初中数学圆的知识点总结

1、知识点一、圆的定义及有关概念1. 圆的左义：平而内到泄点的距离等于左长的所有点组成的图形叫做圆。2、有关槪念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆 心的弦叫做直径.直径是最长的弦在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧*例P为00内一点，0P=3cm,。0半径为5cm,则经过P点的最短弦长为:回最长弦长为.解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和0P垂直的弦，答案：10 cm, 8 cm.知识点二、平面内点和圆的位置关系平而内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上.点在圆内当点在圆外

2、时，dr；反过来，当d厂时，点在圆外。当点在圆上时，d=r；反过来，当d=厂时，点在圆上。8当点在圆内时，d几反过来，当dV厂时，点在圆内。例如图，在C中，直角边AB = 3t BC = 4,点E , F分别是BC, AC的中点，以点A为圆心，的长为半径画圆，则点E在圆人的点尸在圆人的解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部练习：在直角坐标平面内，圆O的半径为5,圆心0的坐标为(-1，-4)试判断点P(3, -1)与圆O的位置关系.答案：点P在圆o上.知识点三、圆的基本性质1圆是轴对称图形，英对称轴是任意一条过圆心的直线。2、垂径立理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的狐。垂径

3、泄理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。圆心角左理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组疑相等，那 么它们所对应的英余各组量都分別相等。4、圆周角立理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。圆周角左理推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。圆周角左理推论2：直径所对的圆周角是直角：90。的圆周角所对的弦是直径。例1如图，在半径为5cm的O0中，圆心O到弦力8的距离为3cm,则弦AB的长是（）A 4cm B. 6cm C 8cm D 10cm解题思路：在一个圆中，若知圆的半径

4、为R,弦长为Q,圆心到此弦的距离为d，回根据 垂径左理，有R2如 （-）2,所以三个量知道两个，就可求出第三个.答案C2例2.如图，4、B、C、D是00上的三点，Z BAC=30则乙BOC的大小是（ ）A、60 B、45。C、30D、15解题思路：运用圆周角与圆心角的关系左理，答案：A例3、如图1和图2, MN是00的直径，弦AB. CD0相交于MMD上的一点P, 0Z APM=Z CPM.（1）由以上条件，你认为A3和CD大小关系是什么，请说明理由.（2）若交点P在OO的外部，上述结论是否成立若成立，加以证明；若不成立，请说 明理由.解题思路：(1)要说明AB=CD,只要证明AB、CD所对的

5、圆心角相等，回只要说明它们的一半相等.上述结论仍然成立，它的证明思路与上而的题目是一模一样的.解：(1) AB=CD理由：过0作OE、OF分别垂宜于AB、CD,垂足分别为E、F Z APM=Z CPM Z 1=Z 2 OE=OF连结 OD、0B 且 OB二OD RtA OFD RtA OEB .I DF=BE根据垂径左理可得：AB=CD(2)作0E丄AB, OF丄CD,垂足为E、F Z APM=Z CPN 且 OP二OP, Z PEO=Z PFO=90 RtA OPE空 RtA OPF OE=OF连接 OA、OB、OC、OD易证 RtA OBE空 RtA ODF, RtA OAE旻 RtA O

6、CF Z 1+Z 2=Z 3+Z 4/. AB=CD例4如图，是00的直径，BD是OO的弦，延长3D到C,使AC=AB, BD与CD的 大小有什么关系为什么解题思路：BD二CD,因为AB=AC.所以这个 ABC是等腰，要证明D是BC的中点,回只要连结AD证明AD是高或是Z BAC的平分线即可.解：BD=CD理由是：如图24 30,连接AD AB 是00 的直径 Z ADB=90即 ADBC又AC=ABBD=CD知识点四.圆与三角形的关系1、不在同一条直线上的三个点确泄一个圆。2、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。3、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。4、三角

7、形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。5、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。例1如图，通过防治“非典.人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了, 人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24-49所示，人、3、为市内的三个住宅小区, 环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，回要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请 问如果你是工程师，你将如何选址.解题思路：B连结BC,作线段AB. BC的中垂线，两条中垂线的交点即为垃圾回收站所在的位垃.例2如图，点0是ZkABC的内切圆的圆心.若Z BAC=80则 Z B0C二()解题思路：此题解题的关键是弄淸三角形内切圆的圆

8、心是三角形内角平分线的交点，答案A例3如图,Rt4 ABC, Z C=90, 4C=3cm, BC=4cm,则它的外心与顶点C的距离为().A. 5 cm B C 3cm D 4cmA解题思路：直角三角形外心的位置是斜边的中点，答案B知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离当直线和圆相交时，dr：反过来，当d门I寸，直线和圆相离。切线的性质左理：圆的切线垂直于过切点的直径切线的判定立理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切 线长。切线长左理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这

