第5章 线性系统的频域分析法

1、第第5 5章章 控制系统的频域分析法控制系统的频域分析法内容提要 频率特性是研究控制系统的一种工程方法，应用频率特性可间接地分析系统的动态性能和稳态性能。 本章主要介绍典型环节的频率特性、开环频率特性、最小相位系统、Nyquist稳定判据、对数稳定判据、闭环频率特性及用品类特性分析系统品质。 知识要点 开环频率特性、极坐标图、Bode图、Nyquist稳定判据、对数稳定判据、相对稳定性、闭环频率特性、等M圆、等N圆及用品类特性分析系统品质。 时域分析时域分析方法的缺陷： （1 1）对于高阶或较为复杂的系统难以求解和定量分析；）对于高阶或较为复杂的系统难以求解和定量分析；（2 2）某些元件或环节

2、的数学模型难以求出时，系统的分析将无法进行；）某些元件或环节的数学模型难以求出时，系统的分析将无法进行；（3 3）系统的参数变化时，系统性能的变化难以直接判断，而需重新求解系）系统的参数变化时，系统性能的变化难以直接判断，而需重新求解系统的时间响应，才能得到结果；统的时间响应，才能得到结果；（4 4）系统的性能不满足技术要求时，无法方便地确定应如何调整系统的参）系统的性能不满足技术要求时，无法方便地确定应如何调整系统的参数来获得预期的结果；数来获得预期的结果；（5 5）必须由闭环传递函数求系统的稳定性。）必须由闭环传递函数求系统的稳定性。 根轨迹法根轨迹法根据图形的变化趋势即可得到系统性能随某

3、一参数变化的全根据图形的变化趋势即可得到系统性能随某一参数变化的全部信息，从而可以获得应如何调整系统的参数来获得预期效果，是一种非部信息，从而可以获得应如何调整系统的参数来获得预期效果，是一种非常实用的求取闭环特征方程式根和定性分析系统性能的图解法，特别适用常实用的求取闭环特征方程式根和定性分析系统性能的图解法，特别适用于高阶系统的分析求解。但对于高频噪声问题、难以建立数学模型等问题于高阶系统的分析求解。但对于高频噪声问题、难以建立数学模型等问题仍然无能为力。仍然无能为力。 频域分析频域分析方法的优点： (1) 频域分析法可以根据开环频率特性去分析闭环系统的性能，并能较方便地分析系统参数对系统

4、性能的影响，从而进一步提出改善系统性能的途径。(2) 除了一些超低频的热工系统，频率特性都可以方便地由实验确定。(3) 频率特性主要适用于线性定常系统。在线性定常系统中，频率特性与输入正弦信号的幅值和相位无关。(4) 这种方法也可以有条件地推广应用到非线性系统中。 利用频率特性进行控制系统分析和设计的图解法，可方便地用于工程中的系统分析和设计。 5.1 频率特性及其描述频率特性及其描述5.1.1 频率特性频率特性RC网络图示电路的传递函数为 11)()()(RCssGsUsUio设输入电压tAtuisin)(Ruiu0CRuC令T=RC，则可得电容两端的输出电压为2211)(11)(sATss

5、UTssUio对上式两端取拉氏反变换得式中：)tansin(11)(12222TtTAeTATtuTto当t时， 0122TteTTA)sin()tansin(1)(lim)(122tATtTAtutUoos221TAA于是系统的稳态解为T1tan可见，电路的稳态输出仍然是正弦电压，其频率和输入电压的频率相同，幅值是输入幅值的 倍，相角比输入迟后 。2211TT1tan其中： ，. , , ee2.).(arctgT - ),( , 1.: Tj11jjT11Tjarctan-T1111)jT(112222率特性的频称为网络变化的规律频率和相角随正弦输入电压稳态输出时电压幅值入作用下它描述了网

6、络在正弦输相频特性滞后相角比输入电压幅频特性幅值是输入电压的其频率与输入电压相同弦电压网络的稳态输出仍是正说明T3. 系统的稳态解的幅值之比A()是的函数，其比值为TjTABA1111)(224. 为输出稳态解与输入信号的相位差，也是的函数，其值为TjT11arctan)()(频率特性的概念 线性定常系统（或元件）在正弦输入信号作用下，系统稳态输出与输入的复数比叫做系统（或元件）的频率特性，记为G(j)。 记输入信号为)0()(sin)(jrieAtAtu 输出信号为)()()sin()(jCoeAtAtu 则)()()()()()0()(AeAeAjGjrjC其中)()(,)()(jGjGA

7、 RC电路的频率特性在复平面上构成一个完整的向量。用G(j)表示这一向量，则222211111)(TTjTTjjG)()()(jejGjG2211)(TjGTarctan)( 根据复数的数学定义，有)()()(jejGjG2211)(TjGTarctan)()(jG 称为电路的频率特性。)(jG是)(jG的幅值,)(是)(jG的相角，)(jG和)(都是输入信号频率故它们分别被称为电路的频率特性的物理意义是：当一频率为它表示在稳态时，电路的输出与输入的幅值之比。它表示在稳态时，电路的输出与输入的幅值之比。它表示在稳态时，输出信号与输入信号的相位差。它表示在稳态时，输出信号与输入信号的相位差。由于

