2020届高考数学第七篇立体几何与空间向量专题7.6利用空间向量证明平行与垂直练习

1、专题7.6利用空间向量证明平行与垂直【考试要求】1 .理解直线的方向向量及平面的法向量；2 .能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3 .能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理；4 .能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；5 .能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题；6 .并能描述解决夹角和距离的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用【知识梳理】1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量 a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线 1，a

2、,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面a的法向量.2.空间位置关系的向量表示位置关系向里表小直线1 1 , 1 2的方I句向量分别为1 1 / 1 2n1 II n2? m =入 n2ni, n21 1 -L 1 2n1n2? n1 , n2= 0直线1的方向向量为n,平囿1 / ann? n - m= 0a的法向量为m1 _L an n? n=入 m平面a , 3的法向量分别为a / 3n n? n=入 mn, ma _L 3nn? n - m= 03.异面直线所成的角设a, b分别是两异面直线11, 12的方向向量，则a与b的夹角31 1与1 2所成的角9范围(0,兀)o,彳求法a -

3、b cos1 all blcos 0 = |cos 3 l| a b| = .|a| bl4.求直线与平面所成的角设直线1的方向向量为a,平面”的法向量为n,直线1与平面”所成的角为0 ,则sin 0 = |cos a,n | =| a . n| a| n|.5 .求二面角的大小(i)如图，ar cd是二面角a -1- 3的两个面内与棱i垂直的直线，则二面角的大小 。=Ab CD(2)如图，ni, n2分别是二面角a -1 - 3的两个半平面 ” ,3的法向量，则二面角的大小0满足|cos0 | = |cosn1, n2 | ,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).6 .点到平

4、面的距离用向量方法求点 B到平面距离基本思路：确定平面法向量，在平面内取一点 A,求向量AEJ法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面a的法向量为n,点B到平面【微点提醒】1 .平面的法向量是非零向量且不唯一.2 .建立空间直角坐标系要建立右手直角坐标系3 .线面角0的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即 sin 0 =|cosa, n | ,不要误记为 cos 0 = |cosa, n |.4 .二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面”，3的法向量ni, n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二

5、面角与向量ni, n2的夹角是相等，还是互补.【疑误辨析】1 .判断下列结论正误(在括号内打或“x”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)若直线a的方向向量和平面 a的法向量平行，则 a/ a .().(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角(4)两异面直线夹角的范围是j0,L直线与平面所成角的范围是|0,二面角的范围是笆，兀.()【答案】(1) x (2) X (3) X (4) V【解析】(1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个；(2)a，“； (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角【教材衍化】2 .(选彳2- 1P104练习2改编)已知平面a ,

6、3的法向量分别为 ni=(2 ,3, 5),年=(3, 1, 4),则()A. a / 3B. a 1 3C. a , 3相交但不垂直D.以上均不对【答案】C【解析】,niw入山，且ni 靠=23W0,a , 3相交但不垂直.3.(选彳2- 1P112A4改编)已知向量m, n分别是直线l和平面a的方向向量和法向量，若 cos m n =1一 -，A，2，则l与a所成的角为()A.30B.60C.120D.150【答案】A1【解析】由于cos 3n = 2,所以m n=120 ,所以直线l与a所成的角为30 .【真题体验】4.(2019 天津和平区月考 )正方体 ABCD ABGD的棱长为a,

7、则平面 ABD与平面BDC的距离为()A. J2aB. 3aC.-3-aD.-3-a【答案】D【解析】显然AC，平面ABD,以D为坐标原点，DA DC DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则平面 ABD 的一个法向量为 n=(a, a, a), A(a, 0, 0), Ra, a, 0), BA= (0 , a, 0),，|BAVn| 3则两平面间的距离 d= m= a.5.(2018 北京朝阳区检测)已知平面a的一个法向量为(1 , 2, 2),平面3的一个法向量为(一2, 4,k),若a / 3 ,则k等于()A.2B. -4C.4D. -2【答案】 C一 一，12-2，

