三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题1数列通项公式与求和文

1、专题11数列通项公式与求和1.12016 高考浙江文数】如图，点列An,Bn分别在某锐角的两边上，且AnAn1AnA2AAn2,nN,BnBn1IBn1Bn2,BnBn2,nN.（PwQPwQ 表不点P P 与 Q Q 不重合）若dnABn,Sn为A AnBnBn1的面积，则（）A.&是等差数列 B.S；是等差数列 C.dn是等差数列D.d2是等差数列【答案】A【解析】试题分析；见表示点 4 4 到对面屋戋的距寓 G G 殳为 4 4）乘以阳/M M 长度一半，即凡=：儿悝用向 I I，由题目中条件可知比瓦的长度为定度那么找们需要知道呢的关系式，过 4 4 年垂直得到初始距离的,那么

2、4444 和两个垂足构成了等腰梯形，那么耳二或十箕中。为两条线的夹角，艮明定值，那11么工=彳眄 T4T4 阳 I I 血切4AH】|，国产却入+.小.卜皿叫与瓜小作差后：qqqqSn1Sn1（AnAn1tan）BBn1,都为定值，所以&1&为定值.故选A.2考点：新定义题、三角形面积公式.【思路点晅】先求出nnn1的局，再求出nnn1和n1n1n2的面积Sn和Sn1,进而根据等差数列的定义可得Sn1Sn为定值，即可得Sn是等差数列.2.12016 高考上海文科】无穷数列an由 k 个不同的数组成，Sn为an的前 n 项和.若对任意nN,Sn2,3,则 k 的最大值为【解析】【

3、名师点睛】从研究Sn与an的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列an试题分析：当n1时，a12或a13；当M2时，若Sn2,则&12,是an0若Sn3,则是an0.从而存在kN,当nk时，ak0.其中数列an2,1, 1,0,0,0,满足条件，所以kmax4考点: 数列的求和.由 k 个不同的数组成”的不同和“k 的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.3.12014 全国 2,文 16】数列an满足an1-,a82,贝Ua11an解析由已知得q=1-q=1-一，= =2 2；所以,=1-,=1-工=?1-=-h1-=-ha,=L-=2a,=L-

4、=2=1-=-1.=1fl4【考点定位】数列的概念【名师点睛】本题考查了数列的概念，递推数列，属于中档题目，根据已知条件，逐步试算即可求出结果，注意计算的准确性即可4.12014,安徽文 12如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC2&,过点A作BC的垂线，垂足为A；过点 A 作AC的垂线，垂足为A；过点A2作AC的垂线，垂足为A3；,以此类推，设BAai,AA|a2,A1A283,，AsAsa7,则a7考点：1.等比数列通项公式.【名师点睛】此题是以平面几何为依托，考查数列通项公式和性质的知识交汇性问题，是高考今后的方向，主体知识是等差数列及其性质，都是基本点，因而提醒考生在今后复习

5、中基础知识一定要狠抓不放.要求等比数列通项，必须求出首项和公比.15.12015 局考安徽，又 13已知数列an中，a1,anan1(n2),则数列an2的前 9 项和等于【答案】27【解析】:心2时/+；且%=.十1,瓦谑以鼻为首项，;为公差的等差数列jfirQxR1=9xl+-M土=9+m22【考点定位】本题主要考查等差数列的定义、通项公式和前 n n 项和公式的应用【名师点睛】能够从递推公式判断数列的类型或采用和种方法是解决本题的关键，这需要考生平时多加积累，同时本题还考查了等差数列的基本公式的应用，考查了考生的基本运算能力.6.12015 高考福建，文 16若a,b是函数fxx2pxq

6、p0,q0的两个不同的零点，且a,b,2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于.p,abq,则a0,b0,当a,b,2适当排序后成等比数4列时，2必为等比中项，故abq4,b当适当排序后成等差数列时，2必不是等a44一、，一一，8差中项，当是等差中项时，2a2,解得a1,b4;当一是等差中项时，一a2,aaa【考点定位】等差中项和等比中项.【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心.三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一试题分析：由题意，BAa12,a2-aia2anan1tan

