吉林大学数值计算方法 三次样条插值

1、 总总 结结三次样条插值函数的误差估计三次样条插值函数的误差估计三转角算法三转角算法三弯矩算法三弯矩算法三次样条插值函数的概念三次样条插值函数的概念三次样条插值三次样条插值三次样条插值三次样条插值学习目标：学习目标： 知道三次样条插值函数的概念，会求知道三次样条插值函数的概念，会求三次样条插值函数，进行误差分析。三次样条插值函数，进行误差分析。 第二章 插值与拟合高次插值出现龙格现象高次插值出现龙格现象L-插值（牛顿插值（牛顿插值）插值）Hermite插值插值 分段分段插值插值但分段线性插值在节点处不一定光滑但分段线性插值在节点处不一定光滑分段分段Hermite插值插值但但导数值导数值不容易提

2、取（找到）不容易提取（找到）三次样条插值（先由三次样条插值（先由函数值函数值确定确定导数值导数值，再由，再由分段分段Hermite插值解决问题插值解决问题）举例：举例：1 1 汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）；汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）；2 2 木样条的来源。木样条的来源。三次样条插值函数的概念三次样条插值函数的概念一、背景一、背景第二章 插值与拟合数学里的数学里的样条样条( Spline )一词来源于它的直观一词来源于它的直观几何几何 背景背景：绘图员或板金工人常用弹性：绘图员或板金工人常用弹性木条木条或或金属金属条条加加压铁压铁( (构成样条构成样条!

3、) !)固定在样点上，在其它地方固定在样点上，在其它地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样样条曲线条曲线. . 样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点击样点上要求二阶导数连续，从数学在连接点击样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。上加以概括就得到数学样条这一概念。第二章 插值与拟合相同数据相同数据3 3次样条插值与次样条插值与Lagrange插值效果比较插值效果比较Cubic Spline Interpolation Lagrange第二章 插值与拟合 定义定义 2.8 （三

4、三次样条函数）次样条函数） )(xSb在每一个小区间在每一个小区间1,jjxx上上是次数是次数 1,1 , 0 nj3 多项式。多项式。), 1 , 0(),()(nixfxSii 若若(1)中中三三次样条函数次样条函数还满足插值条件：还满足插值条件：)(xS关于剖分关于剖分)(xS称称为为)(xf 的三次样条插值函数。的三次样条插值函数。 baCxSa,)()(2 ，即具有连续的一阶，二阶导数。，即具有连续的一阶，二阶导数。满足下述条件：满足下述条件：,:10bxxxan )(xS如果函数如果函数 (1) 设有对设有对a,b的剖分的剖分的一个的一个3次样条函数。次样条函数。)(xS为关于剖分

5、为关于剖分 则称则称 )(xfy 函数表函数表), 1 , 0(),(,(nixfxii （2）设给定）设给定(2.42)二、样条函数的定义二、样条函数的定义 第二章 插值与拟合提出问题：提出问题：)(xS3次样条插值函数次样条插值函数是否存在是否存在？是否唯一是否唯一？如何计算如何计算？误差估计误差估计？问题的提法问题的提法：给定数据表：给定数据表构造构造3 3次样条函数次样条函数 , ,满足插值条件满足插值条件 x f x0 x1xnx0f1fnf S x ,0,1, . (2.42)iiS xfinL第二章 插值与拟合 111,1,2,1,1,2,1,1,2,1.iiiiiiiiiiii

6、SxSxinSxSxinSxSxinLLL 0011123111,.,;iiinnnSxxx xS xxx xS xS xCx xSxxxx构造方法构造方法： S(x)应具有如下形式应具有如下形式并且满足条件并且满足条件(2.42)(2.42)和和(2.43)(2.43)第二章 插值与拟合分析：分析： 因因,)(1 jjxxxS在在上是上是分段分段3次多项式，即为次多项式，即为,)()(32xdxcxbaxSxSjjjjj ) 1, 1 , 0(,1 njxxxjj4 4n个待定系数个待定系数:,jjjjdcba1, 1 , 0 nj从而从而S(x)共须共须4n个独立条件确定个独立条件确定 .

