2018年高考数学专题23基本初等函数理

1、专题2.3基本初等函数【二年咼考】1.【2017 课标 1,理 11】设x、y、z为正数，且2x=3y= 5z，则2.【2017 天津，理 6】已知奇函数 f (x)在 R 上是增函数，g(x)=xf(x).若 a = g(log25.1) ,b=g(2.8),c 二 g(3)，贝 Ua,b,c的大小关系为(A) a : b : c(B) c : b : a(C) b : a : c( D) b : c : a【答案】C【解析】因为f (x)是奇函数且在R上是增函数，所以在x 0时，f(x) 0,从而g(x)=xf(x)是R上的偶函数，且在0,：)上是增函数，a =g(-log25.1)= g

2、(log25.1),20.8：2，又4：5.V：8,则2 : log25.1：3，所以即020.8: log25.1：3,g(20j：g(log25.1)：g(3)，所以b：a: c，故选C.3.【2017 北京，理 8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为 1080.则下列各数中与M最接近的是()(参考数据：Ig3 -0.48)N(A) 1033(B) 1053(C) 1073( D) 1093【答案】D【解析】设竺=工=上；，两边取对数,Jg-lg-lg 10s =S61xlg3-80 = 93.28 ,所以Nlu10 x = 10

3、?13ft,即芈最接近评，故选DN4214.【2016 高考新课标 3 理数】已知a = 23,b = 45,c - 253，则()(A)b : a： ：c(B)a : b：c(C)b : : c：a(D)c：a：b【答案】A【解析】 因为4 4 - - 3 32 2- -22c = 253= 53 43二a，所以b a c，故选A.A. 2x3y5z【答案】DB. 5z2x3yC. 3y5z2xD. 3y2xb1.若 logab+logba= ,a=b，贝Ua=,b=.2【答案】4215【解析】设|ogba二t,则t1，因为tt =2= a =b2，因此t 22a =b = b =b = 2

4、b =b = b =2,a =4.6. 2016 高考上海理数】已知点(3,9)在函数f (x) = 1 ax的图像上，则f (x)的反函数f(x)=【答案】log2(x -1)【解析】将点(3,9)带入函数f x =1 ax的解析式得a= 2，所以f x= 12x，用y表示x得1x =log2(y -1)，所以f x =log2(x -1).7. 2016 高考天津理数】已知函数f(x)=lloga(x+1)+1,x王02x(aTxgxg(a0,且az1)在 R 上单调递减，且关于x的方程I f (x) r 2 - x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是()2231231(A) (0,

5、2( B) 2,-(C) 1,2 -( D)1,3343343【答案】C【解析】由/S 在盘上递减可知34o 201&%屮5产产 T 由康皿讣 j 恰好有两个不相等ii73的实数解可知3&垄2严丄2, -X=时抛物线，二+也习爼+衍与直线aS3 4y = 2-x相切也符合题实数盘的去范围是亍 故选C+&【2016 高考上海理数】已知aR，函数f(xlog2( a).x(1)当a =5时，解不等式f(x) -0；(2)若关于x的方程f(x)-log2(a-4)x 2a-5 =0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围;_ 1(3)设a 0，若对任意t,1，函数f (x)在区

6、间t,t 1上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.门1(1 【解析】(1)由Iog2 *5J-：0，得5 1，解得x -：,0, ilx丿xI4丿12(2) 二a -4 x 2a -5,a -4 x2 a -5 x -1 = 0，当a=4时，x=-1，经检验，满x1足题意当a=3时，x1=x2-1，经检验，满足题意.当a- 3且a- 4时，Xr,x2- -1,a 41 1% =x2.x1是原方程的解当且仅当a 0，即a 2；x2是原方程的解当且仅当X1a于是满足题意的a 1,2 1.综上，a的取值范围为1,2丄丁3,4 /.单调递减.函数f x在区间l.t,t11上的最大值与最小值分

