平行四边形的判定

1、1 18.1.28.1.2平行四边形平行四边形的判定（的判定（2 2）ABCD四边形四边形ABCD如果如果ABCD ADBCBDABCDACBDACO平行四边形平行四边形的性质：的性质：边边平行四边形的对边平行平行四边形的对边平行平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等角角平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等平行四边形的邻角互补平行四边形的邻角互补对角线对角线平行四边形的对角线互平行四边形的对角线互相平分相平分四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形AB=CDAD=BCABCDADBCDBCA0180BAODOBOCOA（1 1）引导学生将实际问题转化为数学问题；）引导学生将实际问题转

2、化为数学问题； 如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？ B大家齐动手大家齐动手 凭直觉和测量都确实感受到它是平行四边形我们如何用推理的方法加以证明呢？试一试吧！也许会成功ABCD已知：在四边形已知：在四边形ABCD中，中， AB=CD , AD=BC求证：四边形求证：四边形ABCD 是平行四边形是平行四边形证明思路证明思路1234ABCD, AD BC1=2，3=4ABC CDA行家伸伸手行家伸伸手（2 2）学生分组进行讨论，归纳得出：）学生分组进行讨论，归纳得出： 判定定理

3、判定定理1 1：有两组对边相等的四边形是平行四边形；：有两组对边相等的四边形是平行四边形； 已知：在四边形已知：在四边形ABCDABCD中，中，AB=CDAB=CD，AD=CB.AD=CB.求求 证：四边形证：四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形ABCD 如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？ 由上面的证明你得到了什么结论？平行四边形判定定理：平行四边形判定定理：两组对边分别相等两组对边分别相等的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形百炼成金百炼成金B几何语言：几何

4、语言：ABCD，ADBC 四边形ABCD是平行四边形 如图，如图，AB=DC=EFAB=DC=EF，AD=BCAD=BC，DE=CFDE=CF，图中有哪些互相平行的线段？图中有哪些互相平行的线段？F FA AB BC CD DE E解：图中互相平行的线段有：解：图中互相平行的线段有：AB/DC/EFAB/DC/EF， AD/BCAD/BC， DE/CF DE/CF ADBCADBC AB=DCAB=DC AD=BCAD=BC四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形ABDCABDCDCEFDCEF DC=EFDC=EF DE=CFDE=CF四边形四边形CDEFCDEF是平行四边形是平

5、行四边形DECFDECFAB DCEFAB DCEF理由如下：理由如下：BCAD想一想：这个四边形具备了怎样的特征？想一想：这个四边形具备了怎样的特征？你能用一句话概括你的发现吗？你能用一句话概括你的发现吗？一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 已知：在四边形已知：在四边形ABCDABCD中，中， ABABCDCD，AB AB = = CD.CD. 求求 证：四边形证：四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形ABCD学生归纳判定定理2： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形你能用几种方法证你能用几种方法证明

6、这个命题呢明这个命题呢? 一组对边一组对边平行且相等平行且相等的四边形的四边形是平行四形。是平行四形。ADCB几何语言:ABCD， ABCD四边形是平行四边四边形是平行四边形形. 如图，将两根细木条AC、BD的中心重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD，转动两根木条，它一直是一个平行四边形吗？你能证明吗？你又能得到什么结论？ 对角线互相平分对角线互相平分的的四边形是平行四边形四边形是平行四边形你也试一试你也试一试 几何语言：几何语言：OA=OC,OB=OD 四边形ABCD是平行四边形O OD DA AC CB B已知：在四边形已知：在四边形ABCD中，中， AO

7、=OC, OB=OD求证：四边形求证：四边形ABCD是平是平行四边形行四边形证明思路：证明思路：AOBCODAOBCOD（SASSAS） BOCDOABOCDOA (SAS)(SAS)ABCD BCAD 四边形四边形ABCD是平是平行四边形行四边形 如图，四边形ABCD，AC、BD相交于点O,若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD是_,根据是_两条对角线互相平分的四两条对角线互相平分的四边形是平行四边形边形是平行四边形平行四边形平行四边形ABCDO如图，四边形ABCD中，AB/CD,且AB=CD,则四边形ABCD是_,理由是_ ABCD平行四边形平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平一组

