结构的稳定计算学习教案

1、会计学1结构的稳定结构的稳定(wndng)计算计算第一页，共55页。2022-4-132一一. .第一类稳定问题第一类稳定问题(wnt)(wnt)(分支点失稳分支点失稳) )lEIEIP P22lEIPcr-临界临界(ln (ln ji)ji)荷载荷载crPP 稳定平衡稳定平衡(wndng (wndng pnghng)pnghng)crPP 随遇平衡随遇平衡crPP 不稳定平衡不稳定平衡 不稳定平衡状态在任意微小外界扰动下失去不稳定平衡状态在任意微小外界扰动下失去稳定性称为失稳稳定性称为失稳( (屈曲屈曲).).15.1 绪论绪论第1页/共54页第二页，共55页。2022-4-133PFABC

2、DDcrPF2PF大挠度理论小挠度理论分支分支(fnzh)点失稳的特点失稳的特征征qP PP P两种平衡两种平衡(pnghng)(pnghng)状态状态: :轴心受压和弯曲、压缩。轴心受压和弯曲、压缩。- - 第一类稳定第一类稳定(wndng)(wndng)问问题题完善体系完善体系lEIEIP P第2页/共54页第三页，共55页。2022-4-134二二. .第二类稳定问题第二类稳定问题(wnt)(wnt)(极值点失稳极值点失稳) )偏心偏心(pinxn)(pinxn)受受压压 第二类稳定第二类稳定(wndng)(wndng)问题问题P PP P有初曲率有初曲率非完善体系非完善体系PFABCc

3、rPFPeF第3页/共54页第四页，共55页。2022-4-135三三. .分析方法分析方法大挠度大挠度(nod)(nod)理论。理论。小挠度小挠度(nod)(nod)理论。理论。静力法静力法能量能量(nngl(nngling)ing)法法四四 . .稳定自由度稳定自由度 在稳定计算中在稳定计算中, ,一个体系产生弹性变形时一个体系产生弹性变形时, ,确定其变形状态所确定其变形状态所需的独立几何参数的数目需的独立几何参数的数目, ,称为稳定自由度。称为稳定自由度。P PEI1 1个自由度个自由度P PP PEI2 2个自由度个自由度无限自由度无限自由度第4页/共54页第五页，共55页。2022

4、-4-136PFlABkPFlABkBRF例例1 1、分支、分支(fnzh)(fnzh)点失稳示例点失稳示例失稳变形失稳变形(bin (bin xng)xng)：一、运用(ynyng)大挠度理论分析：0Am根据根据 ：0cossinlFlFRP因因sinklFR0sin)cos(lklFP解一解一：0平衡路径平衡路径I I解二解二：cosklFP平衡路径平衡路径IIIIklFcrPIIPFI第5页/共54页第六页，共55页。2022-4-137PFlABkPFlABkBRF失稳变形失稳变形(bin xng)(bin xng)：二、运用小挠度(nod)理论分析：0Am根据根据 ：0lFlFRP因

5、因klFR0)(lklFP解一解一：0平衡路径平衡路径I I解二解二：klFP平衡路径平衡路径IIIIklFcrPPFI小挠度、小位移小挠度、小位移(wiy)(wiy)情况下：情况下： sinII第6页/共54页第七页，共55页。2022-4-138PFlABkBRF例例2 2、极值、极值(j zh)(j zh)点失稳示点失稳示例例失稳变形失稳变形(bin xng)(bin xng)：一、运用大挠度(nod)理论分析：0Am根据根据 ：0)cos()sin(lFlFRP因因sin)sin( klFR解得：解得：)sin(sin1)cos(klFPklFcrPPFPFlABk01 . 02 .

