中考数学压轴题归类复习十大类型附详细解答

1、中考数学压轴题归类复习十大类型附详细解答The pony was revised in January 2021中考数学压轴题辅导（十大类型）目录动点型问题3几何图形的变换（平移、旋转、翻折）6相似与三角函数问题9三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等）13与四边形有关的二次函数问题.16初中数学中的最值问题.19定值的问题-22存在性问题（如：平行、垂直，动点，面积等）-25与圆有关的二次函数综合题.29其它（如新定义型题、面积问题等）.33参考答案36中考数学压轴题辅导（十大类型）数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和 方法的综合性，多数为

2、函数型综合题和几何型综合题。函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研 究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关 键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线 段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自 变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是 等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足 什么条件相似等，或探究线段之

3、间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时 求X的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列 出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有X、y的方程），变形写成y=f（X） 的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相 似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置） 和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何 和代数的方法求出x的值。解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建 立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数

4、方法研究几何图形的性质，另一方面又 可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其 解析式、研究其性质。二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是 对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。 因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。解中考压轴题技能技巧：一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心 定位准

5、确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点” 一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保 证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。二是二数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一 小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为教学解答题是按步骤 给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但 是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用 三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。三是解数学压轴题一般可以分为三个

6、步骤。认真审题，理解题意、探究解题思路、正 确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构， 以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐 含的重要教学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条 件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思 路和方法.当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条 件和内在联系，既要时止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆 盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思

7、路难觅，解法灵活。所以，解数学压轴题，一要树立必 胜的信心，要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画 图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。一、动点型问题：例1,(基础题)如图，已知抛物线y=Y-2x-3与x轴从左至右分别交于A、B两点，与 y轴交于C点，顶点为D.(1)求与直线BC平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式；(2)若线段AD上有一动点E,过E作平行于y轴的直线交抛物线干F.当线段EF取得J八最大值时，求点E的坐标.、/变式练习：(2012?杭州模拟)如图，已知抛物线尸21G-1 ) 2+3赤(&卢0)经过点A(-2

8、, 0),抛物线的顶点为D,过。作射线QM/AD.过顶点D平行于x轴的直线交 射线OM于点C, B在x轴正半轴上，连接BC.(1)求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点。出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的 时间为t(s).问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形直角梯形等腰梯形(3)若OC=OB,动点P和动点Q分别从点。和点B同时出发，分别以每秒1个长度单 位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停 止运动设它们运动的时间为t (s),连接PQ,当i-为何值时，四边形BCPQ的面积最 小？并求出最小值.(4)在(3)中当t为何

9、值时，以。，P, Q为顶点的三角形与OAD相似(直接写出答案)苏州中考题：(2015年苏州)如图，在矩形乂8a7中，AD=acm, AB=bcm (a>6>4),半径为2cm的。在矩形内且与48、川9均相切.现有动点夕从X点出发，在矩形边上沿着人一8一0。的方向匀速移动，当点到达。点时停止移动；O。在矩形内部 沿向右匀速平移，移动到与 小相切时立即沿原路按原速返回，当O。回到出发时的 位置(即再次与相切)时停止移动.已知点与OO同时开始移动，同时停止移动(即同时到达各自的终止位置).(1)如图，点P从人一全程共移动了 cm (用含小6的代数式表示)；(2)如图，已知点。从H点出发，

10、移动2s到达笈点，继续移动3s,到达8c的中点.若点与。的移动速度相等，求在这5s时间内圆心。移动的距离；(3)如图，已知户2(), 6=10.是否存在如下情形：当到达OQ的位置时(此时圆-n上)，与OQ恰好相切？请说明理由.心Q在矩形对 角线BD二、几何图形的变换(平移、旋转、翻折)例2.(辽宁省铁岭市)如图所示，已知在直角梯形。48c中，ABM OC, /CLx轴于点C, A (1, 1)、B(3, 1).动点"从。点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速 度移动.过点作PQ垂直于直肩04,垂足为Q.设"点移动的时间为，秒(0VY4) ,与直角梯形。48c重叠部分的面

11、积为S.(1)求经过。、4 3三点的抛物线解析式；(2)求S与的函数关系式；(3)将绕着点尸顺时针旋转90° ,是否存在r,使得3CPQ的顶点。或Q在抛 物线上？若存在，直接写出。的值；若不存在，清说明理由.变式练习：如图1,在平面直角坐标系K)y中？直岁/与x轴、y轴分别交于 点A和点B (0, -1),抛物线 gx2+bx+c夕Wb,且与直膂个交点为C (4, n) ./(1)求n的值和抛物线的解析式；(2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t (0VtV4) . DE/y轴交直线1于点E,点F在直线1上，且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为p,求p与t 的函数

