垂直平分线的性质

1、八年级八年级 上册上册13.1.2 线段的垂直平分线性质线段的垂直平分线性质想一想：轴对称图形轴对称图形轴对称轴对称区区别别联系联系1、对两个图形而言、对两个图形而言2、指两个图形的相互关系、指两个图形的相互关系3、只有一条对称轴、只有一条对称轴1、对一个图形而言、对一个图形而言2、指一个图形的特殊、指一个图形的特殊形状形状3、至少有一条对称轴、至少有一条对称轴1、沿某条直线对折后、沿某条直线对折后,直线两旁的部分都能重合；直线两旁的部分都能重合；2、若将成轴对称的两个图形看成一个整体，那、若将成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形沿对么它就是一个轴对称图形；

2、若把轴对称图形沿对称轴看成两个图形，那么这两个图形关于这条对称轴看成两个图形，那么这两个图形关于这条对称轴成轴对称称轴成轴对称3.都有对称轴都有对称轴ACBABCNM思考：如图，思考：如图，ABC与与ABC关于直线关于直线MN对称，点对称，点A，B，C分别为点分别为点ABC的对的对称点，线段称点，线段AA，BB，CC与直线与直线MN有什有什么关系？么关系？PMPA=MPA=90AP=PA对称轴所在直对称轴所在直线经过对称点线经过对称点所连线段的中所连线段的中点，并且垂直点，并且垂直于这条线段于这条线段经过线段经过线段中点中点并且并且垂直垂直于这条线段于这条线段的直线，叫做这条线段的的直线，叫做

3、这条线段的垂直垂直平分平分线线ACBABCNM如果两个图形关于某条直线对称，那么对称如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线l lA AA A轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线连线段的垂直平分线探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等相等8课堂练习课堂练习练习练习1如图，如图，在在ABC 中中，BC = =

4、8，AB 的中垂线的中垂线 交交BC于于D，AC 的中垂线交的中垂线交BC 与与E，则则ADE 的周长等的周长等 于于_A B C D E 解：解：ADBC，BD = =DC， AD 是是BC 的垂直平分线，的垂直平分线， AB = =AC 点点C 在在AE 的垂直平的垂直平 分线上，分线上， AC = =CE课堂练习课堂练习练习练习2如图，如图，ADBC，BD = =DC，点点C 在在AE 的的垂直平分线上，垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？的长度有什么关系？AB+ +BD与与DE 有什么关系有什么关系？A B C D E 课堂练习课堂练习练习练习2如图，如图，ADBC，BD

5、 = =DC，点点C 在在AE 的的垂直平分线上，垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？的长度有什么关系？AB+ +BD与与DE 有什么关系有什么关系？A B C D E 解：解： AB = =AC = =CE AB = =CE，BD = =DC， AB + +BD = =CD + +CE 即即AB + +BD = =DE 探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定反过来，如果反过来，如果PA = =PB，那么点，那么点P 是否在线段是否在线段AB 的的 垂直平分线上呢？垂直平分线上呢？点点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上 已知：如图，已知：如图

6、，PA = =PB求证：点求证：点P 在线段在线段AB 的垂直平的垂直平分线上分线上PAB C 探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定证明：证明：过点过点P 作线段作线段AB 的垂线的垂线PC，垂足为垂足为C则则PCA = =PCB = =90在在RtPCA 和和RtPCB 中，中，PA = =PB，PC = =PC， RtPCA RtPCB（HL） AC = =BC又又 PCAB， 点点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上PAB C 探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定用数学符号表示为用数学符号表示为：PA = =PB，点点P 在在

7、AB 的垂直平分线上的垂直平分线上与一条线段两个端点距离相与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分等的点，在这条线段的垂直平分线上线上PAB C 这些点能组成什么几何图形？这些点能组成什么几何图形？ 探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定你能再找一些到线段你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？两端点的距离相等的点吗？ 能找到多少个到线段能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？两端点距离相等的点？ 在线段在线段AB 的垂直平分线的垂直平分线l 上的上的点与点与A，B 的距离都相等；反过来，的距离都相等；反过来，与与A，B 的距离相等的点都在直线的距

8、离相等的点都在直线l上，所以直线上，所以直线l 可以看成与两点可以看成与两点A、B 的距离相等的所有点的集合的距离相等的所有点的集合PAB C 结论:线段垂直平分线线段垂直平分线上的点上的点 与这条线段两个端与这条线段两个端点的距离相等。点的距离相等。反之，与线段两个端点的距离相等的点反之，与线段两个端点的距离相等的点在这条在这条线段垂直平分线线段垂直平分线上。上。 所以，线段垂直平分线可以看作到线段两所以，线段垂直平分线可以看作到线段两端的距离相等的所有点的端的距离相等的所有点的集合集合。开启 智慧解：解：AB = =AC，点点A 在在BC 的垂直平分线的垂直平分线MB = =MC，点点M

9、在在BC 的垂直平分线上，的垂直平分线上，直线直线AM 是线段是线段BC 的垂直的垂直 平分线平分线课堂练习课堂练习练习练习3如图，如图，AB = =AC，MB = =MC直线直线AM 是线段是线段 BC 的垂直平分线吗的垂直平分线吗？A B C D M （1）为什么任意取一点）为什么任意取一点K ，使点使点K与点与点C 在直线两旁？在直线两旁？尺规作图尺规作图如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线的垂线？12DE（2）为什么要以大于）为什么要以大于 的长为半径作弧的长为半径作弧？ （3）为什么直线）为什么直线CF 就是所求作的垂线？就是

10、所求作的垂线？CABDKFE课堂练习课堂练习练习练习4如图，过点如图，过点P 画画AOB 两边的垂线，并和两边的垂线，并和 同桌交流你的作图过程同桌交流你的作图过程 A B O P 11.3 角的平分线角的平分线ODEABPC定理定理1 在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的角的两边的距离相等距离相等。定理定理2 到一个角的两边的到一个角的两边的距离相等距离相等的点，在这个角的平分线上。的点，在这个角的平分线上。 角角的的平分线是到角的平分线是到角的两边两边距离距离相等相等的所有点的集合的所有点的集合 12.1 线段的垂直平分线线段的垂直平分线定定 理理 线段垂直平分线上的点和这线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的条线段两个端点的距离相等距离相等。逆定理逆定理 和一