8、的函数,幅频特性和相频特性。在稳态时，电路的输出与输入之比；或者说输出与输入的幅值之比和相位之差。在稳态时，电路的输出与输入之比；或者说输出与输入的幅值之比和相位之差。 的正弦信号加到电路的输入端后，)(0)()()()(jieAjUjUjG5.1.2 频率特性的数学表示方式 幅相频率特性（极坐标图、奈氏图）幅相频率特性（极坐标图、奈氏图） 对数频率特性（对数频率特性（Bode图）图） 对数幅相特性（尼氏图）对数幅相特性（尼氏图） 幅相频率特性可以表示成：代数形式、极坐标形式1 1、幅相频率特性（奈氏图）、幅相频率特性（奈氏图）1）代数形式）代数形式设系统或环节的传递函数为令s=j，可得系统或

9、环节的频率特性 这就是系统频率特性的代数形式，其中P()是频率特性的实部，称为实频特性，Q()为频率特性的虚部，称为虚频特性。 nnnmmmasasabsbsbsG110110)()()()()()()()(110110jQPajajabjbjbjGnnnmmm2）极坐标形式）极坐标形式将上式表示成指数形式 :式中)()()(22QPAnA()复数频率特性的模，即幅频特性n ()复数频率特性的幅角或相位移，即相频特性 )()(22)()()()(jjeAeQPjG)()(arctan)(PQ奈氏图奈氏图2 2、对数频率特性（、对数频率特性（BodeBode图）图）对数频率特性是将频率特性表示在

10、对数坐标中。对数频率特性是将频率特性表示在对数坐标中。 对上式两边取对数，得对上式两边取对数，得 上面就是对数频率特性的表达式。习惯上，一般不考上面就是对数频率特性的表达式。习惯上，一般不考虑虑0.434这个系数，而只用相角位移本身。这个系数，而只用相角位移本身。 ( )20lg( )( )( )LAdBrad ， 或)()(22)()()()(jjeAeQPjG)(434. 0)(lglg)()(lg)(lg)(lg)(jAejAeAjGjBode图图3 3、对数幅相特性（尼氏图）、对数幅相特性（尼氏图） 将对数幅频特性和对数相频特性绘在一个平面上，以对将对数幅频特性和对数相频特性绘在一个平

11、面上，以对数幅值作纵坐标（单位为分贝）、以相位移作横坐标（单位数幅值作纵坐标（单位为分贝）、以相位移作横坐标（单位为度）、以频率为参变量。这种图称为对数幅为度）、以频率为参变量。这种图称为对数幅相频率特性，相频率特性，也称为尼柯尔斯图，或尼氏图。也称为尼柯尔斯图，或尼氏图。 一般用于闭环系统频率特性分析。一般用于闭环系统频率特性分析。微分方程频率特性传递函数系统pj jsps 5.1.3 频率特性、传递函数和微分方程三种数学模型频率特性、传递函数和微分方程三种数学模型 之间的关系之间的关系RCssGsUsUio11)()()(TjRCjjGjUjUio1111)()()(比较比较频率特性与传递

12、函数具有十分相的形式频率特性与传递函数具有十分相的形式 jssGjG)()(5.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性) 1(12111s1K 1sasasa1)sbsbsK(bG(s) 122)(11v11 -n1 -nnn11 -m1 -mmm21ssTsTsTjljiiihvniihi5.2.1 5.2.1 控制系统中常见的典型环节控制系统中常见的典型环节积分环节积分环节K)G(s其中vs1G(s) 11G(s)1sTihi121G(s)22)(121sTsTiiihvni) 1(G(s)1sjlj比例环节比例环节振荡环节振荡环节惯性环节惯性环节微分环节微分环节K)G(j KsXsXr

13、C)()(sGo0)(5.2.2 5.2.2 典型环节的极坐标及频率特性典型环节的极坐标及频率特性1、比例环节1）传递函数2） 频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性对数幅频特性K)A(K)P(0)Q(Klog02)L(奈氏图奈氏图BodeBode图图KjjK)G(j sKsXsXrC)()(sGo90-)(2、积分环节1）传递函数2） 频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性对数幅频特性K)A(0)P(K-)Q(log02log02)L(K奈氏图奈氏图BodeBode图图TjK1)G(j 1)()(sGTsKsXsXrCTt-1an-)(3、惯性环节1）传递函数2） 频率特性实频特性虚频特

14、性幅频特性相频特性对数幅频特性221K)A(T221)P(TK221KT-)Q(T221log20log02)L(TK奈氏图奈氏图BodeBode图图TjT2)1 (1)G(j22 12)()(sG22TssTKsXsXrC4、振荡环节、振荡环节1）传递函数2） 频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性对数幅频特性2222)2()1 (log20)L(TT奈氏图奈氏图BodeBode图图22112tan)(TT2222)2()1 (2)Q(TTT2222)2()1 (1)A(TT222222)2()1 (1)P(TTT 见书见书P136P136、137137)1 ()G(jjK )1 ()()

15、(sGsKsXsXrC1tan)(5、微分环节（以一阶微分为例）1）传递函数2） 频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性对数幅频特性2)(1)A( KK)P(K)Q(2)(1log02)L(K奈氏图奈氏图BodeBode图图sincos)G(jjej srCesXsX)()(sG-)(6、延迟环节、延迟环节1）传递函数2） 频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性对数幅频特性1)A(cos)P(in-)Q(s01log02)L(奈氏图奈氏图5.3 系统开环幅相频率特性的绘制及奈氏判据开环幅相频率特性的绘制及奈氏判据5.3.1 开环幅相频率特性（奈氏图）的绘制开环幅相频率特性（奈氏图）的绘制开