12、关系式以及p的最大值；(3) M是平面内一点,将AAOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后,得到AQB,点A、O、B的对应点分别是点A、。1、B,.若AQR的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标.苏州中考题：(20142015学年第一学期期末高新区)如图1,在平面直角坐标系xOy 中，直线/： y=：x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0, -1),抛物线y= gxZ+bx+c 经过点B,且与直线/的另一个交点为C(4, n).求n的值和抛物线的解析式；点D在抛物线上，且点D的横坐标为K0VIV4). DE/y轴交直线/于点E,点F在直线/上，且四边形DFEG为矩形(如图

13、2).若矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关 系式以及p的最大值；将AOB在平面内经过一定的平移得到点A、。、B的对应点分别是点A1、( B,.若aAQR的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标 为.三、相似与三角函数问题例3.(四川省遂宁市)如图，二次函数的图象经过点30,三5,且顶点C的横坐标为 4,该图象在x轴上截得的线段的长为6.(1)求该二次函数的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使川+%最小，求出点的坐标;(3)在抛物线上是否存在点Q,使AQaB与Azi8c相似？如果存在，求出点Q的坐(2) D是QA上一点，以BD为直径作OM, OM交AB于点Q.当OM与

14、y轴相切时,sin/BOQ 二;(3)如图2,动点P以每秒1个单位长度的速度，从点。沿线段OA向点A运动；同时 动点D以相同的速度，从点B沿折线B-C-。向点。运动.当点P到达点A时，两点 同时停止运动.过点P作直线PEJOC,与折线Q-B-A交于点E.设点P运动的时间 为t (秒).求当以凤D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标.苏州中考题：（2013年28题）如图，点。为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm）BC= 12cm.点E, F, G分别从A, B, C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运 动，点E的运动速度为lcm/s,点F的运动速度为3cm/s,点G的运动速度为/

15、s.当点F到达点C （即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动.在运动过程中，AEBF关于 直线EF的对称图形是EBT,设点E, F, G运动的时间为t （单位：s）.当1=s时，四边形EBFB，为正方形；（2）若以点E, B, F为顶点的三角形与以点F, C, G为顶点的三角形相似，求t的值；是否存在实数t,使得点日与点。重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理 由.面积与相似：（2012苏州，29）如图，已知抛物线 =-4 2（ +。 +是实数且 >4与x轴的正半轴分别交于点4 / （点X位于点B的左侧），与了轴 的正半轴交于点C点月的坐标为，点C的坐标为（用含6的代数式表示）；

16、请探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形的面积等于26,且阳C是以点 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理 由；请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得QC。、AQO/i和Q.4月中的任意 两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.四、三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等） 例4.（广东省湛江市）已知矩形纸片。的长为4,宽为3,以长所在的直线为x 轴，。为坐标原点建立平面直角坐标系；点是。4边上的动点（与点不重合），现 将PCC沿小翻折得到再在边上选取适当的点。，将沿翻折， 得到使得直

17、线，石、。尸重合.（1）若点后落在笈。边上，如图，求点P、&。的坐标，并求过此三点的抛物线的函 数关系式；（2）若点石落在矩形纸片O48C的内部，如图，设。=，AD=y,当x为何值时，y 取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点P、C、。三点的抛物线上是否存在点Q,使母）Q是以B力上普需为2,将这个直角三 与中。OB?,直角顶点CPA x图"为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标.CBC变式.（广东省泊巴知：Rt/XABC的斜边长为5,角形放置在平面老I坐标系中，1其算为 AB与工轴季 ， .落在尸轴正半轴生（如图由p A x 0（1）求线段C）A、

18、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式.（2）如图2,点D的坐标为（2, 0）,点P （/n, n）是该抛物线上的一个动点（其中小 （）,/（）,连接 DP 交 BC 于点 E.当ABDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标.又连接CD、CP （如图3） , ZXCDP是否有最大面积？若有，求出ACDP的最大 面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由.苏州，题：（201於,29题）如育（已知抛物物乙;x2+bx+c, c是常数 c0）与温逑以6r,A,B （点二益史应招侧口 与y轴的负金蟋了4,点A 的坐标为（一1,（）.图2b=，点B的横坐标为（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连

