线性代数62学习教案

1、会计学1线性代数线性代数(xin xn di sh)62第一页，共56页。说明说明(shumng)2222211nnTTykykykACyCy 就就是是要要使使变变成成标标准准形形经经可可逆逆变变换换要要使使二二次次型型, 2 Cyxf. ,),(212121 yyykkkyyynnn.成成为为对对角角矩矩阵阵也也就就是是要要使使ACCT; ,1 ACCBAfCyx. T 变变为为的的矩矩阵阵由由但但其其秩秩不不变变后后二二次次型型经经可可逆逆变变换换如何如何(rh)找矩阵找矩阵C？第2页/共56页第二页，共56页。一、正交变换法一、正交变换法已知结论已知结论(jiln)：对任意实对称矩阵对任

2、意实对称矩阵A，一定，一定(ydng)存在正交矩阵存在正交矩阵Q，使得使得(sh de)112(,),nQ AQdiag 其中其中12,n 为矩阵为矩阵A的的n个特征值个特征值.因为因为Q为正交阵，所以为正交阵，所以1TQQ于是于是12(,),TnQ AQdiag 由此得到：由此得到：第3页/共56页第三页，共56页。12222112212212( ,)().nTnnnnnnf x xxAQAQ AQyyyAnQnA， ， ， ， ， ，：TTTxx,xy , xx = yy =1 1对于任一个 元二次型对于任一个 元二次型存在正交矩阵变换 =使得存在正交矩阵变换 =使得其中是实对称矩其中是实

3、对称矩 定理6.1(主轴定理6.1(主轴阵 的 个特征值的阵 的 个特征值的个列向量是矩阵 对应于个列向量是矩阵 对应于的标准正交的标准正交理)理)特征向量特征向量定定第4页/共56页第四页，共56页。用正交变换化二次型为标准(biozhn)形的具体步骤;,. 1AAxxfT求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,. 221nA 的所有特征值的所有特征值求出求出 ;,. 321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得

4、作作正正交交变变换换 第5页/共56页第五页，共56页。例例1: 将二次型将二次型通过正交变换x=Py化成(hu chn)标准形. f =17x12+14x22+14x324x1x24x1x38x2x3解解: 1. 写出对应写出对应(duyng)的二次型矩阵的二次型矩阵. 144241422217A2. 求A的特征值. 144241422217|EA= ( 18)2 ( 9)从而从而(cng r)得得A的特征值的特征值: 1=9, 2=3=18. 第6页/共56页第六页，共56页。3. 求特征向量.将1=9代入(AE)x=0得基础(jch)解系: 1=(1, 2, 2)T.将2=3=18代入(

5、AE)x=0得基础(jch)解系:2=(2, 1, 0)T, 3=(2, 0, 1)T.将特征向量正交化:2333222(,),(,) 得正交向量(xingling)组取取 1 = 1, 2 = 2,1 =(1/2, 1, 1)T, 2 =(2, 1, 0)T, 2 =(2/5, 4/5, 1)T.第7页/共56页第七页，共56页。 ,3, 2, 1| iiii ,051522 ,3232311 .4554544523 将正交向量(xingling)组单位化, 令得.45503245451324525231),(321 P4. 作正交变换令于是于是(ysh)所求正交所求正交变换为变换为:,45

6、503245451324525231321321 yyyxxx且有且有 f = 9y12 + 18y22 +18y32 .第8页/共56页第八页，共56页。（1）几何）几何(j h)意义：在自然基意义：在自然基 坐标系下坐标系下的的 二次曲面二次曲面说明说明(shumng)：17x12+14x22+14x324x1x24x1x38x2x3 = 1在另一直角坐标在另一直角坐标(zh jio zu bio)系系123, 下的方程为下的方程为9y12 + 18y22 +18y32 = 1 .它表示一个椭球面，其主轴与新坐标系的坐标轴重合，它表示一个椭球面，其主轴与新坐标系的坐标轴重合，主轴长度分别为