7、别为f t,f(t)f(t+1)=log2 ?+a卜心垃 丿11 1 1t-,1成立.因为a 0，所以函数y=at2 a -1 t -1在区间-,1上单调递增，t时，y31312一2、有最小值a，由a - 0，得a亠.故a的取值范围为 ，:.424233丿9.【2015 高考四川，理 8】设a,b都是不等于 1 的正数，则“3a 3b3”是“loga3：logb3”的()(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若333，则a b 1，从而有loga3 logb3，故为充分条件.若loga3 log21 )+ aX1丿X2丿a叨即at2

8、aT t-1_0,对任意t 1，所以f x在0,亠上10. 【2015 高考天津，理 7】已知定义在R上的函数f x =25-1(m为实数)为偶函数，记a =f (log0.53), f (Iog25),c =f(2m )，则a,b,c的大小关系为()(A)a : b : c(B)a：c : b(C)c：；a . b(D)c. b . a【答案】C【解析】因为函数/(x) = 2-l为偶函数所以即/(x) = 2W-l,所以g/Q eg心3) =/(log占卜2禺L1 = 2呻 一1 = 3 -1 = 2,A = /(log15) )=2b&5-l = 4=/( (2/M) )= /(

9、0)=2-l-0Jca0时，在（0,+处）时，单调递增；当a 0时，在x （0,二）时，单调递减【规律方法技巧】指数值和对数值较大小，若指数值有底数相同或指数相同，可以考虑构造指数函数和幕函数和对数函数，通过考虑单调性，进而比较函数值的大小；其次还可以借助函数图象比较大小.若底数和指数不相同时，可考虑选取中间变量，指数值往往和1 比较；对数值往往和 0、1 比较.【考点针对训练】11a =log23,b = 23,c = log1，贝U a、330大小关系是【答案】A(7 = loga3 2,0 ab.本题选择A选项.本题选择 A 选项.【考点 2】指数函数的图象和性质【备考知识梳理】y=ax

10、a10a0 时,y1;x0 时，0y0 时，0y1;x1过定点(0,1)在(-m,+m)上是增函数在(一8,+8)上是减函数【规律方法技巧】1 研究指数函数性质时， 一定要首先考虑底数a的范围，分 a 1 和 0：a：1 两种情况讨论，因为两 种情况单调性不同，相应地图象也不同2、与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到 其图像.3、一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解.【考点针对训练】1.【云南省民族中学A. a : b : cB.a : c : bC.c：；a. bD.b . a c【答案】A【解析】 由题意可

11、得:a .b：c.a = In1:：: 0,02，则:20XX 届高三适应性考试(三)】设函数 的图象与的图象关于直I*线 尸 T 对称，且/(-!)+/(-4)=1,则Q二_【答案】-2【解析】由函数y = f(x)的豳与尹=2的團象关于直线卩=-丸对称，可得fx) = -a-og2(-x)f由/(-2)+/H) = b可得：p1。耳24-1。盼4=1,解得。=-2.f x 2 ,x :：3【考点 3】对数的运算性质和对数函数的图象和性质【备考知识梳理】1对数的定义：如果ax=N(a0且a)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质与运

12、算及换底公式(1)对数的性质(a0且a = 1):loga1=0:logaa=1:a9aN=N对数的换底公式：基本公式logab二gb(a,c均大于 0 且不等于 1,b0).logca对数的运算法则：如果(a0且a = 1),M 0,N 0,那么3对数函数的图像与性质a10a1图像X y-logaXkr rX=1Qi,o)0”(1,0)光oy=logo%定义域(0 , +m)1A.B.2【解析】f(x)= D x2,x _3，则f-4 =选 D.loga(M N)=logaM+logaN，loga=logaM - logaN，logaMn=n logaM(n R).2 .【山西省临汾第一中学

