【创新设计】人教通用高考数学二轮复习专题整合22解三角形问题理含最新原创题,含解析

1、第2讲解三角形问题专题训练,对接应考 求落实迎高考、选择题1 . （2014 西安模拟） ABC勺三个内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,且 2basm Asin B+ bcos A=42a,则&=（）.A. 2B. 2 2C. 3D. 2 3解析 因为asinAsinB+ bcos2A=*a,所以由正弦定理，得 sinAsinAsinB+ sinB（ 1 sin 2 A） = 2sin A,即 sin B= 2sin A,所以占=2.答案 A2. （2014 益阳模拟）在ABCK角A, B, C所对的边分别为 a, b, c.若asin A+ bsin B -csin

2、C= 43asin B,则角 C等于（）.7t4B.7tC.y解析 由正弦定理，得a2+ b2- c2=/3ab,a + b cx/3, 兀所以 cos C= = *, 又 0< C< 兀, 所以 C=.2ab 26答案 A3. (2014 吉林省实验中学一模)在 ABC中，sin( A+ B sin( A- B) = sin 2C,则此三角形的形状是().A等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析 因为 sin( M B)sin( A B)=sin2C,所以 sin ( A B) = sin C,又因为 A B, C 为 ABC勺内角，所以 A B=C,所以A

3、=90。，所以 ABC直角三角形.答案 B4. (2014 福州模拟)在ABB, BC=1, B=-, ABC勺面积 S=<3,则 sin C=3A.1313B.D.2 .1391311解析因为在 ABC, BC= 1, B=*, ABCW面积 S=串,所以 &abc= -BO BAsin B32=43,即 2*1X BA< ¥=不，解得 BA= 4.又由余弦定理，得 AC=BC+ BA2-2BC- BAcosB,即得AC= J13,由正弦定理，得一咚=/，解得sin C=2型. sin C sin B13答案 D5. (2014 重庆卷)已知 ABC勺内角 A,

4、 B, C满足 sin 2 A+ sin( A- B+ Q = sin( C- A-场1 _，、，一一 一，、一八+ 2,面积S满足1WS<2,记a, b, c分别为A, B, C所对的边，则下列不等式一定成立的是().A. bc(b+c)>8B. ab(a+b)>16,C. 6< abc< 12D. 12wabcw241解析 由 sin 2 A+ sin( A B+ C = sin( C A B) +-,得 2sin A, cos A+ sin( C B) - cos A+ cos ( C- B) ,1sin A= sin( C B) cos A cos ( C

5、 B) sin A+ ,1即 2sin A;cos A+ cos C- cos B+ sin C- sin B = 2,1八一即 2sin A( cos ( B+ C) + cos B cos C+ sin C sin B=万，化间，1得 sin A - sin B - sin C=8由面积公式，得一上 2=所以(abc)2 = 64S3e64,512,即 abcC 8,16 2 ,从而 abc 8可以排除选项 C和D；对于选项 A： bc( b+c)> bca>8,即bc( b+ c)>8 ,故A正确；对于选项 B： ab(a+b) >abc>8,即 ab(a+

6、b)>8,故 B错误，故选 A.答案 A二、填空题6. (2014 福建卷)在ABC, A= 60° , AC= 4, BC= 273,则 ABC勺面积等于 .解析由余弦定理得，BC= Ad+AC 2AB AC- cos A,.1-12 = A+ 16-2X AB<4Xcos 60 ,解得 AB= 2,11、， . Saabc= 2 , AB , AC sin A= 2x 2X 4X sin 60= 2y3.答案 2.37. （2014 天津卷）在ABC4内角A, B, C所对的边分别是 a,B= 3sin C,则 cos A 的值为.3 解析 .1 2sin B= 3s

7、in C,由正弦te理得 2b= 3c, - b = 2C,.1又 bc = 4a, . a=4(bc), . a= 2c.222 9c2+c2-4c2b +c a 4A=A2bc3 22 c答案-48. （2014 江苏卷）若八8。的内角满足 sin A+木sin B= 2sin1 -b, c.已知 b- c=-a, 2sinC,则cos C的最小值是解析sin A+，2sin B= 2sin C.cos C=2ab2ab2. 23a +2b 8ab2 Qab 2 6ab2 &b/?>I=8ab当且仅当3a2= 2b2即a=半时等号成立. b 3cos C的最小值为三、解答题9

8、. （2014 北京卷）如图，在 ABC中，/B=, AB= 8,点3BC边上，且 CD= 2, cos, 一 1/ADO 7.由正弦定理可得 a+42b=2c,即c = a+Jb,AR D c求 sin / BAD(2)求BD, AC的长.1解 (1)在ADC43,因为 cos/ADC= 7, 所以 sin Z ADC=.所以 sin / BAD= sin( / ADG / 场=sin / ADCos / B cos / ADCin / B4 .371 1X 一一 一 X2 7,3_3 32 = 14 .(2)在AB计，由正弦定理得BD=AB- sin / BAD sin ZADB 二8口1

9、4=3.4 3在ABC4由余弦定理得A(C=Ad+BC2-2AB- BC- cos B= 82+ 522X8X5X1=49.所以 AC= 7.210.已知 ABC勺三个内角 A, B, C所对的边分别是 a, b,-2 兀匚，、,c,B=-b=y3,求 a+ c 的3范围.27t.TT解法一由B=得A+ C=.33所以 sin A+ sin C= sin A+ sin " A i= sin A+ Jsin7t7t3cos A cos gsin1sin A+.兀i. 兀 LL,、,兀 . 兀 2兀sin Q+鼻)又0vAv鼻，所以-3< A+3三.所以半法二由余弦定理，得 b2=

10、 a2+ c2 2accos2 兀 ，.、2-.,.、2tt= (a+ c) 2ac+ac= (a+c) - ac> ( a 3<sin A+占卜 1.所以 sin M sin Cea c b 3由正弦7E理，信 snATSnCTSjF"BT 所 2兀=2' 飞-所以 a+c= 2sin A+ 2sin C= 2(sin A sin C).所以 a+cC (4 2.+ c)2- 1-2-J = -一-4-c,当且仅当 a=c时，取等号. 2所以(a+c) <4,故 a+c<2.又 a+c>b=J3,所以3<a+cW2,即 a+cC (斓，2

11、.11.如图，游客从某旅游景区的景点 A处下山至C处有两种路径.一种是从 A沿直线步 行到C,另一种是先从 A沿索道乘缆车到 B,然后从B沿直线步行到 C.现有甲、乙两位 游客从A处下山，甲沿 AC匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆 车到B,在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min,山路 AC长为 1 260 m ,经测量，cos A=y|, cos C= g.135(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在 C处互相等待的时间不超过 3分钟，乙步行的速度

12、应控制在什么范 围内？解(1)在ABC4 因为 cos A=y|, cos C=(, 135所以 sin A=亮，sin C= 4. 135从而 sin B= sin兀一(A+ Q = sin( A+。=sin Acos C+ cos Asin C53 12 4 63= nx5+nx5=65.由正弦定理信=若各得sin c sin bAC1 260 4A艮 Sinf sin C= _63_>< 5= 1 040(m) - 65所以索道AB的长为1 040 m.(2)设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d,此时，甲行走了 (100 +50t)m,乙距离A 处 130t m,所以由余弦定理得d2=(100 + 50t)2+(130t)22X130tX(100+ 50t) X1| 13_2_= 200(37 t 70t+50),1 040 r因 0Wt即 0<t <8,一，35，一故当t = R(min)时，甲、乙两游客距离取短. 3 7BC ACAC 八 1 2605由正弦定理 ShT=彳导 BC