偏微分方程期末考试试题_第1页
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1、精选优质文档-倾情为你奉上 黑龙江科技学院考试试题 第一套课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号： 适用专业（班级）：数学 共1页命题人：潘晓丽 教研室主任： 第1页 一、（15分）写出三类典型泛定方程并分别说明其名称和特点.二、（10分）求一维波动方程的通解.三、（15分）写出达朗贝尔公式并利用公式求解 四、（10分）计算积分.五、（15分）设，证明 六、（15分）用分离变量法求解七、（10分）解固有值问题八、（10分）叙述斯图模-刘维尔定理.黑龙江科技学院考试试题答案 第一套课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号： 适用专业（班级）：数学 共1页命题人：潘晓丽 教研室主任： 第1页 一、解

2、：波动方程： 热传导方程： 位势方程： .5分 其中，为常数，及为已知函数，在波动方程及热传导方程中，未知函数是时间变量和空间坐标变量的函数，在位势方程中，未知函数是空间坐标变量的函数，而与时间无关，三类典型方程均为二阶线性偏微分方程。.15分二、解：首先判别方程的类型， 2分即此方程在整个全平面上都是双曲型的。特征方程为：特征曲线为 6分做变量替换，令，由链式法则得 通解 .10分三、解： .5分 .10分 .15分四、解：由分部积分法及微分关系，有 .5分 .8分.10分五、证明： .5分 .10分 .15分移项有 六、解： 设分离变量代入方程组得.3分解固有值问题得 ； .6分将代入得.

3、9分所以叠加得原解代入初值条件得系数 .13分所以得原问题的解 .2分七、解：题中方程是斯-刘方程，其中，又题中两端边界条件都是第二类，故，而且有零固有值，相应固有函数为。当时，设，方程的通解为.3分将此式代入边界条件，并消去公因子，得 （1）为使A,B不全为0，必须系数行列式故.7分把代入（1）有这个方程的一个非零解是 与相应固有函数为.10分八、Sturm-Liouville定理：若满足：在上连续；当时，而至多是的一级零点；在上连续，而在端点至多有一级极点。则S-L固有值问题.2分的固有值和固有函数有下列重要性质：1、 可数性：存在可数无穷多个固有值，。与每一个固有值相应的线性无关的固有函数有且只有一个。.4分2、 非负性：，有零固有值的充要条件是：，且两端都不取第一、三类边界条件，这时相应的固有函数为常数。6分3、 正交性：设是任意两个不

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