中考数学专题37方案设计型问题

1、仅供个人参考学科教师辅导讲义年 级:辅导科目：数学课时数：3不得用于商业用途方案设计型问题教学目的教学内容一、【中考要求】方案设计问题是通过设置一个世纪问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案较优。方案设计问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力。它包括测方案设计、作图方案设计和经济类方案设计。（一）测量方案设计题，一般限定条件、限定测量工具，让同学们设计一个可行的方案，对某一物体的长度进行测量并计算，要注意的是设计出来的方案要有课操作性。（二）作图、拼图方案设计题，它摆脱了传统的简单作图，它把作图的技能考查放在一个世

2、纪生活的大背景下，考查学生的综合创新能力， 它给同学们的创造性思维提供广阔的空间与平台。此类题常以某些规则的图形，如等腰三角形、菱形、矩形、圆等，通过某些辅助线，将面积分割或分割后拼出符合某些条件的图形。（三）经济类方案设计题，一般有较多种供选择的解决问题的方案，但在实施中要考虑到经济因素，此类问题类似于求最大值或最小值的问题，但解决的方法较多。方案设计题贴近生活， 具有角强的操作性和实践性，解决此类问题时要慎于思考，要先思考后动手，设计性问题的结果不一定唯一，但必须符合实际情况。近年一些省市的中考数学题中涌现了立意活泼、设计新颖、富有创新意识、培养创新能力的要求学生自我设计题目。这类命题以综

3、合考查阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力和动手能力等。二、【考点知识梳理】1 .“动手操作”类题，多指对某种图形按照要求完成某些操作，进而对结果进行探究，直至解决的一类题型.“方案设计”是指根据要求，构造某种问题的具体解决方案或者对问题给出的若干种解决方法进行比较的一类题型.2 .实际操作型问题是让学生在实际操作的基础上设计问题，主要有：（1）裁剪、折叠、拼图等动手操作问题，往往与面积、对称性相联系；（2）与画图、测量、猜想、证明等有关的探究性问题.3 .方案设计问题的题型主要包括：（1）根据实际问题拼接或分割图形；（2）利用方程（组）、不等式（组）、函数等知

4、识对实际问题中的方案进行比较等.三、【中考典例精析】类型一动手操作题»例1如图所示，如果将矩形纸沿虚线对折后，沿虚线剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是 （）【点拨】动手操作法.【答案】B 提示：利用勾股定理即可得出结果.类型二方案设计题/例2为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过1 600元的资金再购买一批篮球和排球.已知篮球和排球的单价比为3： 2,单价和为80元.(1)篮球和排球的单价分别是多少元？(2)若要求购买篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球数量多于25个，有哪几种购买方案？【点拨】本题综合考查方程和不等式组的实际应用，正确

5、理解题意找出题目的等量和不等量关系是解题的关键.注意求n的整数解时不要漏解.【解答】(1)设篮球的单价为x元，则排球的单价为即篮球和排球的单价分别是48元和32元.(2)设购买的篮球数量为 n个，则购买的排球数量为x元，依题意得 x+1x= 80,解得x=48, 1 |x=32. 333(36 n)个.n>25, 由题意得48n+32 36-n < 1 600, 解得 25<n<28.而n为整数，所以其取值为26、27、28,对应的36 n的值为10、9、8,故共有三种购买方案.方案一：购买篮球 方案二：购买篮球 方案三：购买篮球26个,排球10个;27个，排球9个；2

6、8个，排球8个.四、【课堂训练】1 .如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；，根据以上操作，若要得到2 011个小正方形，则需要操作的次数是 ()A. 669 B. 670 C. 671D. 672解析：第n次操作得到3n + 1个小正方形，所以 3n+1 = 2 011,所以n=670.答案：B2 . (1)【操作发现】如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将 ABE沿BE折叠后得到 GBE ,且点G

7、在矩形ABCD的内部.小明将 BG延长交DC于点F,认为GF=DF,你同意吗？说明理由.A E D(2)【解决问题】保持(1)中的条件不变，若 DC = 2DF,求口的值.AB(3)【类比探究】保持(1)中的条件不变，若 DC = nDF,求AD的值.AB解：(1)同意.连结 EF.则/ EGF = / D= 90°, EG = AE=ED, EF=EF. RtAEGFRtA EDF,GF=DF.,GF=DF.设 DF = x, BC = y,则有 GF = x, AD = y. . DC=2DF, CF = x, DC = AB=BG = 2x, .BF=BG + GF = 3x.

