全国大学生数学建模竞赛公共自行车服务系统

1、D 题 公共自行车服务系统公共自行车作为一种低碳、环保、节能、健康的出行方式，正在全国许多城市迅速推广与普及。 在公共自行车服务系统中， 自行车租赁的站点位置及各站点自行车锁桩和自行车数量的配置， 对系统的运行效率与用户的满意度有重要的影响。附件 1 为浙江省温州市鹿城区公共自行车管理中心提供的某20 天借车和还车的原始数据，所给站点的地理位置参见附件2（详细信息可以参考温州市鹿城区公共自行车管理中心网站： ） 。请你们在搞清楚公共自行车服务模式和使用规则的基础上，根据附件提供的数据，建立数学模型，讨论以下问题：1. 分别统计各站点 20 天中每天及累计的借车频次和还车频次, 并对所有站点按累

2、计的借车频次和还车频次分别给出它们的排序。 另外， 试统计分析每次用 车时长的分布情况。2. 试统计 20 天中各天使用公共自行车的不同借车卡 （即借车人） 数量， 并 统计数据中出现过的每张借车卡累计借车次数的分布情况。3. 找出所有已给站点合计使用公共自行车次数最大的一天，并讨论以下问题：（ 1）请定义两站点之间的距离，并找出自行车用车的借还车站点之间（非零） 最短距离与最长距离。 对借还车是同一站点且使用时间在1 分钟以上的借还车情况进行统计。（ 2）选择借车频次最高和还车频次最高的站点，分别统计分析其借、还车时刻的分布及用车时长的分布。（ 3）找出各站点的借车高峰时段和还车高峰时段，在

3、地图上标注或列表给出高峰时段各站点的借车频次和还车频次， 并对具有共同借车高峰时段和还车高峰时段的站点分别进行归类。4. 请说明上述统计结果携带了哪些有用的信息，由此对目前公共自行车服务系统站点设置和锁桩数量的配置做出评价。5. 找出公共自行车服务系统的其他运行规律，提出改进建议。附件1:公共自行车数据（内含20个Excel文件）附件 2： 公共自行车站点分布图1 问题分析1. 分别统计各站点 20 天中每天及累计的借车频次和还车频次, 并对所有站点按累计的借车频次和还车频次分别给出它们的排序。 另外， 试统计分析每次用 车时长的分布情况。分析：把问题 1分为3个步骤进行：（ 1） 统计各站点

4、20天中每天及累计的借车频次和还车频次；（ 2） 所有站点按累计的借车频次和还车频次分别给出它们的排序；（ 3） 统计分析每次用车时长的分布情况。 （直方图表示）2. 试统计 20 天中各天使用公共自行车的不同借车卡 （即借车人） 数量， 并 统计数据中出现过的每张借车卡累计借车次数的分布情况。分析：将问题 2 分为 2 个步骤进行：（ 1） 统计 20 天中各天使用公共自行车的不同借车卡（即借车人）数量；（ 2） 统计数据中出现过的每张借车卡累计借车次数的分布情况 （直方图表 示）3. 找出所有已给站点合计使用公共自行车次数最大的一天，并讨论以下问题：（ 1） 定义两站点之间的距离，并找出自

5、行车用车的借还车站点之间（非零） 最短距离与最长距离。 对借还车是同一站点且使用时间在1 分钟以上的借还车情况进行统计。（ 2） 择借车频次最高和还车频次最高的站点，分别统计分析其借、还车时刻的分布及用车时长的分布。（ 3） 出各站点的借车高峰时段和还车高峰时段，在地图上标注或列表给出高峰时段各站点的借车频次和还车频次， 并对具有共同借车高峰时段和还车高峰时段的站点分别进行归类。分析：首先通过数据分析找出合计使用公共自行车次数最大的一天。将问题 3 分为 6 个步骤：（ 4） 请定义两站点之间的距离， 并找出自行车用车的借还车站点之间 （非零）最短距离与最长距离；（ 5） 对借还车是同一站点且

6、使用时间在1 分钟以上的借还车情况进行统计； （ 28min）（ 6） 选择借车频次最高和还车频次最高的站点， 分别统计分析其借、 还车时刻的分布及用车时长的分布；（ 7） 找出各站点的借车高峰时段和还车高峰时段； 在地图上标注或列表给出高峰时段各站点的借车频次和还车频次； 对具有共同借车高峰时段和还车高峰时段的站点分别进行归类。4. 请说明上述统计结果携带了哪些有用的信息，由此对目前公共自行车服务系统站点设置和锁桩数量的配置做出评价。5. 找出公共自行车服务系统的其他运行规律，提出改进建议。分析：第 4， 5 小问是根据分析结果提出建议，故不用再进行步骤的详细划通过将原问题细分为每个步骤，

