高中数学易错、易混、易忘问题集锦

1、高中数学易错、易混、易忘问题集锦1 .在应用条件AU B=B A AB=A A£b时，易忽略A是空集的情况 .2 .求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则3 .判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称4求反函数时，易忽略求反函数的定义域.5.函数与其反函数之间的一个有用的结论：f 1（b） a f（a） b6,原函数在区间-a,a上单调递增，则一定存在反函数，且反函数y f 1（x）也单调递增；，一一一 一 ，一 1但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：y .x7,根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？（取值，作差，判正负. ）8求函数单调性时，易错误

2、地在多个单调区间之间添加符号“U”和“或”；单调区间不能 用集合或不等式表示.9用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正二定三等”这一条件bb b10 .你知道函数y ax -（a 0,b 0）的单调区间吗？（该函数在（，一和七一，） xa a或上单调递增；在A。）和（。，羽上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！（其在 第一象限的图像就象“，”，特命名为：对勾函数）11 .解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀12 .用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性.13用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项

3、的系数是否为0尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略14 .等差数列中的重要性质：若 m+n=p+q则am an ap aq;（反之不成立） 等比数列中的重要性质：若m+n=p+qU aman apaq（反之不成立）15 .用等比数列求和公式求和时，易忽略公比q = 1的情况16 .已知Sn求a时，易忽略n= 1的情况.17 .等差数列的一个性质：设 Sn是数列 an的前n项和， 4 为等差数列的充要条件是：Sn an2 bn （a, b为常数）其公差是 2a.18 .你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若cn anbn其中 0J是等差数列，bn是等比数列，求g的前n项的和）“，一、一一

4、 ，11119你还记得裂项求和吗？（如 ）n（n 1） n n 120 .在解三角问题时，你注意到正切函数、 余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、 余 弦函数的有界性了吗？21 .你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降哥公式、用三角公式转化出现特殊八1 .(l | | r,S扇形lr)tan sin cos0这些统称为 42角.异角化同角，异名化同名，高次化低次）22 .你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗?23 .在三角中，你知道1等于什么吗?2_ 2_ 2._2(1 sin cossectantan cot1的代换）常数“1”的种种代换有着广泛的应用24 .反正弦、反余弦、

5、反正切函数的取值范围分别是,0,（-,-）2 22 225*0与实数0有区别，0的模为数0,它不是没有方向，而是方向不定 0可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直26, a 0,则ab 0,但ab 0不能彳#到a 0或b 0二a b有ab 0,27* a b时，有a c b c*反之a c b c不能推出a b28. 一般地 a (b c) (a b) c .29. 在 ABC 中，AB sin A sin B30*使用正弦定理时易忘比值还等于2R a:b:c sin A: sin B : sin C31在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示；不能用不等式32.两

6、个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘 ，即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”LaVbVo-a ba b33*分式不等式上合 >慎1H 0）的一般解题思路是什么？（移项通分、零点分段） 乳X）34.解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性，对数的真数大于35.在解含有参数的不等式时,怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底 Q营V1或口 > 1 ）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是36.常用放缩技巧:11111112n n 1 n(n 1) n n(n 1) n 1 n37*解析几何的主要思想：用代数的方法研究图形的性质,主要方法：坐标法，38用直线的

7、点斜式、斜截式设直线的方程时，易忽略斜率不存在的情况.39.用到角公式时，易将直线l1,l2的斜率k1,k2的顺序弄颠倒*40直线的倾斜角、心也 的角、与0的夹角的取值范围依次是0, ）,（0, ）,（0,-*41函数的图象的平移、方程的平移以及点的平移公式易混:sinxsin(x -)sinxy y 27&y轴向上平移2sin x,即 ysin x 2Dysinxx 2x7&x轴缩短到原来的sin2x4)ysin x1x x27&x轴伸长到原来的1sin - x2sin xy 2y7&y轴缩短到原来的2ysin x,即 y1-一 sin x2sin x,即 y

8、 2sin x1y 2y7&y轴伸长到原来的1-y sin x2点的平移公式：点 P（x,y）按向量a=（h, k）平移到点P/ （x/, v 则x/= x+ h, y/ = y+ k*42 .定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及工值可要搞清）43 .对不重合的两条直线4工+片尸+G = °, % ： 4大+3口了+= o,有A邑-A5.；+52 =0.（在解题时，讨论k后利用斜率k和截距b ）44*直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为45.处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的46.47.方程联立，判别式 一般来说，前者更