19、接BC,过点A作直线AE/BC,与抛物线y= ：、2+bx+c交于点E.点D是x轴上 一点，其坐标为（2, 0）,当C, D, E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB, PC,设所得PBC的 面积为S.求S的取值范围；若aPBC的面积S为整数，则这样的PBC共有个.五、与四边形有关的二次函数问题例5.（内蒙古赤峰市）如图，的顶点坐标分别为4 （0,右），B （-1 , 孚），C （1, 0） , /ABC=9（）° ,与/轴的交点为。，。点坐标为（0,孚），以 点。为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点反（1）求该抛物线的解析式

20、；（2）将沿XC折叠后得到点片的对应点目，求证：四边形NOC*是矩形，并 判断点目 是否在（1）的抛物线上；（3）延长A4交抛物线于点石，在线段笈石上取一点R过点作x轴的垂线，交抛物线 于点尸，是否存在这样的点已使四边形川。尸是平行四多形弋存在，求出点的坐 标，若不存在，说明理由./变式练习：（2011年苏州28题）已知四边形ABCDy4边专为4的即形，以AB为直径 在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合，连卷PA、PB、PC、PD.C如图，当PA的长度等于时，/PAB = 60° ;当PA的长度等于时，APAD是等腰三角形；（2）如图，以AB边所在直线为工轴、AD边所

21、在直线为y轴，建立如图所示的直角坐 标系（点A即为原点。），把ZPAD、APABs ZPBC的面积分别记为&、S2、S3.坐标 为（* b）,试求2 S0-S22的最大值，并求出此时叫 b的值.苏州中考题：(2011年29题)已知二次函数y = a(/6x + 8)(a>0)的图象与x轴分别交 于点A、B,与尸轴交于点C.点D是抛物线的顶点.如图，连接AC,将QAC沿直线AC翻折，若点。的对应点O'恰好落在该抛物线 的对称轴上，求实数a的值；(2)如图，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是(4, 4)、(4, 3),边HG位 于边EF的右侧.小林同学经过探索后发现了一

22、个正确的命题：“若点P是边EH或边HG 上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相 等(即这四条线段不能构成平行四边形). ”若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚 才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；如图，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标，是大于3的常数，试问：是 否存在一个正数码使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)请说明理由.六、初中数学中的最值问题 例6. (2014?海南)如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A (-1, 0) , C (0, 5)两点，与x轴另

23、一交点为B.已知M (0, 1) , E (a, () , F (a+1, 0),点P是第一象限 内的抛物线上的动点.(1)求此抛物线的解析式；(2)当a=l时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；(3)若APCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小?请说明理由.变式练习.(四川省眉山市)如图，已知直线y=：x+l与/轴交于点儿 与x轴交于点 抛物线y=g/+*+c与直线尸=g工+1交于X、E两点，与工轴交于3、C两点，且/点坐标为(1,().(1)求该抛物线的解析式；(2)动点P在x轴上移动，当aXE是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在抛物线的对

24、称轴上找一点V,使I'W的值最大，求出点V的坐标.苏州中考题：（2012江苏苏州，27, 8分）如图，已知半径为2的O。与直线/相切于点点是直径T月左侧半圆上的动点，过点P作直线/的垂线，垂足为& %与。交 于点，连接&、PB,设"C的长为（2<< 4）.当=；时，求弦24、所的长度；当X为何值时，的值最大最大值是多少七、定值的问题 例7.(湖南省株洲市)如图，已知为直角三角形，/ACB=9()Q , AC=BC,点H C在工轴上，点8的坐标为(3, m)(m>0),线段zl月与尸轴相交于点。，以R1, 0)为 顶点的抛物线过点以D.(1)求

25、点且的坐标(用口表示)；(2)求抛物线的解析式；(3)设点Q为抛物线上点至点月之间的一动点，连结Q并延长交方C于点色 连结 3Q并延长交xc于点色 试证明：为定值.步前点人与点尸重合.变式练习：(2012江苏苏州，28, 9分)如图，正方形"国力>用边械与矩形E6G”的边AG重合，将正方形"。以lcm/s的速度沿EG方向移动，移其在移动过程中，边X。始终与边尸G重合，连接出，过点小冷&的平行线交线段G/y D于点R连接%>.已知正方形乂8。7的边长为1曲，矩形石尸GH的边向G、GH的长分别 A O PF C x为4cm、3cm.设正方形移动时间为x (s

