2018年高中数学黄金100题系列第63题空间平行关系的证明理

1、第63题 空间平行关系的证明I I 题源探究黄金母题【解析】(1 1)vE、F分别为BC、CD的中点, EF为BCD的中位线，EF二BD, EF平面EFG,BD二平面EFG,BD P平面EFG(2 2)G、F分别为AD、CD的中点GF为ACD的中位线，GF二AC/GF二平面EFG,AC二平面EFG,AC P平面EFGIIII 考场精彩真题回放【例 2 2】【20172017 课标 IIII 理 1919】如图，四棱锥F- -ABC中,侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD1AB二BC AD, BAD二ABC =90,E是PD的中2点。(1) 证明：直线CE/平面PAB(2) 点M在棱PC上

2、，且直线BM与底面ABC所成角为45，求二面角M - AB - D的余弦值。BF,由题意证得CE/BF，利用线面平行的 判断定理即可证得结论；解析：(1 1)取PA的中点F，连结EF,BF。因为E是PD的中点，所以1EF/AD, ,EF AD, ,由2BADABC= =9090：得BC/AD，又1BC二1AD, ,所以 EFEF丄BCBC。四边形BCEF为2平行四边形，CE/BF。又BF二平面PAB, CECE 二平面PAB，故 CECE / 平面PAB。(2 2) 略【名师点睛】平行关系证明中应用转化与化归思 想的常见类型；证明线面、面面平行，需转化为 证明线线平行【例 3 3】【20152

3、015 福建理 1717】如图，在几何体 ABCDEABCDE 中，四边形ABCABC是矩形， ABABA平面BECBEC BEBEAEC,EC, AB=BE=EC=2G,AB=BE=EC=2G,F F 分别是线段 BE,BE, DCDC 的中点. .【例 1 1】如图，在空间四边形ABCD中，E,F,G分别是AB,BC,CD的中点，求证:(1)BD P平面EFG；(2)AC P平面EFG；G GC CF FB BDC【答案】(1)(1)证明略;【解析】分析：取PA的中点F，连结EF,2( (I) )求证：GF /平面ADE;( (n ) )求平面 AEFAEF 与平面BECBEC 所成锐二面

4、角的余弦值.ADE.在矩形 ABCDABCD 中,由 M, F 分别是 AB, CD 的中 点得MF/AD.又AD面ADE,MF二面ADE，所以MF /面ADE.又因为GMR MF= M,GM面GMF,MF面GMF,所以面GMF /平面ADE, 因为GF面GMF，所以GM /平面ADE.2【答案】( (I) )详见解析；( (n) )2.3【解析】解法一：(I)如图，取AE的中点H，连接HG,HD，又 G G 是 BEBE 的中点，所以GHLAB，且GH=1AB,2又 F F 是 CDCD 中点，所以DF= CD,由四边形 ABCDABCD 是矩形2得，ABLJCD,AB=CD,所以GH LD

5、F,且GH=DF.从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF/DH,又，DH趟平面ADE,GF平面ADE所以GFL平面ADE.解法二：( (I) )如图，取AB中点M，连接MG,MF,又G是BE的中点，可知GM /AE,又AE面ADE,GM二面ADE，所以GM /平面(n)略【技巧点拨】证明立体几何中的平行关系，常常 是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三 角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来 推证；【例 4 4】 【20172017 浙江9 9】如图，已知四棱锥 P-P-ABCDPAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC / AD,CDL AD PC=AD=2 2DC=2 2CB E

6、为PD的 中占I八、(I)证明：CE/平面PAB(n)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.34【答案】（i）见解析；（n）的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析 与解决问题的能力.这在高考中常常出现在解答精彩解读【试题来源】人教版 A A 版必修二第 7979 页复习参考题 B B 组第 2 2 题.【解析】分析：（I）取PA中点F,构造平行四边形【母题评析】本题是以正方体为载体考查空间直BCEF线与平面的垂直关系，这种题型能充分考查学生可求证;解析：题的第 1 1 小题位置.【思路方法】两平面平行（或垂直）问题常转化 为直线与直线平行（或垂直），而直线与平面平 行（或垂直）又可转化为直

7、线与直线平行（或垂 直）,所以在解题时应注意“转化思想”的运用。 这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为PA中点为F,连结EF, FB.因为E,F分“低维问题”， 将“空间问题”转化为“平面问1题”.别为PD PA中点，所以EF/AD且EF=AD，又因为2BC/AD,BC =1AD，所以EF/BC且EF = BC,2即四边形BCEF为平行四边形，所以CE / BF,因此CE/【命题意图】 本类题主要考查空间空间直线、平面间的平行与垂直关系的证明和判断， 以及考查 逻辑思维能力、空间想象能力、转化能力.平面PAB（n）略【名师点睛】证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的

