贴现与等值率

1、2.4 貼現與等值率n(1)貼現意義:以票據轉給他人並貼給部分利息以換取現金之行為，稱為貼現(Discount)，見票即付現之票據則不適用。n(2)有關名詞說明： a.出票日(Date of Note)：票據開出之日。 b.到期日(Date of Maturity)：票據到期之日。 c.貼現日(Date of Discount)：票據貼現之日。 d.貼現時期(Discount Period)：貼現日至到期日時期。 e.面值(Face Value)：票據載明之款項，以F.V.表之。 f.到期值(Maturity Value)：票據到期，債務人應付全部款額，以S表之，有帶息票據及不帶息票據。g.貼

2、現息(Interest of Discount)：貼現時所付部份利息，以I表之，即I=S-P。h.貼現率(Rate of Discount)：每一單位時期于到期值1元所支付之貼現息，以d表之。i.淨收值(Proceeds)：貼現時實際收到之款額，以P表之。n貼現之種類有二：(1)單貼現(Simple Discount)與(2)複貼現(Compound Discount)。n其計算方法又分別有兩種：一為確實貼現(True Discount)；另一為銀行貼現(Bank Discount)。n(5) 單貼現意義及計算方法: 依單利法計算之貼現法，稱為單貼現，適用貼現時其未滿一年之票據。n計算方法有(

3、1)確實單貼現法(Simple True Discount)與(2)銀行單貼現法(Simple Bank Discount)。a.確實單貼現：以淨收值為基礎，其計算與單利法相同，即淨收值為本金，貼現息為利息，到期值為本利和，亦稱單利率貼現。由公式 S=P(1+ni)得 淨收值 貼現息 ni1SPni1SP-SIb.銀行單貼現：以到期值為基礎計算貼現息，即等於銀行借與貼現者與票據到期值相同之本金，按此計息並先行扣除，故淨收值為到期值與貼現息之差。亦稱單貼現率貼現。 即 I=S n d 故 P=S-I=S(1-nd) n某公司以面值100,000元，三個月未到期之票據，用年息12%向幸福信託公司貼

4、現，試依(1)確實單貼現(2)銀行單貼現，分別求淨收值與貼現息？(準確利息) 解：(1)依題意 S=100,000，i=0.12，n= 代入公式 36590元元2873.87P-SI97,126.1336590100121100,000P (2)依題意 S=100,000，d=0.12，n= 代入公式 I=S n d =100,000 0.12 =2,958.90元 P=S-I =100,000-2,958.90 =97,041.10元3659036590(6) 等值率之計算n從上得知銀行貼現之利息較大，計算亦較簡便，對於經營貼現業務者有利，故金融界樂用之，又同一票據依上述兩種方法貼現欲得相同

5、之淨收值，則其利率與貼現率必然不等，此時兩者互為等值率(Equivalent rate)，公式如后： i= d= nd-1dni1i 證n設票據之到期值S，貼現時其n，淨收值相等則貼現息亦同，公式應用 即 (同除以Sn) 由上式解i得 d+dni=i d=i(1-nd) i=ni1idSndni1SniInd-1d例2n某君以八個月未到期票據，向銀行貼現，貼現率為12%，若向某合作社改以單利率貼現，乃得相同淨收值，求等值單利率？(普通利息) 解：依題意 d=0.12， 代入公式 得 13.04%2012-10.12i32360240n(7) 複貼現意義及計算方法n依複

6、利法計算貼現息之方法，稱為複貼現，適用貼現時期超過一年之票據。n計算方法有(1)確實貼現法(Compound True Discount)與(2)銀行複貼現法(Compound Bank Discount)。 a.確實複貼現：亦稱複利貼現法，乃以淨收值為本金，自貼現日至到期日，以複利計算，複利終值及到期值，淨收值即複利現值，貼現息即複利息，依複利法公式得 淨收值 P=S(1+i) (2-16) 貼現息 I=S-P=S1-(1+i) (2-17) b.銀行複貼現：亦稱複利貼現率貼現法，乃以到期值為基礎，自到期日起逐期返回貼現，直至貼現日，而求得淨收值之方法。n設以P為淨收值，S為到期值，d為複貼

