初二数学上学期知识点和典型例题总结

1、全等三角形类型一：全等三角形性质的应用1、如图， ABdAACE AE=AC写出图中的对应边和对应角A思路点拨：AB=AC， AB和AC是对应边，/ A是公共角，/ A和/ A是对应角，按对 应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解解析：AB和AC是对应边，AD和AE BD和CE是对应边，/ A和/ A是对应角，/ B和/ C / AEC和/ ADB是对应角总结升华：两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第 三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角举一反三：【变式1】如图， ABC2A DBE问线段A

2、E和CD相等吗？为什么？【答案】证明：由厶 ABCA DBE得AB=DB,BC=BE 贝V AB-BE=DB-BC 即卩 AE=CD【变式2】如右图，二£二三三匚F，匸二：日；。求证：AE/ CF证明 vUDE 三 ACBF,【答案】 一亠一 一 一- AE/ CF2、如图， A ABCA DEF, Z A=30°,Z B=50°, BF=2,求/ DFE的度数与 EC的长。思路点拨：由全等三角形性质可知：Z DFE=Z ACB EC+CF=BF+FC所以只需求Z ACB的度数与BF的长即可。解析：在A ABC中,Z ACB=180 - Z A- Z B, 又Z

3、A=30°,Z B=50°, 所以Z ACB=100 .又因为 A ABCA DEF, 所以Z ACBZ DFEBC=EF全等三角形对应角相等，对应边相等所以Z DFE=100EC=EF-FC=BC-FC=FB=2总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。举一反三：【变式 1】如下图，A ACDA ECD A CEFA BEF, Z ACB=90求证：(1) CD£ AB ( 2) EF/ AC.【答案】(1 )因为 A ACDA ECD所以Z ADCZ EDC全等三角形的对应角相等EDC=90因为Z ADCZ EDC=180，所以Z ADCZ所以CDL AB

4、.2 因为 A CEFA BEF,所以/ CFE= BFE 全等三角形的对应角相等 因为/ CFE+Z BFE=180 ,所以/ CFE=/ BFE=90 .因为/ ACB=90 ,所以/ ACB=/ BFE. 所以 EF/ AC.类型二：全等三角形的证明3、如图，AC= BD, DF= CE / ECB=Z FDA 求证： ADFA BCE思路点拨：欲证 ADFA BCE由可知已具备一边一角，由公理的条件判断 还缺少这角的另一边，可通过 AS BD而得解析： AC= BD AB-BD= AB-AC等式性质 即 AD= BC在厶ADF与 BCE中AD = BC 己证 ZroA = ZECB D

5、F二C瓦 ADFA BCESAS总结升华：利用全等三角形证明线段角相等的一般方法和步骤如下: 找到以待证角线段为内角边的两个三角形，2证明这两个三角形全等；由全等三角形的性质得出所要证的角线段相等.举一反三:【变式1】如图， AB/ DC AB= DC 求证：AD/ BC【答案】T AB/CD在厶 ABDm CDB中一-m已证BD=皿已那 ABDA CDBSASZ 1 = Z 2全等三角形对应角相等 AD/ BC内错角相等两直线平行【变式2】如图， EB丄AD于B, FC丄AD于C,且EB= FC, AB= CD.求证AF = DE【答案】t EB丄AD Z EBD= 90° 垂直定

6、义同理可证Z FCA= 90 ° Z EBD=Z FCA AB= CD BC= BC AC= AB+BC=BC+CD=BD在厶ACFRA DBE中AC = DB 己证彳 ZFCA= ZEBD 已证BGFC = EB 己知 ACFA DBES. A. S AF= DE全等三角形对应边相等类型三：综合应用4、如图，AD为A ABC的中线。求证： AB+AO2AD.思路点拨：要证AB+AO2AD由图想到：AB+BD>ADAC+CD>A，所以AB+AC+BO2AD所以不能直接证出。由 2AD想到构造一条线段等于 2AD,即倍长中线解析：延长AD至E,使DE=AD连接BE因为AD为

7、A ABC的中线，所以BD=CD.在 A ACD和 A EBD中,* ZBDE=ZADC 对顶甬相等AP 二 ED 已作所以 A ACDA EBD(SAS).所以BE=CA.在 A ABE中, AB+BE>AE 所以 AB+AC>2AD.总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中举一反三：【变式1】：如图，在延长线于E,Rt A ABC中, AB=ACZ BAC=90 , Z 1 = Z 2, CEL BD的求证：BD=2CE.【答案】分别延长 CE BA交于F.因为BE! CF,所以Z BEF=/在 A BEF和 A BEC中,BEC=90 .-BE二BE.公共