6、0第7页/共54页第八页，共55页。2022-4-139一一. .一个一个(y )(y )自由度体系自由度体系 0AM0sinPlk小挠度、小位移小挠度、小位移(wiy)(wiy)情况下：情况下：kP PEIlk1 1抗转弹簧抗转弹簧(tnhung)(tnhung)A sink0)(Plk00Plk-稳定方程（特征方程）稳定方程（特征方程）lkPcr/-临界荷载临界荷载15.2 静力法静力法第8页/共54页第九页，共55页。2022-4-1310二二.N.N自由度体系自由度体系(tx)(tx) 0BM0)(121yyPlky（以（以2 2自由度体系自由度体系(tx)(tx)为例）为例）0)2(

7、)(plkPPklkl-稳定稳定(wndng)(wndng)方程方程02klPklPPkl-临界荷载临界荷载klAP PEIlk1y2y1ky2kyB 0AM02112Pylkylky0)(21PyyPkl0)2(21klyyPlk03222lkklPPklklklP382. 0618. 2253klPcr382. 0618. 112yy-失稳形式失稳形式P P1 11.6181.618第9页/共54页第十页，共55页。2022-4-1311三三. .无限无限(wxin)(wxin)自由度体系自由度体系)()(xMxyEI 00sincos1001nlnlnl)(xlQpyMEIPn 2P P

8、EIlxyxy挠曲线近似挠曲线近似(jn s)(jn s)微分方程为微分方程为QP PMQ)()(xlQPyxyEI 或或)()(xlEIQyEIPxy 令令)()(22xlPQnynxy 通解通解(tngji)(tngji)为为)(sincos)(xlPQnxBnxAxy由边界条件由边界条件0)(, 0)0(, 0)0(lyyy得得0lPQA0PQBn0sincosnlBnlA稳定方程稳定方程0sincosnlnlnlnlnl tan第10页/共54页第十一页，共55页。2022-4-131200sincos1001nlnlnlP PEIlxyxyQP PMQ得得0lPQA0PQBn0sin

9、cosnlBnlA稳定方程稳定方程0sincosnlnlnlnlnl tannly22325nlnly)(nlnlytan)(经试算经试算493. 4nl485. 4tannlEInPcr222/19.20)493. 4(lEIEIl第11页/共54页第十二页，共55页。2022-4-1313静力法举例静力法举例(j l)例例1. 试用静力法求图示结构试用静力法求图示结构(jigu)的临界荷载的临界荷载qcr，设刚度系数为，设刚度系数为k。分析：上述结构只有一个稳定分析：上述结构只有一个稳定(wndng)自由度，失稳变形如右图所示。自由度，失稳变形如右图所示。2aaFP= 2qaEI= =EI

10、= =qFP= 2qaq失稳变形图失稳变形图第12页/共54页第十三页，共55页。2022-4-13140Am可解得临界可解得临界(ln ji)荷载为：荷载为：FP= 2qaq通过通过(tnggu)对对A点求矩有：点求矩有：A022122aakaaqFap062akq6kqcr第13页/共54页第十四页，共55页。2022-4-1315例例2. 试用静力法求图示结构的临界荷载试用静力法求图示结构的临界荷载FPcr，刚度，刚度(n d)系数为系数为k。llABCFP分析：上述分析：上述(shngsh)结构有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。结构有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。EI=失稳变

11、形图失稳变形图ABCFPylyFplyFp第14页/共54页第十五页，共55页。2022-4-13160Y可解得临界可解得临界(ln ji)荷载为：荷载为：通过通过(tnggu)对竖向取力的平衡有：对竖向取力的平衡有：02yklyFp2klFpcr02yklFp第15页/共54页第十六页，共55页。2022-4-1317例例3. 试用静力法求图示结构试用静力法求图示结构(jigu)的临界荷载的临界荷载FPcr，设各杆，设各杆I = ，刚度系数为，刚度系数为k。分析：上述分析：上述(shngsh)结构有两个稳定自由度，失稳变形如右图所示。结构有两个稳定自由度，失稳变形如右图所示。失稳变形失稳变形

