线性规划的常见题型及其解法教师版,题型全,归纳好

1、思课题线性规划的常见题型及其解法答案 向学趋势分析 线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致. 归纳起来常见的命题探究角度有: 1 .求线性目标函数的最值. 2 .求非线性目标函数的最值. 3 .求线性规划中的参数. 4 .线性规划的实际应用. 本节主要讲解线性规划的常见基础类题型. 日题晨 1 见*. +y3, 【母题一】已知变量 x,y 满足约束条件xy-1,则目标函数 z=2x+3y 的取值范围为() ,2x-y3, 【解析】画出不等式组 ix-y-1

2、,表示的平面区域如图中阴影部分所示, 12xyw3, 2z2 由目标函数 z=2x+3y 得 y=x+3,平移直线 y=gx知在点 B 处目标函数取到最小值，解方程组 得j2所以 B(2,1),zmin=2X2+3X1=7,在点 A 处目标函数取到最大值，解方程组 y=1, x-y=-1, 2x-y=3, x=4,得 ly=5, 所以 A(4,5),zmax=2X4+3X5=23. x+y=3, 2x-y=3, x-4y+31, 设 z=277，求 z 的最小值； (2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围； (3)设 z=x2+y2+6x-4y+13,求 z 的取值范围. 【剖析方向】点(

3、x,y)在不等式组表示的平面区域内 率；x2+y2表示点(x,y)和原点距离的平方；x2+y2+6x4y+13=(x+3)2+(y2)2表示点(x,y)和点(一 3,2)的距离的平方. x-4y+30, 【解析】(1)由约束条件J3x+5y-251, x=1, 由 1 解得 0(1,1). |x-4y+3=0, i-4y+3=0, 由 f 解得 B(5,2). I3x+5y-25=0, z=x2 2，-1x-2 .z 的值即是可行域中的点与 10；旌线的斜率，观察图形可知 zmin=2x：=|. 5-2 (2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方. 结合图形可知，可行

4、域上的点到原点的距离中， dmin=|OC|=V2,dmax=|OB|=/2l. 2z/(-3-5f+(2-2f=8 16z64. =在技巧= 1 .求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求.其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义. y， 厂0、表示点(x,y)和白， 0：连线的斜 2x12；1,娓/ 由 Bls25-0 解得人，22) 2 .常见的目标函数有： (1)截距型：形如 z=ax+by. 求这类目标函数的最值常将函数 z=ax+by 转化为直线白斜截式：y=-x+jz,通过求直线的截距、的 最值，间接求出 z 的最值. (2)距离型：形一：如 z=，(x-a)2+(y-b)2

5、,z=x2+y2+Dx+Ey+F,此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离； 形二：z=(x-a)2+(y-b)2,z=x2+y2+Dx+Ey+F,此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离的 平方. (3)斜率型：形如 z=y,z=型二 b,z=y,z=ayzb,此类目标函数常转化为点(x,y)与定点所在直 xcxdcxdx 线的斜率. 【提醒】注意转化的等价性及几何意义. 题里分折 角度一：求线性目标函数的最值 x+y-7W0, 1. (2014 新课标全国 n卷)设 x,y 满足约束条件 1x3y+10, A.10B.8 C.3D.2 由 z=2xy 得 y=2xz,作出直线 y=

6、2x,平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点 A(5,2)时, 对应的 z 值最大.故 zmax=2X52=8. 【答案】B x+20, 2. (2015 高考天津卷)设变量 x,y 满足约束条件xy+30,则目标函数 z=x+6y 的最大值为 ,2x+y-30, 3x+y-80 所表示的区域上一 动点，则直线 OM 斜率的最小值为（） B. -1 C.- 3 D. 【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示, 作出约束条件对应的平面区域如图所示 3.(2013 C.0 显然当点 M 与点 A 重合时直线 OM 的斜率最小，由直线方程 x+2y1=0 和 3x+y8=0,解得 A（