8、关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线， 可利用几何体的特征， 合理利 用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻 找比例式证明两直线平行利用面面平行的性质，即两 平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.【考试方向】这类试题在选择题中，主要考查空 间直线、平面间的平行与垂直的概念、定理、公 理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要 考查直线与平面间的平行与垂直，主要出现在第 1 1 小题中.【难点中心】求空间直线、平面间位置关系的证 明的主要难点：（1 1 ）对几何体结构认识不透，空 间想象能力较差，难以下手；（2 2）不能正确利用条件中中点、垂直关系实施有效的转化.（

9、I）如图，设25IIIIII理论基础解题原理 考点直线、平面平行的判定及其性质定理定理内容付号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与 平面内的一条直线平 行，贝y.该直线与此平 面平行a伉o(,buo(,且a/bn a/a在已知平面内“找出”一 条直线与已知直线平行就 可以判定直线与平面平行。 即将“空间问题”转化为“平面问题”平面与平面平行的判定一个平面内的两条相 交直线与另一个平面 平行，则这两个平面 平行au B,buaCl b = P,a/a, b/二0/a判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直 线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问

10、题”直线与平面平行的性质一条直线与一个平面 平行，则过这条直线 的任一平面与此平面 的交线与该直线平行a/a ,a u P ,门B =bn a/b平面与平面平行的性质如果两个平行平面同 时和第三个平面相 交，那么它们的交线 平行G / 0,a n Y = a, B Pl Y= b= a/ bIVIV .题型攻略深度挖掘【考试方向】在选择题中，主要考查空间直线、平面间的平行与垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断; 在解答题中主要考查直线与平面间的平行与垂直，主要出现在第1 1 小题中.【技能方法】(1) 证明线线平行转化为证明线面平行或面面平行；(2) 证明线面平行转化为证明线线平行(

11、垂直)或面面平行；(3) 证明面面平行转化为证明线线平行(垂直)或线面平行.【易错指导】(1) 忽视定理的关键条件，如忽视平面与平面平行的判定定理中，两条直线相交的条件；(2) 胡乱推广平面几何的结论而用于证明空间问题；(3) 受定势思维的影响，凭直觉思维主观臆断而误导结论.V V.举一反三触类旁通6考向 1 1 空间直线与平面平行的证明【答案】C C【解析】 由“直线I与平面a内无数条直线都平行哪能推出“直线I与平面a平行 S 因为直线J可能在平面a内点充分性不成立抽“直线J与平面征平行二利用直线和平面平行的定义可得“直线/与平面比内无数条直 线都平行二故必要性成立.故“直线J与平面僅內无数

12、条直线都平行是“直线/与“平面a平行円的必要非充分 条件，故选C.【例 2 2】【湖南省五市十校教研教改共同体20182018 届高三联考】如图，在矩形ABCDBC =2,AB =1，PA_十1平面ABCD，BE /PA, BE PA，2F为PA的中点. .（2 2）记四棱锥C -PABE的体积为V，三棱锥P - ACD的体积为V，求VL. .3【答案】（1 1）见解析；（2 2）-.2【解析】（1 1）连接EF，:BEAF,四边形ABEF为平行四边形，二EFAB, 在矩形ABCD中，AB（CD, EFCD，四边形CDFE为平行四边形,DF / /EC. . DF/平面PEC. .(2(2)连

13、接PB，由题意知，VPJCD二VPJBC=VC_PAB,【例 1 1【20182018 四川省成都市第七中学模拟】“直线m与平面内无数条直线平行”是“直线m/平面:-的（）A.A.充要条件B.B.充分不必要条件C.C.必要不充分条件D.D.既不充分也不必要条件（1 1） 求证:DF /平面PEC；EB PA ABSPAB27-AB PA8【例 3 3】【20182018 湖北省襄阳市调研】如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图,1在直观图中，M M 是 BDBD 的中点，AE CD，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如2图所示.( (I ) )求证：EM/

14、EM/平面 ABCABC；( (II) )求出该几何体的体积.【答案】( (I ) )见解析( (I )4)4 .【解析】1)为门月的中点，取月C中点G，连接顷则MGDC.且MG = DC?.MGAE且MG=AE?故四边形AGME为平行四边形，/. W |AG ,又AGZ平面ABCEMc平面ABCfEM| 平面ABC .(I) )解：由己知，AE = 2,DC = 4,AB _ AC，且AB =AC =2,7 EA_ 平面ABC,EA _ AB，又AB _ AC,AB_ 平面ACDE,.AB是四棱锥B - ACDE的高，梯形ACDE的面积SDCAB2-VBCDE二丄SH =4，即所求几何体的体

