2020-2021中考数学直角三角形的边角关系提高练习题压轴题训练及答案

1、2020-2021 中考数学直角三角形的边角关系提高练习题压轴题训练及答案一、直角二角形的边角关系1图1是一种折叠式晾衣架晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC=OD=10分米，展开角 /COD= 60晾衣臂OA=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=6分米，且HO=FO=4分米.当/AOC=90时，点A离地面的距离AM为_分米；当OB从水平状态旋转到OB（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB上【解析】【分析】如图，作OP丄CD于P, OQ丄AM于Q,FK丄OB于K, FJL OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM，再分别求出BE, B即可.【详解】解：

2、如图，作OP丄CD于P,OQ丄AM于Q,FK丄OB于K,FJ丄OC于J./AM丄CD, /QMP= /MPO= /OQM=90四边形OQMP是矩形，-QM=OP,/OC=OD=10, /COD= 60； COD是等边三角形，OP丄CD,1 /COP=/COD= 30；2QM=OP=OC?cos30=、3（分米），/ /AOC= /QOP=90； /AOQ= /COP=30:1AQ= OA=5（分米），2AM=AQ+MQ=5+5 :.OB/CD, /BOD= /ODC=60在RtAOFK中，KO=OF?cos60=2（分米），FK=OF?sin60=23（分米），在RtAPKE中，EK=EF2F

3、K2=2、百（分米），BE=10-2-26=（8-26）（分米），在RtAOFJ中，OJ=OF?cos60=2（分米），FJ= 23（分米），在RtAFJE中，Ej62（2后=2晶, B =10-（2.6-2）=12-26,BE=4E故答案为：5+53,4.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决 问题，属于中考常考题型.2.如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53的方向上，位于哨所B南偏东37的方向上.(1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离;(2)若观察

4、哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76的方向前去拦截.求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截(结果保留根号)（参考数据：sin37=cos53 产cos37=sin53 去,tan37 笃2tan76 ）【答案】(1)观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；(2)当缉私艇以每小时6：17海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截【解析】【分析】在RtAOFK中，KO=OF?cos60=2（分米），FK=OF?sin60=23（分米），(1)先根据三角形内角和定理求出/ACB=90再解RtAABC,禾U用正弦函数定义得出经检验，v 6 .17

5、是原方程的解答：当缉私艇以每小时6.17海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截A1住【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形 的相关知识有机结AC即可；(2)过点C作CM丄AB于点M，易知，D、CM、AM.解RtAAMD中，求出DM、AD,据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶【详解】C、M在一条直线上.解RtAAMC,求出 得出CD.设缉私艇的速度为x海里/小时，根 解方程即可.AD所用的时间列出方程,(1)在厶 ABC中，ACB 180BAC 180375390.AC在RtVABC中，sinB AC，所以AB答：观察哨所A与走私船所在的位置(2

6、)过点C作CM AB，垂足为ACAB sin37 253515(海里)在RtVACM中,CMAM AC cosCAM在RtAADM中,tan所以MD AM tan76C的距离为15海里.由题意易知，AC sin CAM15 -9.5DAM MD,AM36.所以AD AM2MD2. 923 62设缉私艇的速度为v海里/小时，则有2416D、C、M在一条直线上415512，9 17, CD MD土17，解得vvMC 24.6 17合，体现了数学应用于实际生活的思想.3如图，在平行四边形ABCD中，平分FW|,交于点，平分 ，交：于点 ,；与交于点，连接，(1) 求证：四边形WI是菱形；(2)若咛d

7、求：的值【答案】(1)证明见解析(2)5【解析】试题分析：(1)根据AE平分/BAD BF平分/ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形(2)由菱形的性质可知AP的长及/PAF=60,过点P作PH丄AD于H,即可得到PH、DH的长，从而可求tan/ADP试题解析： TAE平分/BAD BF平分/ABC /BAE=ZEAF/ABF=ZEBF/ AD/BC/EAF=ZAEB/AFB=ZEBF/BAE=ZAEB/AFB=ZABFAB=BE AB=AFAF=AB=BE/ AD/BCABEF为平行四边形又AB=BEABEF为菱形(2)作PH丄AD于

8、H由/ABC=60而已（1）可知 /PAF=60,PA=2,则有PH=J,AH=1, DH=AD-AH=54.在正方形ABCD中，对角线AC, BD交于点0,点P在线段BC上(不含点B),考点：1、平行四边形;2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数tan1/BPE=2/ACB，PE交BO于点E过点B作BF丄PE垂足为F,交AC于点G.【解析】解：（1）证明：四边形ABCD是正方形，P与C重合, OB=OP, /BOC=ZBOG=90./ PF丄BG, /PFB=90,./GBO=90 ZBGO,/EPO=9O /BGO./GBO=ZEPO.BOGAPOE(AAS).(2)BF 1证明如下:PE

