2020-2021备战中考数学一模试题分类汇编——圆与相似综合及答案

1、I2020-2021 备战中考数学一模试题分类汇编一一圆与相似综合及答案一、相似1 阅读下列材料，完成任务:自相似图形 定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形例如：正方形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别是 AB BC CD DA 边的中点，连接 EG HF 交 于点 O,易知分割成的四个四边形 AEOH EBFO OFCG HOGD 均为正方形，且与原正方 形相似，故正方形是自相似图形.ABCD 分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为（2）如图 2，已知 ABC 中，/ ACB=90 , AC=4, BC=3,小明发现 ABC 也是 自

2、相似图形”他的思路是：过点 C 作 CD丄AB 于点 D,贝 U。将厶 ABC 分割成 2 个与它自己相似的 小直角三角形.已知ACMAABC,则厶 ACD 与厶 ABC 的相似比为 _ ;（3） 现有一个矩形 ABCD 是自相似图形，其中长 AD=a,宽 AB=b （a b）. 请从下列 A、B 两题中任选一条作答.A:如图 3 - 1，若将矩形 ABCD 纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则 a=（用含b的式子表示）；如图 3 - 2 若将矩形 ABCD 纵向分割成 n 个全等矩形，且与原矩形都相似，则 a=（用含 n, b的式子表示）；B:如图 4 - 1，若将矩形 ABCD 先

3、纵向分割出 2 个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成 3 个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=_ （用含 b 的式子表示）；如图 4 - 2，若将矩形 ABCD 先纵向分割出 m 个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成 n 个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=_ （用含 m , n, b 的式子表示）.【答案】（1）* （1 ）图 1 中正方形任务:嗣 1,- 1Ian * 11A3；/或qn【解析】【解答】(解：(1) ：点 H 是 AD 的中点, AH= AD,正方形 AEOH正方形 ABCD,相似比为：=； 故答案为：；(2 )在 RtAABC 中，AC=4，B

4、C=3,根据勾股定理得,ACd二 T ACD 与 ABC 相似的相似比为：，4故答案为：二;(3 ) A、矩形 ABE 矩形 FECD AF： AB=AB: AD,即 Pa： b=b： a, a= . b;故答案为： 每个小矩形都是全等的，则其边长为 b 和 a,I贝 U b:a=a： b, a= & b;故答案为：.由 可知纵向 2 块矩形全等，横向 3 块矩形也全等,I DN= b,I、当 FM 是矩形 DFMN 的长时,矩形 FMNDs矩形 ABCD FD: DN=AD: AB,3即 FD：b=a： b,1解得 FD= a,(2)AB=5,B、如图 2,图！-AF=a - a=

5、a,矩形 GABH 矩形 ABCD, AG: AB=AB: AD1即 a： b=b： a得：a= . b;n、当 DF 是矩形 DFMN 的长时,矩形 DFMNs矩形 ABCD, FD： DN=AB: AD3即 FD：b=b： a解得 FD=,fl9dtr 3 - tf AF=a-出=, AG= - = I,矩形 GABH 矩形 ABCD, AG： AB=AB: AD3 - if即丨 : b=b: a,得：a= b;21故答案为：或;如图 3,/ DN= b,I、当 FM 是矩形 DFMN 的长时,矩形 FMNDs矩形 ABCD FD: DN=AD: AB,1即 FD：b=a： b,1解得 F

6、D= a,-AF=aja, AG=矩形 GABH 矩形 ABCD,n、当 DF 是矩形 DFMN 的长时,矩形 DFMNs矩形 ABCD FD: DN=AB: AD即 FD：b=b: a解得 FD=, AF=a-,:.AG= =,*块应觀由 可知纵向 m 块矩形全等，横向n 块矩形也全等,a, AG:AB=AB矩形 GABH 矩形 ABCD,:AG: AB=AB: AD【分析】由题意可知，用相似多边形的性质即可求解。相似多边形的性质是；相似多边形的对应边的比相等。相似多边形的对应边的比等于相似比。I(1 )由题意知，小正方形的边长等于大正方形的边长的一半，所以其相似比为；(2)在直角三角形 B

