2015年高考全国2卷理科数学试题(含解析)

1、绝密启用前2014年高考全国 2 卷理科数学试题（含解析）注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上6执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为 2，则输出的 S= （ ）A.4 B.5 C.6 D.7请点击修改第 I 卷的文字说明评卷人得分、选择题（题型注释）第I 卷（选择题）1设复数 z1， z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1 2 i，则 z1z2 （A.- 5 B.5 C.- 4+ iD.- 4 - i2设向量 a,b 满足 |a+b|= 10 ， |a-b|= 6 ，则 a b = ( )A.1 B.2 C.3 D.53钝角三角形 ABC的面积

2、是 12 ， AB=1，BC= 2 ，则 AC=( )A.5 B. 5 C.2 D.14某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75 ，连续两天为优良的概率是0.6 ，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.455如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示 1cm） , 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比 值为（ ）A. 17B. 5 C. 10D. 127 9 27 37设曲线 y=ax-ln（x+1）

3、 在点 （0,0） 处的切线方程为 y=2x， A.0 B.1 C.28设 F 为抛物线OAB的面积为（A. 343B.D.3C: y2 3x的焦点，过 F 且倾斜角为 30°938C. 3623D.则 a= （ ）的直线交 C于 A,B 两点， O为坐标原点，则9直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， BCA=90°，M，）N分别是 A1B1，A1C1 的中点， BC=CA=C1C，则 BM与 AN所成的角的余弦值为（A.10 B. 5C.10设函数 f x 3sin xm. 若存在是（ ）A. , 6 6,B.C. , 2 2,D.3010D.f x 的极值点, 4 4,

4、 1 1,x0 满足 x02 f x0m2 ，则 m的取值范围第 II 卷（非选择题）请点击修改第 II 卷的文字说明年份代号 t1234567人均纯收入 y2.93.33.64.44.85.25.9评卷人得分1011 x a 的展开式中，填空题（题型注释）x7 的系数为 15，则 a=用数字填写答案 ）12 函数 f x sin x 2 2sin cos x 的最大值为 13已知偶函 数 f x 在 0, 单调递减，14设点 M（ x0,1 ），若在圆评卷人得分三、解答题（题型注释）f 2 0.若 f x 1 0，则 x的取值范围是O: x2 y2 1上存在点 N，使得 OMN=4°

5、;5 ，则 x0 的取值范围是15已知数列 an 满足 a1=1， an 1 3an 1.（1）证明 an 12 是等比数列，并求 an 的通项公式； （2）证明： 1 1 + 1 3 .a1 a2an 216如图，四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为矩形， PA平面 ABCD，E 为 PD的中点 . （1）证明： PB平面 AEC；年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份2007200820092010201120122013（ 1）求 y 关于 t 的线性回归方程；（ 2）利用（ 1）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家

6、庭人均纯收入的变化情况， 并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入 .附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：nti t yi yb i 1 n ， a? y b?t2ti ti118设 F1, F2 分别是椭圆x2 y2 a2 b21 a b 0 的左右焦点，M是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C的另一个交点为 N.（1）若直线 MN的斜率为 3 ，求 C的离心率；4（ 2）若直线 MN在 y 轴上的截距为 2，且 MN 5 F1N ，求 a,b.19已知函数 f x =ex e x 2x.（ 1）讨论 f x 的单调性；（2）设 g x f 2

7、x 4bf x ，当 x 0时， g x 0, 求b的最大值；（ 3）已知 1.4142 2 1.4143，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001 ）20如图， P是 e O外一点， PA是切线， A为切点，割线 PBC与 e O相交于点 B，C，PC=2PA，D为 PC 的中点， AD的延长线交 e O于点 E。（2） AD DE=2PB221在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点， x 轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为2cos ，0,2 .（1）求 C 的参数方程；1）中你得到的参数方程，（2）设点 D在 C上，C在 D处的切线与直线 l:y 3x 2垂直，根据（ 确

8、定 D的坐标 .22设函数 f x = x 1 x a （a 0）a（ 1）证明： f x 2；（2）若 f 3 5，求 a 的取值范围 .参考答案1A【解析】由题意知： z22 i ，所以 z1z2 -5 ，故选 A。考点：本小题主要考查复数的乘法，复数的几何意义，复数是高考的重点，年年必考，常常 以选择或填空题的形式出现，难度不大，熟练基础知识是关键。2Arur 2rr2r 2r 2r rrur 2rr2【解 析】 因 为|ab|(ab)2ab2a b=10，|ab|(ab)2r2r2r rr 2r2r rab2a b6 ，两式相加得：ab8 ，所以 a b1，故选A.考点： 本小题主要考