9、 2 ZPNE=ZBOC=9C, ZBPN=ZOCB. /ZOBC=ZOCB =4岁，岁，- ZNBP=ZNPB.NB=NP./ZMBN=90 ZBMN, ZNPE=9CZBMN, ZMBN=ZNPE.BMNAPEN (ASA). -BM=PE.1/ZBPE=ZACB,ZBPN=ZACB, ZBPF=ZMPF. 2/ PF丄BM, ZBFP=/ MFP=90.(1)当点P与点C重合时（如图1）.求证:B03POE(2)通过观察、测量、猜想:BFPE(3)把正方形其他条件不变值.BF1BF【答案】（1）证明见解析（2）1（3）竺PE2PE（用含a的式子表示）并结合图2证明你的猜想;（如图2又PF

10、=PF1 BPFAMPF(ASA)./ BF=MF，即BF=_ BM2 1二BF= PE,BF 1即PE 2(3)如图，过P作PM/AC交BG于点M,交BO于点N,1由(2)同理可得BF=BM,/MBN=/EPN.2/BNM=ZPNE=90),BMNsPEN.BM BNPE PN 在RtABNP中，tanBNBM2BF一tan，即一BF 1丄=tanPE 2PN PEPE(1)由正方形的性质可由AAS证得BOGAPOE(2) 过P作PM/AC交BG于M，交BO于N,通过ASA证明BMNPEN得到BF 1BM=PE,通过ASA证明BPFAMPF得到BF=MF,即可得出的结论.PE 21(3) 过

11、P作PM/AC交BG于点M，交BO于点”，同(2)证得BF= BM,2八十eBM BN亠BN口/MBN=/EPN,从而可证得BMNPEN,由和RtABNP中tan二即PE PNPN可求得旦匸=1ta n.PE 25.已知RtAABC中，AB是OO的弦，斜边AC交OO于点D,且AD=DC,延长CB交OO于点E.(1)图1的A、B、C D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；(2)如图2,过点E作OO的切线，交AC的延长线于点F.1若CF=CD时，求sin/CAB的值；2若CF=aCD(a0)时，试猜想sin/CAB的值.(用含a的代数式表示，直接写出结 果)【答案】(

12、1)AE=CE(2)汗；口+2.【解析】试题分析：(1)连接AE、DE,如图1,根据圆周角定理可得 /ADE=ZABE=90,由于AD=DC,根据垂直平分线的性质可得AE=CE(2)连接AE、ED,如图2，由/ABE=9 0可得AE是OO的直径，根据切线的性质可得/AEF=90,从而可证到 ADEAAEF,然后运用相似三角形的性质可得=AD?AF.当CF=CD时，可得I - - -U 丨，从而有EC=AE申CD,在RtADEC中运用三角函数可得DCsin/CED1，根据圆周角定理可得 /CAB=ZDEC即可求出sin/CAB的值；当CF=aCD( a0)时，同 即可解决问题.试题解析：(1)A

13、E=CE理由：连接AE、DE,如图1, / /ABC=90, / /ABE=90,/ /ADE=/ABE=90, /AD=DC AE=CE(2)连接AE、ED,如图2, / /ABE=90, AE是OO的直径，/EF是O00的切线，AE AD /AEF=90, /ADE=/AEF=90,。又/ /DAE=/EAF -ADE AEF,=AD?AF.当CF=CD时，AD=DC=CF AF=3DC,=DC?3DC= , AEDC, /EC=AEDCDCU3 11EC= DC, sin/CAB=sinZ CED= =；u+7 当CF=aCD( a0)时，sin/CAB=.CF=aCD AD=DC, /

14、 AF=AD+DC+CF=( a+2)CD,2 3=DC?(a+2)DC=(a+2),AE=DC,/EC=AE EC=DC,DCsin/CAB=sinZ CED=! i2易证 /DME=/CBA/ACB=/MED=90，从而可证明MEDsBCA;3由/ACB=90，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明/AMD=/CMD，从而可利用全等三角形的判定证明AMDCMD；團1考点：1圆的综合题；2探究型；3存在型.6.已知：如图，在RtAABC中，/ACB=90,点M是斜边AB的中点，MD/BC,且MD=CM,DE丄AB于点E,连结AD、CD.(1) 求证：MEDsBCA;(2)求证

15、：AMD CMD;17设厶MDE的面积为S,四边形BCMD的面积为9，当S2=Si时，求cos/ABC的55(2)证明见解析；(3)cos/ABC7(3)【解析】212(3)易证MD=2AB，由(1)可知：MEDsBCA,所以SSVACBMDAB-，所以41SA MCB=SAACB=2SI，从而可求出223SAEBCFS2-MCBSi= Si，由于 -5SVEBDMEIB，从而可知ME 5，设ME=5x,EB=2x,从而可求出AB=14x,BC=7，最后根据锐角三角函数的EB 22定义即可求出答案.【详解】(1) /MD/BC, /DME=ZCBA/ACB=ZMED=90 MEDsABCA;(

