专题六指数与指数函数(2021年高考数学一轮复习专题)

1、专题六指数与指数函数一.题型全归纳题型一指数幕的化简与求值【题型要点】指数S运算的一般原则（箱聶萼点兎扫孑§量石芜聶莓矗兎壬霜竅品赛 /:墓 M i站爪；i站林示花应i篇羲示k韧破1 / </弟亦定務事应鼓臭4破：疑:I乡遨L廈炊星替冬毁昭二览色理岐金奧；：ii¥7忑花另亦 o:藝冠N i¥« WL 实痙不化雯讯指.数題身更鱼隹庾主解笋【提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数幕，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一.2【例1】计算：（1）-3|+（0.002）孑一10（迈一2）】+ （返一帝）。：%尹讦>0,(a4/) 4a3b3b&g

2、t;Q).2【解析】（1）原式=（-l）-fvfe+1=27 Y 亍14+ 50()2 10(迈+2)+1 =§+1用-诽 - 20+1 =-竽原式=誌+卜1+扭+卜2吕卡ab2a3b3 题型二指数函数的图象及应用【题型要点】1 指数函数图象的画法及应用（1）画指数函数y=ax（a>0,且時1）的图象,应抓住三个关键点：（1, a）, （0, 1）,（2）已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点判断所给图象是否过这些点，若不满足则排除.与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用最基本的指数函数的图象，通过平移、对称变换，得到英 图象，特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分

3、类讨论.（4）一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解2. 指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数y=乩丁=已的图象，底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>l>a>b>0. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y=%>0,时1）的图象越高，底数越大.【例1 （2020河北武邑中学调研）函数_y=e XT的大致图象是（）【解析】：因为一1$0,所以0<e*】Me。，即0<y=e1,故选B【例21若直线，=2a与函数y=|-l|（>0且辱1）的图象有两个公共点，则a的取值范囤是.【解析】:

4、当Owl时，3，=|/1|的图象如图一因为y=2t7与歹=厅一1|的图象有两个交点，所以0<2尺1, 所以gvg当Q1时，），=|/一1|的图彖如图，而y=2a>l不可能与y=|av-l|有两个交点.综上，（X<|.型三指数函数的性质及应用命题角度一比较指数幕的大小【题型要点】比较指数慕大小的常用方法一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽 可能化同底.二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值（特别是0, 1）比较大小，然后得岀 大小关系.三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平而直角坐标系中作出它们

5、的函数图象，借助图象比较大小.【例1 （2020-陕西榆林一中模拟）已知心5=2气c=则下列关系式中正确的是（A c<a<bC. a<c<bB. b<a<cD. a<b<c【解析】把b化简为Z>= | 而函数- 在R上为减函数,12丿2 >即 b<a<c.12丿【例 2】已知 e be（O, l）u（i, +oo）,当 x>0 时，则（A. OGvavlB. grGvlD. l<a<b!T<【解析】：因为Q。时，心，所以QL因为Q。时，Z所以护。时，日>1所以凯，所以品所以1VW.故选C.命题

6、角度二解简单的指数方程或不等式【题型要点】解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解.要特别注意底数a的取值范用，并在必要时进行分类讨论./ 、，+or【例3】不等式占丿恒成立®的取值范围是1 Vx（ 1 -?+av了1、2士-2【解析】 由题意，鬥計是减函数，因为IjJV寸恒成立,所以 x2+ax>2x+a2 恒成立，所以 x2-（a2）xa+2>Q 恒成立，所以/=（a2）24（一a+2）v0,即（°一2）（°2+4）<0,即（a2）（a+2）<0,解得-2<a<2,即a的取值范围是（一

7、2, 2）.命题角度三 研究指数型函数的性质【题型要点】求指数型复合函数的单调区间和值域的方法形如），=少论>0,且曲1）的函数求值域时，要借助换元法：令“十心），先求出"=?的值域，再利用尹 =a"的单调性求出y=v>的值域.形如y=/%7>0,且洋1）的函数单调性的判断，首先确定圮义域Q,再分两种情况讨论：当a>l时，若金）在区间（加，“）上（其中伽“）GD）具有单调性，则函数y=（±区间伽，“）上的单调性与金） 在区间伽，”）上的单调性相同：当（Xavi时，若夬x）在区间伽，“）上（其中（加，n）UD）具有单调性，则函数y=a（