9、查平面向量的模、 平面向量的数量积等平面向量知识， 熟练基础知识与 基本题型是解答好本类题目的关键。3B1 12【解析】由面积公式得： 2sinB ，解得 sinB ，所以 B 45o或B 135o，2 22当 B 45o 时，由余弦定理得： AC2 1 2 2 2 cos45o =1，所以 AC 1，又因为 AB=1，BC= 2 ，所以此时 ABC 为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以 B 135o ，由余弦定理得：AC2 1 2 2 2 cos135o =5，所以 AC 5 ，故选 B. 考点：本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识 4A，则【解析】设 A=“某

10、一天的空气质量为优良”， B=“随后一天的空气质量为优良”P(B| A)P(A B)P(A)0.60.750.8，故选 A.考点：本小题主要考查条件概率的求法，熟练概率的基础知识是解答好本类题目的关键5C【解析】因为加工前的零件半径为3，高为 6，所以体积 V1 54 ，又因为加工后的零件，左半部为小圆柱，半径为 2 ，高 4 ，右半部为大圆柱，半径为3 ，高为 2 ，所以体积54 34 10V2 16 18 34 ，所以削掉部分的体积与原体积之比为 ，故选 C.54 27 考点：本小题主要考查立体几何中的三视图，考查同学们的空间想象能力 .6D【解析】 由题意知：当 k 1时，M 2，S 5

11、；当 k 2时，M 2，S 7；当 k 3时， 输出 S=7，故选 D。考点：本小题主要考查程序框图的基础知识，程序框图是新课标新增内容，是高考的重点， 年年必考，主要以客观题的形式出现，经常也数列、不等式、函数等知识相结合，在知识的交汇处出题，应熟练这部分的基础知识7B解析】画出不等式组表示的平面区域, 可知区域为三角形，平移直线 z 2x y，可知当经过两条直线x 3y 1 0与 x y 7 0的交点 A(5， 2)时，取得最大值 8，故选 B.考点： 本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题，正确画图与平移直线是解答这类问题的关键 .8D【解析】由题意可知：直线 AB 的方程

12、为 y 3(x 3) ，代入抛物线的方程可得：344y 12 3y 9 0 ， 设 A (x1,y1)B (x2, y2) ， 则 所 求 三 角 形 的 面 积 为1 39(y1 y2) 4y1y2 = ，故选 D.2 44考点： 本小题主要考查直线与抛物线的位置关系， 考查两点间距离公式等基础知识， 考查同 学们分析问题与解决问题的能力 .9C解析】以 C 为原点，直线 CA为 x 轴，直线CB为 y 轴，直线 CC1为 z 轴，则设CA=CB=，1B(0,1,0) ，M ( 1 , 1 ,1) ，A( 1，0，0)，N ( )11,02 2 234 301 1 1，故 BM (12, 2

13、1,1)，AN ( 12,0,1) ，AN1122所以 cos BM,AN|BM | | AN | 6 522 考点： 本小题主要考查利用空间向量求线线角， 考查空间向量的基本运算， 考查空间想象能 力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力 .10C10 ，故选 C.解 析】 由题 意知： f x 的极值 为 3 ，所 以 f x0 2 3 ， 因 为f ' (x0 )3 c ox0s， 0mm所以x0k,k z，所以x0 k 1,k z即| x0 | |k 1| 12，所以 |x0 | |m|，m2m 2 m 222即2 x0f(x0)22 m3，而4已知x02 f x0m2

14、，所以 m2m243m23，故43，解得m2或 m 2，故选C.考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解决问题的能力 11解析】 因为 Tr 1 C10x a ，所以令 10 r 7，解得 r 3，所以 T4 C10x a =15x ，1解得 a .2 考点：本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低 档.121【 解 析 】 由 题 意 知 ： f x sin x 2 2sin cos x = sin x 2sin cos x= sin cos x cos sin x 2sin cos x = cos s

15、in x sin cos x=sin x=sinx ，即 f (x) sin x ，因为 x R，所以 f (x) 的最大值为 1.考点： 本小题主要考查两角和与差的三角函数、 三角函数的最值的求解， 熟练公式是解答好 本类题目的关键 .13 ( 1,3)解析】因为 f (x)是偶函数，所以不等式 f(x 1) 0 f(|x 1|) f(2) ，又因为 f(x)在 0, ) 上单调递减，所以 |x 1| 2 ，解得 1 x 3.考点： 本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性， 考查绝对值不等式的解法， 熟练基础知 识是关键 .14 1,1【解析】由题意知：直线 MN与圆 O 有公共点即可，即圆