7、 )()()()()()(111jjjjjjjjjjjjxSxSxSxSxSxS内部条件：内部条件： 1, 1 njS和和S, S 在在n-1个内结点连续个内结点连续, ,即满足条件即满足条件(2.43),(2.43),因而因而(2.43)(2.43)给出了给出了3( (n-1) 个条件；个条件；(2.43)(2.43)第二章 插值与拟合 已有条件已有条件：), 1 , 0(),()(njxfxSjj 共有共有24 n个条件个条件,要唯一确定要唯一确定 ,还必须附加还必须附加2 2个条件个条件)(xS(2.42)(2.42)提供了提供了n+1个独立条件个独立条件;( (边界条件边界条件) )。

8、附加附加2个条件，个条件，有多种给法有多种给法. .最常见的给法是最常见的给法是: :(a) （简支边界，导致（简支边界，导致三弯矩关系式三弯矩关系式, M , M 关系式关系式）, , 特别地特别地, , ( (自然边界自然边界, ,三次自然样条三次自然样条);); (b) ( (固支边界固支边界, ,导致导致三转角关系式三转角关系式, m, m关系式关系式). ).000,nnnSxfxMSxfxM00,nMM000,nnnSxfxm Sxfxm(2.44)(2.44)(2.45)(2.45)第二章 插值与拟合)(c第第3种边界条件（周期边界条件）：种边界条件（周期边界条件）：)(xfy

9、为周期函数，为周期函数，此时称此时称)(xS为周期样条函数。为周期样条函数。).2 , 1 , 0(),()()(0)( kxSxSnkk)(xS亦是周期函数，周期为亦是周期函数，周期为ab ，即取即取要求要求 注：注：一般不取一端是一阶导数而另一般不取一端是一阶导数而另一端是二阶导数一端是二阶导数。第二章 插值与拟合 这样，由以上给定的任一种边界条件加上插值条件和连这样，由以上给定的任一种边界条件加上插值条件和连接条件，就能得出接条件，就能得出4n4n个方程，可以惟一确定个方程，可以惟一确定4n4n个系数。从而个系数。从而得到三次样条插值函数得到三次样条插值函数S(S(x) )在各个子区间在

10、各个子区间 xi , xi+1 上的表达上的表达式式S(S(xi i）(i=1,2,)(i=1,2,)。但是，这种做法当。但是，这种做法当n n较大时，计算工较大时，计算工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找到一种简单的构作很大，不便于实际应用。因此我们希望找到一种简单的构造方法。造方法。 ), 1 , 0(),(,(nixfxii 且且;10bxxxan (1)如果如果是定义在是定义在上函数且已知上函数且已知)(xfy 函数表函数表)(xf,ba 定理定理2.8（3 次样条插值函数存在唯一次样条插值函数存在唯一）唯一唯一3 3次样条插值函数次样条插值函数)(xS, ,且满足且满足）。）或或

11、（或或（cba)()(xf,ba ( (2) )给定边界条件给定边界条件）或或（或或（cba)(，则，则于于存在存在第二章 插值与拟合 推导推导方法：方法：1、先确定、先确定插值函数插值函数)(xS在节点处的一阶导数，记为在节点处的一阶导数，记为,)(jjmxS , 1 , 0nj 该方法即为该方法即为3次样条插值函数的次样条插值函数的一阶导数表示。一阶导数表示。2、先确定、先确定插值函数插值函数)(xS在节点处的二阶导数，记为在节点处的二阶导数，记为,)(jjMxS , 1 , 0nj 该方法即为该方法即为3次样条插值函数的次样条插值函数的二阶导数表示。二阶导数表示。第二章 插值与拟合 -三

12、次样条插值函数的二阶导数表示三次样条插值函数的二阶导数表示三次样条插值函数三次样条插值函数 可以有多种表达式，可以有多种表达式，有时用二阶导数值有时用二阶导数值表示时，使用更方便。表示时，使用更方便。 在力学上解释为细梁在力学上解释为细梁在在 处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称用有关，故称用 表示表示 的算法为的算法为三弯矩算法三弯矩算法。)(xS()(0,1,)iiSxMinMixiMi)(xS2.3.2 三弯矩算法三弯矩算法第二章 插值与拟合是是三三次次样样条条因因为为)(xSj,),()(11jjjjjjxxhxxxxSxS 令令1,(

13、 ),jjjSxxx所以在上是一次函数,插插值值函函数数，), 2 ,0,1j)(nMxSjj ，（，（令令由两点拉格朗日插值由两点拉格朗日插值可表示为可表示为,)(11 jjjjjjMhxxMhxxxS参数参数(2.46)对对上上式积分式积分, ,得得22111()()( ), 22jjjjjjxxxxS xMMchh (2.47)(2.48)再积分再积分, ,得得331112()()( ), 66jjjjjjxxxxS xMMc xchh,1 jjxxxjjjjjxxhxxx 11,第二章 插值与拟合 由条件由条件11)(,)( jjjjyxSyxS，确定积分常数，确定积分常数12,c c

