同济大学高等数学第七版1-3函数极限

1、第三节第三节 函数的极限函数的极限 , )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式: 根据自变量的这种变化过程，本节主要研究以下根据自变量的这种变化过程，本节主要研究以下两种情况：两种情况：二、当自变量二、当自变量x的绝对值无限增大时，的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，的变化趋势，的极限的极限时时即即)(,xfx 一、当自变量一、当自变量x无限地接近于无限地接近于x0时，时，f(x)的变化趋势的变化趋势的极限的极限时时即即)(,0 xfxx 一、自变量趋向有限值时函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限的

2、变化趋势的变化趋势函数函数时时考察考察1)1(2)(,12 xxxfx 这个函数虽在这个函数虽在x=1处处无定义，但从它的图无定义，但从它的图形上可见，当点从形上可见，当点从1的的左侧或右侧无限地接左侧或右侧无限地接近于近于1时，时， f(x)的值无的值无限地接近于限地接近于4，我们称，我们称常数常数4为为f(x)当当x1 时时 f(x) 的极限。的极限。1xyo4 Axf)(0 xx 0 x 0 x,0邻域邻域的去心的去心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 怎样用数学语言刻划怎样用数学语言刻划,0 xx 无限接近无限接近)(xf函数函数于确定值于确定值A？;)(任意小任意小表示表示Ax

3、f .0的过程的过程表示表示xx 00 xx ),(0 xUxO0 x , 0 若若)( , 0 若若1.1.定义定义定义定义1 1设函数设函数有有定义定义., 0 ,00时时使当使当 xx Axf)(,)(0Axfxx有有极极限限时时函函数数则则称称 ,)(lim0Axfxx 记作记作).()(0 xxAxf或或, 0 恒有恒有)(xf在点在点x0某去心邻域内某去心邻域内注：注：(1) 定义习惯上称为极限的定义习惯上称为极限的定义其三个要素：定义其三个要素：正数正数， 正数正数， 不等式不等式)|0(|)(|0 xxAxf定义定义 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时使当使当0l

4、im( )xxf xA(3) 与任意给定的正数与任意给定的正数有关。有关。( )f x0 x(2) 有没有极限，与有没有极限，与 在点在点 是否有定义无关是否有定义无关 ( )f x, 0 AyA必存在必存在x0的去心邻域的去心邻域,00 xx对于此邻域内的对于此邻域内的 x,对应的函数图形位于这一带形区域内对应的函数图形位于这一带形区域内.的几何意义的几何意义Axfxx )(lim. 20作出带形区域作出带形区域, 0 ,00 xx当当 Axf)(, 0 xyO)(xfy A A0 x 0 x 0 xA一般说来一般说来,)(lim0Axfxx 论证论证应从不等式应从不等式 Axf)(出发出发

5、, 推导出推导出 应小于怎应小于怎这个正数就是要找的与这个正数就是要找的与 相对应的相对应的 , 这个推导常常是困难的这个推导常常是困难的. 但是但是, 注意到我们不需要找最大的注意到我们不需要找最大的, 所以所以Axf )(适当放大些适当放大些,的式子的式子,变成易于解出变成易于解出0 xx . 找到一个需要的找到一个需要的 找到找到就证明完毕就证明完毕.可把可把0 xx 样的正数样的正数, . lim 00 xxxx证明证证 , | 0 , , 00时则当取xx |0 xx . lim , 00 xxxx故成立例例1 1例例2 证明证明5)13(lim2 xx证证|2|3|5)(| xxf

6、 |2|3|5)(|xxf要使要使3|2| x只须只须于是于是0 )3( 时时当当 |2|0 x恒有恒有 |5)(|xf5)13(lim2 xx例例3. 211lim21 xxx证明证明分析：分析：211)(2 xxAxf, 0 任给任给, 只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.但这与函数在该点但这与函数在该点是否有极限并无关系是否有极限并无关系1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx证证例例4.lim00 xxxx 证证0)(xxAxf , 0 ,00时时当当 xx00 xxxx Axf)(要使要使,0 xx有有

7、00 xxx即即只只要要.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明0 x且且 取取,0 x 0 x min 00 xxx 0 x可用可用00 xxx 保证保证 证明证明 914lim2 xx证证, 0 由于由于 24914 xx要使要使 914x解出解出)(2 x只要只要,42 x可取可取 ,20时时当当 x有有 ,914 x 914lim2 xx解不等式解不等式,4 4 3. 左、右极限左、右极限(单侧极限单侧极限)例如例如, 0, 10,1)(2xxxxxf设设00 xx和和分分,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近-0;xx,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近+0.xx. 1)

8、(lim0 xfx两种情况分别讨论两种情况分别讨论!xyO1xy 112 xy记作记作记作记作左极限左极限, 0 右极限右极限0lim( )xxf xA 0lim( )xxf xA , 0 .)( Axf恒有恒有00 xxx 使得使得时时,或或, 0 , 0 00 xxx使得使得时时,.)( Axf恒有恒有.)(0Axf 或或.)(0Axf 记作记作记作记作00 xxx注注Axfxx )(lim000()()f xf xA-+00()()f xf x左左极极限限和和右右极极限限均均存存在在且且0000 xxxxxx此性质常用于判断此性质常用于判断分段函数分段函数当当x趋近于趋近于分段点分段点

