第04讲相对运动

1、第四讲 相对运动 一相对运动 如果一列火车火地汽火狗汽狗地VVVV1原则 1)CDBCVVABADVV2)BAABVV2作图解题 例： 一只船以4m/s的速度船头向正东行驶，海水以3m/s的速度向正南流，雨点以10m/s的收尾速度竖直下落。求船中人看到雨点的速度1.列式水人地水雨地雨人VVVV水地地水VV,人水水人VV2。作图：如右图3。计算smBCDCBD/5432222smBDABAD/555102222smV/55雨人方向可用BDC和ADB来表示A 例： 甲、乙两车都以4m/s沿互成60的两条公路行驶，甲离叉口48m时，乙离叉口24m。问两车何时最近，相距多远？解：列式地乙甲地甲乙v v

2、v作图 :如右图smv/4甲乙乙不动，显然是甲到E处时离乙最近 svEt9436/甲乙甲甲E=36m(甲D方向) 例： 顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凸轮M推动，凸轮绕O轴以匀角速 ，在图示的瞬间，OA=r，凸轮上缘与A接触处法线n与OA之间的夹角为，试求此时顶杆AB的速度解：轮地轮地vvvAA rv轮地(水平向左)?Av轮（向切线右上）?地Av（竖直向上）tantanrvvA轮地地 一辆邮车以u=lOms的速度沿平直公路匀速行驶在离此公路d=50m处有一个邮递员，当他与邮车的连线和公路的夹角为=tg-1(1/4)时开始沿直线匀速奔跑已知他奔跑的最大速度为5ms试问： (1)他应向什么

3、方向跑，才能尽快与邮车相遇? (2)他至少以多大的速度奔跑，才能与邮车相遇?(1)以邮车为参照系，邮递员欲在最短时间内与邮车相遇，其相对速度必须指向邮车，且应以最大速度v=5ms奔跑由相对运动公式可知车地人车人地vvv在如图的矢量三角形中车地v的大小和方向都是确定的，人地v的大小确定(5ms)、方向可变，人车v(指向车)、大小可变以O点为圆心，以人地v的大小为半径人车v的平行线交于B、C两点，OB便是人车v在三角形AOB中，用正弦定理sinsin人地车地vv已知,41tan即,171sin代入上式可得172sin所以当邮递员以最大速度5m/s，沿着与公路的夹角的方向确定作圆，与的方向)172(

4、sin)41(tan11(2)不管邮递员以多大速度、沿着什么方向奔跑，他要与邮车相遇，则式必须成立即有他能以最小的速度 时间里与邮车相遇。的方向奔跑时，就能在最短沿着与公路的夹角为的方向奔跑时，车地人地vvsinsin)/(sin1710sm当2时，人地v有极小值sm/1710。所以，当邮递员2)41(tan1sm/1710与邮车相遇。 一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右做加速度为a的匀加速运动在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动(如图)当半圆柱体的速度为v时，杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为，求此时竖直杆运动的速度和加速度(1)取半圆柱体作为参照系在此参照系

5、中，P点做圆周运动，即的方向沿着圆上P点的切线方向根据题意，P的方向是竖直向上的因为柱地杆柱杆地vvv所以可画出矢量三角形PAB，由此可知tantanvvv柱地杆地(2)在半圆柱体参照系中，P点的加速度由切向加速度和法向加速度构成，即ntaaa杆柱其中222cosRvRvan杆柱由相对运动公式，可知柱地杆地aaaant式的矢量图如图所示将式中的各矢量向半径方向上投影，可得acossinnaa杆地柱地221tancoscosvaaR 杆地柱地23tancosvaR此方法重要！ 一个线轴，轮和轴的半径分别为R和r，现在已v的速度将缠绕在轴上的线水平拉出，已知线轴和地面之间无滑动，求：线轴运动的速度

6、v0（向哪里？）地手手地OOvvv,vvrRvRr 手地vrRRRvO地 例：x-y平面上有一个圆心在坐标原点、半径为R的圆，在y轴上放有一根细杆，从t=0时开始，细杆以速度v0朝x轴正方向匀速平动试求细杆与第一象限的圆的交点的向心加速度与时间t的关系解1：速度分解法：因为细杆与圆的交点的运动方向总是与圆相切 的，所以交点的速度cos/0vv )/(22020RtvRv)/(22022202tvRRvv向心加速度Rva/2)/(220220tvRRv 解2 微元法：在三角形ABC中，BCA=，AB=v0，CB=vtRtvRBCAB202)(以下同解1 例： 如图所示，细杆OM绕O轴以角速度转动

7、，并推动套在杆和钢丝AB上的小球C沿AB运动O轴与AB的距离为OD=d，试求小球与D点距离为x时，小环沿AB滑动的速度和沿OM滑动的速度解1：222xdlvddxxddxdvv2222222)/(cos/dxxdvv222tan解2：tLAB 22dxLtvBCOM tvACAB可得和解1相同结果， 例： 如图所示，在xy平面上有两个半径均为R的圆，左圆圆心固定在坐标原点O，右圆圆心O沿x轴以速度v0作匀速直线运动，t=O时刻两圆心重合，试求两圆交点之一P点的速率v和向心加速度an、切向加速度at各与时间t的关系。解1：因左圆固定，因此焦点P的方向与左圆相切，设为v，因为21OOxp,021v

8、vxcos/xvv ,)2(sin01Rtv v Rvan2TnTaaa0sincos 有解2：也可用微元法求v（下图） 例： 如下图，v1、v2、已知，求交点的v0.解1：在AAO中算出OA在OBB中算出OB（=AO）在中算出解： 速度叠加法令1不动，交点在1上的速度 v2A=v2/sin;令2不动，交点在2上的速度v1A=v1/sinAAvvv210sin/cos22122210vvvvv 例： 图中的AC、BD两杆均以角速度绕A、B两固定轴在同一竖直面内转动，转动方向如图示当t=O时，=60，l已知，试求t时刻两棒交点M点的速度和加速度 解：t=0时，ABM为等边三角形，因此AM=BM=l，它的外接圆半径R=OM=l二杆旋转过程中，角增大的角度一直等于角减小的角度，所以M角的大小始终不变(等于60)，因此M点既不能偏向圆内也不能偏向圆外，只能沿着圆周移动，因为MOM和MAM是对着同一段圆弧(MM)的圆心角和圆周角，所以MOM=2MAM，即M以2的角速度绕O点做匀速圆周运动，