2020年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练及参考答案

1、2020年高考理科数学圆锥曲线题型归纳与训练【题型归纳】题型一求曲线的方程例1已知Fi(-2,0) , F2(2,0),点P满足| PFi | |PF2 |=2 ,记点P的轨迹为E .求轨迹E 的方程.2【答案】x2.L=l3【解析】由| PFi | -1 PF2 |=2 <4 =|讦2 |可知：点P的轨迹E是以Fi,F2为焦点的双曲线 的右支，2由 c=2,2a=2,. b2 =22 12 =3 ,故轨迹 E 的方程为 x2 y-= 1(x a 0).3【易错点】(1)对于双曲线的定义理解片面；(2)如果动点P满足 |PF1 一 PF2| =2a(2a <|F1F2),则点P的轨

2、迹是双曲线。但该题已知条件中给出的是PFi|-|PF2|=2”只能表示点P的轨迹是双曲线的右支，而不是双曲线的全部。【思维点拨】利用双曲线解题时，一定要观察是双曲线的全部还是部分。题型二定值、定点问题x2 V2一一.例2已知椭圆C:肉+#=1过A(2,0), B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆 C上，直线PA与y轴交于点M,直线PB与 x轴交于点N,求证：四边形ABNM的面积为定值.x2 03【答案】(1)1+y2=1, e=万(2)2.i【解析】(1)由题意得a = 2, b=1,2所以椭圆C的方程为、+y2= 1.又c=#a2_ b2 =斓，

3、所以离心率e=：=.(2)证明：设 P(Xo, yo)(Xo< 0, y0<0),则 x0 + 4y2= 4.又 A(2,0), B(0,1),所以直线PA的方程为y =(x2).X0-2''令 x=o,得 yM = -Y2y02 从而|BM|= 1 yM=1 +v2y02 X0 2X0 2直线PB的方程为y= y01x+1.X0令y=0'得加=-yx'从而 |AN| = 2-Xn = 2 +X。y。一 1111所以四边形ABNM的面积S= 2|AN| |BM|X02y0 y0 1 人X0 22.X0 + 4y2 + 4%y0 4x0 8y0 + 4

4、 %丫0 2xq4yo + 42 x0y0 X0 2y0+2Ryo x0 2y0 + 2从而四边形abnm的面积为定值.【易错点】(1).想不到设出P(X0, y0)后，利用点斜式写出直线FA, PB的方程.不会由直线FA, PB的方程求解|BM|, |AN|;1(2) .不知道四边形的面积可用 S= 2| AN|BM|表不；(3) .四边形ABNM的面积用X0, y0表示后，不会变形、化简，用整体消参来求值.【思维点拨】第(1)问由a = 2, b = 1, c=也 解第一问;1一第(2)问画草图可知ANXBM,四边形ABNM的面积为2|AN| |BM|,设点P(x°, y

5、6;),1得出PA, PB的万程，进而得出M, N的坐标，得出|AN|, |BM|,只需证明2|AN| |BM|是一个与点P的坐标无关的量即可.22_例 3 已知椭圆 C: f2+b?= 1(a>b>0),四点 Pi(1,1), P2(0, 1), P3L %，P41 也3J I 2 j i 2中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程； (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A, B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为一1,证明：l过定点.x2【答案】(1)1 + y2=1(2)(2, -1)【解析】(1)因为P311包P4；43',所以P3, P4两点关于y轴对称，J

6、 2 )2 2 )故由题设知椭圆C经过P3, P4两点.一，11 13 . 一 又由/ + b>/ + 4b2知，椭圆C不经过点P1,1b2 因此，1=1,所以点P2在椭圆C上.a2 = 4,解得.1.2= 1,x2故椭圆C的方程为：+ y2=1.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为左，k2.如果l与x轴垂直，设l: x= t,由题设知t?Q且|t|<2,可得A, B的坐标分别为t 土二，t -<4-t2 ，2，2I J kw44 t2 - 2 J4-t2 + 2则 k1 + k2=2t 2t =-1，得t = 2,不符合题设.从而可设l: y=kx+ m(m?1

