人教版八年级下册18.2特殊平行四边形讲义

1、人教版八年级下册 18.2特殊平行四边形讲义【知识体系】33 / 28一个用是Jt盘一如打道翎等菱形【要点梳理】要点一、矩形1 .定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2 .性质：(1)具有平行四边形的所有性质；(2)四个角都是直角；(3)对角线互相平分且相等；(4)中心对称图形，轴对称图形 .3 .面积：S矩形=长父宽4 .判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)对角线相等的平行四边形是矩形 .(3)有三个角是直角的四边形是矩形 .要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(2)直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半.要点二、

2、菱形1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2 .性质：(1)具有平行四边形的一切性质;(2)四条边相等;(3)两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角;(4)中心对称图形，轴对称图形3.面积:S菱形=底=对角线M对角线24.判定：(1) 一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;(3)四边相等的四边形是菱形.要点四、正方形1 .定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形2 .性质：(1)对边平行；(2)四个角都是直角；(3)四条边都相等；(4)对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；(5)两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角

3、形;(6)中心对称图形，轴对称图形 .1，3 .面积：Se方形二边长x边长=一 x对角线x对角线24 .判定：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2) 一组邻边相等的矩形是正方形；(3)对角线相等的菱形是正方形；(4)对角线互相垂直的矩形是正方形；(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；(6)四条边都相等，四个角都是直角的四边形S类型一、矩形1、已知：如图， D是ABC的边AB上一点，CN/ AB DN交AC于点M, MA= MC求证：CD= AN若/ AMD =2/MCD求证：四边形 ADCN矩形.【思路点拨】 根据两直线平行，内错角相等求出/ DAC= /NCA然后利用“角边角”

4、证明 AMD 和CMNr等，根 据全等三角形对应边相等可得 AD= CN,然后判定四边形 ADCN平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出/MCD= / MDC再根据等角对等边可得MD= MC然后证明AC= DN再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证.【答案与解析】DAC= Z NCA在A M丽CMN,DAC = NCAIMA =MCAMD = CMN. .AM牵ACMN( ASA ， .AD= CN又AD/ CN四边形ADCN平行四边形,，CD= AN/AM及 2ZMCD , /AMD= Z MCD- / MDC.MD= MC由

5、知四边形 ADCN平行四边形, .MD= MN= MA= MC .AC= DN四边形ADCN矩形.【总结升华】 要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有 个角是直角或对角线相等.C2、如图所示，在矩形 处，求EF的长.ABCD43, AB= 6, BC= 8.将矩形ABCDgCE折叠后，使点 D恰好落在对角线 AC上的点F【思路点拨】 要求EF的长，可以考虑把 EF放入RtAEF中，由折叠可知 CD= CF, DE= EF,易得AC= 10,所以AF =4, AE= 8-EF,然后在RtAAEF中利用勾股定理求出 EF的值.【答案与解析】解：设E

6、F= X ,由折叠可得：DE= EF= X , CF= CD= 6,又.在 RtADC中，AC=J6G82=10AF = AG- CF= 4, AE= AD- DE= 8- X .在 RtAEF中，AE2=AF2+EF2，即（8x）2 =42 +x2,解得：X =3 EF =3【总结升华】 在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定 理进行求解.【变式】把一张矩形纸片（矩形 ABGD按如图方式折叠，使顶点 B和点D重合，折痕为EF.若AB = 3 cm , BG = 5cm ,则重叠部分 DEF的面积是2cmD ()I VB尸 C【答案】5.1.

7、8提不：由题意可知 BF= DF,设 FC= x , DF= 5- x ,在 RtDFC中，DC2 +FC2 = DF2 ,解得 x =_ , BF5_1 _1 _ 一=D3.4 ,贝U SAdef = -DE xAB = _ X 3.4 X 3= 5.1.22、如图，在菱形 ABCD43, / BAD= 80 ,类型二、菱形AB的垂直平分线交对角线 AC于点F, E为垂足，连结 DF,则/ CDF?于（）.A.80 B.70C.65D.60于是/ fBA=/FAB= = 40【解析】 解：连结BF,由FE是AB的中垂线，知 FB= FA, ./ CFB= 40 + 40 = 80 ,由菱形

8、ABCEM DC= CB, / DCF= / BCF CF= CF,于是 DCW BCF因此/ CFD= / CFB= 80 ,在 CDF中，/CDF= 180 -40 80 = 60 .【总结升华】 运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的判定和性 质.【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形 菱形请说明理由.ABC皿菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是【答案】四边形ABC比菱形；证明：由AD/ BC AB/ CD导四边形ABC比平行四边形过A, C两点分别作 AE，BC于E, C。AB于F.CFB= / AEB= 90 . AE=