16、环系统频率特性的一般形式为 njjvmiiKTjjjKjG11)1 ()()1 ()(开环系统的幅频、相频特性表示为：vnjjvmiiTKA1212)(1)(1)(90tantan)(1111vTjniimi 用不同的用不同的值分别代入以上各式，就可以逐点描绘系统的值分别代入以上各式，就可以逐点描绘系统的开环幅相特性。开环幅相特性。可用复数运算求得它的实频和虚频特性。可用复数运算求得它的实频和虚频特性。,绘制开环奈氏图的基本步骤：1、确定开环极坐标曲线的起点( )；2、确定开环极坐标曲线的终点( )；03、确定开环极坐标曲线与负虚轴与负实轴的交点；4、分析开环极坐标曲线的变化范围及特点；5、综

17、上，概略地绘出系统的开环极坐标曲线。00)0()( ,)()(A)0(0KjGv，型系统1、起点：起点与系统的类型有关，即与系统的积分个数有关。2)(,)(, 022180)(,)(, 22190)(,)()( 1vAvAvAv，型系统结论：结论：若系统有若系统有v v个积分环节，则开环幅相特性开始于相位个积分环节，则开环幅相特性开始于相位为为 ，幅值为，幅值为 的地方。的地方。 2v注意：注意：实际的起点可能在坐标轴的任意一边，这要用求渐近实际的起点可能在坐标轴的任意一边，这要用求渐近线的方法来确定。线的方法来确定。 即特性总是以顺时针方向趋即特性总是以顺时针方向趋于原点，并以于原点，并以

18、的角度终的角度终止于原点，如下图所示。止于原点，如下图所示。 0,11njjmiiTKAmn0)(,Amn2)(2)()(mnnm 2、终点：一般实际系统 2mn3 3、幅相特性与负实轴和虚轴的交点。、幅相特性与负实轴和虚轴的交点。特性与虚轴的交点的频率由下式求出特性与虚轴的交点的频率由下式求出 特性与负实轴的交点的频率由下式求出特性与负实轴的交点的频率由下式求出 如果在传递函数的分子中没有时间常数，则当如果在传递函数的分子中没有时间常数，则当由由0 0增大增大到到过程中，特性的相位角连续减小，特性平滑地变化。如过程中，特性的相位角连续减小，特性平滑地变化。如果在分子中有时间常数，则视这些时间

19、常数的数值大小不同，果在分子中有时间常数，则视这些时间常数的数值大小不同，特性的相位角可能不是以同一方向连续地变化，这时，特性特性的相位角可能不是以同一方向连续地变化，这时，特性可能出现凹部。可能出现凹部。 0)()(ImQjGK0)()(RePjGK例例5-1 5-1 已知单位负反馈系统的开环传递函数为已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ， ) 11 . 0)(1(10)(sssG试绘出系统的极坐标图。试绘出系统的极坐标图。解：解：)1 . 01)(1 (10)(jjjG分母有理化并整理得)01. 01)(1 (11)01. 01)(1 ()1 . 01 (10)(22222jjG实频特性2

20、201. 01110)(A1 . 0tantan)(11虚频特性幅频特性相频特性)01. 01)(1 ()1 . 01 (10)(222P)01. 01)(1 (11)(22Q1、起点当当 时，时， ， ， ， 。010)0(P0)0(Q10)0(A0)0(2、终点当当 时，时， ， ， ， 。0)(P0)(Q0)(A180)(3、与虚轴的交点令令 ，0)(P01 . 012即即 ，得得 ，13. 2101)(Q87. 2)(1Q取取 时的若干点，结果如下表所示：时的若干点，结果如下表所示： 00136104.40.101.600-5.4-3.0-2.87-1.10)(Q)(P代入代入 中得中

21、得10在在G（s）平面上绘出极坐标图如下图所示：）平面上绘出极坐标图如下图所示： 例例5-3 5-3 设开环系统的传递函数为设开环系统的传递函数为 , ,试绘出试绘出开环奈氏曲线。开环奈氏曲线。)1)(1 ()(21sTsTsKsG 解：解：)1)(1 ()(21TjTjjKjG)1)(1 ()()(22221221TTTTKP)1)(1 ()1 ()(222212221TTTTKQ22221211)(TTKA2111tantan90)(TT经分母有理化可得经分母有理化可得 幅频特性和相频特性为幅频特性和相频特性为这是这是型系统。型系统。 解解: : 1、起点、起点 当当 0时，可计算出时，可

22、计算出 ， ， ,显然当显然当=0时，时，G(j) 的渐近线是一条过实轴上的渐近线是一条过实轴上 点，且平行于虚轴点，且平行于虚轴的直线，即幅相曲线起始于负虚轴方向的无穷远处，它的渐近线是的直线，即幅相曲线起始于负虚轴方向的无穷远处，它的渐近线是)()0(21TTKP)0(A2)0(0)(P0)(Q0)(A23)(0)(Q )0(Q)(21TTK)()0(21TTKP 2. 终点终点 当当 时，时， ， ， ， 。 该系统该系统 m=0，n=3 ，故特性曲线的高频部分沿正虚轴方向趋于原点。，故特性曲线的高频部分沿正虚轴方向趋于原点。 3. 幅相曲线与实轴的交点幅相曲线与实轴的交点 令令 ，可得

23、，可得 ，将此，将此1值代入式值代入式P()表达式中，可得幅表达式中，可得幅相曲线与实轴的交点为相曲线与实轴的交点为 ，交点对应的频率为，交点对应的频率为 。 可以证明可以证明2111TT2121TTTKT)(212121TTKTTTKT 2111TT开环奈氏曲线如下图所示。开环奈氏曲线如下图所示。s)Ts)(1T(1sK212G(s) 45例图与虚轴的交点由此得出这时得令Nyquist )K(T)ImG(j T1 0)ReG(j )ImG(j)ReG(j)G(j -360)G(j 0|)G(j| -180)G(j |)G(j| 0 Tarctanarctan-180)G(j T1T1|)G(