8、对边平行且相等的四边形是平行四边形行四边形用两根长为40cm的木条和两根长30cm的木条作为四边形的四条边，能否拼成一个平行四边形？ 小明拼成的四边形如图所示，图中的四边形ABCD是平行四边形吗？ ADCB求证：求证：两组对角分别相等两组对角分别相等的的四边形是平行四边形四边形是平行四边形自主探索自主探索已知：四边形已知：四边形ABCD, ABCD, A=CA=C，B=DB=D求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形( (两组对边分别平行的四两组对边分别平行的四边形是平行四边形边形是平行四边形) )同理可证

9、同理可证ABCDABCD又又A+ B+ C+ D =360 A+ B+ C+ D =360 2A+ 2B=360 2A+ 2B=360 A=CA=C，B=DB=D（已知）（已知）即即A+ B=180 A+ B=180 ADBC ADBC （同旁内角互补，两直线平行）（同旁内角互补，两直线平行）ABCD两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形的判定定理平行四边形的判定定理4:符号语言：符号语言：ABCDA=CA=C，B=DB=D四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）（两组对角分别相等的四边形是平行四边

10、形）请你谈一谈学习了本节课你有哪些收获？D 。C 。四四、两条对角线互相平两条对角线互相平分分的的四四边形边形是平行四边形是平行四边形.三、三、两组对角分别相等两组对角分别相等的的四边形是平行四边形四边形是平行四边形二、二、两组对边分别两组对边分别相等相等的的四边形是平行四边形四边形是平行四边形一、一、两组对边分别平行两组对边分别平行的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形BDACOABCD，ADBC四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 AB=CD ，AD=BC四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形A= C，B= D四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形AO=CO ，BO=

11、DO四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形A AB BC CD DO两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；ADBC ADBC ABDCABDCAD=BC AD=BC AB=DCAB=DCBAD=BCD BAD=BCD ABC=ADCABC=ADC四边形四边形ABCDABCD是是平行四边形平行四边形如图，用符号表示如下：如图，用符号表示如下：平行四边形有哪些判定方法？平行四边形有哪些判定方法？对角线互相平分的四边形是平行四边形。对角线互相平分的四边形是平行四边形

12、。OA=OC OA=OC OB=ODOB=OD两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形从边看从边看: 平行四边形的四个判定方法平行四边形的四个判定方法两组对边分别平行两组对边分别平行 两组对边分别相等两组对边分别相等 一组对边平行且相等一组对边平行且相等 的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形 从对角线看从对角线看: 两组对角线互相平分两组对角线互相平分 两组对边分别相等两组对边分别相等两组对角分别相等

13、两组对角分别相等对角线互相平分对角线互相平分两组对边分别平行两组对边分别平行一组对边平行且相等一组对边平行且相等四边形是平行四边形四边形是平行四边形边边角角对角线：对角线：平行四边形的判定方法共有几种？平行四边形的判定方法共有几种？已知一条线段已知一条线段ACAC，以线段以线段ACAC为一条对角线，在线段为一条对角线，在线段ACAC的一侧有一点的一侧有一点B B，你能在线段你能在线段ACAC的另一侧找到一的另一侧找到一点点D D，使得使得ABCDABCD为平行四边形吗？为平行四边形吗？ACBACBD作法作法1 1：(1)(1)连结连结AB,BCAB,BC (2)(2)以以C C点为圆心，以点为

14、圆心，以ABAB长度为半径长度为半径作弧，再以作弧，再以A A点为圆心，以点为圆心，以BCBC长度为长度为半径作弧。半径作弧。(3)(3)两个弧交于两个弧交于D D点点 ACBDO作法作法2 2：（1 1）取）取ACAC中点中点O O（2 2）连结）连结BOBO并延长并延长D D，使使BO=ODBO=OD （3 3）连结）连结AD ,CDAD ,CD ，AB,BCDABC（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）ABCD，ADBC 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形DABC两组对边分别相等的四边形是平行四边形？两组对边分别相等的四边形是平行四边形