8、【解析】 因为 a / 3 ,所以一o=-7=-r-,所以 k= 4.2 4 k6.(2019 烟台月考)若直线l的方向向量为a= (1 , 0, 2),平面a的法向量为n=(-2, 0, 4),则直 线l与平面a的位置关系为.答案】 l a1，【解析】 因为a=-2n,所以 U a .【考点聚焦】考点一利用空间向量证明平行问题【例1】 如图，在四面体 ABC珅，AD平面BCD BCLCD AA2, BA 2g2, M是AD的中点，P是BM勺 中点，点Q在线段AC上，且AQ= 3QC证明：PQ/平面BCD【答案】见解析【解析】证明 法一 如图，取BD的中点O,以O为原点，OD OP所在射线分别

9、为y, z轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O- xyz.由题意知，A(0 , 2, 2), B(0 , 、2, 0), 口0, 2, 0).设点C的坐标为(X0, ya, 0).因为AQ= 3Qc所以 Q3x0 32+ 4y0，1f因为M为AD的中点，故M0,1).又P为BM的中点，故 P, 0, 2)所以 PQ= gx。，乎+ 3y0, 0 .又平面BCD勺一个法向量为 a=(0, 0, 1),故PQa= 0.又PC?平面BCD所以PQ/平面BCD法二在线段CD上取点F,使得DF= 3FC,连接OF同法一建立空间直角坐标系，写出点A,B,C的坐标,设点C坐标为(X0, 丫0，0). CF=

10、4CD设点F坐标为(x, v, 0),则(x X0, y y0,1,0) =4( -X0, 2-y0, 0),3X= 7X0,42 , 3片才+ 4y3X0, +3y0,00,又由法一知PQ=32 34x0,4+4y,0 ? O已 PQPQ/ OF又PC?平面BCD OF?平面BCD.PQ/平面 BCD【规律方法】(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.

11、这样就把几何的证明问题转化为向量运算.【训练1】 如图所示，平面 PADL平面ABCD ABC时正方形， PAD直角三角形，且 PA= AD= 2, E, F,G分别是线段PA PD CD勺中点.求证：PB/平面EFG【答案】见解析【解析】证明 二平面PADL平面 ABCD且ABC四正方形,，AB, AP, AD两两垂直.以A为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 A0 , 0, 0), B(2 , 0, 0) , Q2 , 2, 0),D(0, 2, 0), P(0, 0, 2),日0, 0, 1), F(0, 1, 1), G1 , 2, 0).法一-EF= (0, 1,

12、 0), EG= (1 , 2, 1),设平面EFG勺法向量为n=(x, y, z),则彳即iy”x+ 2y-z= 0,令z=1,则n=(1 , 0, 1)为平面EFG勺一个法向量,- PB= (2 , 0, 2), PB, n= 0, nXPB PB?平面 EFGPB/ 平面 EFG法二PB= (2, 0, 2), FE= (0, 1, 0),FG= (1 , 1, 1).设PB= sFE+ tFG,即(2, 0, 2)=s(0, 1, 0)+t(1, 1, - 1),尸，,t -s= 0,解得 s=t =2.L t = - 2 , PB= 2FE+ 2FG又FEWF郃共线，.二PB, FE

13、WF献面. PB?平面 EFGPB/ 平面 EFG考点二利用空间向量证明垂直问题【例2】如图所示，已知四棱锥 P- ABCD勺底面是直角梯形，/ABO Z BCD= 90 , AB= BC= PB= PC= 2CD侧面PBCL底面ABCDffi明：D PAL BD(2)平面PAD_平面PAB【答案】见解析【解析】证明取BC的中点Q连接PO 平面PBCL底面ABCD PBE等边三角形，POL底面 ABCD以BC的中点O为坐标原点，以 BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设 CD= 1,则 AB= BC= 2, PO/. A(1

14、 , 2, 0), R1 , 0, 0), D(-1, 1, 0), R0, 0,何 . BD= (-2, -1, 0), PA= (1 , -2, - %3). BD- PA= ( 2) X 1+ (-1)X(- 2)+0X(-3) = 0, .PA1BDPAL BD(2)取PA的中点M连接DM则成，1, 23 1 DM= I，0, -23j, PB= (1 , 0, 3),一一 3)3，DM PB= 2X1 + 0X0+ 亍 x (%3) = 0,.DM/lPU 即 DIML PB士 3/-/3,i. 一. DM。PA= 2 ( 2, i, 0).因为 nBAi, nBD故 1n BA=0