26、),线段G”的长为y (cm),其中0 M < 2.5.试求出y关于x的函数关系式，并求出尸=3时相应工的值;记AG”的面积为 八AOG的面积为2,试说明/- 2是常数;当线段所在直线与正方形的对角线XC垂直时，求线段 的长.苏州中考题：(2014年苏州)如图，二次函数尸，(V-2mx-3/)(其中环力是常 数，且;7>0, m>0)的图象与x轴分别交于点4 8 (点T位于点用的左侧)，与尸轴交 于C(0, - 3),点。在二次函数的图象上，CD/IAB,连接AO,过点看作射线川£交 二次函数的图象于点2N8平分/NE(1)用含，的代数式表示历(2)求证：铝为定值；

27、 AL(3)设该二次函数图象的顶点为E探索：在x轴的负半轴上是否存在点G,连接GF, 以线段GF、."X的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理 由.八、存在性问题(如：平行、垂直，动点，面积等) 例8、(2008年浙江省绍兴市)将一矩形纸片。48c放在平面直角坐标系中，0(0,0),A(6,0) , C(0,3).动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动29秒时，动点尸从点A出发以相等的速度沿4。向终点。运动.当其中一点到达终点时， 另一点也停止运动.设点P的运动时间为

28、/(秒).(1)用含/的代数式表示。凡OQ；(2)当/ = 1时，如图1,将8。沿PQ翻折，点。恰好落在C8边上的点。处，求点。的坐标；(1)连结AC,将OP。沿PQ翻折，得到EPQ,如图2.问：与AC能否平行？ 尸E与AC能否垂直？若能，求出相应的/值；若不能，说明理由.变式练习：如图，已知抛物线产ax?+bx+3与x轴交于A (1, 0) , B (-3, 0)两点，与 y轴交于点C,抛物线的顶点为P,连接AC.(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线上找一点D,使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q,求直线DC的解析式；(3)抛物线对称轴上是否存在一点M,使得S_zm=2S_acp

29、若存在，求出M点的坐标；若 不存在，请说明理由.苏州中考题：(2015年苏州本题满分10分)如图，已知二次函数y = W+。一7)1"?(其中OVmVl)的图像与工轴交于4 8两点(点X在点月的左侧)，与y轴交于点 G对称轴为直线/.设为对称轴/上的点，连接口、PC, PA=PC.(1) /ABC的度数为° ；(2)求P点坐标(用含小的代数式表示)；(3)在坐标轴上是否存在点Q (与原点。不重合)，使得以Q、B、C为顶点的三角形最小如果的坐标;中，已知线段ABAC,若抛与R1C相似，且线段PQ的长度 存在，求出所有满足条件的点Q 如果不存在，请说明理由.模拟试题：在如图的直

30、角坐标系点 A (1, 0)、B (0, -2),将绕点A按逆时针方向旋转90°至 物线y= - *°+bx+2经过点C.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q (0, -2)作不平行于x轴的直线交 抛物线于E、F两点，问在y轴的正半轴上是否存在一点P,使APEF的内心在y轴上？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.(3)在抛物线上是否存在一点M,使得以M为圆心，以邛为半径的圆与直线BC相 乙切？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.九、与圆有关的二次函数综合题：例9.如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点

31、A、B,与y轴交于点C,其 顶点为D,且直线DC的解析式为y=x+3.(1)求二次函数的解析式；(2)求AABC外接圆的半径及外心的坐标；(3)若点P是第一象限内抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大值.变式练习：如图，已知抛物线y3(x-2) 2+1与x轴从左到右依次交于A、B两点，与y 轴交于点C,点B的坐标为(3, 0),连接AC、BC.(1)求此抛物线的解析式；(2)若P为抛物线的对称轴上的一个动点，连接PA、PB、PC,设点P的纵坐标表示为 m.试探究： 当m为何值时，IPA-PCI的值最大？并求出这个最大值.在F点的运动过程中，/APB能否与/ACB相等？若能，请求出P点的坐标

32、；若不 能，请说明理由.，空77中考题训练：（2014?黔南州）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4, -1）的抛物线交 y轴于A点，交x轴于B, C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0, 3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴1与OC有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A, C两点之间，问：当点P运动到什么 位置时，PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和APAC的最大面积.苏州中考题：（2015年27题）如图，已知二次函数），= /+（1-x-加（其中O

