九年级数学上册 第4章 锐角三角函数导学案 （新版）湘教版-（新版）湘教版初中九年级上册数学学案

1、4.1正弦和余弦【学习目标】：1. 知道三角形内角的对边、邻边和斜边的含义，记住正弦的定义.2. 会构造直角三角形，求、的正弦函数值，并能用定义利用计算器求任意角的正弦值.3. 通过探索发现，培养独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.【体验学习】：一、新知探究阅读教材第109113页的内容，自主探究，回答下列问题：1. 如图，bcac，hgac，efac，当在不同直角三角形中时，对边与斜边的比是否是一个固定值？2. 请写出正弦的定义及其表示方法（1）正弦的定义：在直角三角形中，锐角的 的比叫做角的 正弦 ，记作 .即 =.（2）表示下列角的正弦：的正弦记作：_； 的正弦记作：_；角的正弦记

2、作：_； 记作的正弦的平方：_.3. 如图，中，若.（一般的，、的对边分别是、）则_；_（用含、的代数式表示）.4.思考：对于任意锐角，随的增大而增大,还是随的增大而减小？ 请求出，的值？5.学会用计算器计算非特殊角的正弦值.sin50°=_ sin75°=_二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：思考：对于任意锐角，都有.你认为这种说法正确吗？cba5131.如下两图，分别求出每图的的值？ 2. 已知在中，求的值.3如图，在中，若，求的长度？四、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：1. 如图，在的正方形网格中

3、，（ ） . . . .不存在2. 如图，中，若，求的值.【当堂检测】：1. 如图，在中，若，则2. 如图，点是的边上一点，且点的坐标为（2，3），则=_.第1题图第2题图a第3题bc3. 如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度ac为3米，引桥的坡角abc为，引桥面ab的长是_米（用表示）.【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？_【拓展链接】： 神奇的正弦函数图像我们知道一次函数的图像是一条直线，那么正弦函数（取任意角度）的图像又是什么样子呢？下面使用几何画板画出的图像.大家看看，是不是很像波浪啊！在我们的实际生活中应用也很广泛.例如正弦波（物理中的某种频率的信

4、号的波形是数学上的正弦曲线而得名），正弦波广泛应用于广播、电视、通讯，工业自动控制，测量表计， 以及高频加热，超声波探伤等等方面.还有物理中的正弦交流电：大小和方向随时间作有规律变化的电压和电流称为交流电，又称交变电流.【课后精练】：1. 如图，则_；_.2. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是 a b c d3. abc中，若c=90°，bc=2，则边ac的长为_.4.1正弦和余弦（2）【学习目标】：1. 类比正弦的定义得到余弦的定义，并能构造直角三角形求、的余弦值.2. 会根据正弦、余弦定义得到它们的关系并能够进行简单的计算.3. 通过分析与讨论交流，提高观察、比较、

5、分析和概括的能力.【体验学习】：一、新知探究阅读教材第113115页的内容，自主探究，回答下列问题：1. 如图，bcac，hgac，efac，当在不同直角三角形中时，邻边与斜边的比是否也是一个固定值？思考：固定角a的正弦值，余弦值和直角三角形边长的比与长度大小有关系吗？2. 类比正弦，请你写出余弦的定义及其表示方法？ 3. 一起找找正弦与余弦之间关系，在中： 你发现了什么？4.对于对于任意锐角的正弦和余弦，我们可以得到什么关系？(1) （2）你能说明对于任意锐角，一定有成立吗？你能根据定义简单证明吗？4. 学会用计算器计算非特殊角的余弦值cos35°=_ cos47°=_二

6、、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：1. 在小组内探究特殊角的余弦值、正弦值（不使用计算器，可以用根号表示）. _ 思考：你能说出一个锐角的正弦和余弦值的取值范围吗？ ，的值与大小有什么样关系？ _ 2. 已知中，求.3. 在中，则的长为( )a. b. c. d.4. 已知，若，则 5. 计算： 四、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：1. 在直角三角形中，各边都扩大到原来的倍，锐角的余弦值（ ）a.扩大为原来的倍 b.不变c.缩小为原来的倍 d.扩大为原来的倍abc2. 已知如图，在中，的面积为.求的值. 【当堂检测】：1.