7、)、x2c将y= kx+ m代入i + y2= 1得(4k2 + 1)x2 + 8kmx+ 4m2 4 = 0.由题设可知 = 16(4k2 m2+1)>0.设 A(xi, y) B(x2, y2),8km 一4m2-4x1+x2 4k2+ 1, XlX24k2+不 yi 1 y21而 ki + k2= 丫 + 丫 X1X2kx1 + m- 1 kxz+m1= +X1X2_ 2kxix2 m 7 x1 x2泅 .由题设 k + k2=1,故(2k+1)x1x2+(m1)(x1+x2)=0.口门4m2 48km即(2k+ 1)源彳1 +(m-1) 4k2 = 0.m 1解得k 2当且仅当m

8、>-1时，奥0,于是，m±1 ，l： y=2 x+m,即 y+1 = m21(x 2),所以l过定点(2, 1).【易错点】(1)观察不出P3, P4对称，忽视对称性导致判断失误；(2)不会用点的坐标代入方程判断 Pl, P2是否在椭圆上而滞做；(3)联立直线l与椭圆C的方程，计算化简失误而滞做；(4)利用ki + k2=1运算变形不明确变形目标，导致化简不出k, m的关系.【思维点拨】第(1)问利用椭圆的性质，易排除点Pi(1,1)不在椭圆上，从而求椭圆 方程；第(2)问分类讨论斜率是否存在，若存在，设 l: y=kx+ m,利用条件建立k, m 的等量关系，消参后再表示出直

9、线l的方程可证明.题型三最值(范围)问题例4已知椭圆C: xi+y2=1(a>0), F1，F2分别是其左、右焦点，以F1F2为直径 a的圆与椭圆C有且仅有两个交点.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A, B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P,点P横坐标的取值范围是-£ 01求线段AB长的取值范 < 4 J围.【答案】(1)，+丫2= 1(2) 322, 2 2【解析】(1)因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，所以b = c=1,a= 2,x2所以椭圆C的方程为+y2= 1.(2)根据题意，直线A, B的斜率存在且不

10、为0,设直线AB的方程为y=k(x+1),.x2 C 一与5+ y2 = 1联立，消去 y并整理得(1 + 2k2)x2 + 4k2x+ 2k2 2=0,设 A(x1,0)，B(x2, y2), AB 的中点为 M(m, y(),4k22k2-2则 x + x2=_ 1 + 2k2, x1、2= 1 + 2k2, 2k2k2y1+y2=k(x1+1) + k(x2+1) = k(x1+x2+2) = -72,即 M 一：，2k1 + 2k2 k则直线AB的垂直平分线为y1%=1(2k2一起 1 + 2k2,，令 y = 0,得 xp=1 + 2k2,i 1 1因为Xp -4 4-1，町，即1&

11、lt;1+2k2<0,1 所以 0<k2< 2,AB = J(1 +k2 ”(K +x2 2 -4x1x2I 7(1+k2)|4k22k2 +1 /一 42k22 二2 2k2 12/L(1+k ) %一1 + 2k2)=2历2=2 1 +2k2 +1、 11.2<2k2T1 < 1， . |AB|6【易错点】运算错误，由于运算方法、运算技巧以及自身运算能力差，都是出错原因。【思维点拨】与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法：(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解.(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式

12、 求解.(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域.题型四存在性问题例5.如图，椭圆E: x2+ y2=1(a>b>0)的离心率是平，点P(0, 1)在短轴CD上, a b2且玩PD = 1.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于 A, B两点.是否 存在常数 力使得OA OB+加A而为定值？若存在，求 入的值；若 不存在，请说明理由.x2 y2【答案】。)了 + y- = i(2)3,理由见解析【解析】(1)由已知，点C, D的坐标分别为(0, b), (0, b).又点P的坐标为(0,1),且PC pd = - 1,1