7、C 中，由勾股定理易得 AB=5,而 CD AB,所以用面积法可求得12Cb5CD=，所以相似比=皿:2?bbd同理可得汕 匕解得，吕二山电;B、最小的矩形的长和宽与大矩形的场和宽的对应方式有两种，所以分两种情况来解:I、当 FM 是矩形 DFMN 的长时，由题意可得成比例线段,AF 的长也可用含 a 的代数式表示，而 AG=GF=AF,再根据矩形GABHs矩形 ABCD,得到相 对应的比例式即可求得 a=*；b;n、当 DF 是矩形 DFMN 的长时，同理可得 a= b;同中的两种情况类似。2.如图，在 ABC 中，已知 AB=AC=10cm, BC=16cm, AD 丄 BC 于 D,点

8、E、F 分别从 B、C 两点同时出发，其中点 E 沿 BC 向终点 C 运动，速度为 4cm/s ;点 F 沿 CA、AB 向终点 B 运 动，速度为5cm/s，设它们运动的时间为 x ( s).(3)A、由题意可得,解得占FD AL1 iiJa氓册；孑,解得 FD=,则(1 )求 x 为何值时，EFC 和厶 ACD 相似；(2) 是否存在某一时刻，使得 EFD 被 AD 分得的两部分面积之比为 3:5，若存在，求出 x 的值，若不存在，请说明理由；(3) 若以 EF 为直径的圆与线段 AC 只有一个公共点，求出相应 x 的取值范围.【答案】(1 )解：如图 1 中，5t=-1=2,当点 F

9、在 AB 上，点 E 在 CD 上时，不存在EFC 和 ACD 相似，64综上所述，t= s 或 2s 时，EFC 和 ACD 相似.(2)解：不存在.点 F 在 AC 上，点二 t=,CF AC5t 1C当防皿时，即 I”7t= NJ图1E 在 BD 上时， 当时，CF0ACDA,理由：如图 2 中，当点 F 在 AC 上，点 E 在 BD 上时，作 FH 丄 BC 于 H, EF 交 AD 于 N./ CF=5t. BE=4t,-CH=CF?cosC=4t BE=CH / AB=AC, AD 丄 BC, BD=DC, DE=DH, / DN / FH, EN=FN, SAENCFSAFND

10、, EFD 被 AD 分得的两部分面积相等，同法可证当点 F 在 AB 上，点 E 在 CD 上时， EFD 被 AD 分得的两部分面积相等，不存在某一时刻，使得EFD 被 AD 分得的两部分面积之比为 3: 5.(3)解：如图 3 中，当以 EF 为直径的OO 经过点 A 时，OO 与线段 AC 有两个交点, 连接 AE,贝U/ EAF=90 .EDEN!Dll屈=1, t=占, 0w百时，OO 与线段 AC 只有一个交点.如图 4 中，当OO 与 AC 相切时，满足条件，此时 t=/囲v tW4寸，OO 与线段 AC 只有一个交点.764 hOG 25综上所述，当OO 与线段 AC 只有一

11、个交点时，OwvL或石或 77 或 Nv tw4【解析】【分析】(1)分类讨论：根据路程等于速度乘以时间，分别表示出BE,CE,C F 的长，当时， CF0ACDA, 当时厶 CEFACDA,根据比例式，分别列出方程，求解 t 的值；当点 F 在 AB 上，点 E 在 CD 上时，不存在EFC 和厶 ACD 相似， 综上所述，即可得出答案；(2)不存在.理由：如图 2 中，当点 F 在 AC 上，点 E 在 BD 上时，作 FH 丄 BC 于 H, EF 交AD 于 N.由题意知 CF=5t. BE=4t，根据余弦函数的定义由CH=CF?cosC 表示出 CH 的长，从而得出 BE=CH 根据

