第7章 非线性控制系统分析

1、第七章第七章 非线性控制系统分析非线性控制系统分析)(1xxxxx2 0 x dt1xxdx )(t00t0exx1extx )(0 xxx12x2 )(x1,0 x12 )(系统正阻尼,消耗能量x=1,0 x12 )(系统零阻尼,等幅振荡y(t)ty(t)ty(t)t0( )( ) ( )( ( )( )x ty tk x tsign x tx t 其中1( )0( ( )1( )0 x tsign x tx t321112kk k 测量元件放大元件执行元件xxfxyk)( 具有不灵敏区的饱和特性( )|kaxay tkxxakaxa 增益减小等效增益饱和特性 间隙特性表现为正向与反向特性不

2、是重叠在一起，而是在间隙特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是在输入输入-输出曲线上出现闭合环路。输出曲线上出现闭合环路。其数学表达式为：其数学表达式为：00 yybsignxxasignxky)( 例如：铁磁材料，齿轮的齿隙，液压传动中的间隙等。例如：铁磁材料，齿轮的齿隙，液压传动中的间隙等。增大稳态误差，降低稳态精度。增大稳态误差，降低稳态精度。yx滞环特性滞环特性0b-ba-atAtxsin)( 0101( )(cossin)sin()nnnnnny tAAn tBn tAYn t01( )(cossin)nnny tAAn tBn t20201( ) cos1( ) sinnnA

3、y tntdtBy tntdt 1111121021022111111( )( )cossinsin()1( )cos1( )sinYABarctany ty tAtBtYtAy ttdtBy ttdtAB式中12211111AB( )arctanjYAN AeAAB11sin0( )2KAtty tKat1arcsinaAy(t)t112( )sinx tAt1122210014( )sinsin()sin()By ttd tKAtdtKatdt22arcsin1KAaaaAAA221111YABB111arctan0AB21112( )arcsin1YBKaaaN AAAAAA 0 xM0

4、 xMxy,)( )( ,)( ,)(0 x2tM0 xt0Mty0tdtd2Mtdty21A02200 )( M4uuMttdty1B20201 |cos|cossin)(AM4AjABAN11 )( 0uuMttdttdMttdty1A2002201 |sin|sincoscoscos)().()(1s10sKsG )()(1ssKsG 013221 GNGGG)(sNG0)(1 sNG0sQsPN1 )()()()()(sQsPsG 013221 GNGGG0112132 GGGGN21321)(GGGGsG 1()0G j()1G j 1( )0G sP=00jKG1 )(1()G j

5、K ),(0jK1 0)(1 sKGG(s)的极点均位于s的左半平面，即P=00jKG1 )(或0jK1jG )(由奈氏判据知，当G曲线不包围),(0jK1 系统稳定若K在一定范围内可变，则),(0jK1 为实轴上一条直线段当G曲线不包围该直线段，系统稳定G(s)的极点均位于s的左半平面，即P=00jKG1 )(或0jK1jG )(当G曲线不包围),(0jK1 系统稳定若K在一定范围内可变K1 当K为复数，),(0jK1 为复平面上一条线段当G曲线不包围该线段，系统稳定K1 N(A)0jGAN1 )()()()(AN1jG )(AN1 )(AN1 G(j)奈奎斯特曲线如图非线性系统特征方程为0

6、jGAN1 )()(即)()(AN1jG 当G曲线不包围 ,系统稳定当G曲线包围 ,系统不稳定)(AN1 )(AN1 解非线性环节为库仑摩擦加黏性摩擦查表得描述函数AM4KAN )(负倒描述函数AM4K1AN1 )(起点00N1 )(终点2k1N1 )(趋势：沿实轴单调)(AN1 -2画线性环节的G(j)(AN1 -2-8起点 9090v0)()( )(0A终点 27090m)()(0A )(穿越点90arctanarctan4180 50 x. )(AN1 -28TTTKTjG2121x )(-8G曲线包围 ,系统不稳定。)(AN1 0jGAN1 )()(当G曲线和 曲线有交点,系统临界稳定

7、。)(AN1 ()( )1()( )G jN AG jN A 0ANjG1ANjG)()(Im)()(Re交点处1)()( jGAN或周期运动稳定周期运动不稳定()( )1()( )G jN AG jN A 1)分析K=15时非线性系统的运动特性。2)欲使系统不出现自振荡，确定K的临界值。解1)查表得饱和非线性特性的描述函数为aAAa1AaAak2AN2 ,arcsin)(取Aau 2u1Aauk2uNarcsin)(求导得2122222u1k4u1uu1u11k2duudN)()( 0duudN )(N(u)为u的增函数,N(A)为A的减函数)(AN1 为A的减函数50aN1.)( 起点:终

8、点: )(N1曲线如图)(AN1 线性部分G(s)在K=15时，作G曲线得穿越频率90arctan0.1arctan0.2180 07720101x. 该处坐标1141411707007715jG22x .)(1jGx )(-1所以两曲线有交点(-1,j0)(AN1 沿A增大方向,由不稳定区进入稳定区,存在稳定周期运动。求交点处和A，即周期运动的和A077x. 1ANANjGANjGx )()()(Re)()(Re即解得A=2.5所以非线性环节输入为 x(t)=2.5sin7.07t。 1)()(Re ANjG 11arcsin2)(2 AaAaAakAN 2)为使该系统不出现自振荡,应调整K,使G与)(AN1 曲线无交点50jGx.)( 即5 . 7215)5 . 0(1max KK所以K=7.5的G曲线如图)(,)()(hAAh1AM4AN2 22( )(1)G ss ss )(1ssk2 )(8j1A