:_2 1 2 2 2 18P3 支4一一一=一 ,33381,二小华获胜的概率是 p = p1 + p2 + p3 = + +=.应选：D .27 27 81 81“肥猪旺福,其规格为6. 2021景德镇模拟如下图的是我国发行的一枚 2021猪年生肖邮票21粒芝麻,经统计恰有12粒芝麻落在肥42M46mm.为估算邮票中肥猪图案的面积,现向邮票中随机投掷猪图案内,那么可估计肥猪图案的面积大致为；120：11I: +*4 8 *一 r »!i h + ri-ri *2A. 1104cm2B. 11.04cm2C. 8.28cm2D . 12cm【解析】：直接利用随机模拟试验方法求解.

17、由题意,可估计肥猪图案面积大约是:c 12S = 42 46 =1104( mm217. 2021衡水金卷七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为东方魔板,它是由五块等腰直角三角形两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是个用七巧板拼成的正方形中任取一点,那么此点取自黑色局部的概率是B.3A . 一16【答案】A【解析】由七巧板的构造可知,ABICn&GOH,故黑色却分的面积与梯形E尸明的面积相等,那么2clMm八所求的概率为P=学理=2 ,应选416£曲r 168. 2021全国卷I 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图

18、形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC的斜边BC ,直角边AB , AC . MBC的三边所围成的区域记为I ,黑色局部记为n,其余局部记为in.在整个图形中随机取一点,此点取自I, n,出的概率分别记为p2 , p3,那么A .Pi = P2B . Pi =P3C. P2=P3【答案】A【解析】设直角三角形 ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,那么区域I的面积即AABC的一一一 .11co 1bc 二匕)11c c c 1面积,为 S1 bc,区域n 的 S()( ) 一2 bc (c - b -a ) bc2222222821=bc,所以S =S

19、2,由几何概型的知识知 P1 = P2,应选A. 2优解 不妨设 MBC为等腰直角三角形, AB=AC = 2,那么BC=2j2,所以区域I的面积即AABC的面2 二(., 2)H 父1 - 2 =2,21 一积,为S=父2父2=2,区域n的面积 S2 =2(.2)2区域出的面积 S3 =-2 =冗-2 .根据几何概型的概率计算公式,得p1 = p2= , p3 =2二 2 一 2所以 P1 #P3,P2*P3,P1=P2+ P3,应选 A .9. (2021九江模拟)欧阳修的?卖油翁?中写道“翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆盖其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿,可见 行行出状元,卖油翁的技

20、艺让人叹为观止.假设铜钱是直径为4 cm的圆面,中),那么油滴落入孔中的概率为间有边长为1 cm的正方形孔.现随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计C.D.16兀【答案】B【解析】将实际问题转化为数学中的几何概型问题,关键是要求出铜钱的面积和中间正方形孔的面积,然 后代入几何概型计算公式进行求解.2由题意可得直径为 4 cm的圆的面积为 兀4=4兀,而边长为1 cm的正方形面积为1 X1 = 1,根据几何概型1,概率公式可得油滴落入孔中的概率为P=匚,应选B.10. 2021青岛一模勾股定理在西方被称为 毕达哥拉斯定理,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅勾勾股圆方图中,四个相同的直角股圆方图

21、,用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证实.如下图的 - TT . . .、三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形,假设直角三角形中较小的锐角a=-5现在向该正方6形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是3A. 12B. 2C43C. 4【解析】设小正方形的边长为x,由于sin即*21=乎,那么x=寸31,故飞镖落在小正方形内的概率是P = 4y=1乎,应选a.11. 2021大连模拟中国最早的天文学和数学著作?周脾算经?里提到了七衡,即七个等距的同心圆,七衡的直径和周长都是等差数列,最里面的一圆叫内一衡,外面的圆依次叫次二衡、次三衡,以下图中的七衡图中,假设内一衡的直

