三角形及其性质(基础)知识讲解

1、三角形及其性质(基础)知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念，掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法.2. 理解三角形内角和定理的证明方法；3. 掌握并会把三角形按边和角分类4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系.5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法.【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.要点诠释：(1) 三角形的基本元素： 三角形的边：即组成三角形的线段； 三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； 三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.(2) 三角形的定义中的三个要求：“

2、不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.(3) 三角形的表示：三角形用符号“”表示，顶点为 A B、C的三角形记作“ ABC”， 读作“三角形 ABC”，注意单独的没有意义； ABC的三边可以用大写字母 AB BG AC 来表示，也可以用小写字母 a、b、c来表示，边BG用 a表示，边AG AB分别用b、c表示.要点二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180° .要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： 在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； 已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数; 求一个三角形中各角之间的关系要点三、

3、三角形的分类1. 按角分类：直角三角形三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形要点诠释： 锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形有一个内角为钝角的三角形 钝角三角形：不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形2. 按边分类：三角形要点诠释： 不等边三角形：三边都不相等的三角形； 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边 叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角 ; 等边三角形：三边都相等的三角形 要点四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边 .推论： 三角形任意两边之差小于第三边 . 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短

4、 .（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长 线段的长， 则这三条线段可以组成三角形； 反之，则不能组成三角形 当已知三角形两边长， 可求第三边长的取值范围（3）证明线段之间的不等关系 要点五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或因此，我们需要从角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用,不同的角度弄清这三条线段，列表如下:线段名称三角形的高三角形的中线文字语言从三角形的一个顶点向它的 对边所在的直线作垂线，顶 点和垂足之间的线段.三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段.三角

5、形的角平分线三角形一个内角的平分线 与它的对边相交，这个角 的顶点与交点之间的线 段.图形语言作图语言标示图形过点A作AD丄BC于点D.取BC边的中点D,连接AD.作/ BAC的平分线AD,交BC于点D.11 . AD是厶ABC的中线.语言2 .人。是厶ABC中BC边上的 高.3. ADL BC于点 D.4. Z ADC= 90°,/ ADB=90 ° .2. AD是厶ABC中BC边上的中线.13. BD= DC= BC24. 点D是BC边的中点.1. AD> ABC的角平分线.2. AD 平分Z BAC 交 BC于点D.13. Z 1 = / 2 = / BAC2(

6、或/ ADC=Z ADB= 90° )推理语言因为人。是厶ABC的高，所以AD丄 BC.(或Z ADB=Z ADC= 90° )因为AD> ABC勺中线,1所以 BD= DC= BC.2因为AD平分Z BAC所以Z 1 = Z 2= Z BAC2用途1 .线段垂直.1.线段相等.角度相等.举例2 .角度相等.2.面积相等.注意事项1.与边的垂线不同.2 .不一定在三角形内.一与角的平分线不同.重要特征三角形的三条高（或它们的延长线）交于一点.一个三角形有三条中线，它们交于三角形内-一占八、一个三角形有三条角平分 线，它们交于三角形内一 占八、01”三角形的内角和为18

7、0类型一、三角形的内角和【答案与解析】解：已知：如图，已知 ABC求证：/ A+Z B+Z C= 180证法1:如图1所示，延长 BC到E,作CD/ AB.因为AB/ CD （已作），所以Z仁Z A （两直 线平行，内错角相等），/ B=Z 2 （两直线平行，同位角相等）.又Z ACB+Z 1+ Z 2=180 °（平角定义），所以Z ACB+Z A+Z B=180。（等量代换）.证法2:如图2所示，在BC边上任取一点 D,作DE/ AB交AC于E, DF/ AC交AB于点F.因为DF/ AC （已作），所以Z仁Z C （两直线平行，同位角相等），Z 2=Z DEC（两直线平行，内错

8、角相等）.因为DE/ AB （已作）.所以Z 3=Z B,Z DEC=/ A （两直线平行，同位角相等）.所以Z A=Z 2 （等量代换）.又Z 1 + Z 2+Z 3=180°（平角定义）所以/ A+Z B+Z C=180° （等量代换）180°,即Z A+Z B+Z C= 180°就可以求出Z A,Z B和Z C的度数.【答案与解析】解：由Z A+Z B= 80° 及Z A+Z B+Z C= 180° ,知Z C= 100°.又TZ C= 2Z B,Z B= 50°. Z A= 80° - Z B=

9、80° -50 ° = 30°.【总结升华】 解答本题的关键是利用隐含条件ZA+Z B+Z C= 180°.本题可以设Z B= x，则Z A= 80° -x , Z C= 2x建立方程求解.【变式】 已知，如图，在 ABC中，Z C=Z ABC=2/ A, BD是AC边上的高，求Z DBC的度数.【答案】解：已知厶 ABC 中，Z C=Z ABC=Z A 设Z A=x 则Z C=Z ABC=2x x+2x+2x=180° 解得：x=36°/ C=2x=72在厶BDC中, BD是AC边上的高，Z BDC=90 , ,/ DBC

