数学建模航空预订票策略2(1)

1、2012-2013秋季学期数学模型课程论文题目：航空公司预订票策略学院：数学科学学院年级：2010级专业：信息与计算科学姓名：王朋学号：20103579评卷教师填写页课程论文成绩表题目及所用方法的难易程度：20分分析假设与变量的引入：10分模型的建立与求解：50分结果分析检验与模型推广：10分论文排版，数学公式的打印：10分总分100分折合50%数学模型课程总成绩表课程论文（50%）实验报告（30%）平时成绩（20%）总成绩100分评卷人航空公司的预订票策略摘要在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务,本模型针对预订票业务，建立二元规划订票方案，既考虑航

2、空公司的利润最大化，又尽可能减少乘客订票而飞机满员无法登机的抱怨，从而赢得社会美誉。航空公司的经济利润可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量，社会声誉可以用持票按时前来登记、但因满员不能飞走的乘客，即被挤掉者限制在一定数量为标准，这个问题的关键因素预订票的成可是否按时前来登机是随机的，所以经济利益和社会声誉两个指标都应该在平均意义下衡量。于是航空公司预订票模型简化为一个两目标的规划问题，即求航空公司的平均利润Sm和被挤掉的乘客数超过j人的概率pjm之间的平衡关系，决策变量是预订票数量的限额m。建立模型，已知当n很大（>500），p很小（<0.05）时，以n，p作为参数的二

3、项分布可以用泊松分布来逼近。请重新为航空公司制定一个基于泊松分布的预订票策略，比较分析你所得到的结果。关键词二项分布；约束条件；泊松分布；最大利润航空公司的预订票策略一.问题重述在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务。公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。 设飞机容量为N，若公司限制只预订m张机票，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本。如果不限制订票数量，则当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，将会引起那些不能登机的乘客（以下称被挤掉者）的抱怨，

4、导致公司声誉受损和一定的经济损失（如付给赔偿金）。这样，综合考虑公司的经济利益和社会声誉，必然存在一个恰当的预订票数量的限额。 假设已经知道飞行费用（可设与乘客人数无关）、机票价格（一般飞机满员60%时不亏本，由飞行费用可确定价格）、飞机容量、每位被挤掉者的赔偿金等数据，以及由统计资料估计的每位乘客不按时前来登机的概率（不妨认为乘客间是相互独立的），建立一个数学模型，综合考虑公司经济利益（飞行费用、赔偿金与机票收入等），确定最佳的预订票数量。1）对上述飞机容量、费用、迟到概率等参数给出一些具体数据，按你的模型计算，对结果进行分析。2）对模型进行改进，如增设某类旅客（学生、旅游者）的减价票，迟到

5、则机票作废。二符号说明符号代表的意义n飞机容量（常数）r单次飞机飞行费用（固定损耗）p买票的人不能登机的概率；k已预购票但未按时前来登机的乘客数；b造成超员赔偿给每位乘客的钱s单次飞行的收益m预售的票数g飞机票票价J单次飞行公司所得到的纯利润占固定损耗的比例bg超员赔偿给顾客的钱和机票价格的比，即bg=b/g三分析假设（1）航空公司的经济利润可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量，社会声誉可以用持票按时前来登记、但因满员不能飞走的乘客，即被挤掉者限制在一定数量为标准，这个问题的关键因素预订票的成可是否按时前来登机是随机的，所以经济利益和社会声誉两个指标都应该在平均意义下衡量，这是一个

6、两目标的规划问题，决策变量是预订票数量的限额。（2）为了航空公司的经济利益最大化，需要考虑不同的乘客的实际需要，对补偿金模型进行约束条件限制，改进优化后的模型即符合实际要求。四模型假设(1) 航班的飞行成本r为常数，与乘客人数无关，飞机最大容量为n。(2) 客源丰富，不考虑订票不满的情况。(3) 尽管不同机舱的票价不同，为了简化模型，设机票价格按照g=r/n。预订票乘客不按时前来登机概率为p。五模型建立与求解5.1 模型一 不考虑任何形式补偿m个订票者中有k个不按时前来登机时利润 S=m-kg-r, m-knng-r, m-k>n（1）平均利润Sm为Sm=k=0mpksk=k=0m-n-