8、边 乙BEF二Z：聽C 己证所以 A BEFA BECASA.丄所以 CE=FE= CF.又因为/ BAC=90 ,BE 丄 CF.所以/ BAC=z CAF=90，/ 1+Z BDA=90，/ 1+Z BFC=90所以/ BDA=/ BFC.在 A ABD和 A ACF中,MC二ZCL4F,垂直定义* BDA = Z1BFC,己证=UC所以 A ABDA ACFAAS所以BD=CF所以BD=2CE.5、如图，AB= CD BE= DF, Z B=Z D,求证：1AE = CF, 2AE II CF, 3 Z AFE=Z CEF思路点拨：1直接通过厶ABEA CDF而得，2先证明Z AEB=Z

9、 CFD 3由12可证明 AEFA CFE而得，总之，欲证两边角相等，找这两边角所在的两 个三角形然后证明它们全等.解析：1在厶 ABE与 CDF中AL=CD 己知彳己证BEDF 己知L ABEA CDFSAS AE= CF全等三角形对应边相等2vZ AEB=Z CFD全等三角形对应角相等 AE/CF内错角相等，两直线平行3在厶AEF与厶CFE中AE = CF己证T 彳 ZAEF = ZCFE 已证 EF = FE公共边 AEFA CFESASZ AFE=Z CEF全等三角形对应角相等总结升华：在复杂问题中，常将全等三角形的对应角边作为判定另一对三角形全等的条件.举一反三：【变式1】如图，在

10、ABC中,延长AC边上的中线BD到F,使DF= BD,延长AB 边上的中线 CE到G 使EG= CE求证 AF = AG【答案】在厶BCE中AETE 己知ZAEG = ZBEC 对顶角相等GE=CE 己知 AGEA BCESAS AG= BC全等三角形对应边相等在厶AFD CBD中rAD = CD 己知T彳ZADF= ZCDE对顶角相等FD = ED 己知I AFDA CBDSAS AF= CB全等三角形对应边相等 AF= AG等量代换6、如图 AB = AC BD丄 AC于 D, CEL AB于 E, BD CE相交于 F.求证：AF平分/ BAC思路点拨：假设能证得得 AD=AE由于/ A

11、DB Z AEC都是直角，可证得 Rt ADFRt AEF而要证 AD=AE就应先考虑 Rt ABD与 Rt AEC由题意 AB=AC Z BAC是公共角，可证得 Rt ABd Rt ACE解析：在 Rt ABD与 Rt ACE中ZBAD = ZCAE公共角Z ADB = ZAEC = 90* 垂直的定义 Rt AB医 Rt ACEAASAB = AC AD=AE全等三角形对应边相等在 Rt ADF与 Rt AEF中=公共边AD 二 AB 己证 Rt ADF Rt AEFHL Z DAF=/ EAF全等三角形对应角相等 AF平分Z BAC角平分线的定义总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过

12、屡次三角形全等得出待求的结论。举一反三:【变式1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.【答案】根据题意，画出图形，写出，求证.：如图，在A B C'中.AB=A B', BC=B C , AD丄 BC于 D,A' D'丄 B ' C '于 D '且 AD=A D求证： ABCA A B' C'证明：在 Rt ABD与 Rt A ' B ' D 中相等在厶 ABC与 A' B ' C 中AB二口己知v Zb = Zb 1 己证 BC 二 B ' C，己知 ABCA A

13、' B' C ' (SAS)【变式2】，如图， AC BD相交于O, AC=BDZ C=Z D= 90° 求证：OC=OD【答案JvZ C=Z D=90° ABD ACB为直角三角形在 Rt ABD和 Rt ABC中Jab = ab (公用) |bd = AC (己知) Rt AB医 Rt ABC(HL) AD=BC在厶 AODn BOC中2d二 Zc己知1 ZAOD = ZBOC对顶角相等AD 二 己证 AODA BOC(AAS) OD=OC7、/ ABC中，AB=AC D是底边BC上任意一点，DEI AB, DF丄AC, CGL AB垂足分 别是

14、 E、F、G.试判断：猜测线段 DE、DF CG的数量有何关系？并证明你的猜测。思路点拨：寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径解析：结论：DE+DF=CG方法一：截长法板书此种方法3分钟作 DMIL CG于 MTDE丄 AB CGI AB DML CG四边形EDM是矩形DE=GMDM/AB/Z MDCZ B AB=ACZ B=Z FCDZ MDCZ FCD而 DMLC( DF丄 AC Z DMCZ CFD在/ MD(和/ FCD中ZDWCFDDC = CD / MDS FCD( AASMC=DF DE+DF=GM+MC=CG总结升华：方法二补短法作 CML ED交ED的延长线于M 证明过程略