7、4所以an是以首项ai2,公比q巫的等比数列，则2626aiq2()2【解析】由韦达定理得ab解得a4,b1,综上所述,abp5,所以pq9.的，故可以利用中项进行讨论，属于难题.7.12017 课标 3,文 17设数列an满足阚3a2K(2n1)an2n.(1)求 an的通项公式;(2)求数列的前项和.2n1解析加题分析!(1)先由题意得之2时，%+犯+-加1=吁L)J再作差得4=2/;-1睥析：(1)=.勺+3勺4+(2网一1142篦,O又n1时，a12适合上式,22n1-an(11)(11)(-)1-22n13352n12n12n12n1【考点】数列通项公式，裂项法求和【名师点睛】裂项相

8、消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消c,中间若干项的万法，裂项相消法适用于形如(其中an是各项均不为零的等差数列，anan1c 为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项，、一，1,、1的裂项求和，如或.(n1)(n3)n(n2)【答案】(1)(1)anAT拿险证II 时也满足由于温(2MIX加+1)一 1 1 一上,所以利用裂项相消法勒.n2时，a13a2(2n3)am2(n1)-得，(2n1)an2,小22n1(2)由(1)2n12(2n1)(2n1)112n12n1aa2358.12017 山东，文 19(本小题满分

9、12 分)已知a是各项均为正数的等比数列，且【考点】等差数列的通项,错位相减法求和.(I)求数列a an通项公式;b(II)b bn为各项非零的等差数列，其前 n n 项和 S,S,已知S2nlbnbn1,求数列的前 n n 项和anTn.【答案】(I)an2n；(II)Tn52nn【解析】试题分析：列出关于ed的方程组,解方程组求基本量；QD用错位相瀛法求和一试题解析：( (I)设数列I&的公比为4.由题意知，修1+冷:色;6厂又40,解得a12,q2,所以an2n所以bn2n1,bnan12n1n1n122所以Tn5(II)由题意知S2n1(2n1)(bb2n1)(2n1)bn1S

10、2n1必41心10,则Cn2n12n因此Tn32C15C27L2223Cn2n12n1，2np35又Vn222237252n12n2n12n1两式相减得【名师点睛】(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a ai 和公差 d d,然后由通项公式或前 n n项和公式转化为方程(组)求解.等差数列的通项公式及前 n n 项和公式， 共涉及五个量 a ai,a an,d d,n n,8,8,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S S”与“qSqS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S-qSS-qS”的表达式；若等比数列的公

11、比为参数，应分公比等于 1 1 和不等于 1 1 两种情况求解.*9.12017 天津，又 18已知an为等差数列，前 n n 项和为Sn(nN),bn是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0,b2b312,b3a42a1,111b4.(I)求an和bn的通项公式；(n)求数列a2nbn的前 n n 项和(nN).【答案】(I)an3n2.bn2n.(n)Tn(3n4)2n216.【解析】k题分析：(I)设等差数列G 的苜1页为马，公差为d,等比数列的公比为明建立方程求解；CI)先求勺力的迪页J再求丐也=(6月工)了，再根娓错位相减去水和一试题解析：(I)解：设等差数列an的公差为d,等比数列

12、bn的公比为.由已知b2b312,得b(qq2)12,而匕2,所以q2q60.又因为q0,解得q2.所以，bn2n.由b3a42a1，可得3da18.由S1111b4,可得a5d16，联立，解得41,d3,由此可得an3n2.所以，%的通项公式为an3n2,bn的通项公式为bn2n.(n)解：设数列a2nbn的前项和为Tn,由a2n6n2,有_2_3Tn4210221623L得Tn(3n4)2n216.(6n2)2n,_2342Tn42102162L(6nn8)2n1(6n2)2,上述两式相减，得Tn42622623L62n(6n2)2n112(12n)n14(6n2)2(3n4)2n216.