7、3, 1 -1）,故 OM 斜率的最小值为1. 3 【解析】C 0 xV2, 5,已知实数 x,y 满足yW2,则 z=十丫：1的取值范围 x1 、-x&my, 【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示， 目标函数 z=2x+y1=2+的取值范围可转化为点（x,y）与（1,1）所在直线的斜率加上 2 的取值 x1x1 范围，由图形知，A 点坐标为（卷，1）,则点（1,-1）与（#,1）所在直线的斜率为 2 出+2,点（0,0）与（1, 1）所在直线的斜率为1,所以 z 的取值范围为（8,1U22+4,+8）. 【答案】（8,1U2 成+4,+8） x+y2 6. （2015 郑州质

8、检）设实数 x,y 满足不等式组 iy-x0, 7. （2013 高考北京卷）设 D 为不等式组，2xyW0,所表示的平面区域，区域 D 上的点与点（1,0）之 1, 8,设不等式组x-2y+30,所表示的平面区域是1，平面区域外与1 关于直线 3x-4y-9=0 v.yx .点 A(1,1)到直线 3x4y9=0 的距离 d=|3-4-9|=2,则|AB|的最小值为 4. 5 角度三：求线性规划中的参数 x0, 若不等式组4,所表示的平面区域被直线 y=kx+4分为面积相等的两部分，则 k 的值是 3 t3x+y1 【解析】不等式组 Jx2y+30 ）x ,所表示的平面区域如图所示, x=1

9、x=1 解方程组 I,得 i ly=xly=1 9. C. 【解析】不等式组表示的平面区域如图所示 由于直线 y=kx+3 过定点0,4：因此只有直线过 AB 中点时，直线 y=kx+4 能平分平面区域.因为 A(1,1),B(0,4),所以AB 中点 D&2j 当 y=kx+3 过点点|，4,72=k+3,所以k=7. 【解析】A A.IB.2 一1一1 C.2D.-2 x+y-I0, 【解析】D 作出线性约束条件kx-y+I0,的可行域. ly0 当 k0 时，如图所示，此时可行域为 y 轴上方、直线 x+y-I=0 的右上方、直线 kxy+2=0 的 右下方的区域，显然此时 z=

10、yx 无最小值. 当 k-1 时，z=yx 取得最小值 2;当 k=1 时，z=yx 取得最小值2,均不符合题意. 当一 1vkv0 时，如图所示，此时可行域为点 A(2,0),B 0C(0,2)所围成的三角形区域，当 直线 z=yx 经过点 B 卜 2,0 时，有最小值，即一2U-4?k=-2， 【答案】D x+y-2a0, 11.(2014 高考安徽卷)x,y 满足约束条件Jx-2y-20. 则实数 a 的值为() 1,、，、1 D. 10. (1014 高考北京卷)若 x, x+y- l0, y 满足 Skxy+20, ly0, 且 z=yx 的最小值为一 4,则 k 的值为( 图图 A

11、.1或1B.2 或 2 C.2 或 1D.2 或1 【解析】 法： 由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示， 可知 A(0,2),B(2,0),0(-2,2),则 zA=2,zB=-2a,z0=2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要 zA=zBz0或 zA=zCzB或 ZB=4,解得 a=1 或 a=2. 法二： 目标函数 z=yax可化为 y=ax+z,令 l0：y=ax,平移 l0,则当 l。/AB 或 l。/AC 时符合题意,故 a=-1 或 a=2. 【答案】D rx0, y0,_，_，一 12.在约束条件下，当 3wsw5 时，目标函数 z=3x+2y 的最大值的取值范

12、围是() x+ys, Ly+2x4. A.6,15B.7,15 C.6,8D.7,8 ,x+y=s,_x=4-s, 【解析】由 i 得 i，则交点为 B(4-s,2s-4),丫+2*=4 与乂轴的交点为 A(2,0), y+2x=4,y=2s4, 与 y 轴的交点为 C(0,4),x+y=s 与 y 轴的交点为 0(0,s).作出当 s=3 和 s=5 时约束条件表示的平面 区域，即可行域，如图(1)(2)中阴影部分所示. 1(2) 当 3Wsv4 时，可行域是四边形 OABC 及其内部，此时，70, 【解析】:广:1+笠产,而长表示过点（x,y）与（1）连线的斜率，易知a0, 【答案】1 角