12、(bin xng)图图lllABCDFPkkABCDFPkkBC1y2y1M2MpFlyFMp11lyFMp22解：第16页/共54页第十七页，共55页。2022-4-1318代入上式可得：代入上式可得：通过通过(tnggu)对变形后的对变形后的B、C点求矩有：点求矩有：杆杆ABCyFMyFMBCDllyFMyFMpppp11222211222121112yylklyylykM1222yylkM045205242121ylkFylkFylkFylkFpppp由行列式为零可得：由行列式为零可得：lkFpcr1lkFpcr32ABCDFPkkBC1y2y1M2MpFlyFMp11lyFMp22第1

13、7页/共54页第十八页，共55页。2022-4-1319例例4. 试推导试推导(tudo)图所示两端弹性抗性抗侧移支承弹性压杆的稳定方程（图所示两端弹性抗性抗侧移支承弹性压杆的稳定方程（k0、kr为弹性抗转刚度，为弹性抗转刚度，k为弹性抗侧移刚度）。并讨论为弹性抗侧移刚度）。并讨论k、 k0、kr分别为分别为常数或等于零或等于常数或等于零或等于时，弹性压杆的支承状况及相应的稳定方程是什么。时，弹性压杆的支承状况及相应的稳定方程是什么。 取压杆变形后的平衡取压杆变形后的平衡形式及坐标如图所示，形式及坐标如图所示，采用小挠度采用小挠度(nod)理论理论可得弹性平衡微分方程可得弹性平衡微分方程。解：

14、0krkklPxyy0krkkABxl kPBrkBk0第18页/共54页第十九页，共55页。2022-4-1320BrPkPxlkxBxAy)(1 cossin通解通解(tngji)为为：边界条件为：边界条件为：BAylxylxyxyx, 00, 00sincos0cossin00)1 (BBrABrPklBlAPklBlAPkAPkPklB)()()( BrkxlkyPxMEIy)(xMxyyrkkBxl kPBrkP)(22 BrPkPxlkyy令：令： 则：则：EIP/2PkxBxAysincos第19页/共54页第二十页，共55页。2022-4-13212022-4-1323:10:

15、30210)(0PklkkBrA由整体平衡条件由整体平衡条件得0AM整理整理(zhngl)后后得：得：0sincoscossin01) 1(cossin00PkllkPBllkPAPkllBlAPkBkPArr可得稳定可得稳定(wndng)特征特征方程：方程：llkPkPllkPaPklllPkkkrrrcossinsincos)()cos1 (2sin1100 xyy0krkkABxl kPBrkBk0第20页/共54页第二十一页，共55页。2022-4-1322分情况(qngkung)讨论：一、当一、当k=常数，且常数，且 k0、kr为如下取值时的稳定为如下取值时的稳定(wndng)方程方

16、程k0=0、 kr= 常数常数(chngsh)；PPklkkPklklrr)()(tankPABEIrkABEIkPk0=0、 kr= 0；0tan)(lPkl1-11-20krkkP1-3ABEIkPk0= 、 kr= 0；kPkll)(tan第21页/共54页第二十二页，共55页。2022-4-1323二、当二、当k=0，且，且 k0、kr为如下取值时的稳定为如下取值时的稳定(wndng)方程方程k0=0、 kr= 常数常数(chngsh)；2-10krkkPPABEIrkEIklrtan2-22-3k0= 、 kr= 0；k0= 、 kr= ；ltan0sinlABEIPPABEI第22

17、页/共54页第二十三页，共55页。2022-4-13243-13-23-3k0=0、kr= ；k0= 、 kr= 0；k0= 、 kr= .3-4k0=0、 kr=0；ABEIPAEIBPABEIPAEIBPlltan0sinllltan2sincos1lll三、当三、当k= ，且，且 k0、kr为如下为如下(rxi)取值时的稳定方程取值时的稳定方程0krkkP第23页/共54页第二十四页，共55页。2022-4-1325一一. 势能势能(shnng)原理原理2.外力外力(wil)势能势能1. 应变应变(yngbin)能能P P弯曲应变能弯曲应变能2/ PVeldxM021拉压应变能拉压应变能