13、【考点】1.等差，等比数列；2.错位相减法求和.【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，cn,anan1cnnn!n1!n!,cn一产等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差.n1.n数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以 2 得到数列求和,（5）或是具有某些规律求和.10.12017 北京，文 15】已知等差数列an和等比数列bn满足 a a1=b b1=1,a a2+a a4=10,b b2b b4=a

14、a5.（I）求an的通项公式；（n）求和：b1b3b5Kb2n1.n1【答案】(i)an2n1；(n)3-2丁赛;斤：（I I）设等差翻尹阳等比数列的公差和公比分别为 H 和心代人建立方程，求解（IIII）若与是等比数列，那同事依然是等比刿列，并且会比是炉，根据等比数神诔和一试题解析；（工）设公差为1 1+ +d d+1+1+ +3d3d= =10,10,所以 8=28=2所以,=*十 5-5-1W1W=2=2 毒一 1 1. .3.2(n)设bn的公比为，b2.b4=a5qq9,所以 q3所以b2n-1是以n1 为首项，qq23为公比的等比数列,【考点】1.等比，等差数列；2.等比数列的前项

15、和【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分cnnn!n1!n!,cniL等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差.n1n数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以 2 得到数列求和,（5）或是具有某些规律求和.11.12017 江苏，19】对于给定的正整数，若数列an满足所以，数列a2nbn的前项和为（3n4）216.所以+电+bzn-11(13n)3n1132组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，cncanan1ankank1Lan1an1Lank

16、1ank2kan对任意正整数 n(nk)总成立，则称数列an是“P(k)数列”.(1)证明：等差数列an是“P(3)数列”；(2)若数列an既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：an是等差数列.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】证明：(1)因为是等差数列，设其公差为d,则4=6+5-1川,从而，当*4时/62T+/播=珥+(却一上_1间+呵+(汽+上_1)=%+双典-k=l,2,3所以4T十口电，+1+从i+口9+口布=6%J因此等差数列是“严数列”.(2)数列an既是“P2数列”，又是“P3数歹，因此，当n3时，an2an1an1an24an,当n4时，an3an2an1a

17、n1an2an36an.由知，an3an24an1(anan1),an2an34an1(an1an),将代入，得an1an12an,其中n4,所以a3,a4,a5,L是等差数列，设其公差为d.在中，取n4,则a2a3a5a64a4,所以a2a3d,在中，取n3,则a1a2a4a54a3,所以a1a22d,所以数列an是等差数列.【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明an为等差数列的方法：(1)用定义证明：aniand(d为常数)；(2)用等差中项证明：2an1anan2;通项法：an为的一次函数；2(4)刖项和法：SnAnBn1212016 高考新课标 1 文数】(本题满分 12 分)

18、已知an是公差为 3 的等差数列，数列bn满足h=1,b2=3，anbn1bnn0,.(I)求an的通项公式；(II)求bn的前 n 项和.31【答案】an3n1(II)-23nl.1 1 解析】试题分析：由已知条件求出首项为 2 2 根据公差为立即可确定等差数列的通项公式；(D)(D)先判断端是等比数列居求出通项公式,最后 7 7 再利用等比数列求和公式求固的前制项和-1一1一一试题斛析：(I)由已知，a1b2b2b),b11,b2一，得a1b2b2b),b11,b2一，得42,33所以数列an是首项为 2,公差为 3 的等差数列，通项公式为an3n1.A,因此bn是首项为 1,公比为1的等

19、比数列.33考点：等差数列与等比数列利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.13.12014 高考广东卷.文.19(本小题满分 14 分)设各项均为正数的数列an的前项和为Sn,(II)由(I)和anbn1bn1nbn,得bnSn，则123nl.【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程(组)，因此可以说数记bn的前项和为且Sn满足S2n2n3Sn3n2n0,nN.QannN,Sn0,从而Sn30,Sn所以当2时，4SS,12n,又a121,an