7、 2. 中，若，是锐角，则的形状是（ ）a.锐角三角形 b.直角三角形 c.等腰三角形 d.等边三角形3. 等腰中，试求底角的正弦和余弦值.【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？_【拓展链接】： 三角函数小知识三角函数中有许多符号，其中，是最重要的符号，但是在这些符号使用以前，人们都是用文字来进行叙述的，这样使用起来非常麻烦.在实际应用中，人们渐渐地用符号来代替它们. 正弦的符号开始记为，这一词是由阿拉伯人创造的，但是最早把它应用于三角函数上面的是雷基身蒙坦，他是世纪西欧数学界的领导人物，在他年著的论各种三角形一书中，首先使用了“”这本书是专门讲三角学脱离了天文学，成为一

8、门独立的数学分支. 【课后精练】：1. 如图，在的正方形网格中求，.2. 在中，下列各式中不一定成立的是（ ）a. b. c. d.abcd3. 如图，等腰梯形中，上底，高为，底角的余弦值为，求下底. 4.2 正切【学习目标】：1. 理解并掌握正切的含义，了解计算一个锐角的正切值的方法.2. 能根据锐角三角函数定义以及特殊角三角函数值进行简单的计算.【体验学习】：一、新知探究阅读教材第117119页的内容，自主探究，回答下列问题：1. 通过阅读教材117页的“探究”，我们发现的对边与邻边的比值也是一个常数，因此你能类比正弦和余弦的定义，给出一个锐角的正切定义吗？思考：能用三角形三边直接表示a，

9、b的正切值的条件是什么？2. 你能否结合图形，用三角形的三边表示a，b的正切值？3. 你能利用图形求出，的值吗？4. 完成下列表格 三角函数值 三角函数 30° 45° 60°5. 学会用计算器计算非特殊角的正切值.=_ =_三、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：1. 计算： 2. 如图，在的正方形网格中求 .3. 等腰中，试求底角的三个三角函数值.四、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：abc1. 如图，一根旗杆在一次强台风中被吹断，倒下部分与地面成角，触地点到旗杆底部的距离，求这根旗杆折断前的高

10、度.（答案保留根号）2. 如图，在中，是边上的中线，求的值. 【当堂检测】： acb1. 如图，在中，求 的值为_.2. 计算：acb3. 如图，在rtabc中，c90°，bc12，求ab的值.【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？_【拓展链接】：正弦、余弦、正切值的特殊关系1.正、余弦、正切值随锐角大小的变化（即增减性）：正弦值随锐角的增大而增大，余弦值随锐角的增大而减小，正切值随锐角的增大而增大.2同角的正弦，余弦，正切间的关系：（1）平方和的关系：（2）大小比较：当时， 当时，.（3）正切、余切与正弦、余弦间的关系： 【课后精练】： 1. 如图，在rtab

11、c中，cd是斜边ab上的中线，已知cd5，ac6，则tanb的值是（）a. b. c. d. 2. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若abc的三个顶点在图中相应的格点上，则tanacb的值为（）a. b. c. d. 3 3. 计算： 4. 某课外活动小组测量学校旗杆的高度，当太阳光线与地面成35°角时，旗杆ab在地面上的投影bc的长为20米（如图）求旗杆ab的高度（sin35°0.6，cos35°0.8，tan35°0. 7）4.3解直角三角形【学习目标】1. 知道直角三角形中五个元素的关系，学会运用勾股定理、直角三角形

12、的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.2. 综合运用解直角三角形逐步培养学生分析问题和解决问题的能力.3. 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯.【体验学习】：一、新知探究阅读教材第121122页的内容，自主探究，结合右图回答下列问题：1. 直角三角形两锐角的关系是什么？请用式子表示.2. 直角三角形三边的关系是什么？请用式子表示.3. 直角三角形边与角的关系是什么？请用式子表示.4. 每一组条件，画一个直角三角形，然后与小组成员所画的直角三角形进行交流比较.（1）一个锐角；（2）一个锐角，它的邻边长为；（3）一个锐角，它的对边长为； （4）一个锐角，斜边长为；（5）斜边长为，一直