10、=180 90° -72° =18°类型二、三角形的分类03. 一个三角形的三个内角分别是75°、30°、75°,这个三角形是（）A锐角三角形 B等腰三角形C 等腰锐角三角形【答案】C【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形A锐角 B 直角C钝角D无法判断【答案】C【解析】利用三角形内角和是 180。以及已知条件，可以得到其中较大内角的度数为120°,所以三角形为钝角三角形 类型三、三角形的三边关系4. （四川南充）三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是（）2cm2cm 4cm

11、 B2cm ，*> w “'em 4cmD2cm 2ctti5cmA2cmdemC【思路点拨】 三角形三边关系的性质， 即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差 小于第三边注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也 可能是负数，一般取“差”的绝对值.【答案】D【解析】要构成一个三角形.必须满足任意两边之和大于第三边.在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边.A、B C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边.故不能组成三角形.D选项中，2cm+3cm> 4cm.故能够组成三角形.【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：

12、判断出较长的一边；看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形.举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形 3, 4, 5;(2) 3,5, 9 ;(3) 5,5, 8.【答案】（1）能；（2）不能;C5.若三角形的两边长分别是（3）能.2和7,则第三边长c的取值范围是【答案】5 c 9【解析】三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是丨2-7 | <c<2+7,即5<c<9.【总结升华】三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是|a -b| <c<a+b.举一反三：【变式】（浙江金华）已知三角形的两边长为

13、 4, 8,则第三边的长度可以是 （写出一个即可）【答案】5,注：答案不唯一，填写大于4,小于12的数都对.类型四、三角形中重要线段（江苏连云港）小华在电话中问小明:已知一个三角形三边长分别为4, 9, 12,如何求这个三角形的面积” 小明提示：“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示)【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线 段.解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点.然后过这个顶点作最长边的垂 线即得到三角形的高.【总结升华】 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条咼， 并且三条咼所在的直线交于一点.这里一定要注意钝角三角形的

14、高中有两条高在三角形的外部.【变式】如图所示，已知 ABC试画出 ABC各边上的高.解：所画三角形的高如图所示.7.如图所示，ABC的AB边上的中线， BCD的周长比厶ACD的周长大3cm BC=8cm,求边 AC的长.【思路点拨】 根据题意，结合图形，有下列数量关系：At> BD,， BCD的周长比 ACD的周长大3.【答案与解析】解：依题意： BCD的周长比 ACD的周长大3cm故有：BC+CD+BD-（AC+CD+AD）3.又 CDABC的AB边上的中线， AD = BD,即 BC-AC= 3.又T BC = 8, AC = 5.答：AC的长为5cm.【总结升华】 运用三角形的中线

15、的定义得到线段AD= BD是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系， 这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法.举一反三：【变式】如图所示，在厶ABC中, D、E分别为BCAD的中点，且S ABC 4，则S阴影为、选择题1.一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形，其中符合三角形概念的是（）A. 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个A. 1 B . 2 C4 已知三角形两边长分别为）个锐角D .不能确定A . 13 cm B . 6 cm5 cm D . 4 cm5.为估计池塘两岸 A B间的距离,杨阳在池塘一侧选取了一点P,测得PA= 16m, PB= 1

16、2m,那么AB间的距离不可能是（）A. 5m B . 15m C.20mD . 28m第八题6.三角形的角平分线、中线和高都是(DA .直线 B .线段 C .射线.以上答案都不对4 cm和9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是10 .三角形的三边关系是，由这个定理我们可以得到三角形的两边之差7.下列说法不正确的是 （）A .三角形的中线在三角形的内部.三角形的角平分线在三角形的内部C .三角形的高在三角形的内部.三角形必有一高线在三角形的内部&如图，人皿是厶ABC的中线，那么若用S表示 ABM的面积，用 S2表示 ACM的面积，则S和S的大小关系是（）A. S> S2

17、 B . Sv S2 C . S= S2 D .以上三种情况都有可能9.若厶ABC的/ A= 60°，且/ B: / C= 2:1，那么/ B的度数为（）A . 40°B . 80° C . 60° D . 120°二、填空题第三边，所以，三角形的一边小于 并且大于.11. 如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm,第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为cm.12. 已知等腰三角形的两边分别为4cm和7cm,则这个三角形的周长为 .113. 如图，人。是厶ABC的角平分线，则/ =Z= - Z; BE是厶ABC的21中线，贝U = -; CF是厶ABC的高，则/ =Z214. 如图，AD AE分别是 ABC的高和中线，已知 AD= 5cm, CE= 6。口，则厶ABE和 ABC的面积分别为.15. 在厶 ABC中, (1)若/ A: / B: / C= 1:2:3 ,则/ A=, / B=, / C=,此三角形为三角形；(2) 若/ A大于/ B+Z C,则此三角形为 三角形.三、解答题16. 判断下列所给的三条线段是否能围成三角形(1) 5cm , 5cm, a cm(0 v a