18、2/ PVeldxN021P PP P剪切应变能剪切应变能2/ PVeldxQ0211231P2P3P 外力从变形状态退回到无位移的外力从变形状态退回到无位移的原始状态中所作的功原始状态中所作的功. .iipPVy(x)q(x)lpdxxyxqV0*)()(3.结构势能结构势能PePVVE15.3 能量法能量法第24页/共54页第二十五页，共55页。2022-4-1326EAlPPPViip2111结构结构(jigu)(jigu)势能势能例例:求图示桁架求图示桁架(hngji)在平衡状态下的结构势能在平衡状态下的结构势能.EA=常数常数.45P P1 1llA45解解: :杆件轴力杆件轴力2/

19、211PN 杆件伸长杆件伸长(shn chn)(shn chn)量量EAlP112EAlPEAlN1122A点竖向位移点竖向位移外力势能外力势能应变能应变能EAlPNVe2221211PePVVEEAlPEAlPEAlP22212121第25页/共54页第二十六页，共55页。2022-4-1327EAlPPPViip2111结构势能结构势能45P P1 1llA45杆件轴力杆件轴力2/211PN杆件伸长量杆件伸长量EAlP112EAlPEAlN1122A点竖向位移点竖向位移外力势能外力势能应变能应变能EAlPNVe2221211PePVVEEAlPEAlPEAlP222121214.4.势能势

20、能(shnng)(shnng)驻值原理驻值原理设设A A点发生任意竖向位移点发生任意竖向位移 是是 的函数的函数. . PE,杆件伸长量杆件伸长量2/2lEAN/杆件轴力杆件轴力lEA2/2应变能应变能lEANVe22212外力势能外力势能1*PVp结构势能结构势能122PlEAEP)(22121lEAPE10)(1lEAddEP1EAlPPlEAEP22)(2111211EAlP221第26页/共54页第二十七页，共55页。2022-4-13284.4.势能驻值原理势能驻值原理设设A A点发生任意竖向位移点发生任意竖向位移 是是 的函数的函数. . PE,杆件伸长量杆件伸长量2/2lEAN/

21、杆件轴力杆件轴力lEA2/2应变能应变能lEANVe22212外力势能外力势能1*PVp结构势能结构势能122PlEAEP)(22121lEA0)(1lEAddEP1EAlPPlEAEP22)(2111211PE1EAlP221 在弹性结构的一切可能位移在弹性结构的一切可能位移(wiy)(wiy)中，真实位移中，真实位移(wiy)(wiy)使结构势能取驻值。使结构势能取驻值。满足结构位移边界条件的位移满足结构位移边界条件的位移 对于稳定平衡对于稳定平衡(wndng pnghng)(wndng pnghng)状态状态, ,真实位移使结真实位移使结构势能取极小值构势能取极小值. .第27页/共54

22、页第二十八页，共55页。2022-4-1329分析：上述结构分析：上述结构(jigu)只有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。只有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。2aaFP= 2qaEI= =EI= =qFP= 2qaq失稳变形失稳变形(bin xng)图图例例6. 试用能量法求图示结构的临界试用能量法求图示结构的临界(ln ji)荷载荷载qcr，设刚度系数为，设刚度系数为k。能量法举例能量法举例第28页/共54页第二十九页，共55页。2022-4-1330221akV则结构则结构(jigu)势能为：势能为：FP= 2qaq变形变形(bin xng)能为：能为：AaaqaaaFVPP222

23、212222226kqcr外力外力(wil)势能为：势能为：由驻值条件有：由驻值条件有：2232aqkVVEPP可解得临界荷载为：可解得临界荷载为：0ddEP062aqk解：第29页/共54页第三十页，共55页。2022-4-1331例例7. 试用能量试用能量(nngling)法求图示结构的临界荷载法求图示结构的临界荷载FPcr，刚度系数为，刚度系数为k。llABCFP分析：上述结构有一个分析：上述结构有一个(y )稳定自由度，失稳变形如右图所示。稳定自由度，失稳变形如右图所示。EI=失稳变形图失稳变形图ABCFPylyFplyFp第30页/共54页第三十一页，共55页。2022-4-1332