9、点的连线 平分两条切线的夹角。例1、在ABC中，BC=6cm, Z B=30, Z C=45,以&为圆心，当半径r多长时所作的OA与直线8C相切相交相离解题思路：作AD丄BC于DCD=AD BC=6cm 5Z)+CZ) =+= (73+ 1)=6- AD= 3(3-1)()- -lr = 3(75-1)时，OA -J BC 相切：当尸l)cw时，OA 与 BC 相交： 当r /%+厂2外切Od二相交O r1r2drr2内切 c/=|ri r2| 内含0d|rif2| （其中d=0,两圆同心）例1两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖而如图1所示（点6 0,是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条

10、直线.TP、NP分别为两圆的切线，求ZTP/V的大小.l+3,外离.(2)设 B (x, 0) x#-2,则 AB=V9 + XT, OB 半径为 |x+2|,设OB与0A外切，则j9 + /=|x+2|+当x-2时，yJ9 + X2 =x+3,平方化简得：x=0符题意,B (0, 0),当 x2 (舍)，设 OB 与 0A 内切，则 a/9 + X2 =|x+2|-lt当 x-2 时，j9+?=x+l,得 x=4-2, B (4, 0),当 x/9 + X2 =-x-3,得 x=0.知识点七、正多边形和圆重点：讲淸正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、回边长之间的关系.难点：使学生理

11、解四者：正多边形半径、中心角、回弦心距、边长之间的关系.正多边形的中心：所有对称轴的交点：正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应 的边心距分成两个全等的直角三角形。例如图，已知正六边形ABCDEF.其外接圆的半径是回求正六边形的周长和而积.解题思路：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然 而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA,过O点作OM丄AB垂于M,在RtA AOMS 中便可求得AM,又应用垂径龙

12、理可求得AB的长.正六边形的而积是由六块正三角形面积 组成的.360解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60%回 OBC是6因此，所求的正六边形的周长为6a等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径在 RtA OAM 中，OA=a, AM= AB= a 2 2利用勾股泄理，可得边心距1 |J33.所求正六边形的而积=6x xABxOM=6x xaxa= y/3 a22 222例2.在直径为AB的半圆内，划岀一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为 顶点C在半圆圆周上，苴它两边分别为6和8,现要建造一个内接于 A8CI3的矩形水池DEFN, 其中D、F在朋上，如图24

13、-94的设计方案是使AC=8, BC=6.（1）求ZkABC的边AB 的高/1h_ DN NF（2）设DN二x,且=，当x取何值时，水池的而积最大h AB（3）实际施工时，发现在上距3点185的M处有一棵大树，问：这棵大树是否 位于最大矩形水池的边上如果在，为了保护大树，请设计出列外的方案，使内接于满足条件 的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.C解题思路：要求矩形的面积最大，先要列出而积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值.（3）的设讣要有新意，回应用圆的对称性就能解： 由ABCG=ACBC得AB圆满解决此题.10h DN NF10(4.8-x)(2) /

14、h= 且 DN=x . NF=hAB4.8贝U S曲边形DEFN=X104825 ,25(x)=x2+10x=12 12(X2 120 x) 2525n一艺25_一 （x-） 2+1242且当x二时，取等号603600n 25)Z=25625 x(x-) 2+12XX当x二时，Sdefn最大.（3）当Sdefn最大时，xr 此时，F为BC中点，在RtA FEB中，EF=, BF=3. BE 二 J DE? _EF? =V32-2.42 =VBM=, /.BMEB,即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案.当 x二时，DE=5 /. AD=,由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示：r

15、此时，SAC=6, BC二& AD=, BE=,这样设计既满足条件,又避开大树.知识点八、弧长和扇形.圆锥侧面积面积(重点：n。的圆心角所对的弧长L=,扇形而积s扇二竺空、圆锥侧面积而积及其它180360们的应用.难点：公式的应用.1n。的圆心角所对的弧长L= 1802. 圆心角为n。的扇形而积是S扇形=罟?3. 全面积是由侧面积和底面圆的而积组成的，所以全而积二兀rL+r2.例1.操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够 长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.解题思路：如图所示，

16、不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD0分別交于点M、N,连结OA、0D.四边形ABCD是正方形 OA=OD, Z AOD=90% Z MAO=Z NDO,又Z MON=90, Z AOM=Z DON .& AMO旻 DNOAM=DN AM+AN=DN+AN=AD=a特别地，当点M与点A （点B）重合时，点N必与点D （点A）重合，此时AM+AN仍 为泄值a.故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为泄值a.例2.已知扇形的圆心角为120,面积为300 cm2.（1）求扇形的弧长：（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截而而积为多少解题思路：由S询鵠求出R,再代入匸罟求得.（?是什么三