9、简捷.处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形48.49.50.51还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否会联想到这两个定义？ 2,2,2cabb一还记得圆锥曲线方程中的 a,b,c,p, 一, 一的息义吗？acca在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？离心率的大小与曲线的形状有何关系？（圆扁程度，张口大小）等轴双曲线的离心率是多少?52*在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式ANO的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在A &g

10、t;0下进行）,53,椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形（ a, b, c）54* 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.（想一想在双曲线中的结论？）55你知道椭圆、双曲线标准方程中a, b, c之间关系的差异吗？56.如果直线与双曲线的渐近线平行时 ，直线与双曲线相交，只有一个交点；如果直线与抛物 线的轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点.此时两个方程联立，消元后为一次方程 57.经纬度定义易混经度为二面角，纬度为线面角.58.求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角二面角时，如果所求的角为90。，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法59*线面平行的判定

11、定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面 面平行的判定定理易把条件错误地记为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两 条相交直线分别平行”而导致证明过程跨步太大60*作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见.61.求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法、向量法）62求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）63+两条异面直线所成的角的范围：0°< “ <90°直线与平面所成的角的范围：0o< “却0°二面角的平面角的取值范

12、围：0° < a 180 °64二项式（a b）n展开式的通项公式中a与b的顺序不变*65*二项式系数与展开式某一项的系数易混，第r + 1项的二项式系数为C：66 .二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混.二项式系数最大项为中间一项或两项; Tr 1Tr.展开式中系数最大项的求法为用解不等式组来确定r .Tr 1 Tr 267 .解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合68 .解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位 问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法； 至多至少

13、问题间接法或看为若干个恰好 一69 .二项式展开式的通项公式、n次独立重复试验中事件 A发生k次的概率与二项分布的分布列三者易记混.通项公式：Tr i C；an rbr （它是第r + 1项而不是第r项） .事件A发生k次的概率：Pn（k） C； pk（1 p）n k.B 蚌火电 qLJ 咂 n, p 力其中 k=0,i,2,3,n,且 f p+q=i 70*常见函数的导数公式:sin x +C' 0； (xn)' nxn 1 ； (sin x)' cosx； (cos x)1(In x) (log a x)x1loga e. xx x(e )1 e(ax)'

14、ax In a ./ 、u(uv) u v uv ; vu v uv2，vf (u(x)fuux高中数学易错点汇总1 .在应用条件 AUB=B, AAB = A时，易忽略 A是空集的情况。2 .求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则，尤其是在与实际生活相联系的应 用题中，判断两个函数是否是同一函数也要判断函数的定义域，求三角函数的周期时也应考虑定义域。3 .判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称，优先考虑定义域对称。4 .解对数不等式时，易忽略真数大于0、底数大于0且不等于1这一条件。5 .用判别式法求最值（或值域）时，需要就二次项系数是否为零进行讨论，易忽略其 使用的条件

15、，应验证最值。6 .用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为 0。尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略。7 .用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正（几个数或代数式均是正数） 二定（几个数或代数式的和或者积是定值）三等（几个数或代数式相等）”这一条件。8 .用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性。9 .求反函数时，易忽略求反函数的定义域。10 .求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“U”和“或”；单调 区间不能用集合或不等式表示，而应用逗号连接多个区间。11 .用等比数列求和公式求和时，易忽略公比q=1的情况。12 .已知Sn求an时，易忽略

16、n = 1的情况。13 .用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时，易忽略斜率不存在的情况；题目告诉截距相等时，易忽略截距为 0的情况。14 .求含系数的直线方程平行或者垂直的条件时，易忽略直线与x轴或者y轴平行的情况。15 .用到角公式时，易将直线 L1、L2的斜率k 1、k 2的顺序弄颠倒；使用到角公式或 者夹角公式时，分母为零不代表无解，而是两直线垂直。16 .在做应用题时，运算后的单位要弄准，不要忘了 “答”及变量的取值范围；在填 写填空题中的应用题的答案时 ，不要忘了单位。应用题往往对答案的数值有特殊要求，如许多时候答案必须是正整数。17 .在分类讨论时，分类要做到“不重不漏、层次分明，