16、2) /ZACB=90，点M是斜边AB的中点,MB=MC=AM， ZMCB=ZMBC，/ZDMB=ZMBC， ZMCB=ZDMB=ZMBC，/ZAMD=180- ZDMB，ZCMD=180 ZMCB-ZMBC+ZDMB=180 ZMBC， ZAMD=ZCMD，在厶AMD与厶CMD中，MD MDAMD CMD，AM CM AMDACMD(SAS；(3) /MD=CM，AM=MC=MD=MB，MD=2AB，由(1)可知：MEDsABCA,2SMD丄S/ACBAB4SAACB=4SI，/ CM是厶ACB的中线,SAMCB=1SAACB=2S， SAEBCFS? - SAMCB-SI=2SI5，212

17、13SiME.ME 5EB 2，设ME=5x,EB=2x.MB=7x, AB=2MB=14x,.MD ME1AB BC 2BC=10 x,cos/ABC=BC 10 x5AB 14x7【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综 合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键7.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD/AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ OP,AP的延

18、长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F（点F与4点C、D不重合），AB 20,cos AOC设OP x,CPF的面积为y.5（1）求证：AP OQ；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当OPE是直角三角形时，求线段OP的长.2【答案】（1）证明见解析；（2）y3x 60 x 300（50 x 10）；（3）OP 8MESVEBDEB13【解析】16【分析】(1)证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ，联结OD后还有OA DO，再结合要证明的结论AP OQ，则可肯定需证明三角形全等，寻 找已知对应边的夹角，即POA QDO即可；(2)根据PF

19、CsPAO，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；(3)分4成三种情况讨论，充分利用已知条件cos AOC、以及(1)(2)中已证的结论，注5意要对不符合(2)中定义域的答案舍去.【详解】(1)联结OD, /OC OD, OCD ODC, CD/AB,OCD COA,POA QDO. 在AOP和ODQ中,OP DQ POA QDO,OA DOAOP也ODQ, APOQ;(2)作PHOA，交OA于H,4 cos AOC5，OH443OPx,PHx,555-SAOP1AO PH3x.2-CD/ABPFCsPAO,ySAOP(笋(冒2x- y23x 60 x 300 x当F与点D重合时,4 C

20、D 2OC cos OCD 2 1016,5x10 x，解得x5013，16203&如图，AB为e O的直径，C、D为eO上异于A、B的两点，连接CD，过点C作CE DB，交CD的延长线于点E，垂足为点E,直径AB与CE的延长线相交于点（1） 连接AC、AD，求证：DAC ACF 180（2）若ABD 2 BDC.1求证：CF是e O的切线32当BD 6,ta nF时，求CF的长4.3x260 x 300(50 y13(3)当OPE 90时,OPOA cos AOC 10POE90时，CQOPDQ5013OPOPx 10)；OPA 90,OC10cos QCOcosAOC102545C

21、D CQ CD251610,当PEO90时,AOQDQO,AOP也ODQ,DQOAPO,AOQAPO,AEOAOP综上，线段OP的长为8. CD/AB,当90，此时弦CD不存在,7（舍去）；25故这种情况不符合题意，舍去;D203【解析】【分析】【答案】（1）详2）详见解析；CF(1)根据圆周角定理证得 /ADB=90,即卩AD丄BD,由CELDB证得AD/CF,根据平行线 的性质即可证得结论；(2) 连接0C.先根据等边对等角及三角形外角的性质得出/3=2/1,由已知/4=2/1,得到/4=/3，贝U OC/ DB,再由CELDB,得到OCLCF,根据切线的判定即可 证明CF为OO的切线；B

22、D 34由CF/ AD,证出 /BAD=/F,得出tan/BAD=tan/F=，求出AD= BD=8，禾UAD43OC3用勾股定理求得AB=10,得出OB=OC= 5,再由tanF=，即可求出CF.CF4【详解】解：(1)AB是e O的直径，且D为e O上一点，ADB 90,QCE DB,DEC 90,CF /AD,DAC ACF 180.(2)如图，连接OC.Q OA OC,12.Q 312,32 1.Q 4 2 BDC,BDC 1,42 1,43,OC /DB.QCE DB,OC CF.又Q OC为eO的半径，由（1）知CF /AD,BAD F,3tan BAD tanF4BD 3AD 4