13、度四：线性规划的实际应用 14 .A,B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品.已知 A 产品需 要在甲机器上加工 3 小时，在乙机器上加工 1 小时；B 产品需要在甲机器上加工 1 小时，在乙机器上加工 3 小时.在一个工作日内，甲机器至多只能使用 11 小时，乙机器至多只能使用 9 小时.A 产品每件利润 300 元，B 产品每件利润 400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是元. 3x+y0, 若二号手的最小值为 2 则 a 的值为 可作出可行域，由题意知 x+1 ，一，八一 1 的最小值是 j 即 仅+1、0jT1 x+1min3a13a+1 生产

14、利润为 z= 画出可行域，如图中阴影部分 （包含边界）内的整点，显然 z=300 x+400y 在点 A 处取得最大值，由方 程组 3x+y=11,x=3, i 解得 1 k+3y=9,ly=2, 贝 Uzmax=300X3+400X2=1700.故最大利润是 1700 元. a=1. 生产一个骑兵需 7 分钟，生产一个伞兵需 4 分钟，已知总生产时间不超过 10 小时.若生产一个卫兵可获 利润 5 元，生产一个骑兵可获利润 6 元，生产一个伞兵可获利润 （1）试用每天生产白卫兵个数 x与骑兵个数 y 表示每天的利润 （2） 怎样分配生产任务才能使每天的利润最大， 最大利润是多少? 【解析】（

15、1）依题意每天生产白伞兵个数为 100 xy,所以利润 初始直线 l0：2x+3y=0,平移初始直线经过点 A 时，w 有最大值.由。 最优解为 A（50,50）,所以 wmax=550 元. 所以每天生产卫兵 50 个，骑兵 50 个，伞兵 0 个时利润最大，最大利润为 550 元. DO练习 、选择题 1.已知点（一 3,1）和点（4,-6）在直线 3x2ya=0 的两侧，则 a 的取值范围为（） A.(-24,7) C.(8,7)U(24,+8) D.(巴24)U(7,) 【解析】根据题意知(9+2a)(12+12-a)0, （2015 临沂检测）若 x,y 满足约束条件 ix+2y3,

16、则 z=xy 的最小值是（） !.2x+y0, 【解析】作出不等式组ix+2y3,2x+y0,x0,y0,x,yCN. x+3y0,y0,x,yCN. 目标函数为 w=2x+3y+300. 作出可行域. 如图所示: x+3y=200,x=50, 得， x+y=100,ly=50. B.(-7,24) 平移直线 z=x-y,易知当直线 z=xy 经过点 C（0,3）时，目标函数 z=xy 取得最小值，即 ，一.一一一一，一一-X+MW1，二一 3.（2015 泉州质检）已知 O 为坐标原点，A（1,2）,点 P 的坐标（x,y）满足约束条件,则 z=OAOP x0, 的最大值为（） A.-2B.

17、-1 C.1D.2 【解析】如图作可行域，z=OAOP=x+2y,显然在 B（0,1）处 zmax=2. 【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线 l:2x-2y-1=0,平移 l 可知 2X 3 -2x|-Kz0, 4.已知 实数 x,y 满足： ix0, 则 z=2x2y1 的取值范围是（） B. 0,5 D. 55) -3,5, 工=2 7.(2014 成都一诊)在半囿直角坐标系 动点，则直线 OP 斜率的最大值为() A.2 C.2 【解析】作出可行域如图所示，当点 xOy 中，P 为不等式组Jx+y-20,所表示的平面区域上一 X一 y_1&0, _1 B.