7、有利于加强我们对于问题的理解和模型的构 建。2 基本思路通过对于问题的拆解理解，该问题的解决应该主要分为以下几个模块：1) 数据整理：题目给定的附件的数据多达63 多万份，其中不乏有很多无效数据，例如：只有借出时间，没有归还时间；借车时间小于 1 分钟等。需要对数据进行预处理，获得对我们有用的数据。2) 数据分析： 问题 1， 问题 2， 问题 3 中有较多的数据分析步骤。 我们对预处理过后的数据针对不同的问题需求进行特定分析获得结果。3) 针对两站点之间的距离定义， 我们根据借还车高峰期不同于普通用车时期。在高峰时期添加了修正因子对模型进行再处理。4) 在问题 3 中， 需要我们针对合计使用

8、公共自行车次数最大的一天进行特定分析。要求找出各个站点借还车高峰时段，对具有共同借车高峰时段和还车高峰时段的站点分别进行归类。5) 针对问题 1， 2， 3 的分析结果提出建议。3 模型假设1. 假设每个时间区间内频数最大的即为高峰时期；2. 假设自行车不出现丢失，损坏，不归还等情况；3. 假设由于通过数据无法准确获知自行车的行车时间，我们假设自行车一直在行驶；4. 假设数据没有出现人为的修改；5. 假设除了没有归还时间的系统数据的错误外，没有借车卡错误的情况存在。6. 假设自行车在使用时没有发生故障。4 数据预处理处理思路：有关数据处理的方法有很多，主要有SPSS Excel , MATLA

9、B!。我们借鉴了城市公共自行车服务系统运行状况和效率分析中提到的 MATLAB 数据导入分析方法，能够得到有效的结果，但是时耗较大， 63 万的数据量要40分钟左右才能预处理完毕。基于以上原因，我们采用了SPSS进行数据分析，能够较为快速有效的得到所需结果。处理工具 ： SPSS( Statistical Product and Service Solutions) ， “统计产品与服务解决方案”软件，旧M公司推出的一系列用于统计学分析运算、数据挖掘、预测分析和决策支持任务的软件产品及相关服务的总称，SPSS 的基本功能包括数据管理、统计分析、图表分析、输出管理等等。SPSSB计分析过程包括

10、描述性统计、均值比较、一般线性模型、相关分析、回归分析、对数线性模型、聚类分析、数据简化、生存分析、时间序列分析、多重响应等几大类，每类中又分好几个统计过程， 比如回归分析中又分线性回归分析、 曲线估计、 Logistic 回 归、 Probit 回归、 加权估计、 两阶段最小二乘法、 非线性回归等多个统计过程，而且每个过程中又允许用户选择不同的方法及参数。SPSS&有专门的绘图系统，可以根据数据绘制各种图形。处理方式：先将20天的数据依次导入SPSS55C8,将其中跟数字有关的变量数据类型从字符串类型修改为数值类型， 便于比较计算。 经过处理过后的数据一 共有 600291 个(附件

11、 1)预处理条件：(1)用车时间过短(1分钟以下)，删除用车时间在0-1分钟之间的数据;(2)删除只有借车时间，没有还车时间的数据5模型建立与求解5.1 问题1把问题1分为3个步骤进行：1 .统计各站点20天中每天及累计的借车频次和还车频次；2 .所有站点按累计的借车频次和还车频次分别给出它们的排序；3 .统计分析每次用车时长的分布情况。(直方图表示)4 .1.1每天每站点借还车统计我们将每天预处理过后所得到的数据导入 SPSS,通过分别将借出 车站号和还车车站号设置为“频率统计”变量，得到下图，并进行排列:懵0 -lel mt eq 看事中 国入 事才q sw »*口 阻啊 王制雷

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13、Excel 的排序功能，我们可以自由地设置降序或者是升序排列。（结果如下图）累计借车数导出至Excel未排序（原始数据图）：JA xA>-A c* 祥D Ei.EWF A C*正B/JEt:14 S-N 卜北t-1-jtHW商-廿占三窜0-Fa*V0十Q +r-* *R+-tJc 1T?1A二U +A,产3 - i4L 工 J 45112n zs u IS flkNTJ事Z M 441般 IS IR ZW 闺. wW 泗 但Jjj； 1* PV £1再 产 前I 35 Jl 胃 =雨X泗* W1 IH 切 IT2我电通aJfihUt-HDU,1RlfluRI Jl 4EL ,?