24、j| )T)(1T(1)(j)G(j 21232121212222212212TTTTTKjjK0P()jQ()T(T G(s) 5512)1(1)sK(T21sTs例 -90)G(j 0| )G(j| -90)G(j | )G(j| 0)( )()( arctanarctan-90)G(j 1T1K| )G(j| )T(1)1 (T1)()G(j 2121222212222122221QTTKPTTTTTKjTTk5.3.2 Nyquist5.3.2 Nyquist稳定判据稳定判据)()()()()()(G(s)H(s)1 )()()()()()(s)()()()(G(s)H(s)(s)G

25、)()()(,)()()( . 12121212121212121k2211sNsNsNsNsMsMsNsNsMsMsNsMsNsNsMsMsNsMsHsNsMsG特征多项式为闭环传函为开环传函为右图所示系统，分别设辅助函数由此我们看到改写为将选取辅助函数 )()(F(s)F(s)()()()()()(G(s)H(s)1F(s) 11212121niiniipszssNsNsNsNsMsM(s)零点极点相同F(s)零点极点相同GK(s)零点极点F(s)有如下特点：有如下特点：(1)其零点和极点分别是闭环和开环特征根；其零点和极点分别是闭环和开环特征根；(2)零点和极点的个数相同（均为零点和极点

26、的个数相同（均为N个）；个）；(3)F(s)和和G(s)H(s)只差常数只差常数1，相当于在坐标平面上平移一个单位。，相当于在坐标平面上平移一个单位。不包围原点表示次顺时针包围原点表示次逆时针包围原点表示之差，与为次数包围原点的过的圈数曲线绕其原点反时针转平面上，一圈时，在运动以顺时针方向沿当点这种情况下的任何极点与零点。在不通过而内平面的封闭轨线布在的全部极点与零点均分以及零点数目其中包括重极点与重的零点数目为极点数目为函数。又设为单值连续平面的有限个奇点外除在是复变量的多项式之比设、幅角原理FFFsFsFssFssFsFZsFPssFsss 0NN 0NN 0NZ-PN ZP)(N)()(

27、 ,)( ,)( ), ()(,)(,)( 2的相位角变化。即向量复数路线变动时的按图表示这里的变化的相位角了这个变化造成回到点点出发沿它从的变化也相应这样变化时回到原来的位置。当一圈顺时针转绕从这点移动使上选择点在有关幅角定理的说明)(,(a)s)iz-(s )np-(s-)1p-(s-)nz-(s)1z-(sF(s) )np-(s)1p-(s)nz-(s)1z-k(sF(s) )()(,B,F(s), :ssizssFsFBFsizsAFReImF(s)B(b)jwSA.ZiSA.Zis(a)2)2(0)jp-(s0F(s)OF(s)F(s)kpF(s)AssOBF(s)F(s)F(s)s

28、s2)z-(sF(s) )iz(i反时针转一圈。曲线绕其原点平面上，顺时针转一圈时，在的某个极点开始，绕着平面从同理，当方向转过一圈。顺时针点绕其原点平面上从曲线在一圈时，的零点顺时针转平面上绕点在说明：当任一零。故外，右端其余各项均为上式中，除sFReImF(s)B(b)jwSA.ZiSA.Zis(a) (3)(2),(1),r(3),-(2)(1), sF(s)ZPssssrs 3面。段就封闭了整个右半平因此的趋于无穷大的圆弧组成段由半径虚轴组成的整个到两段是由右图中。平面的极点数和零点数位于就分别表示辅助函数和幅角原理表达式中的也叫奈氏路径。平面。这样的封闭曲线右半个就扩大为包括虚轴的整

29、，那么取为封闭曲线为无穷大的右半圆平面虚轴和半径如果把稳定判据、Nyquist到平面的象。平面虚轴无穷远点映射的象是原点，这恰好是平面映射到通过为无穷的半圆取值时，沿最高次幂，当最高次幂总大于分子的，开环传递函数分母的此外，由于物理系统中。）点反时针转过的圈数，曲线绕（就是开环传递函数的圈数曲线绕原点反时针转过的第三个特点，鉴于辅助函数s(s)KG(s)KGrs0 j1(s)KGNF(s)F(s) 点。不包围时变到本从当的开环频率响应平面上条件为则闭环系统稳定的充要即平面左半部的全部极点均分布在若半部的极点数目平面右位于为开环传递函数其中次包围按逆时针方向时变到本从当频率响应平面上的开环件是闭

30、环系统稳定的充要条)0, 1(, ),)H(jG(j )H(jG(j :0,P,sG(s)H(s) .sG(s)H(s),)0, 1(,),)H(jG(j)H(jG(j: jPPj奈氏判据：奈氏判据： 反馈控制系统稳定的充要条件是奈氏曲线反时针包围临界反馈控制系统稳定的充要条件是奈氏曲线反时针包围临界点点(-1,j0)的圈数的圈数R等于开环传递函数在右半等于开环传递函数在右半s平面的极点数平面的极点数P，即，即RP，Z0；否则闭环系统不稳定，；否则闭环系统不稳定，Z0，存在闭环正实部的，存在闭环正实部的特征根，闭环正实部特征根的个数特征根，闭环正实部特征根的个数Z可按下式确定可按下式确定 ZP