17、进行总结”。18 .在解答题中，如果要应用教材中没有的重要结论，那么在解题过程中要给出简单的证明，如使用函数y=x+ 1的单调性求某一区间的最值时，应先证明函数y=x+ 1的单调xx性。19 .在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示；不能用 不等式表示。20 .两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能相乘 ，即同向同正可乘；同时要注意“同 号可倒”即 A>B>0, 0< - < 1 oa b21 .分组问题要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题易忘除以 n!。同时还要注意区分是定向分组还是非定向分组；分配问题也注意区分是平均分配还是

18、非平均分配，同时还要注意区分是定向分配还是非定向分配。22 .已知4ABC中的两个角 A、B的正余弦值，求第三个角 C的正余弦值，易忘第三 个角C有解的充要条件是 cosA+cosB>0,这是由三角形内角和为 180 °决定的。23。如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点；如果直线与 抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点。此时两个方程联立，消元后为一次方 程。即直线与双曲线或者抛物线只有一个交点时，包括相切和上述情况。24 .求直线与圆、圆锥曲线相交弦问题用韦达定理时，求出字母系数后，应代入判别式中检验。25 .求两条异面直线所成的角、直线与

19、平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90 °那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法。26 .二项式(A +B)n展开式的通项公式中 A与B的顺序不变。27 .使用正弦定理时易忘比值还等于2R,即 =J =2Rsin A sin B sinC28 .恒成立问题不要忘了主参换位以及验证等号是否成立。29 .概率问题要注意变量是否服从二项分布。从而使用二项分布的期望和方差公式求 期望和方差。30 .面面平行的判定定理易把条件错误地记为“一个平面内的两条相交直线与另一个 平面内的两条相交直线分别平行”而导致证明过程跨步太大，正确的判定方法是：如果一个平面内有两条相交直线都平

20、行于另一个平面，那么这两个平面平行。31 .函数的图象的平移、方程的平移以及点的平移公式易混：(1)函数的图象的平移为“左 +右-，上+下-"；如函数y = 2x+4的图象左移2个单 位且下移3个单位得到的图象的解析式为y=2 (x+2) +4 3。即y=2x+5 。(2)方程表示的图形的平移为“左+右-,上-下+” ；如直线2x -y+4=0 左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为2(x+2)-(y +3)+4=0 。即y=2x+5 。(3)点的平移公式：点 P(x,y)按向量=(h , k)平移到点P' (x' , y'),则x' =x+

21、h ,y，= y+ k 。32 .椭圆、双曲线 A、B、c之间的关系易记混。对于椭圆应是A2-B2= c 2,对于双曲线应是A2+B2= C 2。33 . “属于关系”与“包含关系”的符号易用混，元素与集合的关系用 aCA,集合与 集合的关系用A Bo34 . “点A在直线A上”与“直线 A在平面“上”的符号易用混，如： AA, A a.35 .椭圆和双曲线的焦点在x轴上与焦点在y轴上的焦半径公式易记混；椭圆和双曲 线的焦半径公式易记混。它们都可以用其第二定义推导，建议不要死记硬背，用的时候再根据定义推导。36 .两个向量平行与与两条直线平行易混，两个向量平行(也称向量共线)包含两个向量重合，

22、两条直线平行不包含两条直线重合。37 .各种角的范围:两条异面直线所成的角0 < a 90Q直线与平面所成的角斜线与平面所成的角二面角 0 ° W a 180两条相交直线所成的角11 至IJ 12 的角 0°< a< 180倾斜角0° << 180两个向量的夹角 0锐角 0°< a< 90 °0° < a90 °0 < a< 90 °(夹角)0 < “对0°< a180高中数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题

23、时，对某些特殊情形的讨论，却很容 易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个 例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。忽视等价性变形，导致错误。X>0y>0x + y>0 xy>0x>1y>2x + y>3 xy>2不等价。【例1】已知f(x) =ax +f(1) 0, 3f (2) 6,求f (3)的范围。错误解法由条件得3 2aX 2一15X 2得831033a2343310即10 f (3)3433错误分析采用这种解法,忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数 f(x) a