15、？猜想，对吗？猜想，对吗？DABCDABC两组对角分别相等的四边形是平行四边形？两组对角分别相等的四边形是平行四边形？猜想，对吗？猜想，对吗？DOABC对角线互相平分的四边形是平行四边形？对角线互相平分的四边形是平行四边形？猜想，对吗？猜想，对吗？请你识别下列四边形哪些是平行四边形请你识别下列四边形哪些是平行四边形? ?为什么？为什么？ADCB11070110ABCD1206055ABCDO5544BADC4.84.87.67.6两组对边分别相等两组对边分别相等两组对角分别相等两组对角分别相等对角线互相平分对角线互相平分两组对边分别平行两组对边分别平行一组对边平行且相等一组对边平行且相等四边形

16、是平行四边形四边形是平行四边形边边角角对角线：对角线：平行四边形的判定方法共有几种？平行四边形的判定方法共有几种？思考思考（1）一组对边平行，一组对边相）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形吗？等的四边形是平行四边形吗？（2）一组对边相等，一组对角相）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形吗？等的四边形是平行四边形吗？使学生明白假命题应举反例说明。使学生明白假命题应举反例说明。 两道练习一方面求同，另一方面求两道练习一方面求同，另一方面求异，提高学生素质能力。异，提高学生素质能力。一组对边相等一组对边相等, ,一组对角一组对角相等的四边形是平行四边形吗？相等的四边形是平行四边

17、形吗？CABEABE为等腰三角形为等腰三角形作作DCA EAC B = E = DAB = AE = DC 显然显然,四边形四边形ABCD不是不是平行四边形平行四边形.D. 有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形吗？ 不一定。如右图一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？ 不一定。如等腰梯形。如图，四个全等三角形拼成一个大的三角形，找出图中所有的平行四边形，并说明理由。 1、已知在四边形、已知在四边形ABCD中，中，ADBC，要使这个四边，要使这个四边形为平行四边形，则需添加一个你认为正确的条件为形为平行四边形，则需添加一个你认为正确的条件为 ( ) AB

18、DC，或，或A =C或或AD=BC 2、能判定一个四边形是平行四边形的条件是（、能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）。）。A、一组对角相等、一组对角相等B、一组对边平行且相等、一组对边平行且相等C、一对邻角互补、一对邻角互补D、两条对角线互相垂直、两条对角线互相垂直B3、四边形、四边形ABCD中，若中，若A = C，B = D，则下列结论中错误的是（则下列结论中错误的是（ ）。）。CA、AB = CDB、ADBCC、A = B D、对角线互相平分、对角线互相平分随堂练习随堂练习 已知已知:如图如图,在在ABCD中中,BF=DE. . 求证求证: :四边形四边形AECFAECF是平行四边形

19、是平行四边形. .EFDCBA 知识运用知识运用AEDCFB方法一方法一: :利用利用两两三角形全等三角形全等方法二方法二:利用平行四边形对边相等利用平行四边形对边相等如图， ABCD中，点E、F分别在AB、CD上且DF=BE 。四边形DEBF是平行四边形吗？ 说说理由。DABCEF（1）如图：平行四边形ABCD，点E、F分别在 AD、 BC上，且DE=BF，连结CE、AF 求证：四边形AFCE是平行四边形（1）（2）已知：在平行四边形ABCD中，E、F是BD上 的两点，且BE=DF. 求证：四边形AECF是平行四边形EADCBF（2）培养学生思维多向性，巩固新知。培养学生思维多向性，巩固新知

20、。基础训练：例例1：已知：已知：E、F是平行四边形是平行四边形ABCD对角线对角线AC上的两点，并且上的两点，并且AE=CF.DABCEF大显身手大显身手求证：四边形求证：四边形BFDE是平行四边形是平行四边形7例例1：已知：已知：E、F是平行四边形是平行四边形ABCD对角线对角线AC上的两点，并且上的两点，并且AE=CF.DOABCEF证明：连接证明：连接BD，交，交AC于点于点O. 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 AO=CO，BO=DO AE=CF AO-AE=CO-CF 即即EO=FO 又又 BO=DO 四边形四边形BFDE是平行四边形是平行四边形大显身手大显身手求证：四边