15、总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法方法三面积法使用等积转化引申：如果将条件“ D是底边BC上任意一点改为“ D是底边BC的延长线上任意 一点，此时图形如何？ DE DF和CG会有怎样的关系？画出图形，写出你的猜测并加 以证明举一反三：【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：1截长法2补短法3面积法轴对称连半圆，其中一定是轴对称图考点一、关于“轴对称图形与“轴对称的认识典例1 .以下几何图形中O1线段 ？角 笆直角三角形形的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2 正n边形有条对称轴，圆有 条对称

16、轴考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称典例：1、如图，RtKBC ZC=90°, ZB=30°,BC=8, D为 AB中点,P为BC上一动点，连接 AP DP,贝V AP+DP勺最小值是2、等边 ABC E在BC的延长线上，CF平分ZDCE P为射线BC上一点，Q为图2CF上一点，连接 AP、PQ假设AP=PQ求证/ APQ是多少度考点四、线段垂直平分线的性质线段的垂直平分线上的点到相等归类回忆角平分线线段是轴对称图形，它的对称轴是 的性质角是轴对称图形，其对称轴是 角平分线上的点到相等典例1、如图， ABC中，/ A=90°,BD为/ABC平分线，DEIBC,

17、E是BC的中点，求/ C 的度数。2、 如图，AABC中，AB=AC PB=PC连AP并延长交 BC于 D,求证：AD垂直平分 BC3、 如图，DE是 ABC中AC边的垂直平分线，假设 BC=8厘米，AB=10厘米，那么 EBC 的周长为A.16厘米 B.18 厘米 C.26 厘米 D.28 厘米4、如图，/ BAC=30 , P是/BAC平分线上一点，PM /AC PD丄AC, PD=28 ,贝V AM=B5、如图，在 Rt ABC中，Z ACB = 90° , Z BAC的平分线交 BC于D. 过C点作MACGL AB于G,交AD于E.过D点作DF丄AB于F.以下结论：Z CED

18、Z CDE S aec : S aeg AC : AG ;Z AF=2 ZECDCDBS CED S dfb :CE=DF.其中正确结论的序号是A B C D 考点五、等腰三角形的特征和识别典例 1、如图， ABC中, AB=AC=8 D在 BC上，过 D作 DE II A交 AC于 E, DF II ACC交AB于F,那么四边形AFDE的周长为。2、如图，AABC中，BD CD分别平分Z ABC与ZACB EF过D3、 且 EF/BC 假设 AB = 7 , BC = 8 , AC = 6，那么AAEF周长为A. 15 B . 14 C. 13 D. 184、如图，点B D F在AN上,C、

19、E在AM上，且AB=BC=CD=ED=EZA=20°,那么 Z FEB=度.4、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，那么它的一个底角的度数是5、mBC中，DF是AB的垂直平分线，交 BC于D, EG是 AC的垂直平分线，交 BC于E,假设 ZDAE=20，那么ZBAC等于°6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，那么原等腰三角形纸片的底角等于7、，在 ABC中，/ACB=90，点D E在直线 AB上，且 AD=AC BE=BC 贝U/DCE = 度8、如图：在厶ABC中, AB=AC AD丄BC, DE丄AB于点E, DF丄A

20、C于点F。试 说明DE=DF9、如图,E在ABC的 AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F,DF=EF BD=CE.求证： ABC是等腰三角形.考点六、等边三角形的特征和识别等边三角形的各相等，各相等并且每一个角都等于三个角相等的三角形是三角形有一个角是60°白三角形是等边三角形特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线典例1、以下推理中，错误的选项是A.vZA=ZB=ZC,AABC 是等边三角形 B.VAB= AC,且/B=ZC,aKBC 是等边 三角形等边三角形2、如图，等边三角形ABC中, D是AC的中点,E为BC延长线上一点，且 CE= CD DM丄BC,垂足为M求

21、证：M是BE的中点。考点七、30°所对的直角边是斜边的典例1、如图，是屋架设计图的一局部，点于横梁 AC, AB=8m ZA=30°，贝V DE等于(A. 1mB . 2m C . 3m4m2、如图： ADC中, ZA = 15 ° , ZD=9C° , B在 AC的垂直平分线上，AB =34,那么CD =()A. 15 B . 17C. 16 D.以上全不对3、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，AO=BO=4Ccm CC=DC=3C cm 现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度Z AOB刚好为120°,求桌面到地面的距离是多少？乙4、如图，AB=AC DEL AB于 E, DF丄 AC于 F, Z BAC=120, BC=6 贝U DE+DF=5、在厶ABC中，AB AC, A 120 , AB的垂直平分线交 BC于点D，交AB于点E 如果DE 1，求BC的长实数