16、心 O到直线 MN的距离小于等于 1即可，如图，过 OA MN， 垂 足 为A，在 Rt OMA中，因为 OMN=45，所以 |OA| |OM |sin 4o5=22 |OM | 1，解得 |OM | 2，因为点 M（ x0,1 ），所以|OM | x02 12，解得 1 x0 1，故x0的取值范围是 1,1.考点： 本小题主要考查考查直线与圆的位置关系， 考查数形结合能力和逻辑思维能力， 考查 同学们分析问题和解决问题的能力，有一定的区分度 .n3n 115 an2解析】试题分析：本题第（ 1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（12）问，可

17、先由第（ 1）问求出 1 ，然后转化为等 an比数列求和，放缩法证明不等式试题解析： （ 1）证明：由 an 1 3an111 得 an 13(an ) ，所以22an 1 12an 23，所以an 1 是等比数列，首项为n21 3 ，公比为223，所以 an3 n 13n 1 ，解得2ann3n122）由（ 1）知：n3n1an2，所以1 2 ， n， an 3 1因为当n1时n， 3n 12 n311， 所 以 3n1 11n12 3n 1是 1 1 La1 a2an11L33n11=3(1 1n )=23n1113所以 11L13 .a1a2an2易错点】对第（ 1）问，构造数列证明等比

18、数列不熟练；对第（2）问，想不到当 n 1时，3n 1 2 3n 1 ，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路.考点：本小题考查等比数列的定义、 数列通项公式的求解、 数列中不等式的证明等基础知识， 考查同学们的逻辑推理能力， 考查分析问题与解决问题的能力 . 数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键 16【解析】试题分析：本题第（ 1）问，证明直线与平面平行，可利用线面平行的判定定理来 证明；对第（ 2）问，可先建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算计算二面角，从而 计算出 AB，然后由棱锥的体积公式求出三棱锥的体积.试题解析：（ 1）证明：设 O为AC与

19、 BD交点，连结 OE，则由矩形 ABCD知： O为 BD的中点， 因为 E是BD的中点，所以 OEPB，因为 OE 面 AEC，PB 面 AEC，所以 PB平面 AEC。 （ 2）以 A为原点，直线 AB、AD、 AP分别为 x、y、 z 轴建立空间直角坐标系，设 AB=m，则 uurrAB （m,0,0） 是平面 AED的一个法向量，设 n （x, y,z） 是平面 AEC的法向量，则r uur3 1n AE y z 0 22r uurun AC mx 3y 0因为二面角的大小与其两个半平面的两个法向量的夹角相等哉互补，所以r uuur cos n,AB33 4m2=cos 60o ，解得

20、 m 3，因为 E是 PD的2中 点 ， 所 以 三 棱 锥 E-ACD 的 高 为 1 ， 所 以 三 棱 锥 E-ACD2的体积为 1 SACD6 2 6 2 2 8解 得 z 3y ， 3y mx ， 所 以 令 y 1 ， 得【易错点】对第（ 1）问，证明线面平行时 , 容易漏掉条件；对第（ 2）问，二面角的大小与 两个法向量夹角相等或互补的关系， 一部分同学容易得出它们相等； 并且计算法向量可能出 现错误 .考点： 本小题考查空间中直线与平面平行等位置关系的证明、二面角的求解， 空间几何体的体积的求法， 考查利用空间向量知识解决立体几何的能力， 考查同学们的逻辑推理能力、 空 间想象

21、能力，考查分析问题以及解决问题的能力 .17（1） $y 0.5t 2.3；（2）在 2007至2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增加，平均每年增加 0.5千元；6.8千 元 .【解析】试题分析：本题第（1）问，由给出的 $b与$a公式求出 $b 与$a ，从而求出回归直线方程；对第（ 2）问，由第（ 1）问求出的回归直线方程进行预测，令t 9，可得 y 的近似值.试题解析：(1)由题意知， t4，y4.3，所以$b 3 1.4 2 0.7 0 0.5 1.8 3 1.69 4 1 0 1 4 90.5，（ 2）由（ 1）中的线性回归方程可知， 人均纯收入在逐年增加，平均每年增加所

22、以 a$= y b$t =4.3 0.5 4 2.3，所以线性回归方程为 $y 0.5t 2.3。b 0，所以在 2007至 2013 年该地区农村居民家庭令 t 9 得：$y 0.5 9 2.3 6.8，故预测该地区在 2015 年农村居民家庭人均纯收入为0.5千元.6.8千 元。2）问在 2007 至 2013 年该地区农村居属中档题目， 考查同学们分析问题【易错点】本题的易错点是第（ 1）问计算错误，第（ 民家庭人均纯收入的变化情况，不知道如何回答 . 考点： 本小题主要考查线性回归方程的解法等基础知识， 与解决问题的能力 .18（1） 12；（2）a 7，b 2 7.解析】试题分析：本