15、积为4 4.3【解法指导】一般 地，对于用判定定理证明，即证明平面内的某条直线与已知直线平行，可根据题设条件 去寻找这条“目标直线”，从而达到线线与线面的转化.若借助面面平行的性质来证明线面平行，则先要 确定一个平面经过该直线且与已知平面平行，此“目标平面”的寻找多借助“中位线”来完成.【跟踪练习】291 1 .【2017-20182017-2018 河南省洛阳名校联考】在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为 6 6 的正三角形,10SA = SB = SC=15，平面DEFH分别与AB、BC、SC、SA交于D,E,F,H分别是AB、BC、SC、SA的中点，如果直线SB/平面DEFH，那么四边形

16、DEFH的面积为（【答案】A A【解析】E-F-R分别是加、BC SA、SC的中爲DEllAC, FHUAC, DHIISB.EF/ISB,则四边形呃W是平行四边形，且香抄哼 叱取/C的中点0,连结o因ABBC6? AC丄SO ACL OB / So onOE= =Q AOL平面SOB AC丄SB则HDL DE即四边形DEFH是矩形，四边形DEFH的面积S=&=&x 3=3=45,故选：A.A.222.2.【广西桂梧高中 20182018 届高三联考】如图，在直三棱柱ABCABC- -AEGAEG 中，AB =CC!=4,AC =2、一5,M ,N分别是A1B,B1C1的中点.

17、 .45 32C.C. 4545 D.D.45、3BC=2 ,A.A.45B.B.11Il:滋 z(1(1)求证：MN /平面ACCiA;(2 2)求点N到平面MBC的距离. .【解析】1)证明:如图,连接AC.血i,因为该三棱柱是直三棱柱,/- AAX丄勾妁,则四边形砂4为矩形，由矩形性质得掘i过的中点皿在人中, 由中位线性质得MNHAJ又ACV U平面*gu 平面匚JWN/平面解：BC =3, AB =4, AC二CG =5,SNBCBC BB J 3 5二152 2 21又点 M M 到平面的BCN的距离为h AB =2,设点N与平面MBC的距离为h,2由V三棱锥MJNBC=V三棱锥NJ

18、MBC可得SNBChSMBCh，33【答案】(1)(1)见解析，2 4141SMBC1BC BM212部分而成，D是AA的中点. .(1 1 )若AD二AC =1,AD_平面ABC,BC _ AC，求点C到面B1C1D的距离；(2 2)若E为AB的中点，F在CC1上，且CC =，问为何值时，CF直线EF /平面BC1D1?【答案】 2； (2)(2)证明见解析. .【解析】( (1)丁多面体ABC-BD是由三棱柱砒_佔6截去一部分后而成,。是的中点4D丄平面ABC,月C丄AC,二丄面D/CC,则丄CD,二仞丄耳G，又AD = AC=lf。是的中点，：CD二忑,DC严忑,可得CD2+C/) )2

19、二cqj,即CD丄CD ,二CD丄面DCB“二点C到面BCD的距离CD = 0(2 2)当=4时，直线EF/平面BCD，理由如下：设AD=1，则BBi= 2，取DBi的中点H，连接EH, 可得AD /即1d2J Th3234解得h 341即点N到平面MBC的距离为20.4141新余四中 20182018 届高三联考】如图，多面体ABC-DBQ1是由三棱柱ABC - A1BQ截B3.3.【江西省临川二中、13/EH /CC1，1 + 23TEH是梯形DABB1的中位线，二EH =223当GF -EH时，四边形GFEH为平行四边形，即EF/H6,2 HC1面B1C1D,直线EF LI平面B1C1D

20、，此时CC1=，= 4CF14【点睛】：本题主要考查了点到面的距离，直线与平面平行的判定，属于基础题；在求点到面的距离中主要采用证明线面垂直找出距离或者等体积法；线面平行主要通过一下几种方式：1 1 利用三角形中位线；2 2、构造平行四边形；3 3、利用面面平行等. .考向 2 2 空间平面与平面平行的证明【例 1 1】【20172017 山西省临汾一中高三 3 3 月月考】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA是四棱锥P-ABCD的高，PA二AB=2，点M,N,E分别是PD,AD,CD的中点.(1) 求证：平面MNEL平面ACP；(2) 求四面体AMBC的体积.【解析因为ME