7、1pkng-r+kk=m-nmpkm-kg-r=k=0mpkng-r+k=m-nmpkm-kg-r-(ng-r)=ng-rk=0mpk+k=m-nmpk(m-n-k)g =ng-r-gi=0nipi(2)要使S最大，应该pi尽可能小，因此需要m越大越好。这个模型的缺点是没有考签补偿金。更合理的模型需要将补偿金因素计入模型。将补偿金因素考虑入模型，得到如下补偿金模型。5.2 模型二 补偿金模型每次航班的利润为从机票收入中减去飞行费用和可能发生的补偿金。m个订票者中有k个不按时前来登机时利润 S=m-kg-r, m-knng-r-m-k-nb,m-k>n(3)平均利润Sm为Sm=k=0mpk

8、sk=k=0m-n-1pkng-r-m-k-nb+k=m-nmpkm-kg-r=k=0m-n-1pkn-m+kg-m-k-nb+(mg-r)k=0mpk-gk=0mkpk记k=0mkpk=mp表示不登机乘客的期望值，则有 Sm=qmg-r-(g+b)k=0m-n-1(m-k-n)pk (4)下面考虑几种特殊情况，验证模型的有效性：情形一:p0=1,pk=0,k1S=ng-r-bm-n结果表明，当m=n时，公司利润最大，这与实际是相符的。情形二：当n很大，p很小时，预订票者实际登机的概率服从泊松分布，因此m个预定票者有k个不按时前来登机的概率为 pk=ps=k=kk!e- （5）S(m)=qmg

9、-r-(b+g)k=0m-n-1pk(m-n-k) 设m =500, p =0.01时预订票者实际登机概率的泊松分布图像如图一所示。图一：不按时登机乘客K的泊松分布分布图5.3 航空公司从社会声誉和经济利益两方面加以考虑，应该要求被挤掉的乘客不要太多，而由于被挤掉者的数量是随机的，可以用被挤掉的乘客数超过若干人的概率作为度量指标。记被挤掉的乘客数超过j人的概率为pjm，因为被挤掉的乘客数超过j人，等价于m位乘客中不按时前来登机的不超过m-n-j-1人，所以pjm=k=0m-n-j-1pk对于给定的n,j,显然当m=n+j时被挤掉的乘客不会超过j人，即pjm=0。而当 m变大时 单调增加。综上，

10、S和pjm是这个优化问题的两个目标，但是可以将pjm不超过某给定值作为约束条件，以S为单目标函数。模型二的求解如下：取S除以飞行费用 r为新的目标函数Jm，其含义为单位费用获得的平均利润，记g=r/n,则Jm=Smr=1nqm-(1+bg)k=0m-n-1(m-k-n)pk-1 (6)其中bg=b/g是赔偿金占机票价格的比例。问题转化为给定、n、q、bg，求m使Jm最大，而约束条件为pjm=k=0m-n-j-1pk （7）其中是小于1的正数。模型（6），（7）没有解析解，但可以借助软件等进行数值计算，求得最大值点。设p=0.05,b/g=0.2和0.4，计算Jm,P5m,P10(m),整理的表

11、1。表一：Jm,P5m,P10m的值mP=0.05Jp5p10b/g=0.2 b/g=0.43000.58330.5833003020.59390.5939003040.60440.6044003060.61500.61502.2662e-00703080.62540.62532.7678e-00503100.63520.63515.8673e-00403120.64350.64300.00522.7869e-0063140.64850.64700.02591.1924e-0043160.64780.64450.08450.00163180.63920.63260.19980.01063200