24、x -, b其值是同时受a和b制约的。当a取最大(小)值时，b不一定取最大(小)值，因而整个 解题思路是错误的。f(1) a b正确解法由题意有b,解得:f(2) 2a 21a §2f(2)f 3a”3)2f(1), b 32f (1) f(2),b f (2) 5f (1).把f (1)和f(2)的范围代入得39937.3在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有 牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。忽视隐含条件，导致结果错误。【例2】设、是方程x2 2kx k 6 0的两个实根，则(1)2 (1)2的最小值是49(A)49(B) 8(C) 1

25、8(D)不存在4思路分析 本例只有一个答案正确，设了 3个陷阱，很容易上当。2(1)2 (1)22(4(k利用一元二次方程根与系数的关系易得：2 k,k 6,212 2)2 22(3、249一)一.4449有的学生一看到，常受选择答案(4A)的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。原方程有两个实根、，4k2 4(k 6) 0 k 2或k 3.当k 3时，(1)2 (1)2的最小值是8；当k 2时，(1)2 (1)2的最小值是18。这时就可以作出正确选择，只有( B)正确。 2(2)已知(x+2) 2+ 4

26、=1,求x2+y2的取值范围。错解 由已知得 y 2=-4x2-16x-12,因此 x 2+y2=- 3x2- 16x - 12= - 3(x+ 8) 2+ 2833，当x= 3时，x2+y2有最大值 号,即x2+y2的取值范围是(一00,岑。分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。事实上，由于(x+2) 2+ - =1(x+2) 2=1 - < 1-3<x<- 1,4''4'从而当x=1时x2+y2有最小值1。x2+y2的取值范围是1, 28 。3注意有界性：偶次方 x2>0,三角函数iwsinxwi,指数函数ax>0

27、,圆锥曲线有界性等。忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1, 求(a+ - ) 2+(b+ 1 ) 2的最小值。a b1 21 2 2 2112- 1错解(a+) +(b+) =a+b+ 2+ 2 +4> 2ab+一+4>4 ab? +4=8,a ba bab . ab(a+ 1) 2+(b+ 1)2 的最小值是 8.a b分析上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2>2ab,第一次等号成立的条件是a=b=l ,2第二次等号成立的条件是 ab=,显然，这两个条件是不能同时成立的。因此， 8不ab是最小值。22

28、1122112112事实上，原式=a 2+b2+ f +f+4=( a 2+b2)+(丁 + f )+4=(a+b)2 - 2ab+( - + -)2-a2b2a2 b2a bV41=(1 2ab)(1+ )+4,a2b2a b 2 1 11111由 abw ()=一 倚：1 2abR1 一 =一, 且22 封 16, 1+ 2-2- =17,242 2 a ba b原式1x17+4-25 (当且仅当a=b=2时，等号成立)，222 (a +-)2 + (b + )2 的最小值是 。ab2不进行分类讨论，导致错误【例4】已知数列an的前n项和Sn 2n 1 ,求an.错误解法an Sn Sn

29、1(2n1) (2n 11)2n2n12nl.错误分析显然，当n 1时，a1 S1321 11。错误原因：没有注意公式 an Sn Sn1成立的条件是。Si (n 1)因此在运用an Sn Sn1时，必须检验n 1时的情形。即：anSn (n 2,n N)（2）实数a为何值时，圆x2y2 2ax22a 10与抛物线y1一 x有两个公共点。2错误解法将圆x22ax a210与抛物线x联立，消去y ,得 x2 (2a l)x21 0 (x0).因为有两个公共点，所以方程有两个相等正根，得2a丘、/口17解之得a8错误分析（如图2-2- 1; 2 22）显然，当a0时,0.圆与抛物线有两个公共点O一

30、负根；或有两个相等正根。要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程有一正根、当方程有一正根、一负根时，得解之,0. 17因此，当a 或 1 a 1时，圆82axa2 10与抛物线1人 一 x有两个2公共点。思考题：实数a为何值时，圆x22ax a221 0与抛物线y12x，（1）有一个公共点；（2）有三个公共点；（3）有四个公共点；（4）没有公共点。以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面， 遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案, 从而表现出思维的不严密性。【例5】设等比数列an的全n项和为Sn.若S3S62s9,求数列的公比q.错误解法S3S62s9,a1(1 q)为(1 q6