9、时的极限时的极限.(1) 左、右极限均存在, 且相等；(2) 左、右极限均存在, 但不相等；(3) 左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！ 函数在点 x0 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：例例5. 设函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论讨论 0 x时时)(xf的极限是否存在的极限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理利用定理 3 .因为因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然显然, )0()0( ff所以所以)(lim0 xfx不存在不存在 .111211)( 2xxxxxxf求)(lim1xfx)(

10、lim1xfxy = f (x)xOy1121在 x = 1 处的左、右极限.1lim21xx0) 1(lim1xx解二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx返回返回问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, 对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:. 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 如何用精确的数学数学语言刻划函数如何用精确的数学数学语言刻划函数“无无限接近限接近”.;)()(任意小

11、任意小表示表示AxfAxf .的过程的过程表示表示 xXx:. 1 定义定义定定义义X Axfx)(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当:)1(情形情形x, 0 :)2(情形情形xAxf )(limAxf )(lim2. 另两种情形另两种情形, 0 X,时时使当使当Xx |)(|Axf恒有恒有, 0 , 0 X,时时使当使当Xx .)(上有定义上有定义在在设设axxf |)(|Axf恒有恒有.)(上有定义上有定义在在设设axxf x xAxfx )(lim且且Axfx )(limAxfx )(lim解解显然有显然有,2arctanlim xx,2arctanlim xx可

12、见可见xxarctanlim和和xxarctanlim虽然都存在虽然都存在, 但它们不相等但它们不相等.xxarctanlim 故故不存在不存在.例例5 讨论极限讨论极限 是否存在是否存在?xxarctanlim 22yxyarctanx X X,时时或或当当XxXx A的几何意义的几何意义Axfx )(lim. 3,|时时当当Xx 有有 |)(|Axf, 0 , 0 X AxfA)()(xfy 函数函数,为中心线为中心线以直线以直线Ay .2 的带形区域内的带形区域内宽为宽为 )(xfy 图形图形完全落在完全落在:xyOyA 的图形的的图形的水平水平渐近线渐近线(horizontal asy

13、mptote).则直线则直线)(xfy 是函数是函数例例6 . 2121lim 33xxx证明：证证 , 0 , 2121 33xx要 , |21 3x即要 , 21 | 3x即 , | , 21 3有时则当故取XxX 2121 33xx成立. 由极限的定义可知:. 2121lim 33xxxxxysin 例例70sinlim xxx证明证明证证, 0 ,1 X取取,|时时当当Xx 0sinxx. 0sinlim xxx故故要使要使,0sin xx成立成立.xxxxsin0sin ,|1x 只要只要 |1x有有,1| x即即 解不等式解不等式| x解出解出xyO. 111lim22 xxx试证

14、试证证证, 0 注意注意有有12111222 xxx,22x 为了使为了使,11122 xx只要使只要使,22 x,2 x即即,2 X取取,时时当当Xx 有有 2222111xxx. 111lim22 xxxx解出解出,0时时当当 x三、函数极限的性质三、函数极限的性质 函数极限与数列极限相比函数极限与数列极限相比,有类似的性质有类似的性质,定理定理1(1(极限的唯一性极限的唯一性) )有极限有极限,若在自变量的某种变化若在自变量的某种变化趋势下趋势下,则极限值必唯一则极限值必唯一.定理定理2(2(局部有界性局部有界性) ),0时时若当若当xx f(x)有极限有极限,则则f(x)在在 上有界上

15、有界;),(0 xU,时时若当若当 xf(x)有有极限极限,|, 0时时当当则存在则存在XxX .)(有界有界函数函数xf且证明方法也类似且证明方法也类似.)(xf,)(lim)1(0Axfxx 若若定理定理3(3(局部保号性局部保号性) )证证 (1) 设设A0,取正数取正数,2A ,)(lim0Axfxx 由由, 0 则则,00 xx使使当当,2)(AAxf 即即2)(2AAxfAA . 0)( xf);0)(0)(,),(0 xfxfxU或或有有内内则在则在),0)(0)(),()2(0 xfxfxU或或内有内有若在若在).0(0 AA或或则必有则必有23A2A有有自己证自己证),0(0

16、 AA或或且且),0()(lim0 AAxfxx若若只要取只要取,2A 便可得更强的结论便可得更强的结论:证证 (1),2)(Axf 已证已证也即也即2)(Axf (2)自己证自己证.定理定理3 (1)的证明中的证明中,),(0内内使在使在 xU.2| )(|Axf 有有不论不论, 0 则则, 00 AA或或定理定理 3 ,0时时 A,0时时 A),0)(0)(),()2(0 xfxfxU或或内有内有若在若在 ).0(0 AA或或则必有则必有证证, 0)( xf设设 假设上述论断不成立假设上述论断不成立, 0 A即设即设那么由那么由(1)就有就有),(0 xU在该邻域内在该邻域内, 0)( xf这与这与. 0 A所以所以类似可证类似可证 的情形的情形.0)( xf假设假设矛盾矛盾