22、径和衡间距都是1,假设在七衡图内任取一点,这点属于次三衡与次四衡之间的概率为C.24169D.32169【解析】由题意分别求出次七衡内的面积与次三衡与次四衡之间的面积,再由测度比是面积比得答案.由题意,次七衡内的面积为 二免2=些.2次三衡与次四衡之间的面积为nx(Z)2x(5)2 =241 .22424 二24.,在七衡图内任取一点,这点属于次三衡与次四衡之间的概率为潟彳=志.应选：C .12. (2021邵阳模拟)谢尔宾斯基三角形是一种分形,由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出,先作一个正三角形,挖去一个“中央三角形(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的小三角形 中又挖去

23、一个“中央三角形,我们用白色代表挖去的面积,那么黑三角形为剩下的面积(我们称黑三角形为谢尔宾斯基三角形).在如图第5个大正三角形中随机取点,那么落在白色区域的概率为()68175'81' 256【答案】BC.81256D.1681【解析】根据几何概型的概率公式,用面积比可得.不妨设第一个三角形的面积为1,那么第二个图中黑色局部面积为3第3个图中黑色局部面积为(3)2,4第4个图中黑色局部面积为(3)3,4第5个图中黑色局部面积为(3)4,4那么在第5个大正三角形中随机取点,落在白色区域的概率为P =1 -(3)4 =.应选：B .425613. (2021南昌模拟)“割圆术是刘

24、徽最突出的数学成就之一,他在?九章算术注?中提出割圆术,并作3072边形,并由此而求为计算圆的周长、面积以及圆周率的根底刘徽把圆内接正多边形的面积直算到了正 得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269,那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为(参考数据3-=2.0946)()0.826B. 3.1417C. 3.1415D . 3.1413【解析】 由几何概型中的面积型可得:S正六边形=0.8269 , Sh所以6史r2

25、4=0.8269 ,又二2.0946 ,所以 3 定3.1419 ,应选: 0.82614. 2021滨州市二模赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为?周碑算经?一书作序时,介绍了 “勾股圆方图,亦称“赵爽弦图以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的.类比“赵爽弦图,可类似地构造如下图的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形,设,假设在大等边三角形中随机取一点,那么此点取自小等边三角形的概率是B.C.D.【解析】设,根据余弦定理表示出 BC,分别求得,根据几何概型中概率计算公式可求是由3个全等的三角形与

26、中间的等边三角形构成化简得同理所以 由余弦定理可知 代入可得 由三角形面积公式可得所以由几何概型面积类型的概率可得所以选A15. 2021潍坊市联考四色猜测是世界三大数学猜测之一,1976年数学家阿佩尔与哈肯证实,称为四色定理.其内容是： 任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.用数学语言表示为将平面任意地细分为不相重叠的区域,每一个区域总可以用1,2,3,4四个数字之一标记,而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.'如图,网格纸上小正方形的边长为1 ,粗实线围城的各区域上分别标有数字1,2,3,4的四色地图符合四色定理,区域A和区域B标记的数字丧失.假设在该

27、四色地图上随机取一点,那么恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中,最大的是a. isb. cC, 3D,三口【答案】C【解析】AB只能有一个可能为1,题目求最大 令B为1,那么总题有30个,L号有10个,那么低率为%标16. 2021长春模拟踢建子是中国民间传统的运动工程之一,起源于汉朝,至今已有两千多年的历史,是一项简便易行的健身活动.某单位组织踢键子比赛,把 20人平均分成甲、乙两组,并把每人在 1分钟内踢.那么以下判断正确的键子的数目用茎叶图记录如下其中中间的数字表示十位数,两侧的数字表示个位数A.甲组中位数大,乙组方差大C.甲组平均数大,乙组方差大B.甲组方差大,乙组极差大D.甲组极

28、差大,乙组中位数大【答案】B【解析】依题意,甲的中位数为 竺主竺=44,乙的中位数为 Q47=46,22E 1甲的平均数为 X甲=力 27 28 31 30 45 41 43 50 52 62 )=40.9 ,乙的平均数为:110(22 十30 +38 +44 +45 +47 +47 +50 +53 +65)=44.2 ,甲的极差为： 62 _27 =35,乙的极差为： 6522=43.从茎叶图看,乙更集中,甲更分散,故甲的方差更大,应选： B .17. 2021重庆二模重庆奉节县柑桔栽培始于汉代,历史悠久.奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥,酸甜适度,汁多爽口,余味清香,荣获农业部优质水果、中国国际