13、角边长为.如果全等的直角三角形算一个，那么根据每一组条件，我们画出了多少个直角三角形？从这些问题的结论你能猜想有什么规律？这个规律正确吗？5. 如果知道的个元素都是角，那么能求出直角三角形的边吗？学法指导：在直角三角形中，除直角外的5个元素（3条边和2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），利用上述关系式，就可以求出其余的3个未知元素，这叫作解直角三角形.6. 在中，解这个直角三角形.在这个问题中，除直角外，已知 和 ，要求出 和 .二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：1. 中，若，求、 、.思考：已知两边解直角三角形通常先求哪个元素？2

14、. 中，若，求、思考：已知一边及一锐角解直角三角形通常先求哪个元素？三、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：abcd1.如图，在中，是上一点，求的长. 2.如图，已知一次函数的图象与轴的正半轴交于点m(2,0)，与y轴的正半轴交于点n，且.求此一次函数的表达式. y n m x o 【当堂检测】：1. 如右图是教学用直角三角板，边ac30cm，c90°，tanbac，则边bc 的长( ). a. 30cm b. 20cm c.10cm d. 5cm2. 在中，则 .3. rt中，解这个直角三角形.【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？_【

15、拓展链接】：大约1500年前，欧洲的数学家们是不知道用“0”的.他们使用罗马数字.罗马数字是用几个表示数的符号，按照一定规则，把它们组合起来表示不同的数目.在这种数字的运用里，不需要“0”这个数字.而在当时，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号.他发现，有了“0”进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍.过了一段时间，这件事被当时的罗马教皇知道了.当时是欧洲的中世纪，教会的势力非常大，罗马教皇的权利更是远远超过皇帝.教皇非常恼怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物，如今谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！于是，教皇

16、就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，用夹子把他的十个手指头紧紧夹注，使他两手残废，让他再也不能握笔写字.就这样，“0”被那个愚昧、残忍的罗马教皇明令禁止了.但是，虽然“0”被禁止使用然而罗马的数学家们还是不管禁令，在数学的研究中仍然秘密地使用“0”，仍然用“0”做出了很多数学上的贡献.后来“0”终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了.【课后精练】：1. 在中，则 ， ， .2. 等腰三角形的腰和底边的比为，则底角为 ，顶角为 .3. 已知中，求的长.4.4解直角三角形的应用（1）【学习目标】1. 在实际情境中，知道仰角、俯角、方位角的意义.2. 学会运用仰角、俯角、方位角解决

17、一些简单的实际问题.3. 学会根据实际问题构建直角三角形的基本数学模型.【体验学习】：一、新知探究生活中，我们将视线和水平线的夹角称为视角，视角可分为仰角和俯角.其中视线在水平线上的角叫作仰角，视线在水平线下方的角叫作俯角（如下图）. 你能说出下左图中的仰角和俯角分别是哪个？ 视线视线水平线二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：1. 如图，电线杆ab的中点c处有一标志物，在地面d处测得标志物的仰角为45°，若点d到电线杆底部点b的距离为，则电线杆ab的长可表示为（ ）a. b. c. d. dcba37°2. 如图，为了测量建筑物的

18、高度，用测量仪器在离建筑物的底部处米的 处，测得处的仰角为，测量仪器的高度为米，求建筑物的高度（已知，）.学法指导：1.先根据题意从图中找出已知条件和所要求的边和角.2.把实际问题转化为解直角三角形问题.三、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：60º30ºabcd青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃.（如下图所示）一天，灰太狼在自家城堡顶部处测得懒羊羊所在地处的俯角为，然后下到城堡的处，测得处的俯角为.已知米，若灰太狼以的速度从城堡底部处出发，几秒钟后能抓到懒羊羊？（结果精确到个位）【当堂检测】：acdb1. 如图，河对岸有

