利用对称点解三角形中的格点问题

1、 利用对称点解三角形中的格点问题 （本讲适合初中）如果三角形的三个角的度数都是的整数倍，三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后，得到的所有的角也都具有这个性质，我们称这样的点为三角形中的格点求解三角形中的格点问题，常可利用对称点利用对称点求解三角形中的格点问题，方法简单易行，解法简洁巧妙，题面新颖有趣，是学生巩固知识，培养能力，陶冶情操，提高素质的宝贵资料 证明对称点常用的方法大家知道，把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴根据对称点的定义不难知道，欲证两点、关于线段所在的直线

2、对称，只要证明即可不过，在证明对称时，只须摆明条件，而不必特别指明两个三角形的全等关系例 在中，为的平分线上一点，求的度数解：如图，设的平分线交于，连 图 显然，平分，而平分，即为的内心可知MDC60有故点与点关于对称则这里证得“点与点关于对称”是根据“角、边、角”例 在中，为形内一点，求的度数 解：如图，以为一边在外作正连由，可知有点与点关于对称得 由，可知易知，可知点与点关于对称有则这里证出“点与点关于对称”是根据“边、边、边”，证出“点与点关于对称”是根据“边、角、边”综上可知，证明两个点关于某线段所在直线对称，是一件很容易做的事情而且熟练以后，更可能节省些笔墨明确了这一点，我们就要积极

3、、主动地创造条件，注意利用对称点 在哪些情况下应想到使用对称点三角形中的格点问题，经常会给出或求证角平分线，这是使用对称点的最方便的条件，换言之，在题目给出或求证角平分线时，要想到使用对称点例 在中，为的平分线上一点，求的度数解：如图，在延长线上取一点，使连、图 由平分，可知点与点关于对称有由（），可知为正三角形有在中，由，可知有在中，由，可知则这里由平分，想到在延长线上取一点，使，则点为点关于的对称点这是取对称点的最简单、最基本的方法例 在中，为形内一点，求的度数解：如图，设交于，过点作的垂线交于连图 由，可知为的中垂线由，可知，由，可知有点与点关于对称则 这里注意到是的平分线，故想到在上取

4、点，使，则点为点关于的对称点为此想到满足条件的点，恰为中垂线与的交点。又由，想到与的交点应为中垂线上的另一点于是，我们选择了如上的方法找到点关于的对称点例在中，,为形内一点，20求的度数解：如图，设的中垂线分别交、于、，为垂足连、图 由，可知点与点关于对称有由，可知有、三点共线则这里注意到是的的外角平分线（这一点并不引人注目），在延长线上取一点，使，则点为点关于的对称点为此我们通过的中垂线，把“翻折”到的位置，是非常恰当的例 在中，50，为形内一点，,20求的度数解：如图，过点作的垂线交延长线于连图 由，可知点与点关于对称又由，有于是，由，可知平分有点与点关于对称则 （）这里从准确的图形我们能

5、够猜想，或说点与点的对称轴经过点由于图中没给出对称轴，我们通过的中垂线，将直线“翻折”到位置，从而解决了的平分线的问题处理是巧妙的综上我们讨论了在图形中出现角平分线时应想到使用对称点当图形中缺角平分线时，也要设法调整图形，使角平分线及时“出现”，为确定对称关系提供方便 如何选择对称点的位置恰当地选择对称点，能够使图形出现更多的特殊性，能够使图形具有更多的好性质，能够使求解来得方便，简捷，新颖，巧妙为此，选择对称点时，应当以能够出现特殊图形为原则 让对称点落在某线段的中垂线上例 在中，为形内一点，求的度数解：如图，以为一边在形内一侧作正连、图 由，可知点为的外心于是，有，由RCB20，可知有为的

6、中垂线，且 80由，可知点与点关于对称有这里以为一边在形内一侧作正，实质上就是找到了点关于的对称点，由于点在的中垂线上，使求解很方便 让对称点落在某三角形的外接圆上例 在中，ABC，ACB，为形内一点，PBC，PCB10求的度数解：如图，设点为点关于的对称点连、图 在中，由，可知有、四点共圆由平分，可知易知为正三角形，有则，即点为的外心故这里，点关于的对称点恰好在的外接圆上，使圆内接四边形的性质能在求解中发挥作用可见在选择对称点时，能使其位于某三角形的外接圆上，也是很理想的 让对称点与另一点的某个对称点重合例 在中，40，为形内一点，30求的度数解：如图，设点为点关于的对称点连、图 由，可知，

7、PDAPCB，则PDC为正三角形由，可知由，可知为正三角形有由，可知点与点关于对称故这里寻到的点是点关于的对称点，也是点关于的对称点理想的巧合，使解法很漂亮以上三例分别说明了选择对称点的常见的目标，当然还会有其他的目标对这些情况的深入研究，能使我们熟悉和喜欢利用对称点解题，即使在较复杂的问题中，也能顺其自然，轻松流畅地寻出理想的解法来例 在中，为形内一点，RAC20求的度数解：如图，设点为点关于的对称点，点为点关于的对称点连、图 易知EDA为正三角形，有在中，易知，可知有、三点共线得，且 在中，由，可知由、可知点与点关于对称则这里，先是将沿向上翻，然后又将沿向上翻，这一翻再翻，构造出等腰DBC、正、等腰，证出点与点关于对称，也就求出了其间巧取对称，真是奇妙例 在中，为形内一点，求的度数解：如图，过点作的垂线交延长线于在延长线上取一点，使连、图 由，可知点与点关于对称有由，可知有点与点关于对称得则易知为正三角形，有由，可知则易知可知，即得故 这里，一是将向上翻，二是将向下翻，这上翻下翻构造了正，等腰，以点为外心的，两个全等的等腰 和其间，巧用对称，堪称一绝三角形中的格点问题，为对称点的使用提供了广阔的空间，只要我们潜心研究，科学归纳，总会有新的规律被发掘和利用练习题题号在ABC中P为形内一点,求出下面空格中的角的度数答案ABCACBPBCPCBPAB 1 102 103 104