20、2nn(3)当kN时，k2k2k2316ak1ak112k2k1a11a11a2a2anan11n-4（1）求为的值;、一，一，1证明：对一切正整数，有1一a1a11【答案】(1)a12;(2)an2n;(3)【解析】令“得：一（一1）1一3乂2=0,即：+吊一6=仇二（5+3）（52）=0,1-&0,一,司=2即坳=2j由+并-3）邑-3（十孙得+3）s用一（d+H）=0,(2)求数列an的通项公式;a?a211anan11111114J-3|134n33II144,1111,证法二：当n1时，成立,a1a112363Sn与%的关系考查数列通项的求解，以及利用放缩法证明数列不等式的综

21、合问题，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于中等偏难题.【名师点晴】本题主要考查的是数列的通项公式和利用放缩法证明数列不等式，属于难题.本S1n1题通过将&的递推关系式进行因式分解，得到Sn与的关系式，利用an可SnSn1n2得数列an通项公式，再根据式子的特点进行裂项相消法，即可证明.解题时一定要注意公式的条件“n2”，否则很容易出现错误.14.2016 高考新课标出文数已知各项都为正数的数列an满足a11,an(2an11)an2an10.求a2,a3；(II)求an的通项公式.111【答案】(i)a2，a3；(n)an-IT-242n1试题分析二(I I)将巧=1=1 代人递推

22、公式求得叼,将丐的值代人递推公式可求得 QiQi(II)(II)将已知的递推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列 gjgj 为等比数列，由此可求得翼列 gjgj 的通项公式.试题解析：( (I I) )由题意得叫=丐=5 5 分2 242(n)由anQani1电2an1。得2ani(an1)an(an1).当n2时,1anan112n2n111112n12n122n12n1则一1一a1a111a2a21La3a31anan11111111623525711122n12n111116232n11J136n33【考点定位】本题以二次方程的形式以及一、,a1因为an的各项都为正数，所以一，an2一

23、 11故an是首项为，公比为一的等比数列，因此an-r12 分22n1考点：1、数列的递推公式；2、等比数列的通项公式.【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：(1)定义法，即证明亘q(常数)；(2)中an项法，即证明a21%an2.根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解.15.12015 高考湖南，文 19】(本小题满分 13 分)设数列an的前项和为Sn,已知a11,a22,且an13SnSn13,(nN),(I)证明：an23an；(II)求 Sn。3U*-(5321),(n2k1,kN)【答案】(I)略；(II)Sn23n(321),(n2k,k

24、N*)2【解析】试题分析:当口已 M M 田三 2 2 时：由题可得与 n=理十二 5 七犷)，/二虢一】义+3,5+3,5 匕,两式子相减可得 4包一%i=利-,即 4+4+工=3%=3%：(为之 2)2), ,然后怆证当 0=10=1 时；命题成立即可；QDQD 通过求解数列的奇鼎项与偶数项的和即可得到其对应前班项和的通项公式一、I 一.一一，一、，*_*试题解析：(I)由条件，对任意nN,有an23SnSn13,(nN),因而对任忌nN,n2,有an138nlSn3,(nN),两式相减，得an2an13anan1,即an23an,(n2),(13L3n1)2(13L3n1)3(13L3n

25、1)3312从而S2nlS2na2n33-23n10(53n21),223二-(5321),(n2k1,k23n*万(321),(n2k,kN)【考点定位】数列递推关系、数列求和【名师点睛】已知数列a an的前 n n 项和求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用 a1=S 求出 as(2)用 n-1 替换&中的 n 得到一个新的关系，利用 an=SS-1(n2)便可求出当 n2 时 an 的表达式；(3)对 n=1 时的结果进行检验，看是否符合 n2 时anan 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n=1 与 n2n2两段来写.数列求和的常