13、b2= 1,解得 a= 2, b= 2.a2-b2 = c2.所以椭圆E的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+ 1, A, B的坐标分别为(X1,必)，(X2, 丫2). 22x y /丁+M=1,c c联立 4 2得(2k2+1)x2 + 4kx 2= 0.、V= kx+1其判别式 = (4k)2+8(2k2+1)>0,所以x1 + x2 =4k2k2+1'2 XiX22k2+i.从而，OA OB + Apa pb= xiX2+yy2+ =iX2+(yii)(y2 1)= (1+ =1 + k2)xix2 + k(xi + x2)+ 1_ (2九

14、一4 )k2 +(2儿一1 ) _ _ 卜 1 _一 2k2+_ 22k 12. rr入- 1所以，当月1时，2/+1 卜2= -3.此日寸，OA OB + Apa pb = 3为定值.当直线AB斜率不存在时，直线 AB即为直线CD.止匕时，OA Ob+Zpa pB=oc Od + Tpc pd = - 2入 当上1 时，oA OB + PA 丽 =3, 为定值.综上，存在常数 上1,使得oA ob + ZPA PB为定值-3.【思维点拨】解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在。一 一_ x2 y2例6已知椭圆C: /+g=1（

15、a>b>0）的右焦点为F2（2,0）,点P 1,上.求椭圆C的标准方程；（2）是否存在斜率为1的直线l与椭圆C相交于M, N两点， 使得|F1M|=|F1N|（F1为椭圆的左焦点）?若存在，求出直线l的 方程；若不存在，说明理由.【解析】c= 2,22（1）+y2 = 1（2）不存在满足条件的直线l （1）法一：椭圆C的右焦点为F2（2,0）, 椭圆C的左焦点为F1（-2,0）.由椭圆的定义可得2.6, 解得 a= 6, b2= a2 c2 = 6 4= 2.22椭圆C的标准方程为X + y2=1.法二：.椭圆C的右焦点为F2(2,0),. .c=2,故 a2 b2 = 4,又点p

16、3 115面椭圆c上，则a2+9b2=i,- 115故b+k=1，化简得 3b4+4b2 20 = 0,得 b2=2, a2=6.22椭圆C的标准方程为X + y2=1.(2)假设存在满足条件的直线I,设直线l的方程为y= x+t, .2277+5=1.八八由62 得 x2+3(x+t)2 6=0,y= x+1即 4x2-6tx+(3t26)=0,= (6t)2 4Mz3t26) = 9612t2>0, 解得2 2<t<2 2.、r 3t3t26设 M(x1,必)，N(m, y2),则刈 + 乂2=万，x1m= 4 ,由于IF1MIRF1NI,设线段MN的中点为E,1则 FE

17、，MN,故 kF1E= ；=1,Kmn又 Fi(2,0), Exi + X2 yi + y2 23t t即E4, 41t4 . kFiE= z: = 1,解得 t= - 4.A当 t= 4 时，不满足2V2<t<2V2,不存在满足条件的直线l.【思维点拨】解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程, 联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解 【巩固训练】 题型一求曲线的方程1 .已知A(T,0), B是圆F: x2 2x + y211=0(F为圆心)上一动点,线段 AB的垂直平分线交BF于点P,则动点P的轨迹方程为()a£_ A.12+11-1

18、22-x y , C.3-2 = 1BS=1B.36 35 Tx2 y2D.3 + 2= 1【答案】D【解析】由题意得 |PA|=|PB|,|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r = 2m>|AF| = 2, .点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，且a = 43, c=1,小=也，动点P的轨迹 22方程为x + y=1,故选D. 3 22 .已知点A(0, 1),当点B在曲线y = 2x2+1上运动时，线段AB的中点M的轨 迹方程是.【答案】v= 4x2【解析】设 M(x, y), B(xo, yo),贝U y0 = 2x2+ 1.又因为M为AB的中点，0 Xo即 X0=2X,yo=2