13、 20XX 届高三全真模拟】已知函数【答案】D1f-4=f-2=f 0=f f 4=16.值域R定点过点(1,0)单调性在(0,+)上是增函数在(0 ,+)上是减函数函数值当 0 x1,y1 时，y0;正负当 0 x0当x1 时，y4,得g(3x+1)-2+g(x)-20.则g(3x+1)g(-x). 3x+1-x,解得x .二原不4(1)等式的解集为-丄，丘 L 本题选择 B 选项.I 4,丿2 .【河北省石家庄市 20XX 届高三冲刺】已知定义在R上的奇函数f x，当x 0时,g x i=2017x|n2017 g(x)在R上单调递增,f (x ) = log2(x+1)，则使得f(2x)

14、vf(xT成立的x的取值范围为 _【解析】当x 0时，f X在0,：单调递增，又因为f x定义在R上的奇函数，所以f x在R单调递增，由f 2x :f x -1，所以2x x -1，得x ”1。填x | x.【考点 4】二次函数的图象和性质【备考知识梳理】二次函数的图象和性质解析式f(x)=ax2+bx+c(a0)f(x)=ax2+bx+c(a0)图象1 /1y/ /仁Tv11定义域(8,+)(8,+8)值域4心b2+814a，十丿(4acb21l-8，4a j单调性在x （8,2bJ上单调递7b、减；在x 亦，+8上单调递增在x1-减在x递增-舟，+8 j上单调递；8，舟上单调对称性函数的图

15、象关于x 2a对称【规律方法技巧】1、分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开 口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置对于函数图象判断类似题要会根据图象 上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等.2、抛物线的开口，对称轴位置定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意 分类讨论【考点针对训练】1.【2017 湖南衡阳三次联考】 数学统综有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存

16、在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数f x =x2_2x 2，在1, mm 2上取三个不同的点a, f a,b, f b,_3f a , f b ,f c为三边长的三角形，则实数 m 的取值范围为（【答案】A2f x = x -2x 2，二x=0或2,2.m -m 2込2,0m1，故选A.12已知函数f x二X2-3 ex，设关于x的方程f2x-mfx-2=0mRec, f c，均存在5 B.时C.0,2【解析】 由题意可知,2.【2017D.和最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数f x =x2_2x 2，有 n 个不同的实数解,则 n 的所有

17、可能的值为（A. 3 B. 1 或 3C. 4 或 6 D. 3 或 4 或 6【答案】B【解析】 由已知,x = x2 2x-3ex，令x =0，解得x =-3或x =1，则函数f x在，-3和:上单调递增，在-31上单调递减，极大值f-3拎，最小值f 1 =-2e.e综上可考查方程f x二k的根的情况如下（附函数f X二x2-3ex图）:（1）当k弓 或k -2ee时，有唯一实根;（2）当0：k：弓时，有三个实根；（3）当-2e：k乞0或k二时，有两个实根;ee（4）当k：2e“212时，无实根.令g k二k -mk2，则由g k= 0，得k =em2弋，当2+2+12I 2 + 12m

18、,m236m -一m 2 =Y-，符号情况（1）,此时原方程有 1 个根，由 k2=-2e e2，而去-逼咲0,符号情况（3），此时原方程有 2 个根，综上得共有 3 个根；当m0时,e0叹応，又丘，符号情况（1）或（2）,此时原方程有 1 个或三个根，由k2v -e e ee，又2e :0|m-2|l-l m-2ll m3 ,故卩是爱的充分不必要条件，选上【应试技巧点拨】1.指数运算的实质是指数式的积、商、幕的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公 式；对数运算的实质是把积、商、幕的对数转化为对数的和、差、倍.xx2指数函数y=a(a 0,且a=1)与对数函数y=a (a 0,且

19、a = 1)互为反函数，应从概念、图象 和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.3.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象. 因此 要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象.4. 求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为与内层函数相关的问题加以解决.5. 指数函数y=ax(a 0,且a =1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意区分a 1与0：a：1来研究.6.对可化

20、为a2xb ax0或a2x bax c - 0乞0形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.7指数式ab=N(a 0且a=1)与对数式logaN -b (a 0且a=1,N0)的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键.&在运算性质logaM二nlogaM(a 0且a=1,M 0)时，要特别注意条件，在无M7 的条n_乂件下应为logaM=nlogaM(N，且n为偶数).9.幕函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限， 要看函数的奇偶性；A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件幕函数