17、角形并说明理由.（2）若AP不过圆心O,如图，PDC又是什么三角形为什么 AAPC m/BDC PC = DC又AP过圆心O, AB = AC, ZE4C = 60 ABAP = ZPAC = - ABAC = 30ZBAP = ABCP = 30, ZPBC = APAC = 302乙 CPD = ZPBC+ZBCP = 30 + 30 = 60：APDC 为等边三角形.（2）仍为等边三角形理由：先证AAPCABDC （过程同上）PC = DCVZ4P+ZE4C = 60 又: ZBAP = ABCP, 许AC = APBC ZCPD= ZBCP + ZPBC = ZBAP + APAC =

18、 3又T PC = DC PDC为等边三角形.例3”如图OA、OB是OO的两条半径，且OAXOB,点C是OB延长线上任意一点： 过点C作CD切OO于点D,连结AD交DC于点E.求证：CD=GE（2）若将图中的半径0B所在直线向上平行移动交0A于F,交OO于X,其他条件不变, 那么上述结论CD=CE还成立吗为什么（3）若将图中的半径0B所在直线向上平行移动到OO外的CF,点E是DA的延长线与CF 的交点其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗为什么解题思路：本题主要考查圆的有关知识.考查图形运动变化中的探究能力及推理能力.解答:(l)i明：连结 0D 贝lj0DCD, /. Z CDE+Z

19、ODA=90在 RtA AOE 中，Z AEO+Z A=90在00 中，OA二0D.Z A=Z ODA, .I Z CDE=Z AEO 又 Z AEO=Z CED, Z CDE=Z CED /. CD=CE (2)CE=CD仍然成立.T原来的半径OB所在直线向上平行移动CF丄AO于F, 在 RtA AFE 中，Z A+Z AEF=90连结 0D,有Z ODA+Z CDE=90% 且 OA=OD Z A=Z ODA Z AEF=Z CDE 又Z AEF=Z CED /. Z CED=Z CDE. CD=CE (3)CE=CD仍然成立.原来的半径OB所在直线向上平行移动.A0丄CF延长 0A 交

20、CF 于 G,在 RtA AEG 中，Z AEG+Z GAE=90连结 0D, 有Z CDA+Z ODA=90 且 OA=OD. Z ADO=Z OAD=Z GAE Z CDE=Z CED CD=CE考査目标二.主要是指点与圆的位置关系.直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关 系的相关内容。学生要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。例1、A3是OO的直径，必切OO于A, OP交OO于C,连BC.若ZP = 30 ,求Z3的度数./一解题思路：运用切线的性质Q4切00于4是00的直径，ZP4O = 90ZP = 30 , ZAOP = 60 ZB = -ZAOP = 302例2.如

21、图，四边形ABCD内接于OO, 3D是OO的直径，AE丄CD,垂足为, DA 平分ZBDE.(1)求证：4E是OO的切线；(2)若ZD3C = 30 , DE = 1cm,求BD的长.解题思路：运用切线的判左r(1)证明：连接OA，: DA平分ZBDE、ZBDA = ZEDA OA = OD :. ZODA = ZOAD /. ZOAD = ZEDA S.OA/CE 肚丄应， ZAED = 90 , ZOAE = ZDEA = 907./. AE丄Q4. :.AE是30的切线.(2) BD是直径,ZBCD = ZBAD = 90 .v ZDBC = 30 , ZBDC = 60 , :. ZB

22、DE = 120 DA平分ZBDE, /.ZBDA = ZEDA = 60 . /.ZABD = ZEAD = 30 .在RtAAED 中，ZAED = 90 , ZEAD = 30 AD = IDE 在 RtAABD 中，ZBAD = 90 , ZABD = 30 , /. BD = 2AD = 4DE DE的长是lcm, .BD的长是4cm考査目标三、主要是指圆中的计算问题，包括弧长、扇形面积，以及圆柱与圆锥的侧 面积和全面积的计算，这部分内容也是历年中考的必考内容之一。学生要理解圆柱和其侧 面展开图矩形、圆锥和其侧面展开图扇形之间的关系。例如图，已知在00中，AB=4JJ, AC是OO的直径，AC丄BD 于 F, Z A=30.(1)求图中阴影部分的面积;若用阴影扇形0BD用成一个圆锥侧而，请求出这个圆锥的底而 圆的半径.解题思路：(1)法一：过0作0E丄AB于E,A 厂 在 Rt AaE0 中，Z BAC=30, cos30= OA.0A=_=4. cos30 J3则 AE=1aB=2a/3 .2 AC丄BD, BC = CD Z C0D=Z BOC=60.ZBOD=120.S時竺竺二空佔=%3603603法二：连结ADAC丄BD, AC是直径,A AC垂直平分BD。 AB二AD, BF=FD, BC = CD /. Z BAD二2Z BAC=60% Z BOD=120