19、y+1,x= 2 ，所以,V0Ty 2 ，将其代入 yo= 2x0+1 得，2y+1 = 2(2x)2+1,即 y=4x2.3.已知圆C的方程为x2+y2=4,过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m, 设m与y轴的交点为N,若向量QmM + BN,求动点Q的轨迹._ X2 y2【答案】»20)【解析】设点Q的坐标为(x, y),点M的坐标为(X。，y0)(y0#0)则点N的坐标为 (0, y。).因为PQ = OM + PN,即(x, y)=(x°, 丫°) + (0, y0)=(刈,2%),则 x°= x, y0=2又因为点M在圆C上，所以 x2 +

20、y0 = 4,即 x2+、= 4(y#0) x2 y2所以动点Q的轨迹方程是+16= 1(y# 0)题型二定值、定点问题222_1 .已知椭圆C: a2 + $=1(a>b>0)的离心率为2 ,点(2, V2)在C上.(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A, B,线段AB的中 点为M证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.x2 y2一 一(1)xf+；=1(2)略【解析】(1)由题意有a2 b2 也 4 2=2,孑=1,解得a28, b2=4.i322所以C的方程为x + yr = 1.8 4(2)证明：设直线 l： y= kx+ b(

21、kQ bO) A(xn y) B%, y?), M(而, Ym).小、x2 y2一将y=kx+b代入之+/1,得(2k2+1)x2 + 4kbx+ 2b2 8=0.e x + x2 2kb., , b故 xM 2 2k2 + 1，yM k xM + b _2k2+1于是直线OM的斜率koM=yM= 1，xm2k口口，1即 koM k= 2所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.2 .已知动圆M恒过点(0,1),且与直线y=1相切.求圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(0, 2),且与点M的轨迹交于A, B两点，点C与点B关于 y轴对称，求证：直线 AC恒过定点.【答案】(1)x2 =

22、 4y略【解析】(1)由题意，得点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y= 1的距离, 由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y= - 1为准线的抛物线，则p=1, p= 2.圆心M的轨迹方程为x2 = 4y.证明：由题知，直线l的斜率存在， 设直线 l: y= kx 2, A(xi, yi), B(x2, y2),则 C( X2 , y2),x2= 4y联立得x2 4kx+ 8=0,y=kx 2,|xi+x2=4k,xi X2 8.22X1X2yi-y244 X1-X2kAC=Xi + X2 = Xi + X2=4'则直线AC的方程为yy1 =X1 4 X2(XX

23、1),X1-X2即 y=yi+4 (xXi)=Xi x2Xi Xi -X2 x2-4 X4 - 4Xi X2 XiX2 x+ V.c . Xi x2 , XiX2 Xix2 , c, XiX2= 8, . y= 4 x+ 4 = 4 x + 2,故直线AC恒过定点(0,2).22r 3、3.已知椭圆C： a2+ b2=i(a>b>0)上一点PJ, 2j与椭圆右焦点的连线垂直于 X 轴，直线I：y=kx+ m与椭圆C相交于A, B两点(均不在坐标轴上).求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，若MOB的面积为口，试判断直线OA与OB的斜率之积是 否为定值？x-12k2+3m23 4

24、k2m2 上 一 /曰 4k2m：=4m212 = - 433,由(*)式，得 F 3koA k0B= 4,即直线OA与OB的斜率N积为定值4.题型三最值(范围)问题1.已知平面内一动点M与两定点Bi(0, 1)和B2(0,1)连线的斜率之积等于一 (1)求动点M的轨迹E的方程；(2)设直线l: y=x + m(m小曲轨迹E交于A, B两点，线段AB的垂直平分线交 轴于点P,当m变化时，求4PAB面积的最大值. y23a2= 4,解得3,【答案】(1)4 +%=1(2) 3.【解析】(1)由题意知a 4b la2 = b2+1,，一 一，x2y2椭圆c的标准方程为了+y3=1.(2)设点 A(

