2015高考数学（理）（第九章 9.1直线的方程）一轮复习题

1、§9.1直线的方程1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.倾斜角的范围为0°，180°)(2)直线的斜率定义：一条直线的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan_，倾斜角是90°的直线斜率不存在过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1x2)的直线的斜率公式为k.2直线方程的五种形式名称方程适用范围点

2、斜式yy0k(xx0)不含垂直于x轴的直线斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用3 过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(1)若x1x2，且y1y2时，直线垂直于x轴，方程为xx1；(2)若x1x2，且y1y2时，直线垂直于y轴，方程为yy1；(3)若x1x20，且y1y2时，直线即为y轴，方程为x0；(4)若x1x2，且y1y20时，直线即为x轴，方程为y0.4线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2

3、，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则，此公式为线段P1P2的中点坐标公式1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率(×)(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大(×)(4)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.(×)(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等(×)(6)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示(×)(7)不经过原点的直线都可以用1表示(×)(8)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P

4、2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()2如果A·C<0，且B·C<0，那么直线AxByC0不通过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析由已知得直线AxByC0在x轴上的截距>0，在y轴上的截距>0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限3若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为_答案4解析由1，得a4.4直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(mR)两点则直线l的倾斜角的取值范围为_答案解析直线l的斜率k1m21.若l的倾斜角为，则tan 1.又0，)，.5

5、过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_答案xy10或4x3y0解析若直线过原点，则k，yx，即4x3y0.若直线不过原点设1，即xya.a3(4)1，xy10.题型一直线的倾斜角与斜率例1经过P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为_，_.思维启迪本题考查斜率求解公式以及k与的函数关系，解题关键是在求倾斜角时要对其分锐角、钝角的讨论答案1,10，)解析如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPAkkPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0时，倾斜角为钝角，k0时，0

6、，k>0时，为锐角又kPA1，kPB1，1k1.又当0k1时，0；当1k<0时，<.故倾斜角的取值范围为0，)思维升华直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论由正切函数图像可以看出当时，斜率k0，)；当时，斜率不存在；当时，斜率k(，0)(1)若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为()A.BCD.(2)直线xcos y20的倾斜角的范围是()A.B.C.D.答案(1)B(2)B解析(1)依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有，解得a5，b3，从而可知

7、直线l的斜率为.(2)由xcos y20得直线斜率kcos .1cos 1，k.设直线的倾斜角为，则tan .结合正切函数在上的图像可知，0或<.题型二求直线的方程例2根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.思维启迪本题考查直线方程的三种形式，解题关键在于设出正确的方程形式解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (0<<)，从而cos ±，则ktan ±.故所求直线方程为y±(x4

8、)即x3y40或x3y40.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为1，又直线过点(3,4)，从而1，解得a4或a9.故所求直线方程为4xy160或x3y90.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x50；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy(105k)0.由点线距离公式，得5，解得k.故所求直线方程为3x4y250.综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线故在解题时，

9、若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(1，3)，倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍解(1)设直线l在x、y轴上的截距均为a，若a0，即l过点(0,0)和(3,2)，l的方程为yx，即2x3y0.若a0，则设l的方程为1，l过点(3,2)，1，a5，l的方程为xy50.综上可知，直线l的方程为2x3y0或xy50.(2)由已知：设直线y3x的倾斜角为 ，则所求直线的倾斜角为2.tan 3，tan 2.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)

10、，即3x4y150.题型三直线方程的综合应用例3已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程思维启迪先求出AB所在的直线方程，再求出A，B两点的坐标，表示出ABO的面积，然后利用相关的数学知识求最值解方法一设直线方程为1 (a>0，b>0)，点P(3,2)代入得12 ，得ab24，从而SAOBab12，当且仅当时等号成立，这时k，从而所求直线方程为2x3y120.方法二依题意知，直线l的斜率k存在且k<0.则直线l的方程为y2k(x3) (k<0)，且有A，B(0,23k)，SABO(23k)&

11、#215;(1212)12.当且仅当9k，即k时，等号成立即ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x3y120.思维升华直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S(O为坐

