集合典型习习题

1、第一章 集合1. 集合A=1,2,3,4,B=a,b,c,判定下列各题的正确与错误：（1）1A ； （2）cB； （3） 1，2，4A；（4）a，b，cB；（5）2A； （6）cB； （7）； （8）2A；（9）B； （10）2，3.解：（1）不正确。因为1是集合，集合与集合之间一般不能有属于关系。 （2）正确。虽然c是集合，但是它又是B中的元素。 （3）正确。虽然1，2，4是A的真子集，但是同时满足子集定义，故可以这样表示。 （4）不正确。因为cB。 （5）不正确。虽然2是一个集合，但是它只是A中的一个元素，不能有包含关系。 （6）不正确。理由同（5）。 （7）正确，符合定义。 （8）正确，

2、都符合定义。 （9）不正确，因为B中本没有元素。 （10）不正确。不是2，3是中的元素，不能有属于关系，若写成2，3则可以。2确定下列集合的幂集：（1） A=a，b； （2）B=1，2，3；（2） C=，a，b； （4）D=。解 （1）因为A的所有子集为，a，b，a，b，所以 （2）因为B的所有子集为，1，2，3和1，2，3。所以（3） 因为C的所有子集为，a,b,a,b,a,b,a,b,所以（4） 因为D的子集为，所以说明 欲求一个给定集合的幂集合，首先把这个给定集合的所有子集列出，并检验所列子集的个数是否等于个,n为给定集合的元数,当然,熟练者可以省略这一步骤.2. 判定以下论断哪些是恒成

3、立的哪些是恒不成立的哪些是有时成立的(1) 若aA,则aAB;(2) 若aA,则aAB;(3) 若aAB,则aA;(4) 若aAB,则aB;(5) 若aA,则aAB;(6) 若aA,则aAB;(7) 若,则AB=A;(8) 若,则AB=B. 解 (1)恒成立.因为A AB,若aA,则aAB.(2)有时成立.若aA,但 AB;若aA,且aB,则aAB.(3)有时成立.若aAB,可能有三种情形: aA但对于第一、三种情形，有aA，但是第二种情形，。（4）恒成立。因为aAB，必有aA，且aB。（5） 有时成立。虽然，但是，有aB或两种可能，若，则 AB；若aB，有aAB。（6） 恒不成立。因为，即使

4、aB，也有 AB，若，更有 AB。（7） 恒成立。当，A是B的子集，当然满足AB=A。（8） 有时成立。既然，就有两种可能：A=B或者AB。若A=B，则AB=B成立；若AB，则AB=B就不成立。4设全集合E=a，b，c，d，e，A=a，d，B=a，b，e，C=b，d，求下列集合：（1） AB； （2）（AB）C；（3）A（BC）；（4）解 （1）AB=a，dc，d=d.(2) （AB）C=aa,c,e=a,c,e.(3) A（BC）=b,c,ea,e=a,b,c,e.(4) =,a,d,a,d.=,a,b,e,a,b,a,e,b,e,a,b,e故 =,a.5. 设A和B是全集E的子集,利用运算

5、律证明:(1) (AB) (AB)=A;(2) B(AB) A)=E.证 (1) (AB) (AB)=A(BB)=AE=A(3) B(AB) A)=B(A A) (BA) (分配律)=B(BA) (互补律)=B(BA) (同一律)=B(BA) (德·摩根律)=(BB)A (结合律)=EA (互补律)=E.说明 利用运算律证明集合恒等式时,后面的运算律名称不一定要求写,只是刚开始做这种类型题时标一下,目的在于熟悉理解运算律内容,稍加熟练后便可以不写.6. 设A,B,C 是三个任意集合,求证:(1) (AB)(BC)(CA)=(AB)(BC)(CA);(2) (AB)(BC)(CA)=

6、(AB)(ABC)(ABC).证(1) (AB)(BC)(CA) =( AB)(CB)(AC) =(AC)B)(AC) =(AC)(AC)(B(AC) =( ACA)(ACC)(BA)(BC) =(AC)(BA)(BC) =(AB)(BC)(CA)(3) (AB)(ABC)(ABC)=(AB)(AB) (AB) C)=(AB)(AA)(AB)(BA)(BB)C)=(AB)(AB)(AB)C)=(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)C)=( AB)A)B)(AC)(BC)=(AB)(BC)(AC).7. 利用AB=AB与吸收律及其它运算律,证明(ABC)(AB)(A(BC)A)=AB证 (AB

7、C)(AB)(A(BC)A) =(AB)(AB)C)(A(BC)A) =(AB)(AB)(AC)A) =(AB)(A(AB)(AC) =(AB)(A(AC) =(AB)A =(AB)A =(AA)(BA) =(AB) =AB.说明 本题证明过程中的第二步、第四步、第五步应用了吸收律，才使运算简便，否则将很繁杂。8设A，B，C为三个任意集合，试证明（1） 若A×A=B×B，则A=B；（2） 若A×B=A×C，且A,则B=C.证 (1)设任意aA,则(a,a)A×A,因为A×A=B×B,有(a,a)B×B,故aB,因此

8、. 对任意bB,有(b,b)B×B,则(b,b)A×A,于是bA,因此BA,所以A=B. (2) 若B=,则A×B=,因为A×B=A×C,于是A×C=,而A=,只有C=,故B=C.若B,设任意bB,因为A,再设aA,则(a,b) A×B,又因为A×B=A×C,则(a,b)A×C,于是bC,所以BC.同理可证CB,故B=C. 说明 在每一节后面的证明题,若不能应用本节给出的定理,一般要考虑用定义证明.8. 在具有x和y轴的笛卡尔坐标系中,若有X=xxR,且-3x2,Y=yyR,且-2y0,试求出笛卡尔积X×Y,Y×X,画出其图像. 解 X×Y=(x,y)-3x2, -2y0,x,yRY×X=(y,x)-2y0, -3x2, x,yR X×Y与Y×X的图像如图1-1所示的阴影部分.