9、 CF （纸带的宽度相等）/ ABE= / CBF, RtAABE RtACBF,AB= BC, 四边形ABC皿菱形.类型三、正方形、如图，一个含45的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过点作EF AE交/ DCE的角平分线于F点，试探究线段 AE与EF的数量关系，并说明理由【思路点拨】AE= EF.根据正方形的性质推出 AB= BC, /BAD= / HAD= Z DCE= 90, 推出/ HAE= / CEF 根据 HEB 是以/B为直角的等腰直角三角形， 得到BH= BE, /H= 45 , HA= CE,根据CF平分/ DCE推出/ H= / FCE 根据ASA 证

10、AHA监ACEF即可得到答案.【答案与解析】探究：AE= EF证明： BHE为等腰直角三角形,H= / HEB= 45 , BH= BE.又 CF平分/ DCE四边形ABCM正方形， ./ FCE= -Z DCE= 45 ,2. H= / FCE.由正方形 ABCD/ B= 90 , / HAE= 90 +Z DAE= 90 +Z AEB,而 AELEF, ./ FEC= 90 +Z AEB ./ HAE= / FEC.由正方形 ABC膝口 AB= BCBH- AB= BE- BC,HA= CE,. .AH珞 ECF (ASA ,AE= EF.【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件

11、，通过证明全等三角形来证明线段相等举一反三：【变式】如图所示，E、F、G H分别是四边形 ABC陷边中点，连接 EF、FG GH HE则四边形EFGH形. (1) 当四边形满足 条件时，四边形 EFGK菱形.(2) 当四边形满足 条件时，四边形 EFGK矩形.(3) 当四边形满足 条件时，四边形 EFGK正方形.在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性.【答案】四边形EFGH平行四边形；解：(1)AC = BD理由：如图，四边形 ABCM对角线AC= BD此时四边形 EFGH平行四边形，且 EH= IbD, HG= 1AC,彳导EH= GH 22故四边形EFGH菱形.(2)AC BD理

12、由：如图，四边形 ABCD勺对角线互相垂直，此时四边形EFGH平行四边形.易得GHL BD即GHL EH,故四边形 EFGH矩形.(3)AC = BD且 AC BD,理由：如图，四边形 ABCM对角线相等且互相垂直，综合(2)可得四边形EFGH止方形.本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形，加上邻边相等为菱形，加上对角 线互相垂直为矩形，综合得到止方形.几种特殊四边形性质、判定四边形性质判定边角对角线矩形对边平行 且相等四个角是直 角相等且互相平分有一个角是直角的平行四边形是矩 形；后二个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形菱形四条边相 等对角相等

13、， 邻角互补垂直且互相平 分，隼-条对角 线平分一组对角有一组邻边相等的平行四边形是菱 形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.止方形四条边相 等四个角是直 角相等、垂直、平 分，并且每一条 对角线平分一组 对角邻边相等的矩形是止方形对角线垂直的矩形是止方形有一个角是直角的菱形是止方形对角线相等的菱形是止方形类型一、矩形的判定_一、_，一 1、如图，矩形ABCD的周长为20cm,两条对角线相交于。点，过点。作AC的垂线EF ,分别交AD, BC于E, F点，连结CE ,则ZXCDE的周长为（）月A. 5cm B. 8cm C. 9cm D. 10cm B【解析】D举一

14、反三【变式】如图，已知矩形ABCD&对角线BD折叠，记点C的对应点为 C ,若/ ADC = 20 ,则/ BDC的度数为 金【答案与解析】55【变式2】矩形的边长为10和15,其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分的长度分别为（）A. 6 和 9 B. 5 和 10 C. 4 和 11 D. 7 和 8脾:姗图、. Ai 十丹加4门，一/立在二二4，Rvzs-wr.是等朦直由_簿可.RL = AB= 10*jCT- BC AH - In 10 - 51即立网部分的长大5才【解析】【答案】所以e选m是正嗔的.【变式3】四边形ABCD勺对角线交于点 O,在下列条件中，不能说明它是矩形的是()

15、A. AB=CD, AD=BC / BAR90B./ BADh ABC =90 , / BAD+Z ADC=10C / BADh BCD,/ ABC+7 ADC=18)D. AO=CO,BO=DO,AC=BD【答案】C 2、在平行四边形 ABCD中，过点D作DE _L AB于点E,点F在边CD上，DF = BE ,连接AF , BF。(1)求证：四边形 BFDE是矩形。口匚 广(2)若 CF =3, BF =4, DF =5,求证：AF 平分 NDAB。/【解析】 证明：(1)因为四边形 ABCM平行四边形，所以 DC/AB,即DF/BE,“ 1V4 EB又因为DF=BE所以四边形 DEBF为