15、, ? ； x+2y+3z=0,、n BD= 0J 2x+y=0,令 x= 1,则 y=2, z = 3,故n=(1 , 2,43)为平面AiBD的一个法向量，而 AB=(1 , 2, #),所以 AB=n,所以 AB/ n,故AB,平面ABD考点三用空间向量解决有关位置关系的探索性问题角度1与平行有关的探索性问题【例31】 如图，棱柱 ABCB ABGD的所有棱长都等于 2, / AB/口/ AAC均为60 ,平面AAGC，平面ABCDR(1)求证：BD) AA;(2)在直线CC上是否存在点 P,使BP/平面DAC,若存在，求出点 P的位置，若不存在，请说明理由.【答案】见解析【解析】(1)

16、证明 设BD与AC交于点O,则BDL AC连接AQ 在AAO中，AA=2, AO= 1, / AAO= 60 , . AiC2=AA2+A(2- 2AA AQos 60= 3, . AO+A1C2=AA,. . AiO AO由于平面AACC，平面ABCD且平面AACCn平面ABCDAC AiO?平面AACC,，AOL平面ABCD以OB OC OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0 , -1, 0), %J3,0, 0), C(0, 1, 0), D(一寸3, 0, 0), A(0, 0, 23), G(0, 2, V3).由于 Bb= (-2aJ3, 0,

17、0), AA=(0, 1, 3),AA . BD= 0X( - 23) +1X0+ /3X0= 0,.-.BD AA,即 BDL AA.(2)解 假设在直线 CC上存在点P,使BP/平面DAD,设 CP=入木，Rx, y, z),则(x, y-1, z)=入(0 , 1,、3).从而有P(0, 1+入，飞3人),BP= ( - 3, 1+入，出人).n3，Ab,设床，平面DAC,则S卜3 1 DA,又Ab=(0, 2, 0), DA= (3, 0,乖),设防=(X3, y3, Z3),则Z3= 0,取能=(1, 0, 1),因为BP/平面DAC,则 n3BP),即 n3 - BP=- 3-J3

18、X =0,得入=1,即点P在GC的延长线上，且 GC= CP角度2与垂直有关的探索性问题【例32】 如图，正方形 ADE所在平面和等腰梯形 ABCD在的平面互相垂直，已知 BC= 4, A* AD- 2.(1)求证：AC! BF;BP.(2)在线段BE上是否存在一点 P,使得平面PACL平面BCEF若存在，求出敲值；若不存在，请说明理由.【答案】见解析【解析】(1)证明 二.平面 ADEF平面 ABCD平面 ADEF平面 ABCDAQ AF AD AF?平面ADEF. AH平面 ABCD. AC?平面 ABCD - AFAC过 A作 AHL BC于 H,则 BH= 1, AH= x 3, CH

19、= 3,. AC= 23,，AB+AC= BC2, . ACLAB,. ABn AF= A,，ACL 平面 FAB BF?平面 FAB ACL BF(2)解 存在.由知，AF, AR AC两两垂直.以A为坐标原点，A区AC AF的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则收0, 0, 0),R2, 0, 0),Q0,23,0),E(-1, 3, 2)., ，一 一 一，, r ，r , BP假设在线段 BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点 B, E重合，设际=入，则 入0,2 -入 、,3入 2入、.1+入1+入1 +入设平面PAC勺法向量为my= （x

20、, y, z）.由AP=沿，壬,检1号（0，叭( 一2一入、写入 2入彳曰严 A7TTx+TTTy+Ez=0,- mi- AC= 23y = 0,y= 0,即彳 入一2 令x= 1,则z=kx，所以m 1,为平面PAC勺一个法向量.同理，可求得当 mr n=0,n= & 9，1的平面BCE由一个法向量.2 一 一 ，一即入=鼻时，平面 PACL平面BCEF3故存在满足题意的点 P,此时BP= 2.PE 3【规律方法】解决立体几何中探索性问题的基本方法（1）通常假设题中的数学对象存在（或结论成立），然后在这个前提下进行逻辑推理.（2）探索性问题的关键是设点：空间中的点可设为 （x, y, z）;

