2017版高考数学一轮复习第十四章系列4选讲14.1几何证明选讲课时1相似三角形的进一步认识理资料

1、1课时 1 相似三角形的进一步认识基础知识自主学习耍点讲解潇层突破1 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也木 推论 1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.推论 2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边.2 平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例._推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.3 相似三角形的判定及性质(1)判定定理：内容判定定理 1两角对应相等的两个三角形相似判定定理 2两边对应成比例且夹角相等

2、的两个三角形相似判定定理 3三边对应成比例的两个三角形相似(2)性质定理：相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.4 直角三角形的射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于_快速解答自查自纠1.如图，在四边形ABCDLABCABAD求证：AB/ CD证明 由厶ABCABAD得/ACB=ZBDA故A，B，C, D四点共圆，从而/CAB=ZCDB由厶ABCABAD#ZCAB=ZDBA知识梳理考点自测2因此/DBA=ZCDB所以AB/ CD2 .如图，BDL AE/C= 90，AB=4，BC=2，AD=3，求EC的长度.3因为K

3、F/ HB即K0=KE- KF.思维升华 当条件中给出平行线时，应优先考虑平行线分线段成比例定理，在有关比例的计 算与证明题中，常结合平行线分线段成比例定理构造平行线解题作平行线常用的方法有利 用中点作中位线，利用比例线段作平行线等.解在 RtADB中DB= ABAD=7,依题意得，ADBoACEDB ADDB- AC二ECTAC可得EC=AD=27.3如图，在ABC中,D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于点F,BF求FC的值.解 如图，过点D作DG/ AF,交BC于点G易得FG= GC又在BDGKflBE= DE即BDG勺中位线，故BF=FG因此BC=g题型分类深度剖析题型一平行截割

4、定理的应用例 1 如图，在四边形ABCD,AC, BD交于点Q过点0作AB的平行线,与AD BC分别交于点E, F,与CD的延长线交于点K.求证：KQ=KE- KF证明 延长CK BA设它们交于点H,因为KQ/ HBKQ DK KE DK所以HB DH HA DHKQ KEH HAKO HBKE HA同理可得KF=HB故竺KFKO HA KE K0DA4跟踪训釦（i）如图，在梯形ABCDK AD/ BC BD与AC相交于点Q过点Q的直线分别交AB CD于E, F,且EF/ BC若AD=12,BC=20, 求EF的长度.如图所示，在ABC中,DE/ BC EF/ CD若BC=3,DE=2,DF=

5、 1，求AB的长.解 AD/ BCQB BC20 5OCTADT3,QB5BDr8.QE QB5曰AD -ADTBDT8. QE=|AD=|X12T158 8 2同理可求得QFT 8BCT辛乂 20=臥8 8 2EF=Q曰QFT15.DE/ BC,ADTAE_DE_2EC_1AETACTBCT3,ACT3.思维升华（1）判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点，灵活选择判定定理.在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到.（2）相似三角形的性质可用来证明又EF/ CD ECT1AD ACT3.39AD=3. -AB=AD=夕题型二 相似三角形的判定与性质例 2 如图，在 RtA

6、BC中,ZACB=90,CDLAB E为AC的中点,ED CB延长线交于一点F.求证：FD2=FB- FC证明 E是 RtACD斜边上的中点，ED= EA/A= Z1,vZ1= Z2,.Z2= ZA, ZFDCZCDB-Z2=90+Z2,ZFBD=ZACBbZA=90+ZAZFBD=ZFDCZF是公共角，FBBAFDCFB=FDFD=FCFD=FB- FC5线段成比例、角相等，也可间接证明线段相等.d :、- (1)如图，AB与CD相交于点E,过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P已知/A=ZC,PD=2DA=2，求PE的长.题型三射影定理的应用 例 3 如图， 在ABC中,D F分别在A

7、C BC上， 且ABLAC AFLBC BD=DC= F0=1,求AC的长.解在厶ABC中，设AC为x,/ ABLAC, AFLBC又F0=1,根据射影定理，得A0=FC- BC,即BC= x2.再由射影定理，得AFTBF-F0T（BC- FQ-FC,即A=X2 1 ,AF= ,X2 1.在厶BDC中过D作DEI BC于E.如图，四边形ABCD中,DHAB垂足为F,D&3,AF= 2FB=2,延长FB到E使BE= FB,连结BD EC若BD/ EC求四边形ABC的面积.解（1） BC/ PE/PED=ZC=ZA,PE PDPATPE,贝U PE=PA- PD又PD=2DA=2,.PAT

8、 PM DA=3.PE= PA- PD=6.如图，过点E作ENL DB交DB的延长线于点FB=1,贝U BD=10,由 RtDFBRtENBENTBEDF=BD所以EN=甘，又BD/ EC所以EBC膑边BD上的高，故S四边形ABCT$ / &BCT+ 2BD-EN=1X3X3+1x10X3;1010=6.A F B EN,在 RtDFB中，DF= 3,H F EC6/BD= DC=1,.BE= EC=奖又AF丄BC DE/ AF,.岸DC在 RtDEC中，IDE+EC=DC,一224X 121Z 22x 1X即（一）+（2x）=1，丁+7 =1.整理得X= 4,.x=2，即AC2.思维