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19、3; 4 a n - 4 4 4* -4 一 、.|士血(号4 4.!£.、.当，TMITB.rll累计还车数导出至Excel未排序（原始数据图）AM心总值心卬加皿MW师阳.露心窑靠I :# IL LJ .9 i * _flw cd 工 le i ! t. 1 .-s. 4 11 .1 14 SJ t. 、p?*的正驾班啊21.二心R £ K扎晤lJLw.1-.r.-.-H仙=-如xW L圣心尸二 F ) SJ -it 4 1 ! aj i- 4*. ,1 2 f -ti tL 2 3 J -ri TJ I- J 1£ u-V工二始 二将上5口壬算 0 注咻/44

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32、J3Q M3708QB的 1Q70 7羽?通过表格可以得知，低于 20分钟的自行车使用数占到了总数的 76.9%,而 根据中位数，众数，以及平均数的分析，其值也落在这个区间范围内。可以分析 出，该区域的人们出行选择自行车的方式大多为短途。这样既可以提升出行效率，避开交通堵塞，更能够强身健体，提高生活质量。5.2 问题2将问题2分为2个步骤进行：1 .统计20天中各大使用公共自行车的不同借车卡（即借车人）数量；2 .统计数据中出现过的每张借车卡累计借车次数的分布情况（直方图表示）：5.2.1 每天借车卡累计借车数量将预处理过后的20天数据导入SPS中，依次将“第一天，第二天”设 置为“频率统计”

33、变量，统计每天的不同借车卡出现频次，导入 Excel。（如图 所示）。加天的不同的借车人数呈 Excel厚自动换行 常规y墨9条件格式登月单: 一表格格式样式E房合并后居中/ 中 % 嗡然HI 1 I J IK1 J_N第几天借隼人数116700217340 39557|414549517893618593718777平均埴15299.35111499412181131319426141938511518581 16.17153241815212191908720199303059875rt勾数字底通过分析表格数据可以得出，20天的平均值大约为15300。第3, 9, 10, 16 天的借车卡

34、数量与平均值相差较远， 可能是改天的天气状况较差，不宜骑自行车 出行。第19, 20天借车卡数量较多，特别是第20天为数量最多的一大，分析为 周末假期出游。向前推算，第13, 14, 6, 7天也为周末，数据显示的结果与推 论结果相符。5.2.2 每张借车卡累计借车次数分布我们构造一个新的SPS做据库,将20天所有借车号导入到同一列中，将借 车号设置为“频率统计”变量，统计每一个借车号出现的次数。再导出到Excel 中分析处理。（如下图）获得的每个借车卡借车次数:| I；I； =信车卡号喑车数101101000101601000210162100021022S10002102/121000.3

35、102721000.310285100031030810004103091000/103181000.4103201000410328100041033b1000.4103711000.4103761r o00.4103891 0004曲100Ofi将借车次数设置为“频率统计”变量：（统计每个借车次数的频次）借车次数1频率3M9百分比73有效百分1累计百分比7.3工3|23324747414.7329086.66.621.34267C5.95.927.2525125.65E32.8622546537.8721174.74.742.5818024.24.246.691758工93.950.510

36、16772.72.7S4.21114943.33.3575121426323260.71313152.92,963.61411552.62.666.21511112.52.568.6161023232370.91789£2272.91 Oone日1正拓贴上 SB'K 飒曲1011-2021-3031-4041-5051-60 6D 以上频次24152.0C11141.005266.002248.00951.00369.00294.00比例例）54.3725.0011.805.062140.83Q66累计比例543779179097960398 1799 0099.66J由统计

37、结果分析，可以看到，大多数使用次数趋近于 20次以内，也就是每 天1次。存在小部分使用次数过多，可能存在使用时长越长，平均时长费用越高 等问题。但这种情况占小部分，属于可控范围内。我们将每张借车卡使用次数作函数拟合（左端为指数分布的拟合图，右端为 正态分布拟合图）皂一拉 4 5 & 7 gf:tlf21 3 vvv v vvvvvv自黑£物必摄N'匚将所隹陪回整S3于下怪羞辱C3）；当前运财度二无柜吧T 够二三!出由度：分布绯V指磁网肃E，林蔓！.手前八咔佛恰苴Hit砂布港黑而 凸胜羲顶山囱县也汽他瓦点遒的-雌-平均档期） JS（H二鼻U£聋制踞圳会帮町V2

38、的指鼓P甲图度测累租概率V2的去招势V*PP图,rlrM帕修若借千款的止态P-P图唱川霞阳四率o nono-OlDG-0.10-0.1 s411O.DMD.40«班J!相冉胆丰借中敬的去劫的止态P尸图通过变量和函数的拟合程度，以及拟合过后的函数偏离程度（指数分布：0.05; 正态分布：0.3）可以得出指数分布的置信度为 95%。可以发现所求变量具有较 好的指数分布特性，随着使用次数的增多，出现的概率逐渐降低。我们再次使用点估计中的最大似然估计来进行分析。即?=?严? 2? 0; 0, ?0 0设？宿0, i=1, 2, 3L(? ? ?)= ?,? ?P ?-? =?-?(?i+?殳