21、的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幕函数图象与坐标轴相交， 则交点一定是原点.1.【20XX 届河南省新乡市高三第二次模拟】设a=60.4,b = log0.40.5,c = log50.4，则a,b,c的大小关系是()A. a : b : cB.c : b : a c. c：a b D. b : c a【答案】B【解析】由于a=60.4A60=1,0 b = log0.40.5vlog0.40.4=1, c=log50.4 log51 =0，所以三数 所以f b：f a : f c，故选B.4.【吉林省实验中学 20XX 届高三上学期第二次模拟】已知x1是方程logax x = 201

22、8(a . 0,a= 1)的根，x.是方程ax- x =2018(a 0,a =1)的根，则x1x2的值为A. 2016 B.2017 C. 2018 D.1009a, b, c的大小关系是a b c,应选2.【四川省师范大学附属中学 20XX 届高三下学期 5 月模拟】已知函数f x的定义域为R且满足5、ln ,6-f (x )= f ( -x), f (x )= f (2-x )，贝V f log24 + log48 + log816-e(J二（）3A.1B.-1C.D.02【答案】D【解析】由-f x = f -x，可得f 0=0，由f x = f 2 - x，得f 4=f -2 - f

23、 2，而f(2)=f(0) = 0，所以f(4)= f(0)=0，f log24+ log28 + log216 e故选 D.3.【云南省师范大学附属中学20XX 届高考适应性月考（八）】若偶函数f x在-:：,0 1上单调递减,3=22，则f a , f b , f c满足(A.f a：f b : f cB.C.f c f a : f bD.【答案】B【解析】因为函数f x为偶函数，所以f a二f log2；3=f-log23二f log23，f b = f log45=f Tog45 = f log45，因为偶函数f x在：，0】上单调递减，所以f x在0, ：上单调递增,1 =log4l

24、og41log2 log/ log20,X3+X1A0，贝y f(X1)+ f(X2)+ f(X3的值(_ )A. 一定等于零.B. 一定大于零.C. 一定小于零.D. 正负都有可能.【答案】B【解析】由已知可得f x为奇函数，且f x在R上是增函数，由X1x20=论.-x2=f X1f -x - fX2,同理可得fX2广fX3,f X3广f X1f为f X2 f X3If X2fX3f x=f X1fX2f X30.8.【山东省枣庄市第三中学 20XX 届高三全市“二调”】已知定义在R上的函数f X满足f-x=-fx,fx1=f1-x,且当x-0,11时，f x = log2x 1，则f 3

25、1=()A.0B.1C.-1 D.2【答案】C【解析】因为/(x+1)=1) =/(x)-/(2-x),即V(-Jc) = /(2-/(r+2)= -/(/).所/(x+4) =-/(x+2) = - -/W = /(x)?即函数是周期为4的周期函数，所-/(32-1)- /(-I)- -/(I) = -JoEji 1，应选答案匚21f x在1-2,0 1的值域为爲.当a 0时，g x l-2a 1,a 11,则有a；一4哗当a =0时,g x=1，不符合题意；当a：0时,g x运,a - 1,-2a -1，则有49a 1，解得a兰-1综上所述，可得a的取值范围为4故本题答案选Dx4时f(x)

26、弋：；心,由二次函数及对勾函数的图象及性质,得此时f (x卢,|3,9-,9.【四川省成都市 9 校 20XX 届高三第四次联合】已知函数fx；=x2-ax(x_e,e为自然e对数的底数)与g x =ex的图象上存在关于直线y=x对称的点，则实数a取值范围是A.：e 1B.eVe 1D.-1ewe【答案】A【解析】因为函数f x = x2- ax与g x =ex（e为自然对数的底数）的图象上存在关于直线y = x对称的点，所以函数2f x =x -ax与h x = lnx的图象有公共点，则2x -ax = lnx有解，即lnxa = x有解，令xF x = x，贝y F x二-_: 0在xx2