21、坐标平面内的点其中一个坐标为0,如xOy面上的点为（x, y, 0）;坐标轴上的点两个坐标为0,如z轴上的点为（0 , 0, z）;直线（线段）AB上的点P,可设为AP=入AB,表示出点P的坐标，或直接利用向量运算 .【训练3】如图，在四棱锥P- ABCW,平面 PAD_平面ABCD PAL PDPA= PQABI ADAB= 1,AD= 2,AC= CD= 5.(1)求证：PD1平面PAB (2)在葭PA上是否存在点 M使得BM/平面PCD若存在，求AM勺值；若不存在，说明理由【答案】见解析【解析】(1)证明 因为平面 PADL平面ABCD平面PACT平面 ABCDAD, AB! AD所以A

22、BL平面PAD所以AB PD又 PAL PD ABn PA= A,所以 PDL平面 PAB(2)解 取AD的中点O,连接PO CO因为PA= PD 所以 POL AD因为PC?平面PAD平面PADL平面 ABCD所以POL平面 ABCD因为CC?平面ABCD所以POL CO因为AC= CD 所以 COL AD如图，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意得，A(0, 1, 0) ,B(1, 1, 0),C(2, 0, 0) ,D(0, 1,0),P(0,0,1).设M是棱PA上一点，则存在 入C 0 , 1,使得AMM=入AP.因此点 M。，1 入，入)，BM= ( 1,入，入).因为BM?平面P

23、CD所以要使 BM/平面PCD则 BM- n=0,即(一1,入，入)(1 , 2, 2) = 0,所以在棱PA上存在点 M使得BM/平面PCD此时AM_1AP=4.【反思与感悟】1 .用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想.2 .用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：（1）建立立体图形与空间向量白联系，用空间向量（或坐标）表示问题中所涉及的点、线

24、、面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；（3）根据运算结果的几何意义来解释相关问题.3 .用向量的坐标法证明几何问题，建立空间直角坐标系是关键，以下三种情况都容易建系：（1）有三条两两垂直的直线；（2）有线面垂直；（3）有两面垂直.【易错防范】1 .用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理 .如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线all b,只需证明向量 a=入b（入C R）即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.2 .用向量

25、证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.【分层训练】【基础巩固题组】（建议用时：40分钟）一、选择题1 .若直线l的一个方向向量为 a=（2, 5, 7）,平面”的一个法向量为u=（1 , 1, 1）,则（）A.l / a 或 l ? aB.l aC.l ? aD.l与a斜交【答案】A【解析】由条件知a u = 2X1 + 5X1 + 7X（ 1） =0,所以au,故l / a或l ? a .故选A.2 .已知 a = （-2, 3, 1） , b=（2 , 0, 4） , C=（-4, 6, 2）,则下列结论正确的是 （）A.ac, b cB.

26、ab, acC.a c, a bD.以上都不对【答案】【解析】- c= ( -4, 6, 2) = 2(2, 3, 1) = 2a,，a/c,又 a b= 2X2+ ( 3) X0+1X4= 0,ab.3 .若危=入血 WCE则直线ABf平面CD前位置关系是()A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内【答案】 D【解析】AB=入CU科ce AB CD 画面.则AB与平面CD前位置关系是平彳r或在平面内.4 .已知平面“内有一点M(1 , 1, 2),平面a的一个法向量为 n= (6 , 3, 6),则下列点P中，在平面a内的是()A. P(2 , 3, 3)B.P( -2, 0, 1)C

27、.P( -4, 4, 0)D.P(3 , 3, 4)【答案】 A【解析】逐一验证法，对于选项 A, MP= (1 , 4, 1),Mp- n=6-12+6= 0,MPL n, 点P在平面a内，同理可验证其他三个点不在平面a内.2a-5.如图所不，在正方体 ABCD ABGD中，棱长为 a, M N分别为 AB和AC上的点，AMh AN=*-,则MN3A.斜交C.垂直与平面BBCC的位置关系是()B.平行D.MNS平面 BBC1C 内【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，由于AMh AN=2a3 ，个则又CD，平面BBCC,3，3 /2a 、一-3, aMIN=所以CD=(0, a, 0)为平

28、面BBCC的一个法向量因为 MIN- CD=0,所以 MNLGD1,又MN?平面BBGC,所以MIN/平面BBGC二、填空题6.(2019 青岛调研)已知的=(1 , 5, -2) , BG= (3 , 1, z),若昭1配 电(x-1, y,3),且 BF平面ABG则实数x + y =.【答案】25f3+5-2z=0,【解析】 由条件得ix-1 + 5y+6=0,13 (x 1) + y- 3z= 0,4015解得 x = y, y=- y, z = 4,40 15 25-x+y = - y = y.7.(2018 合肥月考)如图所示，在正方体 ABGDABGQ中，O是底面正方形 ABGD勺