23、.Q BD 64AD - BD 8,3AB；68210，OBC 5.QOC CF,OCF 90,tanFOC 3CF 4，解得CF203.【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度， 特别是（2）中 ，需要运 用三角函 数、勾 股定理和 由平行 线得出比 例式才能 得出结 果.9如图，建筑物上有一旗杆川，从与相距“协的円处观测旗杆顶部川的仰角为, 观测旗杆底部的仰角为，求旗杆 的高度（参考数据：sin5Ofl0.77,匚DSSO。=0启勺，怡门50。= 1*19）A【答案】旗杆的高度约为F总制.【解析】【分析】BC在RtABDC中，根据tan/BDC

24、求出BC,接着在RtAADC中，根据14ClAB-BCtan/ADC=p=, 即可求出AB的长度【详解】BC解：-在RtBDC中，tan/BDC= . =1, - - BC=CD= 40mAC AB + BC:在RtAADC中，tan/ADC=: AB 7.6m答：旗杆AB的高度约为7.6m.【点睛】此题主要考查了三角函数的应用B 60,AB 4.点P从点A出发以每秒2个单位的速P作PQ AC交边AB于点Q，过点P向上作PN / AC，且PN3PQ，以PN、PQ为边作矩形PQMN设点P的运动时间为t 2(秒)，矩形PQMN与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S.PQ=23t,PN=3PQ=3t,

25、S=矩形PQMN的面积=PQX PN即可得出2佃+40tan50 =40=1.19CD10.如图， 在菱形(1)用含t的代数式表示线段PQ的长.(2)(3)当点M落在边BC上时，求t的值当0 t 1时，求S与t之间的函数关系式，如图，若点O是AC的中点，作直线OM 当直线OM将矩形PQMN分成两部分图(1)PQ 2 ,3t ; (2)4； (3)19、3t240、3t 16.3 ;52(4)t-或t 8.7【解析】【分析】(1)由菱形性质得 /D=ZB=60,AD=AB=CD=4ACD是等边三角形，证出 三角形，得出PF=QF, PF=PA?sin60=31,即可得出结果；(2)当点M落在边P

26、N= PQ=3t,得出2APQ是等腰BC上时，由题意得： PDN是等边三角形，得出PD=PN,由已知得PD=3t,由题意得出方程，解方程即可;(3)当0vt二时,5形的面积比为1：时，直接写出t的值结果；当4vtV1时，PDN是等边三角形，得出PE=PD=AD-PA=4-2t5/FEN=ZPED=60, 得出NE=PN-PE=5t-4 FN=3NE=3(5t-4),S=矩形PQMN的面积-2EFN的面积，即可得出结果；二时，ACD是等边三角形，AC=AD=4,得出0A=2,OG是5MNH的中位线，得出OG=4t-2,NH=2OG=8t-4,由面积关系得出方程，解方程即可；当4vtW2寸，由平行

27、线得出0E2AMEQ，得出 巨 匹，即一乙亠,5EQ MQ EF 3t 3t解得EF=2 3t3尸，得出EQ=3t2 3t3t，由三角形面积关系得出方程，解方4t 24t 2程即可.【详解】(1)在菱形ABCD中，/B=60, /D=ZB=60,AD=AB=CD=4ACD是等边三角形, /CAD=60,/ PQ丄AC, APQ是等腰三角形，PF=QF,PF=PA?sin60PQ=2.3t;2所示:由题意得：PDN是等边三角形,PD=PN,PN=3X2 3t=3t2 2PD=3t,/PA+PD=AD即2t+3t=4,解得：t=4.5(3)4一当0vt时，如图1所示:5(4)分两种情况：当0Vt(

28、2)当点M落在边BC上时，如图3S=矩形PQMN的面积=PQX PN=2 3 tX3t=63t2；4当_vtv1时，如图3所示:5 3PDN是等边三角形， PE=PD=AD-PA=4-2t/FEN=ZPED=60, NE=PN-PE=3t-(4-2t)=5t-4,FN=3NE=3(5t-4),S=矩形PQMN的面积-2AEFN的面积=6. 3t2-2g X 3(5t-4)2=-19t2+403t-163, 即S=-19t2+40 .3t-163;AC=AD=4,/ O是AC的中点，4所示:OA=2,OG是厶MNH的中位线，OG=3t-(2-t)=4t-2,NH=2OG=8t-4,1MNH的面积二一MNDE,当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，OE丄DM,又AD=AC, ADC为等边三角形， /CAD=60 /DAO=30 /DON=60:| 512)1在RtAADN中，DN=_ AD=32，在RtAODN中,ON=DN=13，当ON等于1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；当MD=ME,DE为底边，如图3，作DH丄AE, AD=2、3, /DAE=30DH= 73 , /DEA=60DE=2, ODE为等边三角形，OE=DE=2,OH=1,/ ZM= ZDAE=30；而