18、Q3 D.1 x+y=2，一、，一 P 位于的父点(1,1)时，(0P)max=1. y=1, 不 /又一户 I 2/ 0/ 【答案】D 8.在平囿直角坐标系 xOy中，已知平面区域 (x+y,x-y)|(x,y)CA的面积为() /+/ A=(x,y)|x+y0,y0,则平面区域 B= A.2B.1 C.3D.0 【解析】由题意知(68b+1)(34b+5)v0,即 Q，b2)v0,，：bv2,，b 应取的整数为 1. 【答案】B 6.(2014 郑州模拟)已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限，若点(x,y)在ABC 内部，则z=x+y 的取值范围是

19、() A.(1-V3,2)B,(0,2) C.(V3-1,2)D,(0,1+5) 【解析】如图，根据题意得 C(1+73,2). 作直线一 x+y=0,并向左上或右下平移，过点 B(1,3)和 C(1+73,2)时，z=x+y 取范围的边界值,即一(1+5)+2z0, 10.设动点 P(x,y)在区域:iyx,次+y4 段 AB,则以 AB 为直径的圆的面积的最大值为（） A.兀 B.2% C.3 兀 D.4 兀C. D. x+y0,y0, 所表示的可行域如图所示, 设 2=乂+丫，b=x-y,则此两目标函数的范围分别为 a=x+y0,1,b=xy1,1,又 a+b=2x 0,2,a-b=2y

20、C0,2,点坐标(x+y,x-y),即点(a,b)满足约束条件 作出该不等 0a+b2, L0Wa-b0, x0,y0, 的取值范围是（） 若目标函数 z=ax+by（a0,b0）的最大值为 4,则 ab A.(0,4) B.(0,4 C.4,+oo) D.(4,+8) 【解析】作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知, z=ax+by(a0,b0)过点 A(1,1)时 取最大值, 4. 上，过点 P 任作直线 l,设直线 l 与区域 Q 的公共部分为线 a-4 由十6印 0+4=2 a+b=4, a0,b0,abC(0, 3H寸-2=0 【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部

21、分所示, 则根据图形可知，以 AB 为直径的圆的面积的最大值 S=兀 X12=4 兀. 【答案】D y1 11 .（2015 东北三校联考）变量 x,y 满足约束条件Jx-y2,若使 z=ax+y 取得最大值的最优解 、3x+ya,一 12 .（2014 新课标全国 I卷）设 x,y 满足约束条件 1 且 2=乂+ay 的最小值为 7,则 a=（ |x-y-1, A.-5B.3 C.5 或 3D.5 或3 a1 比皿、工口 x+y=a,左/口 Jx=2/左/口t 【解析】法一：联立方程 解得代入 x+ay=7 中，解得 a=3 或一 5,当 lx-y=-1,a+1 y=2， =5 时，z=x+

22、ay 的最大值是 7;当 a=3 时，z=x+ay 的最小值是 7. 法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解. （1）（阴影部分）. 当 a=5 时，作出不等式组表示的可行域，如图 图图(2) x 一 y=一 1, 由0,b0,且当 iy0,x+ywi 是（） 1A. C.1 1 【解析】因为 ax+byW1 恒成立，则当x=0 时，by1 恒成立，可得 yW bw0)恒成立，所以 0b0, 14 .(2013 高考北京卷)设关于 x,y 的不等式组,x+m0 满足 XO2y0=2.求得 m 的取值范围是() A.(一 8,3)B.-巴 3) poo.loo. C.3D3 【解析】当 m

23、0 时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点 P(xo, y0)满足 x02y0=2,因此 mv0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域. 要使可行域内包含 y=：x1 上的点，只需可行域边界点(一 m,m)在直线 y=：x1 的下方即可，即 m 1-2 v?m1，解得 mv3. 时，恒有 ax+by0,若圆心 CCQ, 、y0. 且圆 C 与 x轴相切，则 a2+b2的最大值为（） A.5B.29 D.49 0, 17.在平面直角坐标系中，若不等式组 4ywx,表示一个三角形区域，则实数 k 的取值范围 Ly0, 15.设不等式组3x-y+30, ,5x-

24、3y+91 时，也可形成三角形，综上可知 kv1 或 k1. 【答案】D x2y+10, 18. （2016 武邑中学期中）已知实数 x,y 满足则 z=2x+y 的最大值为（） Jx|-y1x 19. （2016 衡水中学期末）当变量 x,y 满足约束条件x+3yW4 时，z=x-3y 的最大值为 8,则实数 、xm m 的值是（） A.-4B.-3 C.2D.-1 【解析】画出可行域如图所示，目标函数 z=x3y 变形为 y=：Z，当直线过点 C 时，z 取到最大值， 33 又 C（m,m）,所以 8=m3m,解得 m=4. 【答案】A x-3y+10, /AOB 的最大值等于（） 1 D