23、题第（ 1）问，可结合 MF2 与 x 轴垂直，由勾股定理及椭圆定义求出椭圆的离心率；对第（ 2）问，观察到 MF2 是三角形的中位线，然后结合向量的坐标运算及 椭圆方程，可求出a,b.试题解析：（1）由题意知， | MF2 | 3 ，所以 | MF2 | 3c ，由勾股定理可得： | MF1 | 5 c ，2c4223 51由椭圆定义可得：3c5c=2a，解得 C 的离心率为 1 。222（2）由题意，原点 O为F1F2的中点， MF2y轴，所以直线 MF1与 y轴的交点 D（ 0， 2）是线段 MF1的中点，故 b 4 ，即 b2 4a，由 MN 5 F1N得|DF1| 2|F1N |，设

24、 aN（x1,y1） ，由题意知 y1 0，则2( c x1) c2y1 2，即3x1c1 2 ，代入 C 的方程得y119c214a22 1，将 b2 4a 及 ca2 b2b222代入 49ac22 b12 1得： 9(a42a24a) 41a 1，解得 a 7，b 2 7.【易错点】对第（ 1）问，较容易，大部分同学都能计算出；对第（2）问, 一部分同学考虑不到中位线，容易联立方程组求解而走弯路，并且容易出现计算失误 .考点： 本小题考查椭圆的几何意义 (离心率的求解) 、椭圆的方程、 直线与椭圆的位置关系， 考查数学中的待定系数法、设而不求思想 ，考查同学们的计算能力以及分析问题、解决

25、问 题的能力 .圆锥曲线是高考的热点问题 ,年年必考 ,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题 的关键 .19(1)函数 f(x)在 R上是增函数； (2)2；(3) 0.693【解析】试题分析：本题第( 1)问，判断函数的单调，关键是判断导数的正数；对第(2)问，可构造函数 g(x) f(2x) 4bf (x)，对( 3)问，可根据 b的取值讨论 .' x 1试题解析：(1)因为 f '(x) ex x 2 0 ，当且仅当 x 0时等号成立， 所以函数 f(x) 在 exR上是增函数；(2)因为 g(x) f(2x) 4bf (x) =e2x e 2x 4b(ex ex) (8

26、b 4)x，所以 g'(x) 2e2x e2x 2b(ex e x) (4b 2) = 2(ex e x 2)(ex ex 2b 2).(1) 当b 2时, g'(x) 0,等号仅当 x 0时成立，所以 g(x)在R上单调递增，而g(0) 0， 所以对任意 x 0， g(x) 0 ；2)当 b 2 时，若 x 满足 2 ex e x 2b 2，即 0 x ln(b 1 b2 2b )时， g'(x) 0，而 g(0) 0 ，因此当 0 x ln(b 1 b2 2b)时， g(x) 0 ， 综上， b 的最大值为 2.3(3)由( 2)知， g(ln 2) 2 2b 2(

27、2b 1)ln 2 ，2当 b 2 时， g(ln 2) 3 4 2 6ln 2 0 ， ln 2 8 2 3 0.6928 ；2 12当b 3 2 1时， ln(b 1 b2 2b) ln 2， g(ln 2) 3 2 2 (3 2 2)ln 2 420，18 2ln 2 0.6934 ，所以 ln 2的近似值为 0.693.28【易错点】对第 ( )问,函数单调性的判断，容易 ;对第( 2)问,考虑不到针对 b去讨论；对 第( 3)问 , 找不到思路 .考点：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，综合性较强，考查 函数与方程、分类讨论等数学思想方法，考查同学们分析问题、

28、解决问题的能力，熟练函数与导数的基础知识以及基本题型是解答好本类题目的关键 . 20（1）见解析（ 2）见解析【解析】试题分析：本题第（ 1）问，先由已知得出 PA=PD，然后由对应角相等，拆分角得 出结论；对第（ 2）问，可由切割线定理得出 PA 2PB， PC 4PB， 然后由相交弦定理，得出结论 .试 题 解 析 ：（ 1 ） 连 结 AB， AC， 由 题 意 知 PA=PD， 故 P A DP D ，A 因 为P D A D A CD ，CPAD BAD PAB， DCA PAB ，所以 DACBAD，从而 BE EC ，因此 BE=EC.（2）由切割线定理得： PA2 PB PC ，因为 PC 2PA，所以 PA 2PB，PC 4PB ，11 由相交弦定理得： AD DE BD DC=（PD PB） PD =（ PC PB） PC22=（2PB PB） 2PB 2PB2 ，所以等式成立 .【易错点】对第（ 1）问，不容易找到思路 ; 第（ 2）问中不会灵活应用已知条件而出错 . 考点：本小题主要考查圆的切线、割线、相交弦定理、圆内接四边形等平面几何知识，考查 数形结合思想，考查分析问题、解决问题的能力 .x 1 cos3 321（1）,（