33、VmV 1）的图像与x轴交于4 B两点（点N在点8的左侧），与尸轴交于点&对称轴为直 线/.设P为对称轴/上的点，连接&、PC, PA=PC,.（1） 的度数为 ° ；（2）求点坐标（用含的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点。不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与相似，且线段0Q的长度 存在，求出所有满足条件的点Q 如果不存在，请说明理由.最小如果1力i1的坐标；十、其它(如新定义型题、面积问题等)：例10.定义：若抛物线的顶点与X轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物 线就称为：“美丽抛物线”.如图，直线1: y=g<+b经过点

34、M (0,3)，一组抛物线的 顶点 b (1, yj , B2 (2, y2) ,(3, %),(n, yn) (n 为正整数)，依次是直线1上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：At(X., 0) , A, (x2, 0) , A3(x3, 0),An+ (xn+t, 0) (n 为正整数).若 xkd (OVdVl),当 d 为()时,这组抛物线中存在美丽抛物线.A，卷哈B.旨% C.春* D. ±变式练习:1 .在平面直角坐标系中，抛物线y=+2x-3与x轴交于A、B两点，(点A在点B左侧).与y轴交于点C,顶点为D,直线CD与x轴交于点E.(1)请你画出此抛物线，并求A

35、、B、C、D四点的坐标；(2)将直线CD向左平移两个单位，与抛物线交于点F (不与A、B两点重合)，请你求出F点坐标；(3)在点B、点F之间的抛物线上有一点P,使APBF的面积最大，求此时P点坐标及PBF的最大面积；(4)若平行于x轴的直线与抛物线交于G、H两点，以GH为直径的圆与x轴相切，求该圆半径.(第2题)2 .练习：(2015河池)我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”.如图，直线/：,，=履+ 4。与丫轴、尸轴分别交于4 B,点在x轴上，。尸与/相切，当，在线段CA上运动时，使得OP成为整圆的点P个数是( )A. 6 B. 8 C. 10 D, 12o苏州中考题：

36、(2015年,26题)如图，已知是X8C的角平分线，经过& B、 。三点，过悬B作BEH AD,交O。于点石，连接中.(1)求证：EDI/ AC； (2)若BD=2CD、设的面积为距，HOC的面积为邑,且S:-16邑+4 = 0,求的面积.模拟试题：如图所示，在平面直角坐标系中，OM 且与y轴、x轴分别交于A、B两点，抛物线 yl+bx+c经过A、B两点，点C与点M关于x轴 已知点M的坐标为(2, -2).(1)求抛物线的解析式;(2)判断直线QC与OM的位置关系，并证明;(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线()C上的动点，判断是否存在以点P、Q、A、。为顶点的四边形为平行四边形？

37、若存在，请直接写出相应的Q点的坐标；若不存 在，请说明理由.参考答案: 例1.【考点】二次函数综合题.【分析】（1）根据X等于零时，可得C点坐标，根据y 等于零时，可得A、B的坐标，根据待定系数法，可得直线BC的斜率，根据平行线的斜 率相等，可得平行BC的直线的斜率，根据直线与抛物线有一个交点，可得直线与抛物线 联立所得的一元二次方程有一对相等的实数根，可得判别式等于零；（2）根据待定系数 法，可得直线AD的解析式，根据E点在线段AB上，可设出E点坐标，根据EF/y轴， F在抛物线上，可得F点的坐标，根据两点间的距离，可得二次函数，根据二次函数性 质，可得答案.【解答】解： 当尸（）时，Y_2

38、x-3=（）,解得XL-1, x2=3,即A （-1, 0） , B （3, 0）.当x=（）时，y=-3,即C （0, -3）.设直线BC的解析式为=kx+b,直线BC经过点B,点C,得：改+b：0,解得 上1设平行于BC且与抛物线只有一个交点的直线解b二 一 3匕二 一 3析式为尸x+b,由题意，得：|9,-，得：x2-3x-3-b=0,只有一个交点，得：=（-3） 2-4X （-b-3） =0,解得与直线BC平行且与抛物 4线只有一个交点的直线解析式y=x -j； y=x2-2x-3,当 x二一专二一，二1 时,4ac- b2_4XX ( -3)- ( -2 )2 4X1-4,即D （1