21、分别是PDQCD的中点， 所以昶刚平面尸, 所以ACV#平面/UP .同理，MEH PC=MEg平面/CP ,所以磁“平面/CP”因为平面胚VE,所以;平面MNEll平面/CP(2 2)因为PA是四棱锥P -ABCD的高，1由MN/PA,知MN是三棱锥M - ABC的高，且MN=丄卩人=1,21112所以VABC二VMBCSABCMNAB BC 1=；1533 23【点睛】面面平行问题其实质是将其转化为线面平行或线线平行问题，而线面问题可转化为线线平行的问 题或面面平行问题，线线平行问题又可转化为线面平行或面面平行问题因此，线线平行、线面平行、面 面平行三者之间关系非常紧密，它们可相互进行转化

22、证明.【跟踪练习】 1 1.【广西桂林市柳州市 20182018 年届高三综合模拟】在正四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，若存在实数扎使得CQ=hCG时，平面D1BQ/平面PAO,则丸=_1【答案】12【解析】当Q为CC1的中点时，平面DiBQ平面PAO.理由如下：当Q为OC1的中点时，TQ为CC1的中点，P为DDi的中点1QBPA TP、O为DDi, DB的中点，/.DiB/ PO 又POnPA=P, DiBClQB=B, DiB平面PAO, QB平面PAO,二平面DiBQ平面PACT【点睛】：当 Q Q 为 CCCC 的中点时，QB/QB/

23、PAPA DB/DB/ POPO 由此能求出平面 DBQ/DBQ/平面 PAOPAO2.2.【江西省南昌市 20182018 届上学期高三摸底】如图，在四棱锥P-ABCD中，ABC= ACD=90；,BAC二CAD =60：,PA _平面ABCD,PA =2, AB= =1.1.设M,N分163的体积 73【解析】(1)证明：TACN分别为P0Q的中点, 则MNll PA又：平面PAS ,Mu平面PAB, :.MN”平面MB一在RtMCD中，ZCAD=60CN = AN, ?. ZACN=60又:ZBAC=60二CVAB.、 ：CN 0平面PAB ,血 u 平面PAB,/. CN平面尸 又TC

24、NcMN=N、二平面CMNH平面PAB.(2 2)由(1 1)知，平面CMN/平面PAB,点M至呼面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离由已知，AB=1, ABC =90；,BAC =60, BC、3,别为PD,AD的中点. .(2)三棱锥P ABM(1)求证：平面CMN/平面PAB;(2)求三棱锥P _ ABM的体积【答案】(1 1)证明见解析17二棱锥P - ABM的体积V=VM_PAB- VC_PAB =Vp/BcP -ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD二BC,BAD，BgAD，AC与BD交于点。，点M，N分别在线段PC，AB上，CP=2.（1 1）求证：平面MNO二平面PAD；

25、（2 2）若平面PAD平面ABCD,PDA =60，且PD二DC二BC = 2， 求几何体M - ABC的体积【解析】（1）在梯形由仞中AD甘BC,OC;OA = R6AD=2 又BN = 2NA, :.NO H BC !/ AD .在 中?：0C:0A = CMiMP = 2f：.OM/PA,二平面MN0/平面卩血T（2 2）在PAD中，PA2=PD2AD22PD AD cos PDA =3,PA2AD2=PD2，即PA_ AD.又平面PAD_平面ABCD PA_平面ABCD.rr/Q又由（1 1）知OMAP,MO_ 平面ABC，且MO AP.-33在梯形ABCD中，CD = BC = 2A

26、D = 2，一BAD - 90, AB = .3,1厂12-ABC的面积S AB BC =-.3，几何体M - ABC的体积V MO 5二.233考向 3 3 空间垂直与平行综合【例 1 1】【20172017 山东高考 1818】由四棱柱ABCDABCD截去三棱锥C- -BQD后得到的几何体如图所示，四边形3.3.【20162016 郑州一中考前冲刺三】如图，在四棱锥218ABC为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，AE_平面ABCD19(I)证明：AO/平面BCD；(n)设M是OD勺中点,证明：平面AEM平面BCD.B【答案】证明见解析. .证明见解析. .【解析】：I)取By中