8、77;区间伽，“）上的单调性与 兀丫）在区间伽，“）上的单调性相反.【例4】已知函数沧）=2"旳伽为常数），若金）在区间2, +oo）上是增函数，则加的取值范围是【解析】令t=2x-m.则r=|2x-|在区间 给+eo上单调递增，在区间-oo,- 上单调递减.而 尸2,-2 丿 2 _为R上的增函数，所以要使函数夬x）=2k”i在2, +©上单调递增，则有弄2,即叱4,所以加的取值范 囤是（ 00, 4.型四 换元法求解指数型函数的有关问题【题型要点】对于同时含有/与a（aX）且辱1）的函数、方程、不等式问题，通常令尸於进行换元巧解, 但一定要注意新元的范围；对数型函数的类

9、似问题，也要用换元法【例1】已知函数金）=伞+加公一2在区间一2, 2上单调递增，求加的取值范用.【解析】 设r=2则心）=半+加22=卢+加一2.因为xe-2, 2,所以炖 1,4_4 .又函数金）=半+心一2在区间一2, 2上单调递增，即夬耳=*+加一2在区间片，4上单调递增,故有一解得W>-|.所以加的取值范围为【例2】已知函数用）=（*，为常数，且函数的图象过点（T，2）.求a的值；若g（x）=4 x-2,且g（x）=y（x）,求满足条件的x的值.【解析】：由已知得匸12丿（1=2.解得a=l.由知金）=一又能）=刃>），则4*2=（丄即（5+円，又“故日,即住r解得一故满

10、足条件的的值为7二、高效训练突破一、选择1.若实数a>0,则下列等式成立的是（）A（一2）一2=4B. 2八_2”C. （一2）°= 一 1D.g1 2【解析】：对于A, （2尸=/故A错误：对于B, 2八=討故B错误：对于C, （一2）。=1,故C错误:1 1对于 D, （a 4）4=-2.函数金）=/幺>0,洋1）的图象恒过点儿 下列函数中图象不经过点/的是（）A. y=yjlx B y=|x2| C y=2x1 D y=log2（2x）【解析】：由Hx）=”Y i（a>0, aWl）的图象恒过点（1，1）,又0=7口，知（1. 1）不在的图象上.3. 若函数&

11、amp;）=（2a5）/是指数函数，则介）在立义域内（）A.为增函数B.为减函数C.先增后减D.先减后增【解析】：由指数函数的泄义知2a-5 = l,解得a=3,所以金）=33所以冗丫）在左义域内为增函数.4. 设函数刃=卫°与g（x）=/（a>l且aM2）在区间（0, +8）上具有不同的单调性，则M=（al）。与N=的大小关系是（）A. M=N B. M<N C. M<N D. M>N(a 1)° 41, N=所以M>N,【解析】：因为y（x）=x2 与g（x）=/（a>l且a*2）在区间（0, +8）上具有不同的单调性，所以a>

12、2,所以M= 故选D.5设宀，则C的大小关系是（）D. b>a>cA a>c>b B c>a>b C a>b>c【解析】Z?=2.5°=l, c= - I =2-2.5,贝Ij2-2.5<1<22.5,即 c<b<a. (2丿6. 已知函数Xx)=2*-2则函数y=f(x)的图象可能是()2*2,【解析】 金）| = 02|=* J / 易知函数=金）|的图象的分段点是x=l,且过点（1,0）, （0.1）,2 x<L.又!所以B项正确.故选B.7. 已知Xx）=3A 2<X<4> b为常

13、数）的图象经过点（2, 1）,则金）的值域为（）A9, 81B. 3,9Ch 9D1,4-oc）【解析】：心）过左点（2, 1）知b=2,金）=3厂2且在2,4上是增函数，y（x）mm=y（2）= 1, Xx）m3X=X4） = 9.A（0, +oc）B. （0, 1）8. 已知函数y=kx+a的图象如图所示，则函数=川十的图象可能是（）【解析L 由函数y=kx+a的图象可得XO, Ovgl.因为函数y=kx+a的图象与x轴交点的横坐标大于1, 所以k>_,所以一lvXO函数的图象可以看成把的图象向右平務一k个单位长度得到的，且 函数y="k是减函数，故此函数与y轴交点的纵坐标

