江苏省南通市2019届高三第一次调研测试数学试题

1、-1 江苏省南通市 2019 届高三第一次调研测试数学试题、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1 1.已知集合 U =1 , 2, 3, 4, 5, A=1 , 2, 4，则（U A = 【答案】3 , 5.2 2.已知复数 Z1=1 3i , Z2=3 i （i为虚数单位）.在复平面内，乙_Z2对应的点在第 象限.【答案】【答案】乙.8.8.已知正三棱锥的侧棱长为 1，底面正三角形的边长为2 .现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是.【答案】2.5【答案】 -X 三R, | x | . 0 .在平面直角坐标

2、系 xOy 中，抛物线 y2=8x 上横坐标为 1 的点到其焦点的距离为5 5.6 6.【答案】3.x0,设实数 x,y满足戸0,则 z=3x 2y 的最大值是 .t +y3,2x 亠 y4,【答案】7.如图是一个算法的流程图.若输入x 的值为 2，则输出 y 的值是 .【答案】-1 .7 7.城市甲乙3 3.命题：“R, x0 ”的否定是 4 4.-2 9.9.将函数 f（x）二 sin 2x 亠i0 八；门： :的图象上所有点向右平移匸个单位后得到的图象关于原点对-3 称，贝 y等于 【答案】匸.3 311 410.10. 等比数列an的首项为 2,公比为 3,前 n 项和为 Sn若 lo

3、gs 2an(S4m+1): =9，则 n+m 的最小值是 .【答案】5.211.11.若向量 a a = cos：., sin ：，b = cos sin 1 ，且 a a b b 0 时，实数 b 的最小值是 .【答案】-1 .13.13. 已知集合 M=(x,y)|x-3 .2PB, A(-1,0), B(1,0)，则表示 MnN 的图形面积等于.【答案】号二 2.3.14.14.若函数 f(x)二 ax220 x 14 (a 0)对任意实数 t，在闭区间t -1,t 1上总存在两实数 x x?,使得 I f(xj -f(X2)| 8 成立，则实数 a 的最小值为.【答案】8.二、解答题

4、：本大题共 6 小题，共 90 分.请在答题卡指定区域.内作答解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.15.15. (本小题满分 14 分)如图，在四棱柱 ABCD -AB1C1D1中，AB/CD , AB BC，且 AA =AB .(1)求证： AB /平面 D!DCC!;(2)求证：AB 丄平面 ABC .(1 )证明：在四棱柱 ABCD - ABIGD,中,AB 二平面 DQCG ,CD 平面 D1DCC1,(第15题)-4 所以 AB/平面 D!DCG .(1)4 分解：由(1)，得sin A 二 2 si nB 二1- ,si nC.g 丘510 分由正弦定理，得2 ：2a_ c

5、sin A _ 5 _ 4、5sin C12 分所以 ABC 的面积为 iacsin2 拧215=t.14 分1717.(本小题满分 14 分)已知 a 为实常数，y=f(x) 是定.3义在(3,0)U(0,+ 8)上的奇函数，且当 xa 1x= a.当 a 0,故 f(x)在区间(30)是单调递增.3(2)证明：在四棱柱 ABCDABQQ中，四边形 AABB1为平行四边形，又 AA= AB ,故四边形 AABBI为菱形.从而 ABi丄 A B .又 AB!_LBC，而 ABDBC=B , AB, BCU 平面 ABC ,所以 AB _平面 ABC .16.16.(本小题满分 14 分)在厶

6、ABC 中，a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边长，且 c= 3bcosA, tanC=-.4求 tanB 的值；若c =2，求 ABC 的面积.解：由正弦定理，得sinC -3sin BcosA, 即 sin(A 亠 B) = -3sin B cos A .所以sin AcosB cosAsinB =-3sin BcosA. 从而sin AcosB = -4sin BcosA.因为cosAcosB山0，所以tan -4 .tan B又 tanCAB八抽器，由(知，4=3 解得 tan B =2 .14 分(1)(2)(1)当 a 0 时，x (a,a ), f(x) 0，所以