12、等腰三角形的三线合一得出BD=DC,根据等量减等量差相等得出ED EhDE=DH,根据平行线分线段成比例定理得出=1 得出 EN=FN 根据三角形中线的性质得出 SAEND=SFND, EFD 被 AD 分得的两部分面积相等，同法可证当点F 在 AB 上，点E 在 CD 上时，EFD 被 AD 分得的两部分面积相等，故不存在某一时刻，使得EFD 被 AD分得的两部分面积之比为 3: 5 ;(3) 如图 3 中，当以 EF 为直径的OO 经过点 A 时，OO 与线段 AC 有两个交点，连接4 20 - 5(J ，解得 t=由 cosB= =，即1C 4It = h23t=S如图 5 中，当OO

13、与 AB 相切时,cosB=恣，即A5 如图 6 中，O O 经过点 A 时，连接 AE,贝 U / EAF=90AC-cosi?-AE,则/ EAF=90.根据余弦函数的定义，由EC时，OO 与线段 AC 只有一个交点； 如图 4 中，当OO 与 AC 相切时,满足条件，此时t=;如图 5 中，当OO 与 AB 相切时，根据余弦函数的定义，由3.如图，在矩形 ABCD 中，AB= 6, BC= 4,CQ 所在的直线对折得到 CQN ,延长 QN 交直线 CD 于点 M .BQ 的长.【答案】（1）解：证明： DC AB 即 / MCQ=ZCQB, BQC 沿 CQ 所在的直线对折得到CQN

14、/CQN=ZCQB, 即/ MCQ=ZMQC,（2）解：四边形 ABCD 是矩形， BQC 沿 CQ 所在的直线对折得到CQN, /CNM=ZB=90 ,设 DM=x，贝UMQ=MC=6+x, MN=5+x在 RtACNM 中，MB2=BN2+MN2, 即(x+6)2=42+ (x+5)2,解得：x=,3,结论列出方程，求解得出的值，故 0GBF 4COSB=MF $,列出方程，求解得出t 的值;如图 6 中，OO 经过点 A 时，连接 AE,则AB4二=EJ/ EAF=90 / 由个交点；综上所述，得出答案。,列出方程求出t 的值，故氏vtW4寸，OO 与线段 AC 只有动点 Q 在边 AB

15、 上，连接 CQ ， 将厶 BQC 沿（备用團）(1)(2)求证：MC= MQ当 BQ= 1 时，求 DM的长;(3)过点 D 作 DE 丄 CQ ,垂足为点 E ，直线 QN 与直线DF1DE 交于点 F ,且印 :;，求四边形ABCD是矩形,毘D DM=, DM 的长 2.5.(3 )解：解：分两种情况：当点 M 在 CD 延长线上时，如图所示:DE 丄 CQ, / CDE=/ F,又 / CDE=/ FDM , / FDM=/ F, MD=MF .过 M 点作 MH 丄 DF 于 H,贝 U DF=2DH,IAQ B图2DF_1又，1r,DE 丄 CQ MH 丄 DF, / MHD= /

16、 DEC=90, MHD DECMi)ZW1DC DE 6 DM=1 , MC=MQ=7 , MN =、BQ=NQ=33当点 M 在 CD 边上时，如图所示，类似可求得BQ=2.综上所述，BQ 的长为或 2.【解析】【分析】(1 )由矩形的性质得出/ B=90 , AB=CD=6, CD/ AB ,得出/ MCQ=ZCQB ,由折叠的性质得出 CBQACNQ ,求出 BC=NC=4, NQ=BQ=1 , / CNQ=ZB=90 ；/ CQN=ZCQB,得出 / CNM=90 / MCQ=ZCQN,证出 MC=MQ.( 2) 设 DM=x，贝 U MQ=MC=6+x,MN=5+x，在 RtACN

17、M 中，由勾股定理得出方程，解方程即可.(3)分两种情况： 当点 M 在 CD 延长线上时，由(1)得：/ MCQ=ZCQM，证出/ FDM= / F,得出 MD=MF，过 M 作 MH 丄 DF 于 H,贝 U DF=2DH,证明MHDCED 得MD1I出皿处 心，求出 MD= 6 CD=1, MC=MQ=7，由勾股定理得出 MN 即可解决问题. 当点 M 在 CD 边上时，同 得出 BQ=2 即可.4 .如图 1,在 RtAABC 中，/ ACB=90, AC=6cm, BC=8cm,点 P 从 A 出发沿 AC 向 C 点以 1 厘米/秒的速度匀速移动；点 Q 从 C 出发沿 CB 向