12、标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程(1)证明直线l的方程是k(x2)(1y)0，令，解得，无论k取何值，直线总经过定点(2,1)(2)解由方程知，当k0时直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，要使直线不经过第四象限，则必须有，解之得k>0；当k0时，直线为y1，符合题意，故k0.(3)解由l的方程，得A，B(0,12k)依题意得解得k>0.S·|OA|·|OB|··|12k|·×(2×24)4，“”成立的条件是k>0且4k，即k，Smin4，此时直线l的方程为x2y40.分类讨论思想在求直线

13、方程中的应用典例：(5分)与点M(4,3)的距离为5，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_思维启迪解答本题应抓住直线在两坐标轴上的截距相等，分类设出直线的方程求解解析当截距不为0时，设所求直线方程为1，即xya0，点M(4,3)与所求直线的距离为5，5，a7±5.所求直线方程为xy750或xy750.当截距为0时，设所求直线方程为ykx，即kxy0.同理可得5，k.所求直线方程为yx，即4x3y0.综上所述，所求直线方程为xy750或xy750或4x3y0.答案xy750或xy750或4x3y0温馨提醒在选用直线方程时常易忽视的情况有(1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；

14、(2)选用截距式时，忽视截距为零的情况；(3)选用两点式时忽视与坐标轴垂直的情况.方法与技巧1要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x1x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率当x1x2，y1y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2求斜率可用ktan (90°)，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”3求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法失误与防范1求

15、直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率2根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性3利用一般式方程AxByC0求它的方向向量为(B，A)不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()Ak1<k2<k3Bk3<k1<k2Ck3<k2<k1Dk1<k3<k2答案D解析直线l1的倾斜角1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角2与3均为锐角，且2>3，所以0<

16、k3<k2，因此k1<k3<k2，故选D.2已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A1 B1C2或1 D2或1答案D解析由题意得a2，a2或a1.3已知直线PQ的斜率为，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率为()A.BC0 D1答案A解析直线PQ的斜率为，则直线PQ的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan 60°.4两条直线l1：1和l2：1在同一直角坐标系中的图像可以是()答案A解析化为截距式1，1.假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合5设直线l的方程为xycos 30 (R)

17、，则直线l的倾斜角的范围是()A0，) B.C.D.答案C解析当cos 0时，方程变为x30，其倾斜角为；当cos 0时，由直线方程可得斜率k.cos 1,1且cos 0，k(，11，)，即tan (，11，)，又0，)，.综上知，倾斜角的范围是，故选C.二、填空题6直线l与两直线y1，xy70分别交于P、Q两点，线段PQ中点是(1，1)，则l的斜率是_答案解析设P(m,1)，则Q(2m，3)，(2m)370，m2，P(2,1)，k.7直线l：ax(a1)y20的倾斜角大于45°，则a的取值范围是_答案(，)(0，)解析当a1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；当a1时，

18、直线l的斜率为，只要>1或者<0即可，解得1<a<或者a<1或者a>0.综上可知，实数a的取值范围是(，)(0，)8若ab>0，且A(a,0)、B(0，b)、C(2，2)三点共线，则ab的最小值为_答案16解析根据A(a,0)、B(0，b)确定直线的方程为1，又C(2，2)在该直线上，故1，所以2(ab)ab.又ab>0，故a<0，b<0.根据基本不等式ab2(ab)4，从而0(舍去)或4，故ab16，当且仅当ab4时取等号即ab的最小值为16.三、解答题9已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：

19、(1)过定点A(3,4)；(2)斜率为.解(1)设直线l的方程是yk(x3)4，它在x轴，y轴上的截距分别是3,3k4，由已知，得(3k4)±6，解得k1或k2.故直线l的方程为2x3y60或8x3y120.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是yxb，它在x轴上的截距是6b，由已知，得|6b·b|6，b±1.直线l的方程为x6y60或x6y60.10如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线yx上时，求直线AB的方程解由题意可得kOAt

20、an 45°1，kOBtan(180°30°)，所以直线lOA：yx，lOB：yx.设A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中点C，由点C在yx上，且A、P、B三点共线得解得m，所以A(，)又P(1,0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直线AB的方程为(3)x2y30.B组专项能力提升(时间：30分钟)1直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l的斜率为()AB3 C.D3答案A解析结合图形可知选A.2直线2xmy13m0，当m变动时，所有直线都通过定点()A.B.C.D.答案D解析(2x1)m(y3)0恒成立，2x10，y30，x，y3，定点为(，3)3经过点P(1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为()Ax2y60 B