16、平行四边形。又因为 DE!AB,所以/ DEB=90：,所以平行四边形 DEBF为矩形。(2)因为四边形 DEBF为矩形，所以/ BFC=90=o在 BFC中，CF=3, BF=4,根据勾股定理得，BC =4CF2 +BF2 =x：32 +42 =5,所以根据平行四边形的性质，AD=BC=5所以AD=DF=5所以/ DAF=Z DFA因为 DC/AB,所以/ DFA=/ FAB,所以/ DAFW FAR 即 AF平分/ DAB【举一反三】【变式】如图，在平行四边形ABCD43, E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.求证：AB=CF(2)当BC与AF满足什么数量关系时，四边形AB

17、FB矩形，并说明理由.【解析】解答：(1)证明：四边形 ABC比平行四边形,AB/ CD, AB=CD / BAE玄 CFE / ABE=/ FCE,E为BC的中点，EB=EC. .AB段 FCE . AB=CF.(2)当BC=AF时，四边形ABFC是矩形。理由如下：: AB/ CF, AB=CF四边形ABFB平行四边形， BC=AF四边形ABFB矩形。3、如图， ABC中，点。是AC上一个动点，过点 O作直线MN / BC,设MN交/ BCA的平分线于点 E,交/：比平:分/ACR Zace-Zbce.MN J/bc/上比二皿匚，上和加=值匚/.OE-DC同理可得 OF=OCBCA的外角平分

18、线于点 F,(1)求证：OE=OF(2)当点。运动到何处时，四边形 AECF是矩形，并证明你的结论。已)当0运动到AC中点时,四边岫AECF为题刑理由是陆的中点.= EO-FO仁升AE万是闫,四达正丁5是上川区的平分线, CF是晅平分蛙之2/- ECF=ZACE*ZACF=90Q.二四边形ABb为姐筹【变式】如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形 ADE.(1)求/ CAE的度数;(2)取AB边的中点F,连结CF、CE,试证明四边形AFCE是矩形.嫉一 tn$11理军边兰白聚.且口星UC:中点.-U,上平蛰上UJU.即. UAB上1八_曲， 是萼遇三鸟总，-DA

19、E-MI k _CAE _DAL-CAb Ai. i 证明h ： UA是璋也三角施，卜,是八I：中点. , CHALt AkDFC-W由1|知 zA-3IJh . BAC -fill； .-F九E-排.， ；.AECVi:3BMC是等谊三角干.且*LK CFSBC, 法的中锚, 二 AD-CT 丁:、n f.ACF-AE*“叫QF *FfT早甲产四田.；，V. AFC FAR- -lit .,四色F MCL早班不【考点】等边三角形的性质以及矩形的判定方法.矩形的判定定理：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;(2)对角线相等的平行四边形是矩形；(3)有三个角是直角的四边形是矩形类型二、菱形的

20、判定1.如图在 ABC中，AD平分/ BAC交BC于D点，过D作DE/ AC交AB于E点，过D作DF/ AB交AC于F点.求 证：(1)四边形AEDF是平行四边形 ；(2) /2 = /3 ; (3)四边形AEDF是菱形。【解析】荒：证祈AC- DF AD.，四边用aELH是平行四边帮.广2平分RACnAZL-Z2.而DF|AR+ L-. 3,故一 2一 3.切丁四诩仅 1E 口 F是平行四功敬?.AF DF,，工行K迫形AEDF显要用.举一反三【变式】已知：如图 二7ABCD勺对角线AC的垂直平分线与边 AR BC分别交于E、F.求证：四边形 AFC弱菱形.【解析】证明：; AE/ FC.

21、/ EAC4 FCA.EAO =/FCO .在 AOE与 COF中， ： .Llf, :,西边给AB DE是平行四边J队= Ulf.“爷H中二. fX：- 门才， 乂DC, Ah/tM .，西彻Lms是平行已晚. 占= 一引:=rn.碗!人H早年招有一用平FP事印工行C3用北子芽开.【方法总结】一:倒是鳄平行四沟拈卜一画版T-边档等.序记一不自段直住【变式】如图，在四边形 ABCDJP, AB=AD CB=CD E是CD上一点，BE交AC于F,连接DF.(1)证明：/ BAC= DAC /AFDh CFE(2)若AB/ CD试证明四边形 ABCD菱形；(3)在(2)的条件下，试确定 E点的位置