25、xi, y”, B(x2,以1 ,CCC得(4k2+3)x2+ 8kmx+ 4m2 12 = 0,y=kx+ m,由= (8km)216(4k2+3)(m23)>0,得 m2<4k2 + 3.8km4m2 12 x1 + x2 = 4k2+ 3, x1x2= 4k2+3，Saoab =114 3 ；4k2+ 3-2|m|x1-x2|=2|m| -4k2 + 3m2-一=弧化简得4k2+ 3-2m2= 0,满足>0,从而有 4k2m2=m2 3(*), kx2+ mk2x1x2 + km x1 + x2 +m2X1X22 一=1,12.W kx1 + m-OA OB X1X2X

26、1X2【答案】（1）*+y2= l（x0）（2）32【解析】（1）设M的坐标为（x, y）, 1分依题意得y+1y-1 =12'x2化简得动点M的轨迹E的方程为x2+y2=1（x?0）(2)设 A(xi, yi), B(x2,均.x22+ y2= 1 xO , 联立2ly = x+ m,化简得 3x2+ 4mx+ 2m22= 0(x0).有两个不同的交点,由根与系数的关系得xi+x2=-4m，x1x2 =_ 2 -2m2 23-，. = (4m)212(2m2 2)>0, 即一出< m<#且 m# 1,0,1.设A, B的中点为C(xc, yc),整十用 2m则 xc

27、 = -=一可"，yc = xc + m的垂直平分线方程为my-3 =5+230/，令V= 0,得P点坐标为号，0）则点P到AB的距离d =2m 2，2mT由弦长公式得 |AB| = 2YX1+X224X1X2=手寸24 8m2,24-8m2露 _L SAPAB - 2 J232 亚2r2 m2 + 3 m2 22= 9/m 3 m < 9 、2= 3，当且仅当m2=2,即m= £26 （ J3,水）时，等号成立,.PAB面积的最大值为*. 3222.已知椭圆X2 + b2=1（a>b>0）离心率为J过点E（，7, 0）的椭圆的两条切线相互垂直.（1）求此

28、椭圆的方程；（2）若存在过点（t,0）的直线l交椭圆于A, B两点，使得FA，FB（F为右焦点），求t 的取值范围.【答案】（1）5+ yT= 1（2）巴上史6u |空空6,+如、4 3 '、 7 .7 ） c 1【解析】（1）由椭圆的离心率e= a= 2,得 a=2c, b2= a2 c2= 3c2.不妨设在x轴上方的切点为M,x轴下方的切点为N,由椭圆的对称性知kME = 1, 直线ME的方程为y=x+g,y=x+ 7联立义上消去y,l4c2+3c2=1整理得 7x2+ 8 7x+28- 12c2=0,由= (85)2 4X7><2812c2) = 0,得 c=1,.

29、. a= 2, b= /3,、I , x y2椭圆方程为n+3=i. 4 3(2)设 l 的方程为 x=my+ t, A(xi, y), B(x2, y?),f my+ t=x,联立x2 y2消去x,V整理得(3m2 + 4)y2 + 6mty+ 3t2 12 = 0,mi-6mt3t212y1 + y2=3m2+4' y1y2=3m2+4.又W = (xi1,必)，"FB = (x21, y2), .-."FT TB = (xi-1)(x2-1) + NN2=4x2 (x1 + x2) + 1 + NN2=(m2+1)wy2+ (mtm)(y1 +y2) + t2