31、) 9 a(1 q9) 2,整理得q3(2q6 q3 1) = 0.由q 0得方程 2q6 q3 1 0.(2q3 1)(q31) 0, q错误分析在错解中,由 a- q3)1 qai(1q6)9 ai(1q9)251 q1 q整理得q3 (2q6 q3 D =0 时，应有 a10 和 q 1。在等比数列中，&0是显然的，但公比q完全可能为1,因此，在解题时应先讨论公比q 1的情况，再在q1的情况下，对式子进行整理变形。正确解法 若q 1 ,则有S3 3al,S6 6al,S9 9al.但a1 0 ,即得& S6 2s9,与题设矛盾，故q 1.369、又依题意S3 s6 2S9

32、曳（一q-） 曳（一q-）- 2 曳（一q-）1 q 1 q1 qq3（2q6 q3 D =0 ,即（2q3 1）（q3 1） 0,因为 q 1 ,所以 q3 1 0,所以3丘/口3 42q3 1 0.解得q .2说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法， 根据评分标准而痛失 2分。（2）求过点（0,1）的直线，使它与抛物线 y22x仅有一个交点。错误解法设所求白过点（0,1）的直线为y kx 1,则它与抛物线的交点为y kx 12 ，消去 y 得（kx 1）2 2x 0.整理得 k2x2 （2k 2）x 1 0.y 2x .一1 1直线与抛物线仅有一

33、个交点，0,解得k-.所求直线为y -x1.22错误分析此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为 y kx 1时，没有考虑k 0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有 一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即k 0,而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。正确解法当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点(0,

34、1),所以x 0,即y轴，它正好与抛物线 y2 2x相切。当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x轴，它正好与抛物线 y2 2x只有一个交点。y kx 1一般地，设所求的过点(0,1)的直线为y kx 1 (k 0),则 一y 2x2 2.11,k2x2(2k 2)x 1 0.令 0,解得 k = 2 , '所求直线为 y -x 1.1 综上，满足条件的直线为：y 1, x 0, y 1x 1.2章节易错训练题1、已知集合 M = 直线 , N = 圆，则MA N中元素个数是A(集合元素的确定性)(A) 0(B) 0或 1(C) 0 或 2(D) 0 或 1 或 22、已知 A =

35、 x | x2+ tx + 1 = 0 ，若 AA R* =,则实数 t 集合 T = 。 tt 2 (空集)3、如果kx2+2kx- (k+2)<0恒成立，则实数k的取值范围是 C(等号)(A) -Kk<0 (B)-1 < k<0 (C)-1<k<0 (D)1<k<04、命题A: x 1 <3,命题B : (x 2)(x a) v0,若A是B的充分不必要条件，则 a的取值范围是C(等号)(A) (4,)(B) 4,(C) (, 4)(D), 45、若不等式x2logax<0在(0, 2 )内恒成立，则实数 a的取值范围是 A(等号)

36、1 11(A) ,1)(B) (1, +)(C) ( - ,1)(D) (2 ,1) U(1,(2) i6、若不等式(1)na < 2 +-(-)一 对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是 A(等号) 3333(A) -2, 2)(B) ( -2, 2 )(C) -3, 2 )(D) ( -3, 2 )7、已知定义在实数集R上的函数f(x)满足：f(1) 1;当x 0时，f (x) 0;对于任意的实数x、y都有f(x y) f (x) f(y)。证明：f(x)为奇函数。(特殊与一般关系)1 2x 8、已知函数f(x)= -,则函数f(x)的单调区间是。递减区间(一，一1)和(一x

37、+ 11, + )(单调性、单调区间)9、函数y = 9 log 0. 5 (x21)的单调递增区间是 。 -娘，-1) (定义域)log 2(x+2) x>010、已知函数f ( x)=xx- 1<0f ( x)的反函数f 1(x)=2x2 x>1<x<1xx 1值域为R,则实数a的取值范围是D(正确使用(漏反函数定义域即原函数值域)11、函数 f ( x) = log 1 ( x 2 + a x + 2) 2 >0和4<0)(A) ( -272 ,2 V2 )(B) -2V2，2 平(C) ( 一 , 2小)U(2 也,+)(D) ( ,-272

38、U2 小,+)12、若x>0, y>0且x+2y=1,那么2x+3y2的最小值为B(隐含条件)(A) 2(B) 4(C) 3(D)043一， x4x 3 22、一13、函数 y=x2 4x 3 的值域是。(一8, 2) U ( 2 ,1) U (1,+ oo)(定义域) xx 655一，,x.一, 一，,一、一14、函数y = sin x (1 + tan x tan 2 )的取小正周期是 C (te义域)(A) 2(B)15、已知f ( x)是周期为2的奇函数，当=D(对数运算)2316(A) w 23(C) 2(D) 3x 0,1) 时，f (x) = 2 x,则 f ( lo