39、, -4）,设直线AD的解析式是=kx+b, AD的图象过点A、D,得'-k+b二。k+b= - 4'（u= - 2解得 直线AD的解析式是y=-2x-2,线段AD上有一动点E,过E作平行于yb=- 2轴的直线交抛物线于F,设E点坐标是（X, -2x-2） , F点坐标是（X, 乂2-2、-3）,EF 的长是：y= （-2x-2） - （x2-2x-3） =-x2+lo 当 x=0 时,EF 最大=1,即点 E 的坐 标是（），-2）,当线段EF取得最大值时，点E的坐标是（0, -2）.【点评】本题考查了二次函数的综合题，利用了直线与抛物线相切，利用了一元二次方程 的判别式，两

40、点间的距离公式，二次函数的性质，综合性较强.变式练习：【考点】二次函数综合题。【专题】压轴题.【分析】 将A的坐标代入抛物线y=a （x-1） 2+3V3 （a=0）可得a的值，即可得到 抛物线的解析式；（2）易得D的坐标，过D作DN_（）B于N;进而可得DN、AN、AD 的长，根据平行四边形，直角梯形，等腰梯形的性质，用t将其中的关系表示出来，并求 解可得答案；（3）根据（2）的结论，易得aOCB是等边三角形，可得BQ、PE关于t的 关系式，将四边形的面积用t表示出来，进而分析可得最小值及此时t的值，进而可求得 PQ的长.分别利用当AODsOQP与当AQDsaOPQ,得出对应边比值相 等，进

41、而求出即可.【解答】解：（1） .抛物线尸a （x-1） 2+373 （a=0）经过点A （-2, 0） , /. 0=9a+3 石，二.a二一"，.尸一丫（xT）。+3正； JJ(2):D为抛物线的顶点，D (1, 3正)，过D作DN_LOB于N,则DN=35, AN=3,'八口二点+ (3 内 2=6, /. Z DA()=60° . TOM" AD，当AD=OP时，四边形DAOP是平行四边形，.OP=6,.=1=6.当DP_LOM时，四边形DAOP是直角梯形，过。作OH_LAD于H, AO=2,则AH=1 (如果没求出 NDAO=60° 可

42、由 Rt求HAsRtZiDNA (求 AH=1) /.OP=DH=5, t=5,当PD=OA时，四边形DAOP是等腰梯形，易证：AOH组ZiCDP,.AH=CP,OP=AD - 2AH=6 - 2=4, .'.t=4.综上所述：当1=6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形；(3);D为抛物线的顶点坐标为：D (1, 373),过D作DN_LOB于N,则 DN=3%, AN=3,.”二二行十(3与 2=6, /. ZPA()=60° , /. ZCOB=6()° , OC=OB, AOCB 是等边三角形.则 OB=OC=AD=6, OP=t, B

43、Q=2t, /.OQ=6-2t (0<t <3)*(T)2%过 P 作 PE_LOQ 于 E,则 pECt，S/pq=,X6X36-(6-2t) X*t, 乙乙乙乙,当弋=1时，的面积最小值为(4)当AODsOQP,则鬻翁 /AO=2, AD=6, QO=6-2t, OP=t, 2 -66-2t t解得：t=¥，当A()Ds&)PQ,则等谭，即二占针解得：口春故或学时以。，P, Q为顶点的三角形与AOAD相似. 57【点评】本题考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质、平行四边形、直 角梯形、等腰梯形的判定等知识，将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、

44、解决问题 是考查重点.苏州中考题：解：(1)如图，点从人一岭。，全程共移动了什26cm (用含a、b 的代数式表示)；(2) ,圆心。移动的距离为2 (>7-4) cm,由题意，得：n+2b=2 (a-4)，.点移动2秒到达方，即点女s移动了 bcm,点继续移动3s到达8c的中点，1即点冏秒移动了5s.9W 由解得：号，Z Z 3b=8.点移动的速度为与。移动速度相同，.O。移动的速度为、=,二46 (cm/s) . 乙 乙这5秒时间内。移动的距离为5X4=20 (s);(3)存在这种情况，设点户移动速度为S/S, O Q移动的速度为吭S/S,由题意，得Xl= -2b _ 20+2X10

45、 _ 5v2 2 (a-4)2 (20-4) 丁设直线。与X3交于石点，与。交于尸点，O。与X。相切于G点, 若加与O。相切，切点为"，则。G=Q”.易得AQgZi。"，：. LADB=LBDP.,: BCM AD, ：. £ADB=£CBDf .,.乙 BDP=乙 CBD, :.BP=DP.设BP=xcm,则PC= (20-x) cm,在&尸O中，由勾股定理，得芯+力二"尸，8P (20-aO 2+10W,解得产警此时点P移动的距离为10+争当 乙,乙 乙(cm),E01 rfE01 oEFM AD, :BE()s4BM ：.-,即-