31、R例例5-65-6 已知单位反馈系统，开环极点均在已知单位反馈系统，开环极点均在s平面的左半平面，平面的左半平面，开环频率特性极坐标图如图所示，试判断闭环系统的稳定开环频率特性极坐标图如图所示，试判断闭环系统的稳定性。性。 解解: 系统开环稳定，即P=0。 从图中看到：由-+变化时，G(j) H(j)曲线不包围(-1，j0)点，即R=0，Z=P-R=0，所以，闭环系统是稳定的。例例5-8 5-8 系统开环传递函数为 没有极点位于右半s平面，P=0。试判断闭环系统的稳定性。0, 00,)1)(1 ()(2121TTKsTsTKsGK，)1)(1 ()1 ()(222212212TTTTKP)1)

32、(1 ()()(22221221TTTTKQ解：解： 实频特性实频特性 虚频特性虚频特性 开环系统右半开环系统右半 s 平面的极点数为平面的极点数为0。当。当从从 时，奈氏曲时，奈氏曲线不包围线不包围(1， 0 )点，即点，即 R 0。 Z P R000，故闭环系统稳定，在右半，故闭环系统稳定，在右半 s 平面没有根。平面没有根。0)0(,)0(0QKP时，当0)(, 0)(QP时，当。概略绘制开环系统频率特性的极坐标如右图所示。概略绘制开环系统频率特性的极坐标如右图所示。与负虚轴的交点：令与负虚轴的交点：令P ()=0，可解得，可解得 。代入。代入Q()中可解得中可解得211TT2121)(

33、TTTTKQ例例5-9 5-9 系统开环传递函数为 没有极点位于右半s平面，P=0。试判断闭环系统的稳定性。值较大，且K0,)1)(1 ()(21KsTsTsKsGK)1)(1 ()()(22221221TTTTKP)1)(1 ()1 ()(222212212TTTTKQ 实频特性实频特性 虚频特性虚频特性 开环系统右半开环系统右半 s 平面的极点数为平面的极点数为0。当。当从从 时，奈氏曲线以时，奈氏曲线以顺时针包围顺时针包围(1， 0 )点点2圈，即圈，即 R 2。 Z P R0(2)2，Z0 ，故闭环系统不稳定，在右半，故闭环系统不稳定，在右半 s 平面有平面有2个根。个根。)0(),(

34、)0(021QTTKP时，当0)(, 0)(QP时，当解：解：。概略绘制开环系统频率特性的极坐标如右图所示。概略绘制开环系统频率特性的极坐标如右图所示。与负实轴的交点：令与负实轴的交点：令Q ()=0，可解得，可解得 。代入。代入P()中可解得中可解得211TT)()(21TTKP由奈氏判据判断系统稳定性的一种简易方法 用奈氏判据判断反馈系统的稳定性时，一般只需绘制用奈氏判据判断反馈系统的稳定性时，一般只需绘制从从0到到 时的开环幅相曲线，再加上正实轴后形成封闭曲线，然时的开环幅相曲线，再加上正实轴后形成封闭曲线，然后按其包围后按其包围(-1,j0)点的圈数点的圈数R(反时针方向包围时为正，顺

35、时针反时针方向包围时为正，顺时针方向包围时为负方向包围时为负)和开环传递函数在右半和开环传递函数在右半s平面上的极点数平面上的极点数P，再，再根据公式根据公式Z P 2R确定闭环特征方程在右半确定闭环特征方程在右半s平面上的根的个数。如果平面上的根的个数。如果Z0，闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。 如果开环系统传递函数包含如果开环系统传递函数包含v v个积分环节，则绘制开环幅相个积分环节，则绘制开环幅相曲线后应从曲线后应从0 0对应的点开始，反时针方向补画对应的点开始，反时针方向补画v/4v/4个半径为个半径为无穷大的圆。但圆随无穷大的圆。但圆随增大的方向是

36、顺时针的。增大的方向是顺时针的。例例5-10 5-10 设型系统的开环频率特性如下图(a)所示，开环系统在右半s平面上没有极点，试用奈氏判据判断系统稳定性。解：由于系统是由于系统是型系统，需要从幅相曲线型系统，需要从幅相曲线0 对应的点反时针补对应的点反时针补画画1/4个半径趋于无穷大的圆，如下图个半径趋于无穷大的圆，如下图(b)中虚线部分。由幅相曲线看到曲线中虚线部分。由幅相曲线看到曲线没有包围没有包围(-1,j0)点，故点，故R0。又因为开环系统在右半又因为开环系统在右半s平面上没有极点，即平面上没有极点，即P0，因此闭环特征方程，因此闭环特征方程位于右半位于右半s平面上的根的个数平面上的

37、根的个数 Z=P-2R=0-2Z=P-2R=0-20 00 0故闭环系统稳定。故闭环系统稳定。(a)型系统的开环幅相曲线型系统的开环幅相曲线(b)补画后的补画后的系统的开环幅相曲线系统的开环幅相曲线例例5-11 5-11 一单位反馈一单位反馈系统，其开环传递函数为 ,)1 ()(2TssKsGK试用奈氏判据判断系统稳定性。解：这是一个这是一个型系统，开环幅相型系统，开环幅相曲线如下图曲线如下图(a)(a)所示。图中虚线是按所示。图中虚线是按v v2 2从幅相曲线从幅相曲线0 对应的点反时针方向对应的点反时针方向补画的半径趋于无穷的半圆。补画的半径趋于无穷的半圆。由幅相曲线看到，曲线顺时针包围由