7、f(x)在区间(汁一a )是单调递增. x ( a, 0), f (x)0 时，f(x)= f( x)= ( 2 x -2+ 1) = 2x+ 2 1 .xx31当 aa 1 对一切 x 0 成立，即 2x+寺a而当 x= 2 0 时，有一 a+4a a，所以 a 0，则与 a 0 矛盾.所以 a 1=a 1 对一切 x0 成立，故 a = 0 满足题设要求.12 分3当 a 0 时，由 可知 f(x)在(0, a)是减函数，在(a , +a)是增函数.所以fmin(x)=f(a) = 3a 一 1 a 一 1，所以 a 0 时也满足题设要求. . 13 分综上所述，a 的取值范围是0, ：)

8、 . . 14 分1818.(本小题满分 16 分)如图，一块弓形薄铁片 EMF，点 M 为 EF 的中点，其所在圆 0 的半径为 4 dm (圆心 O 在弓形且点 A、D 在 EF 上，设/ AOD=2r .(1)求矩形铁片 ABCD 的面积 S 关于二的函数关系式；(2)当矩形铁片 ABCD 的面积最大时，求COST的值.当 0：: v：3 时(如图)，AB =4cos” 2,AD =2 4sin二,3S 二 AB AD 二 4cos v 2 2 4sin v -16sin v 2cos v 1 . 6分 当a0时，f(x)单调增区7 分+m)；0), (0,a).对一切 x 0 成立.E

9、MF内)，/ EOF = .将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片3ABCD(不计损耗),AD II EF,(1)解：设矩形铁片的面积为S,AOM - V .MOEF(第18题)7 分 7 当 3w时(如图)，AB=2 4cosr,AD =2 4sin,故S =AB AD =64sin rcos J - 32sin2.综上得，矩形铁片的面积 S 关于二的函数关系式为47 分 8 16sin r 2cosT11 , 0：v : 3, S332sin2 二 3 : j.（2）解：当 0时，求导，得3S J16 COST 2cosr 1 si nr -2si nv -16 4cos2rCOST- 2.

10、令 S F，得co昔记区间（0, ）内余弦值等于 上穽辺的角为盹（唯一存在）.列表:3专）上的单调减函数,所以当 V -0 即 cos，二-1时，矩形的面积最大.e（0, a）日。(巧)s，+0s增函数极大值减函数8又当 3访时，-込恣在3：，7 分 9 810 分16 分1919. （本小题满分 16 分）2如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆；-3，又椭X2b7 1（a b 0）过点（1 -圆内接四边形 ABCD （点 A、B、C、D 在椭圆上）的对角线 AC, BD 相交于点 P（1,寸），且 A P ,，离心率为BP =2PD .(1)(2)求椭圆的方程；求直线 AB 的斜率.(1)

11、解：依题意，寻a 2，一 a2Ca2=4运=1,解得a24,4bb =1.=a2-b2.所求椭圆的方程为解：设 A x1,y1,T 由 AP =2PC，得 C22人+y2n4 y2则生 y；=1 .4713 - X13_4y1，八2-10 于数列bn，记它们的总和为Pn,并且有 Pn =n2MJ 八1_2 .11 分P45-220142 2=45 (451) .220712014P44-22442(4421)21981-22014-2 0 ,ss(2-1)-2：0 .2整理，得乞 yj -3 任 yi) 一19=0 ,.4216即 Xi % =.O设 B X2,y2，同理可得 X2y2 -3一

12、，得兰 匕一 _1，即直线 AB 的斜率为 k =兰 竺-1 . 16 分X2X1X2X12020.(本小题满分 16 分)已知等差数列an、等比数列bn满足 a 什 a2= as, Sb2= ba, 且 as, a?+ b1, aj+ b2成等差数列，a1, a2, b2成等比数列.(1 )求数列an和数列bn的通项公式；(2 )按如下方法从数列an和数列bn中取项：第 1 次从数列an中取 a1,第 2 次从数列bn中取 b1, b2,第 3 次从数列an中取 a2, as, a4,第 4 次从数列bn中取 bs, b4, b5, b6,第 2n- 1 次从数列an中继续依次取 2n 1