26、用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.16.12015 高考湖南，文 21】(本小题满分 13 分)函数f(x)ae2cosx(x0,)，记xn为f(x)的从小到大的第n(nN)个极值点。(I)证明：数列f(xn)是等比数列;(II)若对一切nN*,xnf(xn)恒成立，求的取值范围。【答案】(I)略；(II)小2)所以3g3SiS233a1(aa2)33a1)Ir.rr一*故对一切nN,an23an。(II)由(I)知,an。，所以曳二3,于是数列a2n1是首项aian1,公比为 3 的等比数列，数列a2n是首项a12,公比为 3 的等

27、比数列，所以a2n13n1,a2n23n1于是S2naa2La2n(a1a3La2n1)(a2a4La2n)综上所述，Sn试题分析：(I)(I)由题 r r(Q(Q 二应西，,令(力二口，求出国数的极值点方根据等 h h 留列定义4 4r-取一不,即可得到结果QI)QI)由题意问题等价干它 V 二恒成立问题，设现分=什，然后运用导数知识K714 4nT，:恒成立,an3-4得到g(4)minming(xi),g%)54Kming(-),g()g()e,所以42e,求得aee4亍，得到的取值范围;试题解析：(I)f(x)aexcosxxaesinx.2aexcos(x令f(x)0,m一，即2,m

28、4而对于cos(x一),当kZ时,4若2k2x2k42k若2k2x一2k4因此，在区间(m1),m232342k)与(m3nf(xn)ae4cos(nn2-21(1)aef(xn1)2342k2k,贝Ucos(x)445，、,贝Ucos(x)440;,m4f(x)取得极值，所以xn一)上，f(x)的符号总相反，于43*,一,nN,此时，41)n12nae2易知f(xn)0,而f(xn)n12n4(1)ae42是常数,故数列f(xn)是首项为f(x1)ae2公比为e的等比数歹U。f(xn)恒成立，即二a/3r恒成立，亦即2ee(t1)设g(t)-(t0)，则g(t)2一，令g(t)。得t1,当0

29、t1时，g(t)0,所以g(t)在区间(0,1)上单调递减；当t1时，g(t)0,所以g(t)在区间(1,)上单调递增；因为Xn(0,1),且当n2时，Xn(1,),XnX一,所以因此，nN*,Xnf(Xn)恒成立，当且仅当e2,解得a吏一e2,a4故实数的取彳1范围是手e%)。【考点定位】恒成立问题；等比数列的性质【名师点睛】解决数列与函数的综合问题时，如果是证明题要根据等比数列的定义明确证明的方向，如果是不等式恒成立问题，要使用不等式恒成立的各种不同解法，如变量分离法、最值法、因式分解法等，总之解决这类问题把数列看做特殊函数，并把它和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了.1，一an是首项

30、为正数的等差数列，数列的刖an?an1项和为2-2n1(I)求数列设数列的公差为小令和=口导1*所以 6/=3-g(xn)minming(x1),g(x2)ming(-),g()17.12015 高考山东，文 19】已知数列(II)设bnan12an,求数列bn的前项和Tn.an2n1.(II)Tn(3n1)4n19an的通项公式;解得&1,d2,所以42n1.(II)由(I)知bn2n22n4n_一1_2n4，所以Tn1424两式相减，得3Tn41424nn4n14(14n)n113nH14n44,1433-n14(3n1)49【考点定位】1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错

31、位相减法”.【名师点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的求和、“错位相减法”等，解答本题的关键，首先是注意运用从一般到特殊的处理方法，准确确定等差数列的通项公式；其次就是能对所得数学式子准确地变形，本题易错点在于错位相减后求和时，弄错数列的项数，或忘记从3Tn化简到Tn.本题是一道能力题，属于中等题.在考查等差数列、等比数列等基础知识的同时，考查考生的计算能力.本题是教科书及教辅材料常见题型，能使考生心理更稳定，利于正常发挥18.12016 高考山东文数】（本小题满分 12 分）所以4Tn142243nn1(n1)4n4人11令n2,得a1a2a2a3一,所以a2a3515.所以Tn已