18、B 点以 2 厘米/秒的 速度匀速移动.点 P、Q 分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t 秒.(1 )当 t=_ 时，PQ/ AB(2 )当 t 为何值时，PCQ 的面积等于 5cm2?(3)在 P、Q 运动过程中，在某一时刻，若将PQC 翻折，得到EPQ 如图 2, PE 与 AB 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由.能垂直，理由如下：延长 QE 交 AC 于点 D,将 PQC 翻折，得到EPQ QCP QEP,/C=ZQEP=90 ,若 PE 丄 ABQD/ AB,CQACBA,CQ QbMAB2t QL&一兀,QD=2.5t, QC=QE=2t DE

19、=0.5t/ /A=ZEDP,/C=ZDEP=90, ABC DPE0. 5t 6 - - 818【答案】（1） 2.4（2）解：点 P 从 A 出发沿 AC 向 C 点以 1 厘米/秒的速度匀速移动；点 Q 从 C 出发沿 CB PC=AC-AP=6-,CQ=2t,M|朽二打 SACPQ= CP?CQ=5, t2-6t+5=0解得 ti=1, t2=5 （不合题意，舍去）当 t=1 秒时，PCQ 的面积等于 5cm2解得:(3)解：【解析】【解答】解：(1) 点 P 从 A 出发沿 AC 向 C 点以 1 厘米/秒的速度匀速移动；点 Q 从 C 出发沿 CB 向 B 点以 2 厘米/秒的速度

20、匀速移动， PC=AC-AP=6-, CQ=2t, 当 PQ/ AB 时，=5,据此建立方程，求出 t 值即可；根据折叠可得QCPQEP，若 利用相似三角形的对应边成比例，求出两角分别相等可证 ABCs DPE , 值即可5.如图，在平面直角坐标系中，A、 B 两点的坐标分别为(20, 0)和(0,15)，动点 P从点 A 出发在线段 AO 上以每秒 2cm 的速度向原点 0 运动，动直线 EF 从 x 轴开始以每秒 1cm 的速度向上平行移动(即EF/ x 轴)，分别与 y 轴、线段 AB 交于点 E、F,连接 EP、FP,设动点 P 与动直线 EF 同时出发，运动时间为 t 秒.(1 )求

21、 t=9 时，PEF 的面积；(2)直线 EF、点 P 在运动过程中，是否存在这样的t 使得 PEF 的面积等于 40cm2?若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由；(3 )当 t 为何值时，EOP 与厶 BOA 相似.【答案】(1)解： EF/OA,/BEF=ZBOA又/B=ZB, PC: AC=CQBC,(6-t) :6=2t:t=2.4当 t=2.4时，PQ/ AB根据题意可得用相似三角形对应边成比例可得PC=AC-AP=6-t CQ=2t，根据平行线可得PQCSABC, PC:AC=CQ BC,即得(6-t): 6=2t: 8,求出t 值即可;(2)由 S CPQ= CP?

22、CQ(3)延长 QE 交 AC 于点 D ,QD / AB，可得CQDs CBA ,PE 丄AB ,据此求出 t利用相似三角BEFSBOA,EF BE云=BO ,当 t=9 时，OE=9, OA=20, OB=15,20 X 6 EF=8, SAPEF= JEF?OE=-X8X9=36m2)(2)解：/BEFABOA,BEOA(15 - t) 2Gd EF=( 15-t),7J- X(15-t) Xt=40整理，得 t2-l5t+60=0,/=152-4X1X60,方程没有实数根.不存在使得 PEF 的面积等于 40cm2的 t 值（3）解：当 / EPO=/ BAO 时，EOPA BOA,O