7、現率，n為複貼現時期，I為複貼現息，第(n-1)期末之貼現息為Sd，故其淨收值為S-Sd=S(1-d)，第(n-2)期末之貼現息為S(1-d)d，故其淨收值為S(1-d)-S(1-d)d=S(1-d)(1-d)=S(1-d)，依此類推，直至第1期末，其淨收值為S(1-d)-1，再於第1期初貼現，則得淨收值為 P=S(1-d) 故 I=S-P=S1-(1-d)例3n三年末到期之票據，面值為100,000元，按年利率12%貼現，(1)每年結息兩次(2)每年結息四次，求淨收值與貼現息？ 解：(1)依題意 S=F.V.=100,000，i= ，n=32=6 代入公式得 P=100,000(1+0.06

8、)6 =70,496.05元 I=S-P =100,000-70,496.05 =29,503.95元20.12 (2)依題意 S=F.V.=100,000，i= ，n=34=12 代入公式得 P=100,000(1+0.03)12 =70,137.99元 I=S-P =100,000-70,137.99=29,862.01元 註：注意到期票據可能為帶息票據時之複利終值即為到期值。40.12例4n承上例，複利率改為複貼現率，適用銀行複貼現法求淨收值與貼現息？ 解：(1)依題意 S=100,000，d= =0.06，n=32=6 代入公式得 P=100,000(1-0.06)6 =68,986.

9、98 I=S-P =100,000-68,986.98=31,013.02元20.12(2)依題意 S=100,000，d= =0.03，n=34=12 代入公式得 P=100,000(1-0.03)12 =69,384.24元 I=S-P =100,000-69,384.24=30,615.76元40.12例5n面值40,000元，四年末到期之八厘票據，按複貼現率5%貼現，求淨收值與貼現息？ 解：依題意 帶息票據到期值S=40,000(1+0.08)4=54,419.56，d=0.05，n=4 代入公式得 P=S(1-d)n =54,419.56(1-0.05)4 =44,325.07元 I

10、=S-P =54,419.56-44,325.07=10,094.49元(8)等值率: 實、虛貼現率之互化n複貼現率也有實貼現率(Effective Rate of Discount)與虛貼現率(Nominal Rate of Discount；名義貼現率)，若貼現之次數愈多，則貼現息愈少。n實貼現率之意義:實付之貼現息與到期值之百分比，稱之； 以表之，即= 100%。SIn虛貼現率之意義:為名義貼現率，以f表之，實貼現率與虛貼現率之互化公式如下： m1m)-(1-m1f)mf-(1-1證n因虛貼現率f，m表每年貼現次數，以f(m)表每年貼現m次之虛貼現率，每期之貼現率 為d= f(m) /

11、m 代入公式 mfmm)mf-(1-1S)mf-(1-S1SI)mf-(1-S1P-SI)mf-S(1Pmmn 上式移項開m次方 得 n若用虛貼現率f(m)計算與實貼現率乃所得之淨收值相同，則此兩種貼現率，互為等值率。)-(1-m1f)-(1mf-1m1m1例6n設虛貼現率為12%，(1)每年貼現二次；(2)每年貼現四次，試分別求其等值實貼現率？ 解：(1)f(2)=0.12，d= = =0.06 代入公式 得 =1-(1-d)m =1-(1-0.06)=0.1164=11.64%mf20.12 (2)f(4)=0.12，d= =0.03 代入公式 得 =1-(1-d)m =1-(1-0.03

12、) 4 =0.11470719 11.47%40.12n 若同一票據，按複利率貼現，與按複利貼現率貼現，欲得相同之淨收值，則每期之利率與每期之貼現率，互稱為等值率，公式如下： (2-22) (2-23)d-1di i1id證n按複利率貼現之淨收值為 n按複貼現率貼現之淨收值為 P=S(1-d)n ni)(1SP兩者淨收值相同，即 =S(1-d)n (1+i)(1-d)n =1，(1+i)(1-d)=1 移項 1-d+i-id=1 i(1-d)=d 得 i= 又 i=d(1+i) 得 d=d-1di1ini)(1Sn某人以兩年末到期之票據，向銀行貼現，貼現率為10%，每年貼現兩次，若改向合作社，按確實貼現法貼現，每年計息兩次，仍得相同之淨收值，求其年利率？ 解：依題意 f(2)=0.1，d= =0.05 代入公式 得 故所求年利率 j(2)=20.05263=0.10526=10.53%80.052631570.05-10.05d-1di20.1n 如虛利率一般，當複利次數無限增加，其對應之虛貼現率稱為貼現力(Force of Discount)，以 表之(即f= )，由公式25)-(2 )-ln(1 )-ln(1- 24)-(2 e