25、.2 【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域, 【答案】4 x+2y 一 4w0, 22 .（2014 高考浙江卷）若实数 x,y 满足$xy1W0,则 x+y 的取值范围是. x1, 【解析】作出可行域，如图，作直线 x+y=0,向右上平移，过点 B 时，x+y 取得最小值，过点取得最大值. 由 B(1,0),A(2,1)得(x+y)min=1,(x+y)max=3.所以 1wx+yW3.观察图形可知当 A 为（1,2）,B 为（2,1）时, 1 tan/AOB 取得取大值，此时由于 tana=kBO=,tan 3=kAO c 凤，/,，-、tanB-tana =2,故 tan/AOB

26、=tan(3 一力= 1+tan阳 na 1 2 23 14 1+2XQ 二、填空题 x+y20, 21.（2014 高考安徽卷）不等式组 ix+2y-40 【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知$ABC=；X2X（2+2）=4. at+7 【答案】1,3 x1, 23 .(2015 重庆一诊)设变量 x,y 满足约束条件x+y-40,则目标函数 z=3xy 的最大值为 ,x-3y+40,则 w=x2+y24x4y+8 的最小值为. j一 1, 【解析】目标函数 w=x2+y2-4x-4y+8=(x-2)2+(y-2)2,其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的 距离的平方

27、.由实数 x,y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示， 由图可知，点(2,2)到直线 x+y1=0 的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又 9 所以 Wmin=5- 1 2x+3y60,所表示的区域上一动点，则|OM|的 ,y0 最小值是. 【解析】如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点 O 到直线 x+y-2=0 的垂线段长是|OM| 【答案】.2|2+21|3,22 的最小值，|OM|min= 26 .（2016 汉中二模）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水 3 吨、煤 2 吨；生产每吨乙产品要用水 1 吨、煤 3 吨.销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，

28、销售每吨乙产品可获得利润 3 万元， 若该企业在一个生产周期内消耗水不超过 13 吨，煤不超过 18 吨，则该企业可获得的最大利润是万 元. 【解析】设生产甲产品 x吨，生产乙产品 y 吨，rX0, y0, 由题意知利润 z=5x+3y,作出可行域如图中阴影部分所示， 3x+y13, 12x+3yw18, 求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当 x=3,y=4,即生产甲产品 3 吨，乙产品 4 吨时可获得 最大利润 27 万元. 【答案】27 27.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和 韭菜的产量、成本和售价如下表: 年产量/亩 年种

29、植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4 吨 1.2 力兀 0.55 万元 韭菜 6 吨 0.9 力兀 0.3 力兀 为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入一总种植成本）最大，则黄瓜的种植面积应为亩. 【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x亩，y 亩，总利润为 z 万元，则目标函数为 z=（0.55X4x x+y50, 【答案】30 x+y50, 1.2x)+(0.3x6y-0.9y)=x+0.9y,线性约束条件为 1.2x+0.9y0, y0, 4x+3y0,y0. 画出可行域，如图所示.作出直线 l0:x+0.9y=0,向上平移至过点 A 时，z 取得最大值, 4x+y=50,I4x+3y=18

30、0, 解得 A(30,20). x0,表示的平面区域，则当 a 从一 2 连续变化到 1 时，动 、yxw2 直线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为 x+2y-41 时，1Wax+yW4 恒成立，则实数 a 的取值 范围是 【解析】画可行域如图所示，设目标函数 z=ax+y,即 y=ax+z,要使 1wzw4 恒成立，则 a0, 数形结合知，满足 12a+14, (1a0）取得最大值的最优 解有无穷多个，则 k 的值为. 【解析】由目标函数 z=kx+y（k0）取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线 kx+y=0 的倾斜角为 120 ,于是有k=tan120=水,所以 k=.3. 【答案】.3 yx, 31.设 m1,在约束条件 Sywmx,下，目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m 的取值范围 yw1 【解析】变换目标函数为y=-mx+京,由于m1,所以一