7、主轴长度分别为,; i 123111为为A的特征值，的特征值， ,123而变换而变换 的矩阵的矩阵 正是由基正是由基 到基到基 的过渡矩阵。的过渡矩阵。xPy P123 , ,123第9页/共56页第九页，共56页。（2）一般）一般(ybn)， (1,2,3)ii的符号的符号(fho)决定二次曲面的类决定二次曲面的类型型三正三正(sn zhn)：椭球面；两正一负：单页双曲：椭球面；两正一负：单页双曲面；面；一正两负：双页双曲面；二正一一正两负：双页双曲面；二正一0：椭圆柱面：椭圆柱面一正一负一一正一负一0：双曲柱面：双曲柱面（3）二次型的标准形不是唯一的）二次型的标准形不是唯一的.(4) 正交

8、变换的优点：保持几何形状不变正交变换的优点：保持几何形状不变,保持度量保持度量. (5) 利用正交变换法时，一定有利用正交变换法时，一定有(,),TniC ACdiag 12为为A的特征值。的特征值。一般地一般地；(,),TniC ACdiag d ddd 12不一定是不一定是A的的特征值，C中的列向量也不一定是A的特征向量.第10页/共56页第十页，共56页。,0111101111011110 A f =2x1x2+2x1x32x1x42x2x3+2x2x4+2x3x4例2: 求一个(y )正交变换x=Py, 把二次型化为标准(biozhn)形.解: 二次型的矩阵(j zhn)为A的特征多项

9、式为.111111111111| EA计算特征多项式:把二, 三, 四列都加到第一列上, 有第11页/共56页第十一页，共56页。,1111111111111)1(| EA把二, 三, 四行(s xn)分别减去第一行, 有1000212022101111)1(| EA1221)1(2 .)3()32()1()1(322 从而从而(cng r)得得A的特征值的特征值: 1=3, 2=3=4=1. 当1= 3时, 解方程组(A+3E)x=0, 得基础(jch)解系:第12页/共56页第十二页，共56页。,11111 .1111211 p单位(dnwi)化即得 当2=3=4=1时, 解方程组(AE)

10、x=0, 可得正交的基础(jch)解系:,1111,1100,0011232 .21212121,212100,002121432 ppp单位(dnwi)化即得:于是正交变换为:第13页/共56页第十三页，共56页。 yyyyxxxx432143212121021212102121021212102121且有且有 f = 3y12 + y22 + y32 + y42.第14页/共56页第十四页，共56页。,333351315 A二次型的矩阵(j zhn)为:求得特征求得特征(tzhng)多项式为多项式为: | AE | = (4)(9).于是(ysh)A的特征值为: 1 = 9, 2 = 4,

11、 3 = 0.211,011,111321 ppp对应特征向量为:化为标准形化为标准形, 并指出并指出f (x, y, z)=36表示何种二次曲面表示何种二次曲面.求一正交变换, 将二次型 f(x, y, z)=5x2+5y2+3z22xy+6xz6yz 第15页/共56页第十五页，共56页。,62031612131612131 wvuzyx正交变换为:化二次型为 f = 9u2 +4v2.可知(k zh) f (x, y, z) = 36 为椭圆柱面方程.将其单位(dnwi)化得.313131| 111 ppq,626161| 333 ppq,02121|222 ppp第16页/共56页第十

12、六页，共56页。在在o-xyz坐标系中的图形坐标系中的图形(txng)在在o-uvw坐标系中的图形坐标系中的图形(txng)第17页/共56页第十七页，共56页。例例4 已知二次型已知二次型 经过正交变换经过正交变换 化为标准化为标准(biozhn)形形 求求 的值和正交矩阵的值和正交矩阵 .(,)f xxxxaxxbx xx xx x222123123121323222 xPy (,)f yyyyy22123234, a bP解：二次型和标准形的矩阵解：二次型和标准形的矩阵(j zhn)分别为：分别为：,bAba 110111114由题设条件由题设条件(tiojin) 又又 TP AP TP

13、P 1故故 与与 相似，从而相似，从而A有特征值有特征值A ,123014所以有所以有 ()bbabb 21231110 1 40101111又又 aaaaa112233123110143第18页/共56页第十八页，共56页。故故 A 111131111由由 解方程组解方程组 得特征向量：得特征向量： 10()AI x00( , ,)T 11 01由由 解方程组解方程组 得特征向量：得特征向量： 11()AI x 0( , )T 111 1由由 解方程组解方程组 得特征向量：得特征向量： 14()AI x40( , , )T 11 2 1单位单位(dnwi)化得：化得：( , ,) ,( ,