8、在 RtA BCF 中，BC2+ CF2= BF2 , 即 y2+ x2= (3x)2. y=2V2x' AD=2yrV2.(3)由知,GF=DF,设 DF = x, BC = y, 则有 GF = x, AD = y. DC=nDF, DC = AB = BG= nx.-，CF=(n- 1)x, BF= BG+GF=(n + 1)x. 在 RtA BCF 中，BC2+ CF2= BF2 , 即 y2+ (n 1)x2 = (n + 1)x21- y= 2nx,-AD-=y _25 nx n3 .君实机械厂为青扬公司生产 A、B两种产品，该机械厂由甲车间生产 A种产品，乙车间生产 B种

9、产品，两车 间同时生产.甲车间每天生产的 A种产品比乙车间每天生产的 B种产品多2件，甲车间3天生产的A种产品与乙车 间4天生产的B种产品数量相同.(1)求甲车间每天生产多少件A种产品？乙车间每天生产多少件B种产品？(2)君实机械厂生产的 A种产品的出厂价为每件 200元，B种产品的出厂价为每件180元.现青扬公司需一次性购买A、B两种产品共80件，君实机械厂甲、乙两车间在没有库存的情况下只生产8天，若青扬公司出厂价购买A、B两种产品的费用超过 15 000元而不超过15 080元.请你通过计算为青扬公司设计购买方案.解：(1)设乙车间每天生产 x件B种产品，则甲车间每天生产 (x + 2)件

10、A种产品.根据题意 3(x+2) = 4x,解得 x = 6.x + 2= 8.因此，甲车间每天生产 8件A种产品，乙车间每天生产 6件B种产品.(2)设青扬公司购买 B种产品m件，则购买A种产品(80m)件.15 000<200(80 - m) + 180m < 15 080,解得 46< m<50.,m为整数，m为46或47或48或49.又,乙生间8人只能生亡.48件，m为46或47或48.故共有三种购买方案：方案1：购买A种产品32件，B种产品48件；方案2:购买A种产品33件，B种产品47件；方案3:购买A种产品34件，B种产品46件.4 .有一个可以自由转动的

11、转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4(如图所示)，另有一个不透明的口袋装有分别标有数 0、1、3的三个小球(除数不同外，其余都相同).小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一 扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积.(1)请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；(2)小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢.你认为该游戏公平吗？为什 么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平.解：(1)画树状图如下：仅供个人参考或列表如下:由图（表）知，所有等可能的结果有一 一. 一 一一

12、 一. 一一、.412种，其中积为0的有4种，所以积为0的概率为P=14213.（2）不公平.因为由图（表）知，积为奇数的有 4种，积为偶数的有 8种,41所以积为奇数的概率为 Pi = -4 = 1；12 382积为偶数的概率为 P2= 8 = 2.12 3一，1 2 、一 一因为打2,所以该游戏不公平.3 3游戏规则可修改如下：（只要正确即可）若这两个数的积为 0,则小亮赢；积为奇数，则小红赢.七、【课后达标练习】1. （10龙岩）我校为迎接县中学生篮球比赛，计划购买A、B两种篮球共20个供学生训练使用.若购买 A种篮球6个，则购买两种篮球共需费用720元；若购买 A种篮球12个,则购买两

13、种篮球共需费用 840（1） A、B两种篮球单价各多少元？（2）若购买A种篮球不少于8个，所需费用总额不超过 800元.请你按要求设计出所 有的购买方案供学校参考，并分别计算出每种方案购买A、B两种篮球的个数及所需费用.2. （10常州）如图所示，小吴和小黄在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘甲、乙，每个转盘被分成面积相等的几个扇形区域，并在每个扇形区域内标上数字，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止转动后，指针所指扇形区域内的数字之和为4, 5或6时，则小吴胜否则小黄胜。（如果指针恰好在分割线上，那么重转一次，3. .为实现区域教育均衡发展， 我市计划对某县 A、B两类薄弱学校全部

14、进行改造.根据预算，共需资金1575万元.改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所 A类学校和一所B类学校共需资金205万元.(1)改造一所 A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？(2)若该县的 A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？(3)我市计划今年对该县 A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担.若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到 A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元.请你通过计算求出有几种改造方案？4. 一种电讯信号转发装置的发射直径为31km.