12、.62060.60920.36750.04333220.59080.57270.55600.1221以上图表跟书中二项分布图表比较相差不多，所以实现了把二项分布改成泊松分布得形式。其程序参考附录二六.结果分析1对于所取的n，p, bg，平均利润J(m)随着m的变大都是先增加再减少。不按时前来登机概率为p对需要超额预定的票数有较大影响，为了保证航班满座，就必须多预售一些票。2对于给定的n，p, bg由0.2增加到0.4时J(m)的减少不超过2，所以不放付给被挤掉的乘客以较高的赔偿金，也不会对其最大利润产生多大影响，而同时赢得社会声誉。3综合考虑经济效益和社会声誉，给定赔付比率bg为0.2，被挤掉

13、的乘客数超过j人的概率为pjm0.1,对于n500，若估计p=0.01,取m=530。七.模型评价7.1模型改进：考虑不同的客源的实际需要，如商界人士，文艺界人士更趋向于这种无约束的预定票业务，他们宁愿接受较高的票价，而不按时前来登机的可能性较大；旅游者，学生，会愿意以不能前来登机则机票失效为代价，换取较低额的票价。旅游者，学生这类乘客基数较大，航空公司为降低风险，可以把旅游者，学生这类乘客作为基本客源，对他们降低票价，但购票时即付款，不按时前来登机则机票作废。设订票数量m中有t张是专门售给第二类乘客的，不考虑这部分人不来登机情况，折价机票为rg（r<1） ，当mt位第一类乘客中有k位不

14、按时前来登机时每次航班的利润S为S=tg+m-t-kg-r, m-kntg+n-tg-r-m-k-nb, m-k>n （8）k为乘客不按时登机的概率为pk=ps=k=kk!e-Sm=k=0m-n-1pktg+(n-t)g-r-m-k-nb+k=m-nm-tpktg+m-t-kg-r=qmg-r-(b+g)k=0m-n-1m-k-npk-(1-p)tg （9）正常机票价格g，折扣票价g,利用调节因子与飞行费用r间的关系为tg+n-tg=r于是，单位费用获得的平均利润为Jm=1n-1-tqm-1-pt-(1-b/g)k=0m-n-1(m-k-n)pk-1（10）约束条件被挤掉的乘客数超过j人

15、的概率为pjm不变，为pjm=k=0m-n-j-1pk取=0.75,t=50,100,150,其它同上，计算结果表明，当t增加时Jm和pj(m)均有所减少。类似于前面的分析，也可以得到最优的预订票方案。其程序参考附录三参考文献1 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型（第三版）.高等教育出版社,2003.8 2 数学建模原理与方法.海军出版社，2000.63 数学建模原理与方法.科学出版社，2007.14 薛定宇，晨阳全.高等应用数学问题的Matlab求解（第二版）.清华大学出版社，2008.10附录：附录一：泊松分布的图像p=0.01;m=500; k=1:m-300-1;pk=poisspdf(k

16、,m*p)plot(k,pk,'')title('不按时登机乘客k的泊松分布分布图 ')附录二：a=0;p=0.05for m=300:2:330;for k=0:m-300-1;pk=poisspdf(k,m*p)f=m-300-k;s=f*pk;a=a+s;endJ=(1/180)*0.95*m-(1+0.2)*a-1;m Jp5=0; p10=0;for k=0:m-300-5-1;pk=poisspdf(k,m*p)p5=p5+pk;endp5for k=0:m-300-10-1;pk=poisspdf(k,m*p)p10=p10+pk;endp10end附录三：a=0;p=0.05for m=300:2:330;for k=0:m-300-1;pk=poisspdf(k,m*p)f=m-300-k;s=f*pk;a=a+s;endJ=(1/180)*0.95*m-(1+0.4)*a-1;m Jp5=0; p10=0;for k=0:m-300-5-1;pk=poisspdf(k,m*p)p5=p5+pk;endp5for k=0:m-300-10-1;pk=poisspdf(k,m*p)p10=p10+pk;endp10附录四：策略改进的程序a=0;p=0.05beta=0.75t=