14、) ,( , , )TTTPPP1231111 0111 11 2 1236正交矩阵正交矩阵(j zhn)为：为：(,)PP P P 12311123612036111236第19页/共56页第十九页，共56页。1. 实二次型的化简问题实二次型的化简问题, 在理论和实际中经常遇在理论和实际中经常遇到到, 通过在二次型和对称矩阵之间建立通过在二次型和对称矩阵之间建立(jinl)一一对一一对应的关系应的关系, 将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵角矩阵,而这是已经解决了的问题而这是已经解决了的问题, 请注意这种研究问请注意这种研究问题的思想方法题的思想方法

15、.2. 实二次型的化简实二次型的化简, 并不局限于使用正交矩阵并不局限于使用正交矩阵, 根据二次型本身的特点根据二次型本身的特点(tdin), 可以找到某种运算更可以找到某种运算更快的可逆变换快的可逆变换. 下一节下一节, 我们将介绍另一种方法我们将介绍另一种方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法.第20页/共56页第二十页，共56页。用正交变换化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准形, 其特点是保持其特点是保持(boch)几何形状不变几何形状不变.问题问题(wnt): 有没有其它方法有没有其它方法, 也可以把二次型化也可以把二次型化为标准形为标准形?问题的回答是肯定的问题的回答是肯定的. 下面首

16、先介绍下面首先介绍拉格朗日配拉格朗日配方法方法.第21页/共56页第二十一页，共56页。1. 若二次型含有若二次型含有xi 的平方项的平方项, 则先把含有则先把含有xi的乘的乘积项集中积项集中, 然后配方然后配方, 再对其余的变量同样进行再对其余的变量同样进行, 直到直到都配成平方项为止都配成平方项为止, 经过非退化经过非退化(tuhu)线性变换线性变换, 就就得到标准形得到标准形;拉格朗日配方法拉格朗日配方法(fngf)的步骤的步骤2. 若二次型中不含有平方(pngfng)项, 但是aij0 ( i j ), 则先作可逆线性变换: kkjijjiiyxyyxyyx 化二次型为含有平方项的二次

17、型, 然后再按1中方法配方.( k i, j ).第22页/共56页第二十二页，共56页。例例5: 化二次型化二次型为标准(biozhn)形, 并求所用的线性变换矩阵. f =x12+2x22+5x32+2 x1x2+2 x1x3+6x2x3f =x12+2x22+5x32+2 x1x2+2 x1x3+6x2x3解:用含有(hn yu)x1的项配方含有平方项含有平方项=x12+2 x1x2+2 x1x3+2x22+5x32+6x2x3=(x1+x2+x3)2x22x322x2x3+2x22+5x32+6x2x3=(x1+x2+x3)2+x22+4x32+4x2x3=(x1+x2+x3)2+(x

18、2+2x3)2第23页/共56页第二十三页，共56页。 3332232112xyxxyxxxy 3332232112yxyyxyyyx.100210111321321 yyyxxx令令所用(su yn)变换矩阵为 .01|,100210111 CC f = x12+2x22+5x32+2 x1x2+2 x1x3+6x2x3 = y12+y22第24页/共56页第二十四页，共56页。, 33212211 yxyyxyyx解解: 由于由于(yuy)所给二次型中无平方项所给二次型中无平方项,.100011011321321 yyyxxx f =2 x1x2+2 x1x36x2x3例例6: 化二次型化

19、二次型为标准形, 并求所用(su yn)的线性变换矩阵.所以(suy)令令即代入代入二次型二次型 f =2 x1x2+2 x1x36x2x3, 得得 f =2y122y224 y1 y3+8y2 y3再配方, 得 333223112 yzyyzyyz f =2(y1- y3)22(y22y3)2+6 y32.令令,2 33322311 zyzzyzzy第25页/共56页第二十五页，共56页。.100210101321321 zzzyyy即 f =2z122z22+6 z32.得得所用(su yn)变换矩阵为 100210101100011011C 100111311| C | =2 0.用配方