14、(2.49)(2.47)(2.48)21221111211(), 61(),6jjjjjjjjjjS xh Mc xcyS xh Mc xcy22111()()( ), 22jjjjjjxxxxS xMMchh 331112()()( ), 66jjjjjjxxxxS xMMc xchh,1 jjxxx111112111(),61().6jjjjjjjjjjjjjjjjyych MMhy xy xch x Mx Mh第二章 插值与拟合 将将上式上式代入代入( (2.48) )得到得到三三次样条插值函数的表达式次样条插值函数的表达式331122111()()( )66()(), 66jjjjjj

15、jjjjjjjjjjxxxxS xMMhhM hxxMhxxyyhh(2.50)由上讨论可知由上讨论可知,只要确定只要确定Mj (j=0,1,n)这这n+1个值个值, 就就可定出三样条插值函数可定出三样条插值函数S(x)。为了确定。为了确定Mj (j=0,1,n),对对S(x)求导得求导得221111()() ( )226jjjjjjjjjjjjxxxxyyMMS xMMhhhh 1,jjxxx(2.51)1,jjxxx第二章 插值与拟合133111122111111112211111( ),()()( )66()(), , 66()()( )22 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

16、jjjjjjjS xxxxxxxS xMMhhMhxxM hxxyyxxxhhxxxxS xMMhhyyh 类似地可求出在区间上的表达式,从而得1111 , 6jjjjjMMhxxx(2.52)第二章 插值与拟合1111111( )(0)(0), 636 1,1,jjjjjjjjjjjjjjjS xS xS xhhhhyyyyMMMhhjn利用在内接点的连续性,即可得 0 , :(0)(0)njjMMS xS x为了求要用导数连续条件1111111(2.51): (0),36(2.52): (0),63jjjjjjjjjjjjjjjjhhyyS xMMhhhyyS xMMh由得由得(2.53)

17、(2.54)(2.55)第二章 插值与拟合1111111,636jjjjjjjjjjjjjhhhhyyyyMMMhh（2.55） (1,2,1)jn上式两边同乘以上式两边同乘以 , ,即得方程即得方程 16jjhh11111111162jjjjjjjjjjjjjjjjjhhyyyyMMMhhhhhhhh11111111166,.jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjhhhhhhyyyydf xxxhhhh若记若记 （2.56）第二章 插值与拟合1111111 2, 1,1, ,6 ,.jjjjjjjjjjjjjjjjjjMMMdjnhhdf xx xhhhh其中所得方程可简写成所得方程可简写

18、成10112121223212111222nnnnnnMMMdMMMdMMMd（2.58） 即即 （2.57）个个方方程程1 n 三弯矩方程三弯矩方程第二章 插值与拟合 这是一个含有这是一个含有n+1+1个未知数、个未知数、n-1-1个方程的线性方个方程的线性方程组程组. .要完全确定要完全确定Mi (i=0,1,n)的值还需要补充两个的值还需要补充两个条件条件, ,这两个条件通常根据实际问题的需要，根据插这两个条件通常根据实际问题的需要，根据插值区间值区间 a, ,b 的两个端点处的边界条件来补充。的两个端点处的边界条件来补充。第二章 插值与拟合由由(2.53),得得0001100063fh

19、yyMhMh 由由(2.54),得得1111136 nnnnnnnnhyyfMhMh(1) 若若已知，已知，,)(,)(000nnnmfxSmfxS 11()36jjjjjjjjyyhhSxMMh11111()36jjjjjjjjyyhhS xMMh )(621111 nnnnnnnhyyfhMM)(620001010fhyyhMM 0d nd 则令则令j=0，令令j=n，第二章 插值与拟合001,1,nnjjM令得满足的方程组 nnnnnnnddddMMMM110110111102222 (2.59)第二章 插值与拟合(2) 若若nnnfMxSfMxS )(,)(000已知，已知，代入方程代

20、入方程(2.58)，只只需解需解n-1个方程个方程 nnnnnnnnnfdddfdMMMM112201112211222212222 (2.60)第二章 插值与拟合 (3) 对第三类边界条件：对第三类边界条件：),0() 0(0 nxSxS) 0() 0(0 nxSxS 0M,nM 11001101110)(3166 nnnnnnnhyyhyyMhhMhMh两边同除以两边同除以得得,610 nhh)(62110011011011100 nnnnnnnnnhyyhyyhhMMhhhMhhh( j=n)1111111 (0),(2.53)36 (0),(2.54)63jjjjjjjjjjjjjjj