24、221ykV则结构则结构(jigu)势能为：势能为：变形变形(bin xng)能为：能为：lyFVPP222外力外力(wil)势能为：势能为：由驻值条件有：由驻值条件有：22ylFkVVEpPP可解得临界荷载为：可解得临界荷载为：0ddEP02ylFkp2klFpcr解：ly22第31页/共54页第三十二页，共55页。2022-4-1333例例8. 试用能量试用能量(nngling)法求图示结构的临界荷载法求图示结构的临界荷载FPcr，设各杆，设各杆I = ，刚度系数为，刚度系数为k。分析：上述结构有两个分析：上述结构有两个(lin )稳定自由度，失稳变形如右图所示。稳定自由度，失稳变形如右图

25、所示。失稳变形失稳变形(bin xng)图图lllABCDFPkkABCDFPkkBC1y2y解：第32页/共54页第三十三页，共55页。2022-4-1334212221221221lyyklyykV则结构则结构(jigu)势能为：势能为：变形变形(bin xng)能为：能为：212221yyyylFVPP外力外力(wil)势能为：势能为：212221212221221221yyyylFlyyklyykVVEpPPABCDFPkkBC 1y2ypFly22第33页/共54页第三十四页，共55页。2022-4-1335由驻值条件由驻值条件(tiojin)有：有：0,021yEyEPP02540

26、42522122212ylFlkylklFylklFylFlkpppplkFpcr1lkFpcr32由行列式为零可得：由行列式为零可得：ABCDFPkkBC 1y2ypF第34页/共54页第三十五页，共55页。2022-4-133610.4 组合压杆的稳定组合压杆的稳定第35页/共54页第三十六页，共55页。2022-4-1337第36页/共54页第三十七页，共55页。2022-4-1338第37页/共54页第三十八页，共55页。2022-4-1339缀板式缀板式肢杆肢杆缀条缀条缀板缀板缀条式缀条式组合压杆的临界组合压杆的临界(ln ji)(ln ji)荷载比截面和柔度相同的实体压杆的小。组荷

27、载比截面和柔度相同的实体压杆的小。组合压杆具体可分为缀条式和缀板式两种。合压杆具体可分为缀条式和缀板式两种。第38页/共54页第三十九页，共55页。2022-4-1340一一. .缀条式组合缀条式组合(zh)(zh)压杆压杆PPldbz21假设组合杆失稳时的变形曲线为半波正弦曲线：假设组合杆失稳时的变形曲线为半波正弦曲线： lxaysin则组合则组合(zh)(zh)杆上任意点的弯矩、剪力和轴力为：杆上任意点的弯矩、剪力和轴力为： lxPaPyMsinlxlPadxdMQcoslxbaPbMNsin肢lxlaPQNcoscoscos条上式中：上式中：b b为组合杆的肢宽，为组合杆的肢宽，为斜缀条

28、与水平轴的夹角。为斜缀条与水平轴的夹角。 1A-上斜缀条截面积上斜缀条截面积. .2A-下斜杆截面积下斜杆截面积. .应变能为：应变能为： EAsNU22nnnAblxlaPAblxlaPAdlxbaPEU2111222211212coscoscoscoscoscossin21肢将轴力代入后得：将轴力代入后得： b肢N肢N条NMQ第39页/共54页第四十页，共55页。2022-4-1341一般缀条式组合杆的结间数较多，可取一般缀条式组合杆的结间数较多，可取 dxxdldxlxdlxln02221sin2sin2coscos0221ldxlxdlxln21btgbtgd另外：另外： 则应变能为：