38、幅相曲线看到，曲线顺时针包围(-1,j0)点一圈，即点一圈，即R1，而开环传递函，而开环传递函数在右半数在右半s平面上的极点数为平面上的极点数为0，即，即P0，因此闭环特征方程在右半，因此闭环特征方程在右半s平面上的根平面上的根的个数的个数 Z=P-2R=0-2Z=P-2R=0-2(-1)(-1)2 2故闭环系统不稳定。故闭环系统不稳定。例例5-12 5-12 系统 ,) 12)(1(14)(2sssssGK解：绘制奈图如下：绘制奈图如下： P=0, R=-1, Z=P-2R=0-2P=0, R=-1, Z=P-2R=0-2（1 1）2020 系统一定不稳定，并有两个闭环极点在系统一定不稳定，

39、并有两个闭环极点在s平面的右半部。平面的右半部。试由奈氏判据判断系统稳定性。5.4.1 Bode5.4.1 Bode图的绘制图的绘制例：例： 一系统开环传递函数为一系统开环传递函数为求得频率特性为求得频率特性为221212( )20lg( )20lg20lg20lg()120lg()1( )0( 90 )arctan()arctan()LAKTTTT 5.4 5.4 系统开环对数频率特性的绘制系统开环对数频率特性的绘制 及对数稳定判据及对数稳定判据2121)1)(1 ()(TTsTsTsKsGK对数幅频特性具有如下特征：对数幅频特性具有如下特征：1、对数幅频特性是下降的，表明系统具有低通滤波性

40、能；2、对数幅频特性的渐近线的斜率都是 的整数倍，“”对应惯性环节和振荡环节，“+”对应一阶和二阶微分环节；3、最小相位系统对数幅频特性与相频特性是一一对应，且唯一确定的；4、曲线低频段的高度和斜率取决于比例环节K的大小和积分环节的数目 ;5、只要过(1,20lgK)做斜率为 ，即可得到低频段的渐近线；6、转折频率处，渐近线的斜率发生变化，改变多少取决于典型环节的种类。decdB/20decdB/20绘制步骤：绘制步骤：1 1、将开环传递函数写成典型环节乘积的形式，并将这些典型环节的、将开环传递函数写成典型环节乘积的形式，并将这些典型环节的传递函数化成如下所示的标准形式，即各典型环节传递函数的

41、常数项传递函数化成如下所示的标准形式，即各典型环节传递函数的常数项为为1 1。)21()1()21()1()j (K)(jG 22112211K2121lllnljnjkkkmkimiTjTTjjj 2、确定K值、 值和各环节的交接频率 并将交接频率从小到大标注在角频率轴上。lljjkkiiTT1,1,1,1 3、绘制对数幅频特性的低频渐近线。 把0时的对数幅频特性称为对数幅频特性的低频渐近线 低频渐近线的方程为 当1时，L(1)=20logK(dB)。由此可绘出过1，L(1)=20logK(dB) 点的斜率为20dB的一条直线，即为低频渐近线。4、以低频渐近线作为分段直线的第一段，从低频端开

42、始沿频率增大的方向，每遇到一个交接频率改变一次分段直线的斜率 当遇到一阶微分环节转折频率 时，斜率增加20dB/dec； 当遇到一阶微分环节转折频率 时，斜率增加40dB/dec； 当遇到惯性环节转折频率 时，斜率增加20dB/dec； 当遇到振荡环节转折频率 时，斜率增加40dB/dec；log20log20)(log20)(KALikjl5、高频渐近线，其斜率为decdBmn/)(20n为极点数，m为零点数 6、相频特性按描点的方法绘制。 - 必要时可利用渐近线和精确曲线的误差表, 对交接频率附近的曲线进行修正, 以求得更精确的曲线。 系统开环对数幅频特性L()通过0dB线，即 时的频率

43、称为穿越频率。穿越频率 是开环对数相频特性的一个很重要的参量。 1)(或0)(ccALcc绘制开环系统对数相频特性时，可分环节绘出各分量绘制开环系统对数相频特性时，可分环节绘出各分量的对数相频特性，然后将各分量的纵坐标相加，就可的对数相频特性，然后将各分量的纵坐标相加，就可以得到系统的开环对数相频特性。以得到系统的开环对数相频特性。 - 也可以利用相频特性函数也可以利用相频特性函数() 直接计算。直接计算。例例5-14 5-14 绘制系统开环传递函数为 的系统Bode图。)20)(1()2(100)(sssssGK解：解：2 2、K K1010，1 1，交接频率，交接频率 。, 25 . 01

44、23、低频渐近线的斜率为20dB/dec=-20dB/dec。 当1时，L()=20logK20dB。即低频渐近线的斜率为-20，且过点(1，20)。 当1时，斜率变为40dB/dec； 当2时，斜率变为20dB/dec；1 1、将G(s)中的各因式写成典型环节的标准形式，即) 105. 0)(1() 15 . 0(10)(sssssG, 11.2005. 013 当20时，斜率变为40dB/dec；4、时，对数频率特性的高频渐近线的斜率为 (n-m) 20 dB/dec 40dB/dec。 05. 0tantan5 . 0tan90)(11100时，时， (0)=-90 (0)=-90； 时

45、，时，()=180则控制系统的Bode图如下图所示： 例例5-15 5-15 设开环系统的频率特性为设开环系统的频率特性为 试绘制用分段直线表示的对数幅频特性。试绘制用分段直线表示的对数幅频特性。)05. 01)(125. 01)(101 ()()1001 (10)(223jjjjjjGKK 10，v 2，各个环节的交接频率:1=1/100=0.01， 2=1/10=0.1， 3=1/0.125=8， 4=1/0.05=20 。 解：解： 2. 低频渐近线的斜率为 20 v dB/dec 40dB/dec 。 当1时，低频渐近线的坐标，L (1)20 log 103 60dB，即低频渐近线过点