32、知数列an2_的刖 n n 项和Sn3n8n,bn是等差数列，且anbnbn1.（I）求数列bn的通项公式;(II)令cn(anD”.求数列cn的前(bn2)nn n 项和Tn.bn3n1；(n)3n3n2 2n2试题分析：（I）依题意建立瓦d的方程乩却得一(6什6)M=天网+1 1）,从而几二戋工乂2里+3乂23+4x2*+（的+1）2冲1利用错位相激法”艮国导工三 3 3 个？.试题解析：（i）由题意当n2时，anSnSn16n5,当n1时，a1S111；所【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高

33、.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.19.12015 高考陕西，文 21设fn(x)xx2Lxn1,nN,n2.(I)求fn(2)；n一，、2112(II)证明：fn(x)在0,-内有且仅有一个零点(记为an),且0an3233【答案】(I)fn(2)(n1)2n1；(II)证明略，t 闻 1 解析.【解析】试题分析二由题段 ZXZX 冷=1+=1+及 4TH所以工(工)=142142 冥 2+-+应，此式等价于数列m m2222的前加魁口，由车制立相减法求得=5n

34、2一，、,一2222(II)因为f(0)10,fn(2 2)12-122 20,所以fn(x)在(0,-)3333n12内至少存在一个零点，又fn(x)12xLnx0,所以fn(x)在(0,4)内单倜递增，321xn.因此，fn(x)在(0,一)内有且只有一个零点an,由于fn(x)1,所以31x以an6n5;设数列的公差为d,a?bb211172bl2匕d,解之得3db14,d3,所以bn3n1。(6n6)n1(3n3)n3(n1)2nCiC2C3Cn，即一一一2一Tn32232324(n1)2n1,所以2Tn32232425(n1)2n2,以上两式两边相减得Tn322223242n 1(n

35、1)2n23441)(n1)2n23n2n221所以 T Tn3n3n2 2n2考点：1.等差数列的通项公式;2.等差数列、 等比数列的求和;3.“错位相减法”等比数列的求和、数列求和的“错1n12an(II)因为f(0)21“)32所以fn(x)在(0,)内至少存在一个零点,3又fn(x)12xLnxn102所以fn(x)在(02)内单调递增，3一，,，、2,因此，fn(x)在(0,)内有且只有一个零点3,一1由于fn(x)彳0fn(an)1ann1an由此可得anan储)1an由此可得anan12231n12anan试题解析：(I)由题设fn(x)2x所以fn(2)122Lnn2由2fn(

36、2)12222n2n得fn(2)12222n 1n2n222n(1n)2n1,所以fn(2)(n1)2ni23n30,【名师点睛】(1)在函数出现多项求和形式，可以类比数列求和的方法进行求和；(2)证明零点的唯一可以从两点出发：先使用零点存在性定理证明零点的存在性，再利用函数的单调性证明零点的唯一性；(2)有关函数中的不等式证明，一般是先构造函数，再求出函数在定义域范围内的值域即可；(4)本题属于中档题，要求有较高逻辑思维能力和计算能力.20.12016 高考天津文数】(本小题满分 13 分)一112已知an是等比数列，前 n 项和为SnnN，且一一一，063.现a?a3(i)求an的通项公式

37、；n2(n)右对任息的nN,bn是10g2an和10g2an1的等差中项，求数列 J1bn的前2n 项和.【答案】(I)an2n1(n)2n2n2【解析】试题解析:(I I) )解：设数列的公比为由已知有 L L1=1=刍:解之可得 4=24=2 冉=1,1,又由刊 1 1 附可？S S”空匕力=53=53 知 1 1所以誓芋二 63,63,解之得口=所以为二*. q1q12 211n1n1(n)斛：由题思得bn一(log2an10g2an1)(log22log22)n一，即数列2221bn是首项为一，公差为的等差数列.2设数列(1)nb：的前项和为Tn,则T2n(b2b鼻(bfb2)(b2n