14、大于1,结合所给的选项，选B.1 2 3 x>0»9. 已知函数Xv）=x . c则函数金）是（）.21，x<0»A.偶函数，在0, +*）内单调递增B.偶函数，在0, +*）内单调递减C.奇函数，且单调递增D.奇函数，且单调递减【解析】：易知久0）=0,当x>0时，加）=1 一2=, 犬X）=2*_l,此时一xvo,则X x）=2° 1 = 一刃>）； 当xvO时，只力=2*1, -Av）=l-2此时一x>0,则人一火）=1一2-厂=1一严=一金）即函数Xx）是奇函 数，且单调递增，故选C.2X10. （2020辽宁大连第一次（3月

15、）双基测试）函数y=（xER）的值域为（）C. (1, 4-oo)D. 0,ij” 2*+1一1 1【解析】：y=Y=+ =1一¥?因为2*>0,所以1+严>1,所以0<十产1, -1<-<0, 0<1云*1,即(X><1,所以函数丁的值域为(0, 1),故选B.简 化1111【解析L原式/ '叮严1 一 a-5_61-31疔16.1一22.（2020届陕西宝鸡中学月考）如果函数金+1）宦义域为0, 3,则函数只2乍的左义域为【解析】：对于函数v=y（x+l）,该函数的定义域为0, 3,即 Z3,得1 <x+l<4.

16、对于函数y= 则有1殳解得gQ因此，函数y=f）的宦义域为0, 2.、.z3不等式2 宀计寸 的解集为 l<x<4.【解析】：不等式2宀七丿可化为Q>等价于 W2xVx+4,即 X?3X-4V0,解得一4若函数金）=严畑0,畔1）满足只1）=£,则介）的单调递减区间是1I1【解析】：由爪）=扌得a2气.又Q0,所以a = y因此皿=-因为或0=|2%4|在2, +g）上单调递增，所以刃X）的单调递减区间是2, +©5设偶函数能）="吶在（0, +oo）上单调递增.则g与g（ll）的大小关系是【解析】：由于g(x)=M®是偶函数，知b=0

17、,又g(x)=d"i(O, +oo)上单调递增，得Q1.则 l)=g( l)=g(l),故 g(d)>g(l)=g(b 1)6.已知函数y(x)="Y(a>0, al)在区间一1，2上的最大值为8,最小值为加.若函数g(x)=(3 10加)&是单调 递增函数，则“=.【解析】：根据题意，得3 10加0 解得加v命 当°>1时，函数金)=/在区间一 1, 2上单调递增，最大值为，=8,解得a=2&,最小值为加】=寺=乎爲，不合题意，舍去；当gvl时，函数Xx)=av在区间一 1, 2上单调递减，最大值为八=8,解得a=l，最小值为加

18、=*=吉 培，满足题意.综上，三、解答题1.(2020福建养正中学模拟)已知函数心)=23 g(x)=W+2m(3仝三3).(1)若g(x)在一3, 3上是单调函数，求a的取值范围；当a = 1时，求函数p=/(g(x)的值域.【答案】(1)(-co, 一3U3, +*)；【解析】：(l)g(x)=(x+a)2於图象的对称轴为直线x=-a,因为g(x)在一3, 3上是单调函数，所以一必3 或一恋一3,即a<3或aN3.故a的取值范用为(一8, 3U3, +oc).x3_2x当 4=一1 时，Xg(-v)=2 一(一3。三3)令"=x2-2x, y=2M.因为xW3, 3,所以”=工一2%=匕一1)2 1W1, 1习.而y=T是增函数，所以扫02®所以函数y=(x)的值域是丄2疔.2 .，+b2已知立义域为R的函数心)=尹不是奇函数.求e b的值；解关于t的不等式-2OW-i