46、(1，60)。 3. 当 =1=0.01时，斜率变化为 0 dB/dec； 当 =2=0.1时，斜率变化为20 dB/dec ； 当 =3= 8时，斜率变化为40 dB/dec； 当 =4=20时，斜率变化为60dB/dec 。 这五段直线 即是系统的近似对数幅频特性。4. 由于最小的交接频率由于最小的交接频率0.01，分段直线近似表示的第一段，分段直线近似表示的第一段只包括只包括0.01那一部分的低频渐近线。所以，当那一部分的低频渐近线。所以，当 1时，分时，分段直线的纵坐标值不等于段直线的纵坐标值不等于20 logK(但其延长线的纵坐标值在但其延长线的纵坐标值在 1时等于时等于20 log

47、 K) 。时，对数频率特性的高频渐近线的斜率为时，对数频率特性的高频渐近线的斜率为 (n-m) 20 dB/dec 60dB/dec。 近似对数幅频特性如图所示。近似对数幅频特性如图所示。1、最小相位传递函数2、非最小相位传递函数在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数3、最小相位系统4、非最小相位系统具有最小相位传递函数的系统具有非最小相位传递函数的系统5.4.3 最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统例如例如:最小相位系统和非最小相位系统的传递函数分别为最小相位系统和非最小相位系统的传递函数分别为1111)(sTsTsG1211)

48、(sTsTsG式中式中 .10TT 1111)(TjTjjG1211)(TjTjjG则则二者的零二者的零-极点分布如下图所示。极点分布如下图所示。jT111T11TjT1两者幅频特性相同两者幅频特性相同212222111)()(TjTjjGjG而相频特性却不同，且而相频特性却不同，且0)()(21jGjG参见下图参见下图.Bode DiagramFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)-20-15-10-5010-210-1100101102-180-135-90-450非最小相位系统 最小相位系统 相同的幅值特性在具有相同幅值特性的系统中，最小

49、相位传递函数（系统）的相角范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范围，都大于最小相位传递函数的相角范围 最小相位系统，幅频特性和相频特性之间具有唯一的对应关系。这意味着，如果系统的幅频曲线在从零到无穷大的全部频率范围上给定，则相频曲线被唯一确定这个结论对于非最小相位系统不成立。 反之亦然 表5-1 最小相位系统幅频、相频对应关系j19001800Tj112)(122TjjT)90(0m1jniijT1) 1(1900 )90(0nmiij1) 1(19090环 节幅 频相 频-20dB/dec-20dB/dec0dB/dec-20dB/dec0dB/dec-40dB/de

50、c0dB/dec20dB/dec0dB/decn(-20)dB/dec0dB/decm(+20)dB/dec 根据系统的对数幅频特性渐进曲线确定最小相位系统的开根据系统的对数幅频特性渐进曲线确定最小相位系统的开环传递函数的基本步骤：环传递函数的基本步骤：1 1、确定系统开环传递函数中积分或微分环节的个数、确定系统开环传递函数中积分或微分环节的个数和开环放大倍数和开环放大倍数K K。 特性低频段的斜率为-20dB/dec，低频段或其延长线在=1 时对应的对数幅值L()=20lgK。 2 2、确定系统开环传递函数的结构形式。、确定系统开环传递函数的结构形式。 从低频到高频对数幅频特性渐近线的斜率变

51、化和转折频率的大小为所含环节的类型和参数(斜率变化-20dB/dec，对应惯性环节；斜率变化-40dB/dec对应二阶振荡环节；斜率变化20dB/dec，对应比例微分环节；斜率变化40dB/dec对应二阶微分环节。转折频率的倒数即为时间常数)。 3 3、由给定条件确定传递函数的参数。、由给定条件确定传递函数的参数。 例例5-17 5-17 已知开环系统的近似对数幅频曲线如图所示。试写出该系统传递函数G(s)H(s)。解：(1)曲线的低频段的渐近线的斜率为0 ，故由特性斜率=-20v=0知，v=0,系统不含一个积分环节，为0型系统。 又为1时最左端直线的纵坐标为20dB，由式 (2)转折频率：从

52、图中可见各转折频率为 1=1， 2=2， 3=4， 4=10， 当= 1=1 时，近似特性从0变为20dB/dec，故1是惯性环节的交接频率。 当= 2=2时，近似特性从20dB/dec变为40dB/dec，故2也是惯性环节的交接频率。20lg20K可求得比例环节K10。 当= 3=4时，近似特性从40dB/dec变为20dB/dec，故4是一阶微分环节交接频率。 当= 4=10时，近似特性从20dB/dec变为40dB/dec，故10也是惯性环节交接频率。 综上可得系统的开环传递函数为)1101)(121)(1()141(10)()(sssssHsG) 11 . 0)(15 . 0)(1()

53、 125. 0(10ssss 例例5-18 5-18 已知某最小相位系统的近似对数幅频曲线如图所示，试确定系统的传递函数G(s)H(s)。解：(1)曲线的低频段的渐近线的斜率为-20 ，故由特性斜率=-20v=-20知，v=1,系统含积分环节，为型系统。 (2)转折频率：从图中可见各转折频率为 当= 1=5 时，近似特性从-20变为40dB/dec，故5是惯性环节的交接频率。 当= 2=10时，近似特性从40dB/dec变为20dB/dec，故10是比例微分环节的交接频率。 当= 3=120时，近似特性又从20dB/dec变为40dB/dec，故120也是惯性环节的交接频率。1=5， 2=10

