3.4生活中的优化问题举例

1、3.4生活中的优化问题举例第导就及其孩用、如何判断函数函数的单调性?或活屮弦纟遇到求利问舉丈、 用料最省、数準最焉菁问龜，这 些问龜通纟徹參优化问龜,通过潇 面的拷习，我们応道，导敷是求 詢皱眾女（小丿值的帝力工具， 凉节我们运用导敷，解决一坐或 活上的优化问龜，例仁海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行 宣传。现让你设计一张如图3.41所示的竖向张贴 的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各 空2dm,左、右两边各空1dm,如何设计海报的 尺寸，才能使四周空白面积最小？=103.4-1分析：已知版心的面 积，你能否设计出版心 的高，求出版心的宽、 从而列出海报四周

2、的那 积来？/丿1 22解:设版心的高为则版心的宽为伽匕时四周空白面积为12只 S(x) = (%+ 4)(+ 2)-128你还有其他解法 吗？例如用基本 不等式行不2/xoOO 2=2x-&兀0x512 求导数得S(x) = 2- 解得：x二 16，x二-16(舍)512 兀 令：s'(Q = 2-芈二0于是宽为:竺二器=8x 16%w(0,16)时，s (x)<0；3xw(16,+oo)时s (%)>0.因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以, 当版心高为16dm,宽为8dm时，能使四周空白面积最 小。解法二由解法得5(x) = 2x + +

3、8>2 /2x>+8xV %= 2x32 + 8 = 7251?当且仅当2无=，即兀=16（兀 0）时S取最小值此时y= 816答：应使用版心宽为8為，长为16dm四周空白面积最小问题2:饮料瓶大小对饮料公司 利润有影响吗？道理吗？是不足饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本 是08妙2分，其中/是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1加的 饮料，制造商可获利02分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为 6cm, (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解：由于瓶子的半径为匚所以每瓶饮料的利润

4、是420y = /(r) = 0.2x 7T 疋0.8r2330.8tt( - r2) (0 < r 6)令f r(r) = 0.87t(r2 - 2r) = 0,= 2r(0, 2)26fr)0+f(r)减函数、-1.07k增函数/径径径径 半半半半当即当即r> 2时，f，(r)>0它表示f(r)单调递增,越大，利润越高;V2时,fJ(r)<0它表示f(r)单调递减, 越大，利润越低.1半径为2 cm时，利润最小，这时/(2)<0 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本, 此时刹润是负值2 .半径为6 cm时，利润最大1、当半径为2c加时，利润最小，这吋/(2)

5、<0,2、当半径为6c加时，利润最大。问题3、磁盘的最大存储量问题(1) 你知道计算机是如何存储、检索信息的 吗？(2) 你知道磁盘的结构吗?(3) 如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的信息？例3：现有一张半径为弼磁盘, 它的 存储区是半径介于尸与弼 环行区域。(1)是不是厂越小，磁盘的存储量越大？(2)厂为多少时，磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)？解：存储量二磁道数X每磁道的比特数设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽 度必须大于且最外面的磁道不存储人何信息，所以磁道最多可达,又由于每条磁道上的比特数相m同，为获得最大的吞储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道

6、上的比特数可达到三匚.所以，磁道总存储量卅）上迥m nmn（1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可 以判断，不是越小，磁盘的存储量越大.(2)为求/(%)的最大值，计算/ (r) = 0,/ (r)= mn令/'(r) = 0解得r =2RR当厂 v时，/'(r)>0;当厂一时，/'(r)<0,因此，当r =-时，磁道具有最大的存储量，最大2存储量为NW由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的 基本思路是：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过 程。X练习：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去 相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成 一个

7、无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱 子容积最大？最大容积是多少？Ux ,解:设箱底边长为x,则箱高h=（60x）/2.箱子容积V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令 W(x) = 60x-x2=0，解得 x=0(舍去),x=40且 V(40)=16000. 2由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子 的容积很小，因此,16000是最大值.答:当x=40cm时,箱子容积最大，最大容积是16000cm3.A!ll32兀v云即h=2R.可以判断S(R)只有一个极值点，且是最小值点. 答罐高与底的直径相等时，所用材料最省.三h Cl练习3如图，在二次

8、函数 f(x)=4x-x2的图象与x轴所 围成的图形中有一个内接 矩形ABCD,求这个矩形的 最大面积.解:设B(x,0)(0vxv2),则_A(x, 4x-x2).从而 |AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).为:S(x)=| AB 11BC | =2x3-12x2+16x(0<x<2k2 ri 2J3 Sf(x) = 6x2 -24x + 16.令Sr(x) = O=2+,x2 =2-32V39"),所以驚2斗时叽普. 因此当点b为(2-斗，0)时，矩形的最大面积是 练习4:已知x，y为正实数，且x22x+4y2=0,求xy的最大值. 解:由 x2-2x+4y

9、2=0 得:(x-1 )2+4y2=1.1设 x = l+cosj=-sin5 由 X，y 为正实数得:0 V & V1 2xy = fcos&)sin&设/(0)=丄(1 + cos 0)sin0广(&) = 一 一 sin? 0+(1+cos 0) cos 0 = (cos 6+l)(cos& ).2 2 令/'=0,得 cos 0 = 1, cos 0 = £；又 0 V & V0 =彳/(V)=洋，又f(O)=f(ir)=O,./()_ =誓3 oo故当时,(可爲=¥112练习5：证明不等式：In兀(xI)2 > 1 +(1 x)3(x > 0).x 23证:设=山兀 H(x-1)2 +(x-l)3(x >0).XS贝!l/，(x) = -4-(x-l) + 2(x-l)2=(x-l)3.i,X XX令ra)=o，结合