19、一铁塔，在处测得塔顶的仰角为，向铁塔前进米到达 处，在处测得的仰角为，求铁塔的高.（结果保留个有效数字）（，）【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？_【拓展链接】：aebcd要在宽米的海堤公路边安装路灯，路灯的灯臂长为米，且与灯柱成的角，路灯利用圆锥形的灯罩的轴线与灯臂垂直，当灯罩的轴线通过公路路面的中线时，照明效果最理想，问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果？【课后精练】：1. 如图，测量河宽ab（假设河的两岸平行），在c点测得，在d点测得，又cd=60m，则河宽ab为_m.（结果保留根号）2. 如图，abc中，ac5， 则abc的面积是（ ）a b12 c1

20、4 d213. 如图，线段ab、cd分别表示甲、乙两建筑物的高，abbc，dcbc，从b点测得d点的仰角为60°，从a点测得d点的仰角为30°，已知甲建筑物高ab=36米.（1）求乙建筑物的高dc；（2）求甲、乙两建筑物之间的距离bc（结果精确到0.01米）.（参考数据：，） 4.4解直角三角形的应用（2）【学习目标】1. 知道坡角、坡度的有关概念，学会用坡角、坡度解决实际问题.2. 在实际情境中，知道方位角的意义.3. 进一步掌握坡角、坡度、方位角在测量中的应用，积累设计数学活动的经验.【体验学习】：一、新知探究阅读教材第127129页的内容，自主探究，结合教材回答下列问

21、题：学法指导：1.“坡度”的实质是什么？2.实际问题中怎样将坡度转化成解直角三角形的条件呢？1. 如何用数量来反映哪个山坡陡呢?2. 如何求一个山坡的坡度呢?3. 坡度与坡角之间的关系是什么?abcdo东西北南30°60°45°80°nesw4. 在描述方位时，通常先确定一个方位中心，根据方位中心规定上北、下南、左西、右东四个方向，如上右图所示，的方向角表示为北偏东，即.那么，你能将、 表示的方向角分别说出来吗?二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：1. 山坡与水平面成的倾斜角，小王上坡走了米，则他上升了 米，坡

22、度是 .2. 某水库大坝某段的横断面是等腰梯形，坝顶宽米，坝底宽米，斜坡的坡度，则此处大坝的坡角是 ，坝高是 米.3. 若某人沿坡度的斜坡前进米，则此坡面的坡角是 ，则他所在的位置比原来的位置高 米.acbd北东60°4. 如图，一艘轮船航行到处时，灯塔在船的北偏东的方向，轮船从处向正东方向航行后到达处，此时灯塔在船的正北方向.求此时处与灯塔的距离（结果保留根号）.三、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题： 庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚c处出发，以24米/分的速度攀登，同时，李强从南坡山脚b处出发.如图，已知小山北坡的坡度，山坡长为240米，南坡的坡

23、角是45°，问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶a?（将山路ab、ac看成线段，结果保留根号）.【当堂检测】：1. 山坡与地平面成的倾斜角，某人向上直走米，则他上升 米，坡度是 .2. 学校校园内有一小山坡ab，经测量，坡角 ，斜坡ab长尾12米，为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡bd的坡比是1:3（即为cd与bc的长度之比），a、d两点处于同一铅锤线上，求开挖后小山坡下降的高度ad. 3.如图，城气象台测得台风中心在城的正西方千米处，以每小时千米的速度向北偏东的方向移动，距台风中心千米的范围内是受这次台风影响的区域.（1）问城是否会受到这次台风的影响？为什么？（2）若城受到这次台风的影响，那么城遭受这次台风影响的时间有多长？ 60º fba【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？_【拓展链接】： 今年“五一”假期，我校1005班数学活动小组组织一次登山活动.他们从山脚下点出发沿斜坡到达点，再从点沿斜坡到达山顶点，路线如图所示.斜坡的长为米，斜坡的长为米，在点测得点的俯角为.已知点海拔米，点海拔米，你能计算出