39、+?3+?),1,2,3/ 对上式取对数=?(?,?,?.)=?%(?+ ?+ ?+ ? )？?=n?2 ?;(?+ ?+ ?+ ? )? ?/寸?豕导,得?-(?+ ?+ ?+ ?) ?令其为0,行到？= X?=i?一?即？= K=0.06所得到的偏离程度与拟合结果相同。由以上分析总结出所得累计借车次数是 符合指数分布的。5.3问题3首先通过数据分析找出合计使用公共自行车次数最大的一天为第20天。将问题3分为6个步骤：1 .请定义两站点之间的距离，并找出自行车用车的借还车站点之间（非 零）最短距离与最长距离；2 .对借还车是同一站点且使用时间在 1分钟以上的借还车情况进行统 计；（28min

40、）3 .选择借车频次最高和还车频次最高的站点，分别统计分析其借、还车 时刻的分布及用车时长的分布；4 .找出各站点的借车高峰时段和还车高峰时段； 在地图上标注或列表给 出高峰时段各站点的借车频次和还车频次； 对具有共同借车高峰时段 和还车高峰时段的站点分别进行归类；5.3.1 定义两站点之间的距离对于距离的定义，参照别人的处理方法主要有：（1）定义直行车匀速运动（300m/s）,用S=v*t来直接判断距离（通过 此种方法得出的结果误差较大）；（2）通过查询百度地图等获取站点的实际方位， 通过等比例缩小的方式 获得站点坐标（笛卡尔坐标系），再通过欧式距离等方式计算两者 之间的距离（此方法的前提是

41、获取每个站点的实际坐标，由于是 7 年前的数据，很多站点已经变更，无法准确获得数据）。综合以上情况，我们通过以下方式计算两个站点之间的距离：（1）统计每个站点的借还车高峰期；（2）a）借车时间处于高峰期，同时还车时间处于高峰期的类型视为 A类;b）借车时间不处于高峰期，还车时间处于高峰期的类型视为 B类；c)借车时间处于图峰期，还车时间不处于局峰期的类型视为 C类； d)借还车时间都不处于高峰期的类型视为 D类；(3)将四种类型作如下处理：i. 将速度设为V=1 ;ii.D 类：S= V*TC 类：S= V*T* aB 类：S= V*T* TA 类：S= V*T* Ba, B, 丫分别为路况因

42、子。我们分析，用车时间处于高峰期的自行车，速 度会受到交通状况的影响，速度也同时会受到影响。同一借还车点，高峰期用车 时间会变长。三种路况因子的获取我们通过找出分属这三种情况的数据统计得到。 通过此方法获得的最长距离和最短距离即为所求结果。5.3.2 借还车是同一站点且使用时间在 1分钟以上的借还车情况利用SPSS软件对第20天的数据进行处理，将预处理过后的第 20天的数据 导入新建的SPSS数据库中。进行数据筛选。筛选标准：(1)借出车站号=还车车站号；H 一 HT一三(2)用车时间 1;AiN 扁HW 看个5电 扁 勒rt!=m*w-OStidi 却WnM 艇武rE/ mW*T”置 4*，

43、 餐M将筛选过后得到结果中的车站号设置为“频率统计”变量，并求出用车时间 的均值，中位数，以及众数。(结果如下图)束中as势平均值u；，三等w1 UI /中日杜卫/ ：;年裁5江的-g打难 .区#in因VH 'J："蛙君丝二：包用车时间族率百分比有效百分1累计百分而2161S.46.431.43451.91.9574301313725351.51.5826462288.8744191.99Z78512222961g602.52.599.61053222.22211421.81.84512652.82.87.71345191.99.8总数均值生他数0众数口极小值”板大值2356

44、28132222382.统计直方图由数据可以得知，用车时间在同一站点且用车时长在1分钟以上的用户，平均时长为28分钟。数量最多的为2分钟的用户，用车时长最长达到 382分钟。由直方图可以看出，用户用车时长大多聚集在 62分钟以内。5.3.3 统计借车频次最高和还车频次最高的站点的借还车时间段分布通过导出第20天不同站点的借还车频次，分析得出第42号站点的借车数最 多，第56号站点的还车数最多。信车缆进车站考借主数车站号借车数车站号借车数军站号些军救军站W14118681125122lit162142107427750221012324416331794323083148侬23716415242

45、H34444984159125闲1吗121513845149852S41262771成115611346216B6321271B3167152?11347S0387246129490W201&11348390832401291791691S791045732149506123238990198401301到3M24717017115630511128511879186132121172320122455236292236133228173118139353379934413d26Sm17714292643259411213528817S15945542S95230J362481761S8153015弓731965913720J1772641723957385976813316917S1011824753979833213912117937419577593299915814015610015120236的29510021714121S10117?运车统计车站号伯生数车站号信左欤主站号但车数车站号借壬数车站号佬乐数18041153ei13512115416192210242735B221112212316216317343231B31