29、中心,M是DD的中点,N是AB的中点，则直线ON AM的位置关系是AH【答案】垂直【解析】以A为原点，分别以AB,ADAA所在直线为x,v，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1,则 A(0 ,0,0) ,M?,1, 2 ；,O、，g,0 :,N$,0,1 . AM-ONk1,2).(0, 一 ； 1 卜0, . ON AM直.8 .设直线l的方向向量为a,平面e的法向量为n=(2, 2, 4),若a=(1 , 1, 2),则直线l与平面”的 位置关系为;若a=( 1, 1,1),则直线l与平面”的位置关系为 .【答案】 l，a l / a或l ? a1,【解析】当a=(1 ,

30、1, 2)时，a=2n,则l，a ;当 a= ( 1, - 1, 1)时，a - n= (-1, - 1, 1) (2 , 2, 4) = 0,则 l / “ 或 l ? a .三、解答题19 .如图，四边形 ABC明正方形，PDL平面ABCD PD/ QA QA= AB= 2PD证明：平面 PQCL平面DCQ【答案】见解析【解析】证明如图，以D为坐标原点，线段 DA的长为单位长，射线 DA DP DC分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系 D- xyz.依题意有 Q1 , 1, 0) , C(0, 0,1), P(0 , 2, 0), 则 DQ= (1 , 1, 0) , DC=

31、(0 , 0, 1) , PQ= (1 , - 1, 0).PQ- DQ= 0, P DC= 0.即 PQL DQ PQL DC 又 DCT DC= D,PQL平面DCQ又PQ?平面PQC平面PQC_平面DCQ10 .如图正方形 ABCD勺边长为2或，四边形BDE唯平行四边形，BD与AC于点G, O为GC勺中点，FO=班,且FOL平面ABCD(1)求证：AE/平面BCF(2)求证：CF，平面AEF【答案】见解析【解析】证明取BC中点H连接OH则OH/ BD又四边形ABCD正方形,. . AC BD OHL AC故以O为原点，建立如图所示的直角坐标系,则 A3, 0, 0), a 1, 0, 0

32、), D(1 , 2, 0), F(0, 0, 回 B(1 , 2, 0).BC= (-2, -2, 0), CF= (1 , 0, 3) , BF= (-1, -2, 3).(1)设平面BCF的法向量为n=(x, y, z),n - Bb= 0,2x-2y=0,送+ 3z = 0,取 z= 1,得 n=( -3, 3, 1).又四边形BDE助平行四边形,，DE=BF= ( 1, 2, 3),. AE=AN D E= BC+ BF= (-2, 2, 0)+(1, 2,、3) = ( 3, 4, 3),AE , n = 3 3 4 3 + 3= 0, AE_L n,又 AE?平面 BCF - A

33、E/ 平面 BCF(2) AF= ( - 3, 0, 3), 1- CF- AF= 3+3=0, CF- AE= -3+3 = 0,CF_LAF, CF_LAE,即 cn AF CF AE又 AEn AF= A,AE AF?平面 AEF CF，平面 AEF【能力提升题组】（建议用时：20分钟）11.如图所示，在平行六面体 ABCDAiCiD中，点M P, Q分别为棱AB CD BC的中点，若平行六面体的各 棱长均相等，则：A M 日A.平行C.垂直【答案】CAM/ DP;AiM/ BQ; AiM/平面 DCCD;AiM/平面DPQB以上说法正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】 C【解析】A/i= AA+AM= AA+ 2AH DP= Db+DP= A+ 2茹，.AIM/ DP,所以 am/ dp,由线面平行的判定定理可知，AiM/平面DCCD, AM/平面DPQB正确.12.（2019 成都调研）如图，在长方体 ABCDAiCD中，AB= 2, AA= AD= 2 P为CD的中点，M为BC的中点.则AM与PM的位置关系为（）B.异面D.以上都不对【解析】以D点为原点，分别以DA DC DD所在直线为x, y, z轴，建立