30、2t+ 1 = 0, .,.(m2+1)(3t2-12)+(mt- m)(-6mt)+(t2- 2t + 1) (3m2 + 4) = 0, 化简得 7t2-8t-8=9m2.要满足题意，则7t28t 8=9m2有解，24 +672- 4 672/.7t2-8t-8>Q 解得 t> 7 .或 t*十.t的取值范围为一"6%，三6,十1. < 7 -7 ；一x2 y23.已知椭圆 + b2=1(a>b>0)的右焦点为F,直线PQ过F交椭圆于P,Q两点,且 |PF|max2|QF|min=ap(1)求椭圆的长轴与短轴的比值；(2)如图，线段PQ的垂直平分线与

31、PQ交于点M,与x轴，y轴分别交于D, E两点，求2的取值范围.OE【答案】(1)2(2) 1,二 9【解析】(1)设F(c,0), 则1PF|max=a+ c, |QF|min=a c, . a2c2 =， : b2+ c2 = a2,a2=4b2,长轴与短轴的比值为2a ： 2b = 2.22(2)由(1)知a=2b,可设椭圆方程为4b2+3=1.依题意，直线PQ的斜率存在且不为0,设直线PQ的方程为y = k(x c), PM,必)，Q(x2, 凡yy= k x c ,联立 x2 y2消去y,4b2+b2= 1得(4k2 +1)x2-8k2cx+ 4k2c2 -4b2= 0, 8k2c则

32、 x1 + x2= 4k2 + 1 ,一、 2kc y1 + y2 = k(x1 + x2 2c) = - 4k2 + 1 ,4k2ckc 'Mdk2+1， 4k2+LVMDXPQ,设 D(x3,0),kc1,4k2+1:ik2r k x34k2+1解得出 =段"1，.D3 3k2c Qk2+1，0;.DMFs/XDOE,3k2ckc2SFM时一/ 3k2c、 ©k2+1,-4k2+1J 忆91 +1 1出>9,. SD%的取值范围为S.DOE(9F题型四存在性问题1.如图，椭圆C： x2 + ay2一#= 1(a>b>0)经过点3、一 一 1 P

33、J, 2J,离/L、率e=万，直线l的万程为 x=4.求椭圆C的方程;(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,25记PA, PB, PM的斜率分别为K, k2, k3.问：是否存在常数 N使得ki + k2=入3?若存在,求入的值；若不存在，说明理由.22【答案】(1):+g=1(2)入=2 ,' 31 19-【解析】0)由pj, 2，在椭圆上得，/+后=1.依题设知a=2c,则b2=3c2.代入解得c2=1, a2=4, b2=3.一 一，x2 y2故椭圆c的方程为A + y-=1.4 3(2)由题意可设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=

34、k(x- 1).代入椭圆方程并整理，得(4k2 + 3)x2 8k2x + 4(k2 3) = 0.设 A(xi, yi), B(x2, y2),则有一 _8kL、,4 k2 3 小x1+X2=4k2+3' xlX2=4k2 + 3 .在方程中令x=4得，M的坐标为(4,3k).333yi2y223k21从而 ki = -7, k2 = "J , k3 = "2 T = k - 2.Xi 1 X2 I 4 12由于A' F, B三点共线，则有k= *=%口即有e= X2yh = k.3y12所以 ki + k2 = A +Xi i3Bi ="+x-

35、3 出1+ ； = 2k X2-13Xi + X2 22 xix2 xi + x2 + i.8k2.3 4卜2+3-2代入得 ki + k2= 2k- 2 4 卜2 38k2-= 2k- i,4k2 + 3 4k2 + 3一 i又k3=k 2,所以ki +k2 = 2k3.故存在常数 上2符合题息.2 .已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A,左焦点为Fi( 2,0), 点B(2,也)在椭圆C上，直线y=kx(k?曲椭圆C交于E, F两点，直线AE, AF分别与y轴交于点M, N.(i)求椭圆C的方程；(2)在x轴上是否存在点P,使得无论非零实数k怎样变化，总有/ MPN为直角？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.22【答案】(i)、+ yT = i(2)P(2,0)或 P(2