54、， 3=120。 综上可得系统的开环传递函数为)11)(11()11()()(312ssssKsHsG1)(cjG 且对数频率特性在 时穿越零分贝线，即 ，精确求得K=106.4，近似取K=100。)10083.0)(12 .0()11 .0(100)11201)(151()1101(100)()(sssssssssHsG50c故系统的传递函数为。正穿越次数记为穿越故称正将产生正的增量伴随这种穿越的相移因为线段一次的必从上而下穿越负实轴则一周方向包围开环频率响应按逆时针正穿越正负穿越的定义线图的相频特性的对应图的负实轴横轴以上区域对应单位圆外图的横轴对应图的单位圆图的对应关系图与N,)H(jG

55、(j ,)(-1,-)H(jG(j,j0)(-1,: 2. Bode -180)H(jG(j Nyquist c. 0 )20lgA(| )( 1| )H(jG(j| b. 0 )20lgA(| )( Bode 1 )A(| )H(jG(j| Nyquist a. Nyquist1.Bode LL 5.4.4 5.4.4 对数频率稳定判据对数频率稳定判据线从上而下穿越频段上图在对应。负穿越的次数记为上的负穿越线段上产生一次从下而在则点一周方向包围开环频率响应按顺时针负穿越线从下而上穿越频段上图在对应 )H(jG(j , 0| )H(jG(j|20lgBode N,), 1()()( ,)0,

56、1( :- )H(jG(j , 0)(20lg)(Bode jHjGjAL，不稳定。，闭环系统稳定；否则确定，即线的正负穿越次数之差对数相频曲线与，正值的所有频率范围内和开环对数幅频特性为函数右半平面极点数，可以根据开环传递数闭环特征方程正实根个一个反馈控制系统，其对数稳定判据0Z2NPZ NNN180PZ. 3系系统统稳稳定定。次次数数差差为为零零显显然然正正负负穿穿越越,例：例：曲线的一部分。数相频应将补上的虚线看成对计算正负穿越次数时，是积分环节个数。这里的虚线到时的这时需补画一条从至变化从变化时由在分环节时当开环传函含有串联积说明 ,)0)H(j0G(j900 . )(j1G90 90

57、,0 )H(jG(j :)(s1G(s)H(s) 1vvvsG 例例5-205-20 一反馈控制系统，其开环传递函数为 ，试用对数频率稳定判据判断系统稳定性。)1 ()(2TssKsGK 解：解：系统的开环对数频率特性曲线如下图所示。系统的开环对数频率特性曲线如下图所示。GK(s)有两个有两个积分环节，故在对数相频曲线积分环节，故在对数相频曲线为为0处，补画了处，补画了0到到180的虚线，作为对数相频曲线的一部分。显见的虚线，作为对数相频曲线的一部分。显见 N0，N1。N N N 1 根据根据 GK(s) 表达式知道，表达式知道，P 0。由于由于 Z P 2 N 2，故系统不稳，故系统不稳定，

58、闭环特征方程在右半定，闭环特征方程在右半 s 平面的根平面的根数为数为2。 例例5-215-21 一反馈控制系统，其开环频率特性如图所示，试判断闭环系统的稳定性,P=0。 解：解：因为因为2 2，故如图中虚线所示在对数相频特性的低频段曲，故如图中虚线所示在对数相频特性的低频段曲线上补作线上补作0到到180的虚线，作为对数相频曲线的一部分。当的虚线，作为对数相频曲线的一部分。当c 时有时有L（）0，且在此频率范围内，且在此频率范围内，（）穿越）穿越180 180 线一次，且为自上向下穿越。线一次，且为自上向下穿越。 显见显见 N0，N1。N N N 1 已知已知P 0， Z P 2 N 2，故，

59、故系统不稳定，闭环特征方程在右半系统不稳定，闭环特征方程在右半 s 平面的根数为平面的根数为2。5.4.5 非单位反馈系统和多回路系统的稳定性分析非单位反馈系统和多回路系统的稳定性分析 如下图a所示的非单位反馈系统，可将其闭环系统传递函数写为：)()(1)(1)()(1)()(1)()(ssHsGsGsHsHsGsGsKK式中，GK(s)G(s)H(s)为开环系统的传递函数。非单位反馈系统可以看成是传递函数为 的环节和开环传递函数GK(s)的单位反馈闭环系统所组成。如图b所示。)(1sH 当环节 和单位反馈闭环系统 都是稳定时，图a所示的非单位反馈闭环系统才是稳定的。 的稳定性可由奈氏判据判别

60、。)(1sH)(s)(s 判别多回路系统稳定性时，首先应判别其局部反馈部分判别多回路系统稳定性时，首先应判别其局部反馈部分( (即内环即内环) )的稳定性。的稳定性。 如上图所示，内环为非单位反馈时应按上述方法分析。然后根据内环部分在右半s平面的极点数和整个控制系统其余开环部分在右半s平面的极点数判别整个控制系统的稳定性。多环控制系统需多次利用奈氏判据才能最后确定整个系统的稳定性。 奈氏判据是根据开环系统的频率特性来判别闭环系统的稳定性。对于实际系统，应将其化为可应用奈氏判据的形式，然后再进行判别。 给定输入作用下的系统和扰动输入作用下的系统，均可应用奈氏判据。对于复合控制系统，只有当开环部分