38、1bfn)Bb2b2n.812b2n)2n2考点：等差数列、等比数列及其前项和【名师点睛】分组转化法求和的常见类型(1)若 a an=b bnC Cn,且b bn,C Cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求R Rn的前 n 项和.b bn,n n 为奇数，试题分析：(i)求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由11a1a1q22aq解得q2,q1,分别代入Sn，1八，、bn-(log2an10g2an1)2a1(1q)63得q1,1ql(log22n110g22n)n2a11(n)先根据等差中项得11,再利用分组求和法求和：2T2n(b2b1)(b；b2)(b2n1bin)Dbzb2n2n(

39、b1b2n)2n22n(2)通项公式为 a an=，沙山的数列，其中数列b bn,C Cn是等比数列或等差数列，可C Cn,n n 为偶数采用分组求和法求和.21.12016 高考浙江文数】(本题满分 15 分)设数列an的前项和为Sn,已知S2=4,*an1=2Sn+1,nN.(I)求通项公式an；(II)求数列ann2的前项和.2,n1【答案】(I)an3n1,nN*；(II)3nn25n11*.,n2,nN2【解析】试题分析：由十 1 1 转优为成也迸而可得数列，的通项公式：(11)(11)先去掉绝对值，再对冷的范围讨论，采用分蛆求和法,即可得数列4 4F2|的前岸项和.遭解折；由题意得

40、；十皆=：，则卜又当n2时，由aman(2Sn1)(2Sn11)2an,得an13%,所以，数列an的通项公式为an3n1,nN*.n1*(II)设bn13n2|,nN,b12,b21.当n3时，由于3n1n2,故bn3n1n2,n3.设数列bn的前项和为Tn,则T12F3.当n3时，Tn39133(n7)(n2)/n25n11,13222,n1所以，Tn3nn25n11*.,n2,nN2考点：等差、等比数列的基础知识.【方法点睛】数列求和的常用方法：(1)错位相减法：形如数列anbn的求和，其中an是等差数列，bn 是等比数列；（2）裂项法：形如数列或-的求fngnfn.gn和，其中fn,g

41、n是关于的一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分.22.12014 四川，文 19】设等差数列an的公差为d，点（an,bn）在函数f（x）2x的图象上,*（nN）.（1）证明：数列bn是等比数列；（2）若ai1,函数f（x）的图象在点（a2,b2）处的切线在轴上的截距为2,求数列ln2的前项和Sn.【解析】试题分析；据题设可得，4=4=2 2，. .口）当打 2121 时，将%相除，可得商为常数，从而证得其为等比额H一（2 2）首先可求出/（力二在可也）处的切线为 4=24=2 沟 5 5），令尸二 0 0 得 W 加 2 2）乂工一%工工=丐一丁!二 4 4 二

42、2,2,由此可求出名二网，4 4= =2 2。所以 4 4 片=丙 4 4这个ID2 2额列用错位相消法可得前项和 4.4.试题解析：（1）由已知，bn2an0.所以，数列是首项为2a1,公比为2d的等比数列aa1yb22ln2(xa2),令y0得b2(2ln2)(xa2),xa2,a22,ln2所以d211,ann,bn2n.所以anb：n4n,其前项和：Tn14242343L(n1)4n1n4n两边乘以 4 得：4Tn142243344L(n1)4nn4n14n14一得：Tn4Tn44243L4nn4n4n1,所以3T(3n1)4nn9【答案】（1）详见解析；（2）Tn(3n1)4n149

43、当n1时，鸟bn?an1an2d.f(x)2x求导得f(x)2xln2,所以f（x）2x在（a2,2）处的切线为【名师点睛】证明一数列是等比数列，有定义法和等比中项法；考生在解决此题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等.两边乘公比后，对应项的哥指数会发生变化，应将相同哥指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的n1项是一个等比数列23.12014 全国 1,文 17已知an是递增的等差数列，a2,a4是方程x25x60的根。(I)求an 的通项公式;考点