23、P 0E留-纠 Id.頑=0B，即曲=71 ,解得 t=6;当 / EPO=/ ABO 时，EOa AOB,OP 0E|何-纠|t|加=OA，即=厩,86解得 t=.86当 t=6 或 t= 时， EOP 与BOA 相似【解析】 【分析】（1）由于 EF/ x 轴，则SPEf= 2 ?EF?OE t=9 时，OE=9,关键是求EF BEEF.易证BEFA BOA,则 OA =弓，从而求出 EF 的长度，得出PEF 的面积；（2）假设 存在这样的 t，使得 PEF 的面积等于 40cm2,则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；（3）如果 EOP 与厶 BOA 相似，由于/ EO

24、P=/ BOA=90，则只能点 O 与点O 对应，然后分两种情况分别讨论：点 P 与点 A 对应；点 P 与点 B 对应.H7二一穴=6.在平面直角坐标系中，直线 与 x 轴交于点 B,与 y 轴交于点 C,二次函数-JT 士 bTi # C2的图象经过点 B,C 两点，且与 x 轴的负半轴交于点 A,动点 D 在直线 BC(2)如图 1,连接 DC,DB 设厶 BCD 的面积为 S 求 S 的最大值；(3)如图 2,过点 D 作 DM 丄 BC 于点 M，是否存在点 D,使得 CDM 中的某个角恰好等于/ ABC 的 2 倍？若存在，直接写出点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由二次函数的表

25、达式为:【答案】(1 )解：直线刚妙，她2).r- -X，当时,v-丰首葢+二次函数同，肘两点,C - N3匸X / 4b c = 0.6 -1解得c 一9UJI(2 )解：过点目作轴于点，交 于点，过点 Id 作遂)閑于点,-亠；当F6时,的图象经过FD =- 2 - /- 2) =-DABCP=xx3X43CP= .S矩形ABCD=2SCFE3CP= .四边形 EFCG 是矩形， FC/ EG. / FCE=/ CEG/GDC=ZCEG/FCE=/ FDE,/GDC=ZFDE/FDE+ZCDB=90 ,/GDC+ZCDB=90. / GDB=90 I.当点 E 在点 A (E)处时，点 F

26、 在点 B ( F)处，点 G 在点 D (G处，如图 2所示.此时，CF=CB=4II.当点 F 在点 D (F)处时，直径 F GTBD,如图 2所示,川.当 CF 丄 BD 时，CF 最小，此时点 F 到达 F, 4 X3=5X .CF12:.CF=CFW43CF- S矩形ABCD=,- . X （占）2S矩形ABCD DE,当 ED 和 EM 为等腰三角形 EDM 的两腰， 0E 丄 DM ,又 AD= AC, ADC 为等边三角形， / CAD=60； / DA0= 30 ； / D0N= 60 1在 RtAADN 中，DN= AD=32，在 RtAODN 中，0N=丄3DN= 13

27、，当 ON 等于 1 时，三点 D、E、M 组成的三角形是等腰三角形；当 MD = ME , DE 为底边，如图 3,作 DH 丄 AE,/ AD= 2、3, / DAE= 30 ； DH= ,3 , /DEA=60DE=2, ODE 为等边三角形， 0E= DE= 2 , 0H= 1 ,/M= ZDAE=30；而 MD = ME , /MDE= 75 /ADM= 90 - 75=15 / DNO= 45 , NDH 为等腰直角三角形，NH=DH= , 3 ,ON = ,3 - 1 ；综上所述，当 ON 等于 1 或 J3 - 1 时，三点 D、E、M 组成的三角形是等腰三角形;(3 )当0O

28、 变动时 DP - DQ 的值不变，DP - DQ= 2 3 .理由如下：连 AP、AQ,如图 2,/ZC= ZCAD=60而 DP 丄 AB, AC/ DP,ZPDB=ZC=60又ZPAQ=ZPDB,ZPAQ=60:ZCAQ= ZPAD,/ AC=AD, ZAQC= ZP, AQC APD, DP= CQ, DP - DQ= CQ- DQ= CD= 2 方.【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等也考查了等腰三角形的性质以及含30的直角三角形三边的关系.16.在厶 ABC 中，ACB 900, BAC60, AC=2, PABC 所在平面内一点，分别连 PA,PB ,PC(1)如