21、jhhyyS xMMhhhyyS xMMh由和可得( j=n)( j=0)第二章 插值与拟合)(62110011011011100 nnnnnnnnnhyyhyyhhMMhhhMhhh)(61100110 nnnnnhyyhyyhhd,1101 nnnnhhh ,100 nnhhh 令令nnnnndMMM 211 得得又由又由 nMM 0, 三弯矩方程可写为三弯矩方程可写为 nnnnnnnnddddMMMM1211211122112222 (2.61)第二章 插值与拟合 nnnnnnnnddddMMMM1211211122112222 (2.61)， nnnnnnnddddMMMM110110

22、111102222 (2.59) nnnnnnnnnfdddfdMMMM11220112211222212222 (2.60)第二章 插值与拟合说明：说明： （1） 方程组方程组(2.59)(2.61)系数矩阵都是严格对角占优矩系数矩阵都是严格对角占优矩 阵，因此方程组阵，因此方程组(2.59)(2.61有唯一解有唯一解 （2）Mj 在力学上为细梁在在力学上为细梁在xj处处截面截面处的处的弯矩弯矩, , 且弯矩与且弯矩与相邻相邻的两个弯矩有关的两个弯矩有关, 故方程组故方程组(2.59)(2.61)称为称为三弯矩三弯矩方程。方程。 Mj 在数学上称为在数学上称为曲率曲率。 实际上实际上,方程组

23、方程组(2.59)(2.61)的系数矩阵是一类特殊的系数矩阵是一类特殊的矩阵，在后面线性方程组的解法中，将专门介绍这类的矩阵，在后面线性方程组的解法中，将专门介绍这类方程组的解法和性质。方程组的解法和性质。 第二章 插值与拟合例例 2.14 设在节点设在节点 上，函数上，函数 的值为的值为 ， 。 试求三试求三次样条插值函数次样条插值函数 ，满足条件，满足条件)3 , 2 , 1 , 0( iixi)(xf5 . 0)(, 0)(10 xxff5.1)(,2)(32 xxff)(xS. 3 . 3)(, 3 . 0)()2(, 1)(, 2 . 0)()1(3030 xxxxSSSS11121

24、211211110.5(1,2)0.53,66jjjjjjjjjjjjjjjjjhhhhjhhddyyyydhhhh 解解 （1）利用方程组（）利用方程组（2.56）进行求解，可知）进行求解，可知第二章 插值与拟合对第一类边界条件对第一类边界条件03()0.2,()1,S xS x 1000003233226() 1.86()3yydfhhyydfhh(2.59),代入有 3638.1215.025.05.025.0123210MMMM0123:0.36,2.52,3.72,0.36MMMM 解得代入三次样条插值函数的表达式（代入三次样条插值函数的表达式（2.50），经化简有），经化简有第二章

25、 插值与拟合, 2) 2(68. 0286. 1268. 0, 5 . 0) 1(28. 1126. 1104. 1,2 . 018. 048. 0)(232323xxxxxxxxxxS 3 , 2 2 , 1 1 , 0 xxx（）（） 仍用方程组进行求解，不过要注意仍用方程组进行求解，不过要注意 的不同。由于的不同。由于 和和 已知，故可以化简得已知，故可以化简得dd3030,M3M0第二章 插值与拟合.3 .153 . 6411421 MM由此解得由此解得 。5 . 4, 7 . 221MM将将 代入三次样条插值函数的表达式（代入三次样条插值函数的表达式（2.50），），经化简有经化简有

26、MMMM3210, 2) 2(45. 0225. 213 . 1, 5 . 0) 1(35. 1135. 112 . 1,15. 015. 05 . 0)(232323xxxxxxxxxxS 3 , 2 2 , 1 1 , 0 xxx第二章 插值与拟合例例2.15 已知的函数值如下：已知的函数值如下： x 1 2 4 5 1 2 4 5 f (x) 1 3 4 2 1 3 4 2在区间在区间 1,51,5 上求三次样条插值函数上求三次样条插值函数S(x),S(x),使它满足边界条件使它满足边界条件 0)5(, 0) 1 ( SS解解: :这是在第二种边界条件下的插值问题，故确定这是在第二种边界