20、法时要注意所用用配方法时要注意所用(su yn)的变换是否为可逆变换的变换是否为可逆变换.按上述标准程序按上述标准程序(chngx)配方时一定是可逆变换配方时一定是可逆变换.第26页/共56页第二十六页，共56页。定理：对任一个定理：对任一个(y )n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A，都存在可逆阵，都存在可逆阵C，使得使得(sh de)12(,)TnC ACdiag d dd即：任一即：任一n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A，都可以通过，都可以通过(tnggu)一系列同类型一系列同类型的初等行、列变换的初等行、列变换化为对角阵化为对角阵.第27页/共56页第二十七页，共56页。1、同类型的初等行列、同类型

21、的初等行列(hng li)变换：变换：当当 C 可逆时，一定存在可逆时，一定存在(cnzi)一列初等矩阵，使得一列初等矩阵，使得kCP PP 12于是于是(ysh)：(,)TTTTkknC ACPP P AP PPdiag d dd211212且且kkCP PPP PPI1212注意到注意到,( )( ),( )( )TTTijijiiijjiEEE kE kEkEk 所以所以TTTkkPP P AP PP2112表示对表示对A进行同类型的进行同类型的初等行，列变换初等行，列变换.第28页/共56页第二十八页，共56页。2、可将对称、可将对称(duchn)矩阵矩阵A化为对角阵用数学归纳法证明化

22、为对角阵用数学归纳法证明证明证明(zhngmng)：对：对A的阶数的阶数n用数学归纳法用数学归纳法当当n1时，显然时，显然(xinrn)成立。成立。假设结论对假设结论对n1阶对称矩阵成立，那么阶对称矩阵成立，那么对于对于nnnnnnaaaAaaaaaa 112112222121第29页/共56页第二十九页，共56页。（1）若）若a 110先做先做arra 122111可将第二行的可将第二行的a12变为变为0再做再做acca 122111可将第二列的可将第二列的a12变为变为0继续做下去，可将第一行和第一列的其余元素变为继续做下去，可将第一行和第一列的其余元素变为0，得，得到到(d do)的矩阵

23、：的矩阵：aAA11100其中其中(qzhng)A1为为n1阶对称阶对称(duchn)矩阵。矩阵。第30页/共56页第三十页，共56页。（2）若）若,iiaa1100则先将第一行和第则先将第一行和第 i 行交换行交换(jiohun)，再将第一列和第 i 行交换(jiohun)，则iia为第一行第一列的为第一行第一列的元素元素(yun s)，从而化为情形（，从而化为情形（1）.（3）若主对角元均为）若主对角元均为0，,ijjiaa 0则先做则先做ija2为第一行第一列的元素，为第一行第一列的元素，也可化为情形（也可化为情形（1）.,irr 1再做再做,icc 1则则由归纳假设可知结论成立由归纳假

24、设可知结论成立.第31页/共56页第三十一页，共56页。由由(,)TTTTkknC ACPP P AP PPdiag d dd211212kkCP PPP PPI1212可知方法可知方法(fngf)如下如下:AI同类型同类型(lixng)的初等的初等行，列变换行，列变换(binhun)C 或：或： AI TC 同类型的初等同类型的初等行，列变换行，列变换一般采用第二种方法一般采用第二种方法.第32页/共56页第三十二页，共56页。例例7：将二次型将二次型222123121 323255448fxxxx xx xx x化成标准形，并求变换化成标准形，并求变换(binhun)矩阵矩阵C.解：二次型

25、解：二次型 f 的矩阵的矩阵(j zhn)为为A 222254245 AI 22210025401024500121312131rrrrcccc 200100032110023101方法方法(fngf)一：一：第33页/共56页第三十三页，共56页。 20010003011051200133323232323rrcc 200100032110023101故故 2353TC 10011012133且且 为坐标为坐标(zubio)变换，于是变换，于是 xcy TTTfx Axy c Acyyyy2221235233第34页/共56页第三十四页，共56页。AI 222254245100010001r

26、rrr 2131 222032023100010001方法方法(fngf)二：二： 222032023100010001cccc 2131 200032023111010001rr 3223 2000325003111010001第35页/共56页第三十五页，共56页。 2000325003111010001cc 3223 200030500311132013001C 于是于是(ysh)做坐标变换做坐标变换CxyC 11132013001其中其中(qzhng)则将二次型化为标准则将二次型化为标准(biozhn)形形fyyy2221235233第36页/共56页第三十六页，共56页。2222|2