29、则应变能为： 2321312122222cos1cos1)(24AAtgtglbAElaPU肢外力势能：外力势能： laPdxlxlaPdxyPVll4cos2)(21222022220I 为两根肢杆的截面对为两根肢杆的截面对z轴的惯性矩轴的惯性矩.令令 ，可得：，可得： 0VU232131212222coscos1211AAAAtgtglblEIPcr肢肢22222bAbAI肢肢PPldbz21nnnAblxlaPAblxlaPAdlxbaPEU2111222211212coscoscoscoscoscossin21肢第40页/共54页第四十一页，共55页。2022-4-1342若写成欧拉问

30、题基本形式若写成欧拉问题基本形式22)(lEIPcr当当 ， 时，时， 21AAA2122222cossin211AAlblEIPcr肢PPldbz232131212222coscos1211AAAAtgtglblEIPcr肢肢222cossin21AAlb肢第41页/共54页第四十二页，共55页。2022-4-1343若用若用 r r 代表代表(dibio)(dibio)两肢杆截面对整个截面形心轴两肢杆截面对整个截面形心轴z z的回转半径的回转半径, ,取取2/br 并且并且, ,一般一般 为为 , ,故可取故可取603027cossin22并引入长细并引入长细比比rl /22271AA肢若

31、采用若采用换算长细比换算长细比 , ,则有则有h若写成欧拉问题基本形式若写成欧拉问题基本形式22)(lEIPcr22222cossin211AAlblEIPcr肢222cossin21AAlb肢第42页/共54页第四十三页，共55页。2022-4-1344条肢AArlh2272上式是钢结构规范中推荐的缀条式组合上式是钢结构规范中推荐的缀条式组合(zh)(zh)压杆换算长细比的公式压杆换算长细比的公式. .若用若用 r 代表两肢杆截面对整个截面形心轴代表两肢杆截面对整个截面形心轴z z的回转半径的回转半径, ,取取2/br 并且并且, ,一般一般 为为 , ,故可取故可取603027cossin

32、22并引入长细并引入长细比比rl /22271AA肢若采用若采用换算长细比换算长细比 , ,则有则有h第43页/共54页第四十四页，共55页。2022-4-1345若采用若采用换算长细比换算长细比 , ,则有则有h二二. .缀板式缀板式(bnsh)(bnsh)组合压杆组合压杆可取刚架作为计算结构，运用能量法可得到其临界荷载值为：可取刚架作为计算结构，运用能量法可得到其临界荷载值为：板肢EIbdEIdlEIlEIPcr12241122222肢2283. 0rlh上式中：上式中：肢肢肢Idbl222/第44页/共54页第四十五页，共55页。2022-4-1346组合组合(zh)(zh)结构稳定计算

33、举例结构稳定计算举例1. 计算图示结构的临界计算图示结构的临界(ln ji)荷载。荷载。解：解： 简化模型简化模型(mxng)如右所示，无限个稳定自由度如右所示，无限个稳定自由度. 稳定的特征方程稳定的特征方程.EIEIEI0)sin(l 计算结构临界荷载计算结构临界荷载.22lEIPcrEIEIlPPPPEIlEIP2第45页/共54页第四十六页，共55页。2022-4-13472. 计算图示结构的临界计算图示结构的临界(ln ji)荷载。荷载。解：解： 简化模型简化模型(mxng)如右所示，无限个稳定自由度如右所示，无限个稳定自由度. 稳定稳定(wndng)的特征方的特征方程程.EIEIE

34、I0)sin(l 计算结构临界荷载计算结构临界荷载.22lEIPcrlPPEIlEIP2第46页/共54页第四十七页，共55页。2022-4-1348详细解题详细解题(ji t)过程：过程： 取压杆变形后的平衡形式取压杆变形后的平衡形式(xngsh)及坐标如图所示，可得弹性平衡微及坐标如图所示，可得弹性平衡微分方程。分方程。PxyPyxl )(xMxl xyyBMPPPMxBxAyBcossin通解通解(tngji)为：为：)()( BMyPxMEIyEIMPyyB2 令：令： 则：则：EIP/2xBxAysincosBM第47页/共54页第四十八页，共55页。2022-4-1349边界条件为：边界条件为：0,0, 00, 0ylxyxyx0sin