27、条件下的插值问题，故确定 的方程组形如（的方程组形如（2.602.60）所示，）所示， 由已知边界条件由已知边界条件, ,有有 则得求解则得求解 的方程组为的方程组为 3210,MMMM0)(, 0)(333000 MyxSMyxS21,MM11122222MdMd 第二章 插值与拟合根据给定数据和边界条件算出根据给定数据和边界条件算出 与与 ii,id121321hhh2,21,2,322110 xxfxxfxxf32,3232222121hhhhhh112010166 1(,)(2)33 2df x xf x xhh 2231212661(,)( 2)532df x xf x xhh 第二

28、章 插值与拟合523233222121MMMM则得方程组则得方程组 解得解得 49,4321MM又又 030 MM即得即得S(x)S(x)在各子区间上的表达式在各子区间上的表达式, ,由式（由式（2.512.51）知）知,S(x),S(x)在在 上的表达式为上的表达式为代入式代入式(2.50)(2.50)3,2,1)(ixSi10, xx1301131016)(6)()(hxxMhxxMxS102111112100)(6)(6hxxhMyhxxhMy将将 代入上式化简后得代入上式化简后得 43, 0, 1, 3, 1, 2, 11011010MMhyyxx第二章 插值与拟合1478381)(2

29、31xxxxS同理同理S(x)S(x)在在 上的表达式为上的表达式为 21, xx1478381)(232xxxxSS(x)S(x)在在 上的表达式为上的表达式为 32, xx1949184583)(233xxxxS第二章 插值与拟合故所求的三次样条插值函数故所求的三次样条插值函数S(x)S(x)在区间在区间上的表达式为上的表达式为 5,1)54(1949184583)42(1478381)21 (1478381)(232323xxxxxxxxxxxxxS第二章 插值与拟合下面构造一阶导数值下面构造一阶导数值 表示的三次样条插表示的三次样条插值函数。值函数。 在力学上解释为细梁在在力学上解释为

30、细梁在 截面处的转角，并且得到的转截面处的转角，并且得到的转角与相邻两个转角有关，故称用角与相邻两个转角有关，故称用 表示表示 的算法为的算法为三转角算法三转角算法。), 1 , 0()(niSmxii mimi)(xSxi2.3.3 三转角算法三转角算法0 ( )( )( ), njjjjjH xfxmx.,数，得到三次样条插值函对角方程组，求出的三，可得关于连续性条件和边界条件由插值条件jjmm埃尔米特插值多项式，根据分段三次三转角法：假定 , ), 0()(njmxsjj第二章 插值与拟合根据根据Hermite插值函数的唯一性和表达式插值函数的唯一性和表达式 可设可设 S(x)在区间在区

31、间xi , xi+1(i=0,1,n-1)的表达式的表达式为为 221133122112212()()2()()( )()()()().iiiiiiiiiiiiiiiiiihxxxxhxxxxS xhhxxxxxxxxhhffmm第二章 插值与拟合对对S(x)求二次导数得求二次导数得11221131624642( )6(2 )().iiiiiiiiiiiiixxxxxSxhhxxxhxmmff于是有于是有).(624)0(121ffhmhmhxiiiiiiiiS 同理，考虑同理，考虑S(x)在在xi-1 , xi上的表达式，可以得到上的表达式，可以得到).(1642)0(12111ffhmhm

32、hxiiiiiiiiS 第二章 插值与拟合利用条件利用条件 ，得，得)0()0( xxiiSS112,1,2,1.iiiiiiinmmme（2.62）其中，其中， 由（由（2.56）所示，而）所示，而 ,ii).,(311xxxxeiiiiiiiff （2.63） 方程组方程组(2.63)是关于是关于 的方程组的方程组,有有 个未知数个未知数,但只有但只有 个方程个方程.可由可由(2.44)(2.46)的任一种边界条件补充两个方程。的任一种边界条件补充两个方程。 1 n1 nmi第二章 插值与拟合111012222223311112222nnnnnnnnnfemmememfe由此可解得由此可解得m1,m2, mn-1 ，从而得，从而得 S(x)的表达式的表达式.（2.64） 对于边界条件对于边界条件(2.45), 两个方程两个方程则则m1,m2, mn-1满足方程组满足方程组 00,nnmf mf第二章 插值与拟合 对于边界条件对于边界条件(2.44),可导出两个方程可导出两个方程: 0001102000112111001010111426(0)()246(0)()3 ,23 ,.222nnnnnnnnnnnnnnnMSxmmyyhhhMSxmmyyhhhffhymm