27、54(1) (10)245AI222123121 323112323255448222( ,)254245fxxxx xx xx xxx x xxx又故fyyy22212310第37页/共56页第三十七页，共56页。例例8：已知二次型已知二次型fxxcxx xx xx x22212312132355266的秩为的秩为2，（1）求参数）求参数(cnsh)c及二次型所对应的矩阵的特征值；及二次型所对应的矩阵的特征值；（2）判定）判定 f 1 表示什么曲面？表示什么曲面？解：二次型所对应解：二次型所对应(duyng)的矩阵为的矩阵为Ac 51315333由题设知由题设知( )2,r A 所以所以(s

28、uy) |A|=0即即第38页/共56页第三十八页，共56页。Ac 5131533312rrc 4401533321ccc 40016336()c4 618 0所以所以(suy) c3.A的特征方程为的特征方程为AE 51315333312rr 440153333第39页/共56页第三十九页，共56页。21cc 400163363() 4()()6318() () 490故故A的特征值为的特征值为,123049二次型可通过二次型可通过(tnggu)正交变换化为正交变换化为fyy222349所以所以(suy) f 1 表示椭圆柱面表示椭圆柱面.第40页/共56页第四十页，共56页。例例9：已知实

29、二次型已知实二次型222( , , )32222f x y zxyzxyxz求求( , , )f x y z在单位在单位(dnwi)球面球面2221xyz上的最值上的最值.解：二次型的矩阵解：二次型的矩阵(j zhn)为为A 311120102|AE 311120102()()()()()32222()()()2322() 2254()()() 214故故A的特征值为：的特征值为：,.124第41页/共56页第四十一页，共56页。于是于是(ysh)可通过正交变换可将二次型化为标准形：可通过正交变换可将二次型化为标准形：(,)f x y zxyz 22224注意到正交变换不改变向量的长度注意到正

30、交变换不改变向量的长度(chngd)，所以，所以xyz2221xyz2221于是于是(ysh)二次型二次型( , , )f x y z在单位球面在单位球面xyz2221上的最值就是二次型上的最值就是二次型(,)f x y z 在单位球面在单位球面xyz2221上的最值上的最值.因为因为()xyzxyzxyz22222222212444即所求最大值为即所求最大值为4，最小值为，最小值为1.第42页/共56页第四十二页，共56页。将一个二次型化为标准形将一个二次型化为标准形, 可以用正交变换法可以用正交变换法, 也可也可以用配方法以用配方法, 或者初等变换法或者初等变换法, 这取决于问题的要求这取

31、决于问题的要求. 如如果要求找出一个正交矩阵果要求找出一个正交矩阵, 或条件与度量有关，应使用或条件与度量有关，应使用正交变换法正交变换法; 如果只需要找出一个可逆的线性变换如果只需要找出一个可逆的线性变换, 那那么各种方法都可以使用么各种方法都可以使用. 正交变换法的好处是有固定的正交变换法的好处是有固定的步骤步骤, 可以按部就班一步一步地求解可以按部就班一步一步地求解, 但计算量通常较大但计算量通常较大. 需要注意的是需要注意的是, 使用不同使用不同(b tn)的方法的方法, 所得到的标准所得到的标准形可能不相同形可能不相同, 但标准形中含有的正平方项的项数和负但标准形中含有的正平方项的项

32、数和负平方项的项数必定相同平方项的项数必定相同, 项数等于所给二次型的秩项数等于所给二次型的秩.第43页/共56页第四十三页，共56页。1.实二次型的化简问题，在理论和实际中实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立(jinl)一一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法同学们注意这种研究问题的思想方法2.实二次型的化简，并不局限于使用实二次型的化简，并不局限于使用(shyng)正交正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种方法方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法第44页/共56页第四十四页，共56页。化为标准型，并指出化为标准型，并指出 表示何种二次表示何种二次 1,321 xxxf曲面. 323121232221321662355,xxxxxxxxxxxxf 求一正交变换，将二次型第45页/共56页第四