39、g 1 23)(C)1623(D)23161处取得极值。16、已知函数 f(x) ax3 bx2 3x在 x(1)讨论f(1)和f ( 1)是函数f(x)的极大值还是极小值;(2)过点A(0, 16)作曲线yf(x)的切线，求此切线方程。(2004天津)(求极值或最值推理判断不充分 (建议列表)；求过点切线方程，不判断点是否在曲线上。)17、已知 tan ( 3 )=5则tansin cos'3cos- 2sin(化18、若 3 sin 2 + 2 sin 2-2 sin齐次式)=0，则cos2 + cos2的最小值是.。万(隐含条件)19、已知 sin + cos = 1 , 5(0

40、 ,)，则 cot3-4（隐含条件）20、在 ABC中，用a、b、c和A、B、C分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a =2、2、则/ B = B（隐含条件）(A)12(B)6(C)或621、已知a>0 ,b>0 ,a+b=1,则(a +(b12,i i+ b ) 2的最小值是11(D)或121225 上.。-2 (三相等)22、已知(kZ),函数 y = sin4，snq的最小值是23、22 sin-2-r-的最小值。 cos x错解12-2sin x82- cos x22sin x82cos x8|sinxcosx|错解22 y ( sin错误分析即 | tan x |16|

41、 sin 2x |. 2.一 sin x) x16,.8(2-cos xYmin 16.2、cos x)2.8 11 6 . 2.在解法1中，y 16的充要条件是2sin 2 x82cos-且 |sin2x| 1. x1一且|sinx| 1.这是自相矛盾的。2ymin16.在解法2中，y 1 6J2的充要条件是22sin x能的。sin2 x且一82 coscos2 x,即 sin2 x2,2cos x2<2,这是不可正确解法2csc22(1101018.其中，当cot2 x28sec x2、一，.2、cot x) 8(1 tan x)_ ,22、2(cot x 4 tan x)2 2

42、. cot2 x 4 tan2 x4tan2x,即 cot2x 2时,y 18.ymin18.正确解法2取正常数k ,易得,2. . 2 、，8.2y (2- ksin x) (2 k cos x) ksin xcos x2 . 2k 2 , 8k k 6 2k k.其中“ ”取“=”的充要条件是2282212 ksin x且2 kcos x, 即 tan x 且k 18.sin xcos x221因此，当 tanx 1时，y 6 J2k k 18,ymin 18.24、已知 a1 = 1 ,an = an + 2 n 1(n >2)，贝 U an =。 2n 1(认清项数)25、已知

43、一9、a1、a2、- 1四个实数成等差数列，一 9、b1、b2、b3、- 1五个实数成等比 数列，贝 U b2 (a2 - a1) = A(符号)(A) -8 (B) 8(C) -9(D) 98826、已知an是等比数列，3是其前n项和，判断S, S2<S3-S2k成等比数列吗？当q = 1, k为偶数时，4 = 0 ,则Q, &kSk, S3kS2k不成等比数列；当qw1或q = 1且k为奇数时，则 Sk, S2k-Sk, S3kS2k成等比数列。(忽视公比q = 1)27、已知定义在 R上的函数f(x)和数列an满足下列条件：a1a,anf(an 1)(n 2,3,4,)，a

44、2a1, f(an) f(a n1)= k(a nan 1)(n =2.3, ),其中a为常数，k为非零常数。(1)令bnan 1 an (n N*),证明数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式；(3)当|k| 1时，求“m an。(2004天津)(等比数列中的0和1,正确分类讨论)28、不等式 宿一(m23m)i < (m24m+ 3) i + 10成立的实数 m的取值集合是 。3(隐 含条件)(1+i )(2+ i)29、i是虚数单位，(i4(-)的虚部为()C(概念不清)(A) -1(B) i(C) -3(D) -3 i30、实数m ,使方程x2 (m 4i)x 1 2mi