15、现要求：在一边长为 30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.问：(1)能否找到这样的 4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？(2)至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由.(下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用)仅供个人参考5. （10河北）某公司销售一种新型节能产品， 现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x

16、（件）的函数关系式为：1y = 上x+150,成本为20兀/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500兀，设月利润为 w内（兀）（利100润=销售额成本广告费）.若只在国外销售，销售价格为 150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10WaW40）,当月销量为x （件）时，每月还需缴纳 ，x2元的附加费，100设月利润为w外（元）（利润=销售额一成本一附加费）.（1） 当 x = 1000 时，y =元/件，w内=元；（2）分别求出 w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）;（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利

17、润的最大值相同，求a的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月 利润较大？6 .如图，小明想用皮尺测量池塘 A、A间的距离，但现有皮尺无法直接测量，学习有关知识后，他想出了一个方法：先在地上取一个可以直接到达A、B两点的点O,连接OA OB分另I在OA OB上取中点 C D,连接CD并测,使自由转得CD=a由此他即知道 A、B间的距离是（）“ 1A. 2 a ; B. 2a ； C. a ; D. 3a7 .如图，转盘被分成六个扇形区域，并在上面依次写上数字1、2、3、6,转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止请你用这个转

18、盘设计一动的转盘停止时，指针指向的区域的概率是 述）。2/3,并说明你的设计理由（设计方案可用土所示，也可以用文字表不得用于商业用途8.市"康智牛奶乳业有限公司经过市场调研压库”，要求这两种产品全年共新增产品产品每件产品的产值甲4.5万元乙7.5万元，决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产20件，这20件的总价值p（万元）满足：110<p<120已知有关数据如下表所示，那么该公司明年应怎样安排 新增产品的产量？9.我市某乡A B两村盛产柑橘，A村有柑橘200吨，B村 有柑橘300吨。现在将这些柑橘运到 已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨：从A村运到C, D两处

19、的费用分别为每吨 村运到C, D两处的费用分别为每吨 15至18元。设从A村运到C仓库的柑橘质量为 x吨,C, B两个冷藏仓库。20元至25元，从BA, B两村运往两仓库的柑橘费用分别为 yA元和yB元(1)请填写下表并求出 yA和yB与x之间的函数关系式(2)试讨论A, B两个村中，那个村的运费少；(3)考虑到B村的经济承受能力，B村的的柑橘不超过4830元。在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费 最小？求出最小值。10 .如图，在人民公园人工湖两侧的A, B两点欲建一座观赏桥，由于受条件限制，无法直接度量 A, B间的距离，请你用学过的知识，在 图中设计三种测量方案要求：(1)画出你设

20、计的测量平面草图；(2)在图形中标出测量的数据(长度用 a,b,c角度用a , 3, 丫,.表示)并写出测量的依据及AB的表达式。7攵地 运血、CD总计aX吨200吨b300吨总计240吨260吨500吨11 .如图，在RtABC中，/ACB=90, / CAB=30,用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且要求其中一个三角形是等腰三角形(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)12 .如图，某市经济开发区建有 R C、D三家食品加工厂，这三个工厂和开发区 A处的自来水厂正好在一个矩形的四 个顶点上，它们之间有公路相通，且AB=CD=900m AD=BC=1700m自来水公司已经修好一条自

21、来水主管道AN B、C两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC=500m若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元。(1)要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自 来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出。(2)求出各厂所建的自来水管道的最低的造价各是多少?13 .某工厂现有甲种原料 226kg,乙种原料250kg，计划利用这两种原料生产A B两种产品共40件，生产A B两种产品用料情况如下表:设生产A产品x件，请解答下列 问题：(1)求x的值，并说明有哪几种符需要甲原料需要乙原料一彳A产品7kg4kg一彳B产品3kg10kg合题意的生产方案。(2)若甲种原料50元/kg ,乙种原料40元/kg ,说明(1)中哪种方案较优?14 .课题研究：现有边长为 120cm的正方形铁皮，准备将它设计制作成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量 最大。初三(1)班数学兴趣小组讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水 槽的水的流量越大。为此他们对水槽的横截面进行了探索：(1)方案一：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图)，若/ ACB=90,设AC=xcm该水槽的横截面面积为ycm2,请你