9、升华(1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”.(2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法.日:試用沁(1)如图所示，在 RtABC中，/AC= 90,CD!AB于D,且AD：BD=9 : 4,求AC：BC已知圆的直径AB=13,C为圆上一点，过C作CDL AB于D(ADBD),BDAD=9.|- 思想方法感悟提高 -1判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似 三角形的“传递性”

10、.2 .直角三角形中常用的四个结论在 RtABC中 , /ACB=90 ,CDL AB如图):DE=DC- AFAC:7(1)/A=ZBCD/B=ZACDABCAACD CBD(3)a2=pc,b2=qc,h2=pq,ab=ch(其中c=p+q).(4) 在a、b、p、q、h五个量中，知道两个量的值，就能求出其他三个量的值.练出高分A 组专项基础训练（时间：50 分钟）P是底边AB延长线上一点，且PO=3,PA- PB=4,求腰长0A的长度.解如图，作ODLAP,垂足为D,则POPD=OBBD,所以POOB=PD-BD,因为AD= BD所以PDBD=PDAD=(PM AD)(PD- AD) =

11、PA- PB-4,所以PO-OB= 4,所以OB= 9 4 = 5,所以OB=.5,所以OA=.5.2 .如图，/B=/D, AE! BC/ACD=90,且AB6,AC= 4 ,AD=12 , 求AE的长.解 由于/AC=/AEB=90 ,/B=/DABEAADCADAEC又AC4 ,AD=12 , AA 6,3.如图，RtABC中 , /BAC=90AD：BC1.如图，OAB是等腰三角形,AE=AB- AC6X4AD=2.AD是斜边BC上的高，若AB：AC= 2 : 1 ,求BA DSP8解设AC=k，贝U AB=2k,BC= 5k,/ BAC= 90,Ad BC - AC=CD- BC-

12、k2=CD5k, CD=又BD= BC- CD= AD=AD=CD-BD=,-AD: BC=2 : 5.4 .在ABC中, /ACB=90,CDLAB于D, AD：BD=2 : 3,求厶ACDACBD的相似比.解 如图所示，在 RtACBKCDL AB,由射影定理得:CD=AD- BD又AD：BD2 : 3,令AD-2x.则BD-3x(x0),又/ADC=ZBD- 90,.仏ACDCBD易知ACDWCBD的相似比为身= 乂 6.CD 6x3即相似比为.6 : 3.5.如图所示，在ABC中，/CAB=90,ADLBC于点D, BE是/ABC的角平分线,交AD于点F,求证：AF=AE证明IBE是/

13、ABC的角平分线,AF=ADAE=ABEC BC在 Rt ABC中， 由射影定理知,o口BD AB-AB=BDBC即荷BCDF AB由得AF=AC,DF AE由得AF=EC96.如图所示，在 RtABC中，/ACB=90,M是BC的中点，CNLAM足是N求证：AB- BM= AM- BNI证明/CM= MN AM又M是BC的中点,2BM MN辄MNAMAM BM又/BMN=ZAMBAAMBABMNAB AMBN=BMABBM=AM BN(时间：30 分钟)7.如图所示，平行四边形ABCD中,E是CD延长线上的一点，BE与AD交于点F,DE=1CD(1)求证：ABFACEB 若厶DEF的面积为

14、2，求平行四边形ABC啲面积.(1)证明四边形ABCDl平行四边形,/A=ZC, AB/ CD:丄ABF=ZCEB解四边形ABCD是平行四边形,AD/ BC AB/ CDDEFACEBDEFAABF-DE=1CDSADEFDE21SDEFDE21SACEB(CE9，SAABF(AB4.TSADEF=2, -SACEB=18,SAABF=8.S四边形BCDF=SACEBSDEF=16. S四边形ABCD=S四边形 BCDF+SXABF=16+ 8 = 24.8.如图，在平行四边形ABCD,过点B作BEL CD垂足为E,连结AE F为AE上一点，且/BFE=ZC(1)求证：ABFAEAD若/BAE

15、=30 ,AD=3,求BF的长.(1)证明 AB/ CD/BAF=ZAEDB 组专项能力提升E C10又/BFE=ZC/BF曰/BFA=ZC+ZADE11/BFA=ZADEABF EAD解/BAE=30,./AEB=60,又ABF-AEAD - BD=ABBF=AB.AD=班BF_AEAD=2 .9.如图，在梯形ABCD中,AB/ CD且AB=2CD E、F分别是AB BC的2_ 中点，EF与BD相交于点M(1)求证：EDMbFBM若DB= 9，求BM(1)证明TE是AB的中点，AB=2EB/ AB=2CD - CD= EB又AB/ CD四边形CBEDi平行四边形.CB/ DE7DEIM=ZBFM7 EDIM=ZFBMEDIVbAFBM”DM DE解/EDIVbAFBM -丽丽/ F是BC的中点，DE=2BFDM=2BM1BM=RB= 3.10如图，在梯形ABCD，点E, F分别在AB CD上 ,EF/ AD假J设EF做上下平行移动.卄AE1 亠、忙厂(1) 若EB=2，求证：3EF=BO2AD(2) 若A|=2，试判断EF与BC AD之间的关系，并说明理由；“(3) 请你探究一般结论，即若EE|=m那么你可以得到什么结论？12(1)证明 过点A作AH/ CD分别交EF, BC于点G H0avu