22、，/ EFDh BCD并说明理由.(1.)证明 在dAEC丸中- AB=AE , BC=DC, A.=AiJ, iABCiSADC CSSS）,- Zbac=ZDAjC在 A ABH口 A ADR 巾，ZEAI-ZdaP, AF-AF.二 视 C5AS）二工近幽，zaet-z cpe r（2）证二 :AB# CD.又，二=/人 JZCAD=Z ACE二 QCD.AB-M, CB-CD.A3=CB=CD=Q，匚二口尾簧杉（3）当吗_1_皿曰：，昨力迎旦和LU五直B：班线的巫足.ZEFD=ZBCDp五日I 丫四期除B6为菱取， abl=cd. ZETr-znrF,fl：ABCF1DALCF+ -

23、BC-CD,/ECT/DCF* CF-CF, 二占DCF二21CF（SA5：1 .J ZCBZCDF, :BE 1 CD.；4BE/UEy叫旷、,ZB 匚+ Z CEB= ZCDF + Z 刖匚./-ZEFD=ZBCD类型三、正方形的判定与性质1、如图，在正方形 ABCD43, P是AD上任一点，PE! AC,PF BD,点E、F分别是垂足，BD+AC=14则PE+PF=【答案】3.5(三角形APE为等腰直角三角形，所以 PE+PF的长为对角线长度一半)举一反三【变式1】在正方形ABCtD, 是BC上一点，AE把正方形分成两部分，且S/BE : S弟形AECD =1： 5，AB=6,则AE=【

24、变式2】在四边形ABCM,。是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）A . AC=BD AB/ CD AB=CD B. AD / BC, / A=Z CC. AO=BO=CO=DO, AC BD D. AO=CO , BO=DQ AB=BC【答案】C【变式3】如图所示，正方形 ABCD的面积为12, ABE是等边三角形，点 E在正方形ABCD内，在对角线 AC 上有一点P,使PD + PE的和最小，则这个最小值为（）力A. 2 石 B. 2蠡C. 3D.五【答案】AB【解析】解；设班与AC文下点F (P ),连接BD,T点B与匚关丁 AC对称, /.PID=P，B,2.已知：如图所示，

25、在正方形ABCD和正方形 AEFG有一具公共顶点 A,试说明：DG= BE。【解析】记期四边号ABCD-网G是正方E,= AB. AG = AE, DAB = QAE = BIT,:3.Tf - LGAB = GAL- GAB,排 Z/JJG =二必2;在3口“。和AiML，巾(AD= AH /TAG-BAE .IAG = 4JT二匚UIG一心跳1七，.w = HE，举一反三【变式1】如图所示，在等腰直角三角形A ABC中，/ C= 90 , / A、/B的平分线交于点 D, DELBC于E, DFXAC于F,试说明四边形CEDF为正方形。:昌迪用面F是矩脱AT、BOH别是:CAB,CE八狗二

26、线,，riF=g DG=DF,. ，口西四通龙T口三是万方型.【解析】明 OE=OF在&1OF和改旭中.AOF= /3 OE-4(7 = W ,Z0.4f = ZOSE：.AOF= UOL(ASA)：,OE = OF.【变式2】如图，正方形 ABCD中对角线 AC、BD相交于 O, E为AC上一点，AGEB交EB于G, AG交BD于F。证证明：如废(D, 在正方形ABCD中， .-.AO=BO. /AOF=/BOE = ARE + ZBEBC,BC=6cm点P、Q分别从A、C两点的位置同时出发，点P以1cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2cm/s的速度由点C出发向点B运动.试探究：几秒后四

27、边形 ABQP是平行四边形？解二；运动时间为K秒QC=2x;四边形ABQP是平行四边形/. AF = BQ= 6 - 2H = 2答:2秒后四边形皿QP是平行四边形.BD相交于。点，点P是线段AD上一动点(不与点D重合)，PO的延【变式2】如图，矩形ABCD中，对角线AC, 长线交BC于Q点.(1)求证：四边形 PBQD为平行四边形;(2)若AB = 3 cm, AD = 4 cm,点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点 D匀速运动.设点 P运动时间为t s,问四 边形PBQD能够成为菱形吗？如果能 ，求出相应的t值；如果不能，说明理由.解：证明：四边形 ABCD是矩形， .AD/BC, OD = OB. .Z PDO = Z QBO.在 POD和 QOB中, / PDO = / QBO , 彳 OD = OB,I / POD = / QOB , . PODA QOB(ASA) ,OP=OQ.又 OB=OD, 四边形PBQD为平行四边形.(2)点 P 从点 A 出发运动 t s 时,AP=t cm, PD=(4-t)cm.当四边形 PBQD是菱形时，PB=PD=(4-t)cm. .四边形 ABCD 是矩形，BAP =90.在 RtABP 中，AB=3 cm, AP2+AB2=PB2,即 t2+32=（4-t）2,解得 t = 7.8