27、点。二连接cqMQ，由于ABCD-AQD四棱柱,所以.4Q / /OC41 = OC,因此四边形Apco.为平行四边形,所以.Afi/ f qc又qcU 面BCD,如工平面场仞1，所以4。”平面禹”(II)(II)因为AC _ BD, ,E，M分别为AD和OD的中点，所以EM _ BD, ,因为ABCD为正方形，所以AO _ BD, ,又AE_平面ABCD, ,BD二平面ABCD所以AE _ BD,因为BQ,/BD,所以EM丄BiDi,AE丄BiDi,又AE, EMu 平面AEMAEDEM = E. .所以BJDJ_平面A,EM ,又BJDJ二平面B1CD1, ,所以平面REM_平面B1CD1

28、. .【例 2 2】【20172017 太原市高三二模】如图，在多面体ABC - ABiGiG 中，四边形ABBiAiA 是正方形，A1CB是正三角形，AC二AB=1，BiCi/ BC，BC =2BiG. .20（1 1）求证：ABi/平面ACiC;（2 2 ）求多面体ABC -A1B1C1的体积. .【解析】（1）取月c中点2），连AD胛D ,VB.C. / BC ,A四边形BDC.B.,仞坯耳是平行四边形,：GD里曙，CCJi BD ,在正方形血中，RR小心，：，：* GD H AA,二四边形为平行四边：血环-BxDrAD = D,二平面ADBX平面4GC ,又曲匚平面ADBX，二AB、H

29、平面gC（2 2）在正方形ABB1A中，A,B=Y2，又-A1BC是等边三角形，所以AC=BC=*2,所以AC2AA；=AC2，AB2AC2二BC2,于是AA1_AC,AC _ AB，又AA1_ ABAA1_ 平面ABCAA1_ CD,又CD _ AD,AD门AA,= A,CD_ 平面ADC1A,于是多面体ABC -A1BQ1是由直三棱柱ABD - A1B1C1和四棱锥C-ADC1A组成. .111又直三棱柱ABD - B1C1的体积为一（一1 1） 1 =2 24115故多面体ABC -A1B1C1的体积为. .4612四棱锥C -AD6A1的体积为322621ABi【点睛】圆柱与圆锥的组合

30、主要有两种方式：(1 1 )圆柱内有一棱锥，圆柱与圆锥底面重合、圆锥顶点为圆柱底面中点，解答时抓住它们有相同的高和底面即可建立相关关系；(2 2)圆锥内接一个圆柱，圆柱一底面在圆锥底面上，另一底面在圆锥侧面上，解答时主要作轴截面，通常利用三角形相似等知识来解决.【跟踪练习】1.1.【20182018 江西省南昌市第二中学月考】在如图所示的多面体中，DE_平面ABCD, AF /DE,AD /BC, AB =CD,. ABC =60,BC =2AD =4DE =4.(1 1 )在AC上求作点P，使PE/平面ABF，请写出作法并说明理由；(2 2)求三棱锥A-CDE的高.【答案】(1 1)详见解析

31、(2 2) ,3.,3.22【解析】（1） BC=2AD,tSG = ADf又RCHAD ,二四边形月GEM杲平行四边形故DGHAB即又Jfiu平面ABFDPy平面ABF?:.DP/:AF f fDE3AFu 平面ABF , DEu平面ABF, DEH平面/BF又丁DPu 平面PDEZDEu 平面PDE,PD rDE=D,二平面ABFH平面PDE、又TPEu平面PDE?:.PE/平面(2 2)在等腰梯形ABCD中， . ABG =60, BC =2AD =4,可求得梯形的高为一3,从而ACD的面积为12乙32/ DE_平面ABCD,DE是三棱锥E -ACD的高. .11设三棱锥A-CDE的高为

32、h. .由VADE=VECD，可得SCDEh SACDDE，33即2 1 h_. 3，解得h = 3，故三棱锥A -CDE的高为-3. .22.2.【20172017 北京大兴区一模】如图，在三棱锥P- ABC中,PAI AB PAI BC ABL BC PA= =AB=BC=2 2,D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.（H）求证：平面BDEL平面PAC（川）当PA/平面BDE时，求三棱锥E-BCD勺体积.【答案】详见解析【解析】分析：(I )要证明线垂直，一般转化为证明线面垂直，线线垂直9 (II)皿丄平面胭 6 所有平面丄平面如U 平面阳cn平面AC,并B.AB=BC,点D是M的中臥 所有23BC丄AC,根据面面垂直的性质艮厮明线面垂直；(HI)解析：证明：(I I )因为PA _ AB,PA _ BC，所以PA_平面ABC,又因为BD二平面ABC，所以PA _ BD(IIII )因为AB=BC,D为AC中点，所以BD_AC,由(I I)知，PA _ BD，所