13、个项, 第 2n 次从数列 bn中继续依次取 2n 个项，由此构造数列cn :a1, b1, b2, a2, as, a4, bs, b4, b5, a5, a6, a?, as, ag, b?, bs,b9, So, bn, b12,，记数列Cn的前 n 和为 Sn求满足 Sn 22019的最大正整数 n.(1 )解：设等差数列 an的公差为d，等比数列 bn的公比为q,金 +佝 +d) =at+2d,2依题意，得 pddq)二 dq ,解得 a1=d=1, b1=q=2.|佝 +2d)+(a1+Dq)=2(a1+d)+匕,(a1- d)2=耳少 2).故 an= n, bn=2n.(2)解

14、：将 a1, b1, b2记为第 1 组，a2, as, a4, bs, b4, b5, b6记为第 2 组，a5, a6, a?, as,ag, b?, bs, bg, be, bn, b12记为第 3 组， 以此类推，则第 n 组中，有 2n 1 项选取 于数列an ，有 2 n 项选取于数列bn，前 n 组共有 n2项选取于数列an，有 n2+ n 项选取(3-X1代入椭圆方程，得+穿二仁二仁10 分12 分14 分13 分-11 当 S /5(仔1+( 2+ 22+ T 22019)时,Sn J2 -2013-245呼1): 0 .当 & =452(4?2 1+( 2+ 22+

15、-+ 22019)时,2 2&22014亠亠.45(4；“ o可得到符合 Sn：22014的最大的 n=452+ 2019=4037 . .16 分 12 丄 a 2c =1,即b 2d=0，.3a +4c =0,3b 4d =1,数学n（附加题）参考答案与评分标准2121.选做题】A A.选修 4 1:几何证明选讲（本小题满分 10 分）在厶 ABC 中，已知 CM 是/ ACB 的平分线， AMC 的外接圆交 BC 于点 N，且 BN =2AM .求证：AB=2AC.证明：如图，在 ABC 中，因为 CM 是/ ACM 的平分线, 所以些二如,.BC BM 又因为 BA 与 BC

16、是圆 O 过同一点 B 的割线， 所以BMBA = BN BC,又 BN=2AM ,所以，由，得 AB=2AC.10 分B B.选修 4 2 :矩阵与变换（本小题满分 10 分）4刁 214一 1014设二阶矩阵A,B满足 A A 二二,BABA 二，求 B B .3 401解:a c_-B设，因为 BABA 丿二 A A 丄 B B所以一 1：=；4 爲10 分-13 a - 2b =1,解得 c=32C C .选修 4 4 :坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在极坐标系中，已知曲线C:?=2si nr，过极点 0 的直线I与曲线C相交于 A、B 两点,AB =3，求直线I的方程.解：

17、设直线I的方程为-o（pR R）, A 0,0 , B 入“,则 AB =| 0|=|2sin玄| . . 5 分又 AB = 3，故 sin % 二守 . 7 分解得eo=3+2kn或日0=3+2knk Z Z .33所以直线|的方程为 v -或 v - (pR R). . 10 分33D D .选修 4 5 :不等式选讲（本小题满分 10 分）已知 x, y, z 均为正数，求证：X 址111.yz zx xy x y z证明：因为 x, y, z 均为正数，所以仝丄11 人2. . 4 分yz zx z x y z同理可得二二2, - . 7 分xy zx x yz xy y当且仅当 x

18、=y=z 均时，以上三式等号都成立.将上述三个不等式两边左，右两边分别相加，并除以2,得- -. 10 分yz zx xy x y z【必做题】 2222.（本小题满分 10 分）310 分-14 如图，设 R , P2，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点.现任选其中三个不同点构成一-15个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.（i）求S=-2的概率；（2 ）求S的分布列及数学期望 E（S）.所以 E(S)33 3亠19、3v 7410254102323.（本小题满分 10 分）已知 1, 2,，n 满足下列性质 T 的排列 a1, a2，an的个数为 f(n) (n2,且 n N N*).性质 T：排列 a , a2，,an中有且只有一个 q 1(i1 , 2,n-1).(1 )求 f;(2 )求 f(n).解：(1)当n=3 时，1, 2, 3 的所有排列有(1 , 2, 3) , (1 , 3,