29、农业博览会金奖等荣誉.据统计,奉节脐橙的果实 横径单位：mm服从正态分布N80 , 52,那么果实横径在75 , 90的概率为附：假设 X N(% I),那么 P(R_6 <X, N + 6) =0.6826 , P(k-2d <X, k+26) =0.9544 .;A . 0.6826B. 0.8413C. 0.8185D . 0.9544【答案】C【解析】 由题意,N=80, 6=5.那么 P75 <X, 85=0.6826, P70<X, 90=0.9544.1.P85 :二 X, 90 =0.9544 -0.6826 =0.1359 . 2.P75 二X, 90

30、 =0.6826 0.1359 =0.8185.那么果实横径在75 , 90的概率为0.8185.应选：C .18. 2021长春二模19世纪德国工程师勒洛发现了一种神奇“三角形能够象圆一样当作轮子用,并将其命名为勒洛三角形,这种三角形是三个等半径的圆两两互相经过圆心,三个圆相交的局部就是勒洛三角形,如下图,现从图中的勒洛三角形内部随机取一点,那么此点取自阴影局部的概率为2二 -3,34二-2-3B.2 3 二 -33C.32二-2-32 二 - 3、32二-2-3【答案】D【解析】 设圆半径为R,由于阴影局部面积为 §=3里-叵-=空二迷犬,644勒洛三角形的面积为 S+叵2 =4

31、二&R2 ,42假设从勒洛三角形内部随机取一点,那么此点取自阴影局部的概率为p=_g1=2n3并.应选:DS 2r: -2,319. 2021长沙三模阳马,中国古代算数中的一种几何形体,是底面长方形,两个三角面与底面垂直的四AB=1, AD =2 , PC =3,假设在阳马棱锥体,在阳马 P -ABCD中,PC为阳马P -ABCD中最长的棱,P -ABCD的外接球内部随机取一点,那么该点位阳马内的概率为C.827 二D.根据题意,PC的长等于其外接球的直径,由于PC = JpA2 +AB2 +AD2 ,所以 3 =4pA2 +1 +4 ,所以 PA =2 ,又PA_L平面ABCD ,所

32、以VP aBCD1443 3=_M1M2M2=,V求=一 nX(-)3,33324由几何概型中的体积型可得：P =一3=8-,应选：C .土 岛3 27 二3220. ?孙子算经?是我国古代内容极其丰富的数学名著,书中有如下问题：今有圆窖周五丈四尺,深一丈八尺,问受粟几何？ 其意思为：有圆柱形容器,底面圆周长五丈四尺,高一丈八尺,求此容器能放多少斛米古制1丈=10尺,1斛=1.62立方尺,圆周率 阳=3,那么该圆柱形容器能放米 斛.【答案】2700【解析】底面园周长为54尺,高为18尺.设底面圆半径为R.那么27rA = 54 a R = 9,所以圆柱形容器的体积为尸=花序九=tt XX IS

33、 c所以核圜柱形容器能放米噜我=270.斛口.现从115这1521. 2021山西省考前适应性练习中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一,古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾,另一直角边为股,斜边为弦,其三边长组成的一组数据成为勾股数 个数中随机抽取 3个数,那么这三个数为勾股数的概率为【答案】455【解析】先计算15个数中任意抽取3个数的根本领件个数,再计算满足勾股数的所有可能,代入公式,即可求解.从这15个数中随机抽取3个整数所有根本领件个数为 C；5 ,其中为勾股数为44(3,4,5 )(6,8,10)(9,12,15)(5,12,13)共 4个,故概率为 P = -v=-,应选 C. C1545522. (2021正定二模)2021年华人数学家张益唐证实了挛生素数猜测的一个弱化形式,挛生素数猜测是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描