45、 0至少有一个实根。错误解法方程至少有一个实根，(m 4i)2 4(1 2mi) m2 20 0 m 2括，或 m275.错误分析实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。正确解法 设a是方程的实数根，则2， 一 一2， 一 、.一a （m 4）a 1 2mi 0, a ma 1 （4a 2m）i 0.a2 ma 1 0由于a、m都是实数，a ma 1 0,解得m 2.4a 2m 031、和a = （3, 4）平

46、行的单位向量是 ；和a = （3, 4）垂直的单位向量是O（3 , 1）或（3，: ） ；4 , 3 ）或（g ， 3 ）（漏 55555555解）32、将函数y= 4x 8的图象L按向量a平移到L/,L/的函数表达式为 y= 4x,则向量a=。a = （h , 4h+8）（其中 h R）（漏 解）33、已知 a =1, b = v2,若 a b,求 a b。若 a , b 共向，则 a - b = | a | ?| b | = V2 ,若 a, b异向，则 a - b=-| a|?|b|=-V2° （漏解）34、在正三棱锥 A BCD中，E、F是AR BC的中点，EF±

47、DEL,若BC = a,则正三棱锥 A-BCD勺体积为。咚 / (隐含条件)35、在直二面角AB- 的棱AB上取一点P ,过P分别在 、 两个平面内作与棱成45°的斜线PC、PD,那么/ CPD勺大小为D(漏解)(A) 45(B) 60(C) 120(D) 60 或 120 36、如图，在四棱锥 P-ABCD43,底面 ABCD正方形，侧棱 PD1底面 ABCQ PD=DC E是 PC的中点，作 EF± PB交PB于点F。(1)证明PA/平面EDB(2)证明PBL平面EFQ(3)求二面角 C- PB- D的大小。(2004天津)(条件不充分(漏PA 平面EDB，DE 平面P

48、DC DEH EF = E等)；运算错误，锐角钝角 不分。)X 2237、若方程 + y = 1表示椭圆，则 m的范围是。 (0, 1)U(1, + )(漏解)38、已知椭圆 + y 2 = 1的离心率为 坐,则m的值为。4或；(漏解)m2439、椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点B与两焦点F1、F2组成的三角形的周长为4 + 2 J3且/ F1B桎=2P则椭圆的方程是 。A + y 2 = 1或x 2+ y7 = 1(漏解)440、椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为2J2,相应于焦点F (c, 0) (C 0)的准线l与 x轴相交于点A, |OF|二2|FA| ,过点A的直

49、线与椭圆相交于 P、Q两点。(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若OP OQ 0,求直线PQ的方程；(3)设AP AQ (1),过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M,证明FM FQ。(2004天津)(设方程时漏条件 a># ,误认短轴是b = 2。2 ；要分析直线 PQ斜率是否存在(有时也可 以设为x = ky + b)先；对一元二次方程要先看二次项系数为0否，再考虑 >0,后韦达定理。)41、已知双曲线的右准线为 x4,右焦点F (10,0),离心率e 2,求双曲线方程。错解12x 4, c 10, a2 40, b2 c22c a 60.故所求的双曲线方程为1.4060

50、错解2由焦点F (10,0)知c 10,e - 2, a 5,b2 c2 a2 75. a故所求的双曲线方程为22土匕125 75错解分析这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。法。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解正解设P(x, y)为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为F(10,0)离心率e 2 ,由双曲线的定义知(x 10)2 y2|x4|2.整理得_ 2(x 2)162L 1.48正解2依题意，设双曲线的中心为(m,0),2a / m 4cc m 10c 2. a2.b222c2 a2 64 1648,故所求双曲线

51、方程为(x 2)2162y481.42、求与y轴相切于右侧,并与。C： x22y 6x 0也相切的圆的圆心的轨迹方程。错误解法如图3 21所示，已知。C的方程为(x 3)2 y2 9.设点P（x, y）（x 0）为所求轨迹上任意一点,并且。P与y轴相切于M点,与。C相切于N点。根据已知条件得|CP | | PM | 3,即 ?(x 3)2 y2x3,化简得 y212x (x 0).错误分析本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以x轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以 y 0 （x 0且x 3）也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y2= 12x（x>0）和y 0 （x 0且x 3）。因此,在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性 和完备性。43、（如图3- 2 2）,具有公共y轴的两个直角坐标平面和 所成的二面角y轴一等于60 .已知内的曲线C的方程是y2 2px （p 0）,方