46、,EO=6cmy 。尸 14cm.AD BA20 10当。首次到达OC的位置时，。移动的距离为14s,45此时点与。移动的速度比为用二黑，:崇力4，.此时也与。不能相切； 14 2828 4当O。在返回途中到达。位置时，移动的距离为2 (20-4) - 14=18cm,45此时点与。移动的速度比为工二老=W，此时勿与。1恰好相切.点评：本题考查了圆的综合题，(1)利用了有理数的加法，(2)利用了 与的路程 相等，速度相等得出方程组是解题关键，再利用路程与时间的关系，得出速度，最后利用 速度乘以时间得出结果；(3)利用了相等时间内速度的比等于路程的比，相似三角形的 性质，等腰三角形的判定，勾股定

47、理，利用相等时间内速度的比等于路程的比是解题关 键.例2.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题；动点型.【分析】(1)设抛物线解析式为产a/+bx,把已知坐标代入求出抛物线的解析式.(2)求出S的面积，根据t的取值不同分三种情况讨论S与t的函数关系式.(3)根据旋转的性质，代入解析式，判断是否存在.【解答】解:(1)方法一：由图象可知：抛物线经过原点，设抛物线解析式为y=a/+bx(a#0) .把 A (1, 1)，B (3, 1)代入上式得:2)解得 1=3 (1-2 ) 1 2 * 4+h(2)分三种情况:当()Vt42,重叠部分的面积是S_om，过点A作AF，x轴于点F, VA (1,

48、1),二在 RiZiOAF 中，AF=OF=1, Z A()F=45° ,在 RtAQPQ 中，()P=t, Z ()PQ= ZQQP=45。，/.PQ=OQ=tcos 45° 鸣. s=i (畔Q =lr, 2224当 2Vt<3,设 PQ 交 AB 于点 G,作 GHl_x 轴于点 H, Z()PQ= ZQOP=45° ,则四边形。AGP是等腰梯形，重叠部分的面积是S有形0Gp.AG=FH=t-2,/.s=- (AG+OP) AF=- (t+i-2) Xl=t-1.当3VY4,设PQ与AB交于点M,交BC于点N,重叠部分的面积是S 五造形OAMNf PN

49、C和BMN都是等腰直角=角形，重叠部分的面积是S 三品形OAMNC二S怪彩0AB<"-S_bmn ,/B (3, 1) , OP=t,.PC=CN=t-3, /.S=-l (2+3) XI -i (4-t) 2, S= - r+4t - 11(3)存在.当。点在抛物线上时，将。(v, 0代入抛物线解析式，解得0 (舍去)，t=l；当Q点在抛物线上时，Q (1t,寺)代入抛物线解析式得0 (舍去)，2.故1或 乙 乙【点评】本题是一道典型的综合题，重点考查了二次函数的有关知识以及考生理解图形的 能力，难度较大.变式练习：解： .直线1： y=*+m经过点B (0, -1) , .

50、5=-1, .直线1的解析式为六条T, .直线1：尸条T经过点C (4, n) , .3加4T=2, .抛物线444y=¥+bx+c 经过点 C (4, 2)和点 B (0, -1),乙”15X 4 +如+c= 2b 1 , u .2,解得 4, .,抛物线的解析式为产率_多一1；c=-lc=-lZ 4(2)令y=(),则条-1=0,解得x=4，.点A的坐标为(4，0) , /.OA=-1,在4333RtZXOAB 中，OB=1, .-.AB=a/oa2wb2= ()/DE/y 轴，/. ZABO= ZDEF,在矩形 DFEG 中，EF=DE?cosZDEF=DE?P|=-1dE,

51、DF=DE?sin/DEF=DEZDE,AB 5/.p=2 (DF+EF) =2 (-|+-|) DE二看DE, 点 D 的横坐标为 t (0VtV4) ,.D (t, 9一乡1) , E (t,gT),244/.DE= (t - 1) - (Ar - - 1) = - -r+2t, /.p= X ( - -lr+2t)二一工F+骂:，42425255 p=-4 (t-2) 2+罕，且-4V(), .当 1=2 时，p 有最大值举； 5555(3) ,AOB绕点M沿逆时针方向旋转90° ,.AQ"/y轴时，BQ"x轴,设点儿的横坐标为X, 如图1,点a、Bl在抛物

