探索多边形的内角和与外角和

1、 由不在同一条直线上的由不在同一条直线上的 条线条线段首尾顺次相接组成的图形叫段首尾顺次相接组成的图形叫三角形三角形。 在平面内，由不在同一条直线上在平面内，由不在同一条直线上的的 条线段首尾顺次相接组成的图条线段首尾顺次相接组成的图形叫形叫四边形四边形。三三四四 在平面内，由不在同一条直线上在平面内，由不在同一条直线上的的 条线段首尾顺次相接组成的图条线段首尾顺次相接组成的图形叫形叫 边形边形。nn 连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形形的对角线的对角线. 线段线段AC是四边形是四边形ABCD的一条对角线；的一条对角线；请大家思考：五边形请大家思

2、考：五边形ABCDE共共有几条对角线有几条对角线呢？呢？五边形五边形ABCDE共共有有5 5条对角线条对角线。请大家思考：六边形请大家思考：六边形ABCDEF共共有几条对角线有几条对角线呢？呢？六边形六边形ABCDEF共共有有9 9条对角线条对角线。有没有什么有没有什么规律呢？规律呢？请问：请问：四四边形从一个顶点出发，能引出边形从一个顶点出发，能引出 条对角线条对角线;请问：请问：五五边形从一个顶点出发，能引出边形从一个顶点出发，能引出 条对角线条对角线;请问：请问：六六边形从一个顶点出发，能引出边形从一个顶点出发，能引出 条对角线条对角线;请问：请问：N边形从一个顶点出发，能引出边形从一个

3、顶点出发，能引出 条条对角线对角线. 123N-3共有共有 条对角线条对角线23nn 我们已经知道一个我们已经知道一个三角形的内角和等于三角形的内角和等于180，那么四边形的内角和等于多少呢？五边形、六边形那么四边形的内角和等于多少呢？五边形、六边形呢？由此，呢？由此，n边形的内角和等于多少呢？边形的内角和等于多少呢？我们学习数学的我们学习数学的基本思想什么？基本思想什么？ 那么我们能不能利那么我们能不能利用三角形的用三角形的内角和，来内角和，来求出四边形的内角和，求出四边形的内角和，以及五边形、六边形，以及五边形、六边形，n边形的内角和？边形的内角和？多边形的边数图 形分割出的三角形的个数多

4、边形的内 角 和345-nn-2123(3-2)180(4-2)180(5-2)180(n-2)180多边形的内角和定理：多边形的内角和定理： n边形的内角和等于边形的内角和等于(n-2)180过n 边形的一个顶点的所有对角线把n 边形分成 (n-2)个三角形，这(n-2)个三角形的内角和恰好是多边形的内角和，三角形的内角和为180， n 边形的内角和等于(n-2)180。 你能用别的方法证明你能用别的方法证明这个定理吗？这个定理吗？证明：证明：证明多边形内角和定理的基本思想是什么？ 推论：任意多边形的外角任意多边形的外角 和和 等于等于360 。 类比前边的做法，你能归纳出类比前边的做法，你

5、能归纳出n n 边形的外角和是多少吗？边形的外角和是多少吗？ n边形的每一个外角与它相邻的内角的和是_ n边形的内角和加外角和等于 _ n 边形的内角和等于 _A1A2A3AnA4证明：证明：180 ,(n-2) 180 , n 边形的外角和等于n 180 (n-2) 180 360。n 180，五边形的外角和五边形的外角和就是就是5X 180-540= 360 六边形的外角和六边形的外角和就是就是6X 180-720= 360。n边形的外角和边形的外角和就是就是nX 180- (n-2)X 180 = (n-n+2)X 180 = 360 任任意意多多边边形形的的外外角角和和都都为为360

6、已知一个多边形，它的已知一个多边形，它的内角和内角和等于等于外外角和角和的的2倍，求这个多边形的边数。倍，求这个多边形的边数。解：设多边形的边数为解：设多边形的边数为n , 它的内角和等于它的内角和等于(n-2) 180 ，外角外角 和等于和等于360 ， (n-2)1802 360 解得解得 n=6 这个多边形的这个多边形的边数边数6例例2 已知多边形的内角和等于已知多边形的内角和等于1440，求求(1)这个多边形的边数，这个多边形的边数，(2)过一个顶点有几条对角线，过一个顶点有几条对角线，(3)总对角线条数总对角线条数.答答 这个多边形是十边形，过一个顶点的这个多边形是十边形，过一个顶点的对角线有对角线有7条，共有条，共有35条对角线条对角线.(1)(n2)180=1440(2)n3=103=7(3)n(n3)210(103)235n=10解解 设这个多边形是设这个多边形是n边形边形A