44、：1.一元二次方程的解法；2.等差数列的基本量计算【名师点睛】本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式，在使用错位相减时一定要注意在和的两边乘以等比数列的公比，这是解决这类问题的关键所在，本题同时考查了学生的计算能力24.12015 高考浙江，文 17(本题满分 15 分)已知数列an和bn满足，*、a12,b1,an12an（nN）,1*bnbn11（nN）.n（D求an与bn；(2)记数列anbn的前 n 项和为Tn,求Tn.(II)求数列久的前项和.2n【解析】(1)方程x25x60的两根为 2,3,由题意得a21设数列an的公差为d,则a4a22d,故d

45、-,从而a121所以an的通项公式为an-n1.2（2）设霁的前 n 项和为Sn,由（1）知粤 X，则2n2n2n134n1n2&2yp_L2n2n1134n1n2二Sn丁不L-n1/n2.22222一，一1311两式相减信Sn-2（3rL222231（1工）44（12n1）2n212n1）2n2所以Snn42n12,a43.23.;3.数列的求和【答案】(1)an2n;bnn；(2)Tn(n1)2n12(nN*)【解析】(1)(1)根据数列递推关系式 j j 确定数列的特点,得到数列的通项公式:(川根据 Q)Q)问得到新的数列的通项公式利用错位相减法进行额列求和.【名师点睛】本题主要

46、考查等差数列、等比数列的通项公式以及数列的求和.根据数列递推关系式推理得到数列的性质和特点，以此得到数列的通项公式，利用错位相减法计算新组合的数列的求和问题.本题属于中等题，主要考查学生基本的运算能力an是递增的等比数列，且a1a49,a2a38.(I)求数列an的通项公式;2n1【答案】(Dan2n1(n)2n2n1试题解析：(1)由a12,an12an,得an2n.所以1时,2时,bnn.(2)由(1)知,所以Tn2Tl所以Tn所以Tnbib21bnnanbn_22221,故b22.bn1bn,整理得323Ln2n22223324L(n2TnTn22223L(n1)2n12bn1bn1)2

47、2nn2n12n1(1n)2n12【考点定位】1.等差等比数列的通项公式;2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和.25.12015 高考安徽，文 18】已知数列(n)设Sn为数列an的前 n n 项和,bn-aJ,求数列bn的前n项和Tn.SnSn1【解析】（I）由题可知口1-%=叼=设又q+以=可解的或（舍去）q=8I。4=1【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、性质，等比数列的前相消法求和【名师点睛】本题利用“若mnpq,则amanapaq，是解决本题的关键，同时考生发现bn刍/Sn1是解决本题求和的关键，本题考查了考生的基础运SnSmSnSm&1算能力.26.12015

48、高考天津，文 18】（本小题满分 13 分）已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1=b=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(I)求an和bn的通项公式；(II)设Cn=anbn,n?N，求数列cn的刖 n 项和.【答案】(I)an2n1,nN,bn2n1,nN；(II)Sn2n32n3由a4a1q3得公比q2,a1(1qn)1(n)Sn11q1p、an1Sn1Sn乂 4SnSmSnSm所以Tnb1b2.bnn1on1故anaq2.2n2n1211STSn71111S1S2MS1111SnSn1&Sn1n 项和，以及利用裂项【解析】）列出关于 9 9 与 d d 的方程组,通过解方程组求出可况即可确定通项：5）用错位相减法求和一公式为bn2n1,nN.所以Sn2n32n【考点定位】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及错位相减法求和【名师点睛】近几年高考试题中求数列通项的题目频频出现，尤其对等差、等比数列的通项考查较多，解决此类问题要重视方程思想的应用.错位相减法求和也是高考考查频率较高的一类方法，从历年考试情况来看，这类问题，运算失误较多，应引起考生重视.27.12015 高考湖北，文 19】设等差数列an的公差为