52、线上时，点()的横坐标为x,点3的横坐标为x+1,寺一争一弓n+D t,解得得如图2,点儿、Bi在抛物线上时，点&的横坐标为x+1,点A|的纵坐标比点3的纵坐lx2- -1x- 1=-1 (x+1) 2-1 (x+1) - 1+-1,解得 x=_g乙 七乙-J.L Zb 综上所述，点儿的横坐标为声T 苏州中考题：（略） 例3.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】（1）已知了顶点的横坐标，可用顶点式来设二次函数的解析式如：y=a （x-4）?+k,根据二次函数过点（0,可得出16a+k ；9由于A、B关于x=4对称，且AB=6,不难得出A、B的坐标为（1, 0） , （7,

53、0）,可将它们的坐标代入解析式中即可求出a、k的值.（2）本题的关键是确定P的位置，由于对称轴垂直平分AB,因此P不 论在对称轴的什么位置都有PA=PB,连接DB,如果P是交点时，PA+PD的长就是BD 的长，两点之间线段最短，因此要想PA+PD最小，P必为DB与对称轴的交点.可根据 B、D的坐标求出BD所在直线的解析式，然后求出与抛物线对称轴的交点.即可得出P 点的坐标.（3）由于三角形ABC是等腰三角形，要想使QAB与三角形ABC相似，三角 形QAB必须为等腰三角形.要分两种情况进行讨论：当Q在x轴下方时，Q, C重 合，Q点的坐标就是C点的坐标.当Q在x轴上方时，应该有两个符合条件的点，

54、抛 物线的对称轴左右两侧各一个，且这两点关于抛物线的对称轴相对称.因此只需求出一点 的坐标即可.以AQ=AB为例：可过Q作x轴的垂线，在构建的直角三角形中，根据BQ 即AB的长以及/QBx的度数来求出Q的坐标.然后根据对称性求出另外一点Q的坐 标.【解答】解：(1)设二次函数的解析式为：y=a (x-h) 2+k'顶点C的横坐标为4,且过点(0,看几).ka (x-4) 2+k,看、厅16a+k又；对称轴为直线x=4,图象在x轴上截得的线段长为6, /.A (1, 0) , B (7, 0). .0=9a+k。由解得户苧，k二-返，.二次函数的解析式为：尸苧(X-4) 2- 99a(2

55、)二点 A、B 关于直线 x=4 对称，/.PA=PB,.PA+PD=PB+PDADB。当点 P 在线 段DB上时PA+PD取得最小值，二DB与对称轴的交点即为所求点P。设直线 x=4 与 x 轴交于点 M。-. PM#OD, /./BPM=/BDO,又 /PBM二/DBO,./BPMS二BDO, '悬考 -PM圮手当 点P的坐标为(4,当)(3)由(1)知点 C (4, "V3),又.AM=3, .二在 RtAMC 中，cos/ACM二虫， 37. Z ACM=60° , -. AC=BC, ZACB=120°当点Q在X轴上方时，过Q作QNJ_X轴于N

56、如果 AB二BQ,由ZABCsZiABQ 有 BQ=6, ZABQ=120° ,则/QBN=60° ,：.QN=3V3, BN=3, ON=10,此时点 Q (10,班)，如果 AB=AQ,由对称性知 Q (-2, 373)当点Q在x轴下方时，QAB就是aACB,此时点Q的坐标是（4, 一倔），经检验，点（10, 373）与（-2, 班）都在抛物线上。综上所述，存在这样的点Q,使QABsAABC,点 Q 的坐标为（10, 3/3）或（-2, 33）或（4, -V3）.【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质等知识 点.要注意（2）中确定P点位置

57、的方法.在（3）中不确定Q位置的情况下要分类进行 讨论，不要漏解.变式练习：【考点】圆的综合题；勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的性 质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义.【专题】综合题；分类讨论.【分析】（1）过点B作BHLOA于H,如图1，易证 四边形OCBH是矩形，从而有（）C=BH,只需在aAHB中运用三角函数求出BH即 可.过点B作BH_L（）A于H,过点G作GFJ_OA于F,过点B作BR_L（）G于R, 连接MN、DG,如图1，则有OH=2, BH=4, MN±OC.设圆的半径为r,则 MN=MB=MD=r.在RtABHP中运用勾股定理可求出r=2,从而得到点D与点H重 合.易证AFGs