27、成立,”x2+lnx -1F x二2x0在1,e 1上成立，即F x =x-lnx在 xe丿丄1 i单调递减，在（1,el上单调递增,11=e+ , F 1 =1，所以1 _ a _ e；故选 A.ee10.【内蒙古集宁一中 20XX 届高三第一次月考】设f x是定义在R上的周期为2的函数，当2亠r 4x 2,-1 _ x：0,1-1,1时，f x珂x,0兰xc1,，则f 312丿【答案】1【解析】 由题意可得:3I222=111.【20XX 届山东省济宁市高三下学期3 月模拟】定义在R上的奇函数f x满足f x 2，且在0,1上f x =3x，则f log354二()f (x)A. 32B.

28、?C3322D3【答案】 B【解析】由题意可得f x 4 =11f （x），即函数f x是周期为 4 的周期f x 2f x函数，又f x是R上的奇函数，在0,1上f x =3x，故f Iog354二f _log3272= f 3 log3=N.-4 3 - log3f-1 Tog3212.【20XX 届浙江省杭州市高三第二次质检】若直线f (x) =logax, g(x) =logbx的图象及x轴分别交于A, B,C三点，若AB = 2 BC，则()2213133A.b=a或a=bB .a=b_或a=bC .a=b_或b = aD .a=b【答案】C【解析】由题意可知A(m,logam)B(

29、m,logbm)C(m,0 )，打AB = 2BC,二logam = 3logbm或logam r-logbm,. logmb =3logma或logma = -logmb,. b = a或a = b.故选 C.12 月】2 若函数y=logax(a 0,且a = 1)的图象如右图所示，贝U下【解析】由函数y=logax(a 0,且a =1)的图象可知，函数a=3,则下图中对于选项A,y = 3是减函数，所以 A 错误；对于选项 B,y = X3的图象是正确的，故选 B.14.【20XX 届四川南充高中高三 4 月模拟三】已知函数f x =2x-2心，若不等式2f x - ax a f 30对

30、任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 .【答案】一2 : a : 62=3log3x = m(m . 1)与函数13.【20XX 届山东省枣庄市高三【解析】 = 2=2-*在盘分别淘增函甑 褴数，则/(x)=2E-2-x为増函数;丁/(-力=27-2*二一/(力丿(力在盪为奇ffiMjyX-tlX十 q)A /(3)：/x2 LU十):/(3)Fox+aA-3二X1-皿 + “ +3 A 0在J?上恒成立二(-尸-斗灯工3+3)0一一/一4口一12:0,:.-2a6.15.【20XX 届山东省济宁市高三下学期 3 月模拟】若函数y=f X图象上不同两点M,N关于原点对称，则称点对M ,N是函

31、数y二f x的一对“和谐点对”(点对M ,N与IN,M看作同一对| eX 0“和谐点对”)，已知函数f X，则此函数的“和谐点对”有( )X2-4x, x a 0A. 3 对B. 2 对C. 1 对D. 0 对【答案】【解析】由题意知函数f X =X2-4X,X0关于原点对称的图象为-yrx2，4x，即2 个，所以函数f X的“和谐点对”有 2 个，故选B.【一年原创真预测】1.已知函数f (x) = FTga(x+2),X0是奇函数，则方程g(x)=2的根为()lg(x),x0【答案】Bf(x)=一lOg2(x+2)，x3.方程g(x) = 2，即f(x) = g(x) = 2当x0时，有lg(x),xc01 -Iog2(-x，2)二2，整理得Iog2(2 -x)=3，解得x=6.综上，方程的根为-6，故选 B.【入选理由】本题考查函数的奇偶性、分段函数求值以及对数运算等基础知识，意在考查基本的运算 能力.此题难度不大，考查基础，故选此题.2.设s，t是不相等的两个正数，且as sl nt二atI ns，则s，t-st的取值范围为()A.( -：,1)B.( -：,0)C.(0,：s)D