21、形求证：四边形BFDE是平行四边形是平行四边形14例例 已知：平行四边形已知：平行四边形ABCD中，对角中，对角线线AC、BD相交于点相交于点O，E、F分别为分别为OA、OC中点，求证：四边形中点，求证：四边形BEDF是平行四是平行四边形。边形。证明：证明：四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形OAOC，OBOD（平行四边形的对角线互相平分）（平行四边形的对角线互相平分）E、F分别为分别为OA、OC中点中点OEOA，OFOC而而OAOCOEOF又又OBOD四边形四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是是平行四边形（对角线互相平分的四边形是 平行四边形）平行四边形）2121爱动

22、脑筋的你一定能用多种方法证明哦！爱动脑筋的你一定能用多种方法证明哦！CADBEHFOG已知：平行四边形已知：平行四边形ABCD，对角线，对角线AC、BD相交于点相交于点O，AECF，求证：四边形，求证：四边形BEDF是平行四边形。是平行四边形。还可以是：还可以是：AFCEADECBFCDEABFBEAC，DFAC 若将若将“E、F分别为分别为OA、OC中点中点”改为改为“AECF”，四边形，四边形BEDF还是平行四边形吗？还是平行四边形吗？试试看：你还能怎样改？试试看：你还能怎样改？ADBCOEFO O已知：平行四边形已知：平行四边形ABCD中对角线中对角线AC、BD相交于点相交于点O， E、

23、F是对角线是对角线AC上的两上的两点点, 并且并且OE=OF。问：问：1)OA与与OC,OB与与OD大小关系如何？大小关系如何？ 2)四边形四边形BFDE是平行四边形吗？是平行四边形吗？ 能说说理由吗？能说说理由吗？DABCEFO随堂练习随堂练习 已知已知:如图如图,AC,BD是是ABCD的两条对角线的两条对角线,且且AEBD,CFBD,垂足分别为垂足分别为E,F, 求证求证:AE=CF.ABCDEFO已知：已知：E、F是平行四边形是平行四边形ABCD对角线对角线AC上的两点，并且上的两点，并且AE=CF.求证：四边形求证：四边形BFDE是平行四边形是平行四边形DABCEF改一改，证一证改一改

24、，证一证BEDF拓展延伸拓展延伸若例若例1中的条件中的条件:E、F是平行四边形是平行四边形ABCD对角线对角线AC上的两点，并且上的两点，并且AE=CF改为改为E、F是平行四边形是平行四边形ABCD对角线对角线AC延长线上两点，并且延长线上两点，并且AECF。其它。其它条件不变，四边形条件不变，四边形BFDE是平行四边形是平行四边形吗？请同学们画出图形并证明。吗？请同学们画出图形并证明。实践应用实践应用 例例2:如图，在如图，在 ABCD中，已知点中，已知点E和点和点F分别分别在在AD和和BC上，且上，且AE=CF，连结，连结CE和和AF，试说明四边形试说明四边形AFCE是平行四边形。是平行四

25、边形。 DACBFEO试一试：试一试：已知：在平行四边形已知：在平行四边形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC与与BDBD交于交于O O点，点，点点E,G,F,HE,G,F,H分别是分别是AOAO，BOBO，COCO，DODO的中点，的中点， 第第1 1问：以图中标有字母的点为顶点，你能画出几个平行问：以图中标有字母的点为顶点，你能画出几个平行四边形？四边形？ F FE EG GH H0 0C CA AB BD D四、灵活应用新知四、灵活应用新知 F FE EG GH H0 0C CA AB BD DF FE EG GH H0 0C CA AB BD DF FE EG GH H0 0C

26、 CD DB BA A第第2 2问：问：你能否验证图中所你能否验证图中所得到的得到的新的新的四边形是平行四边形是平行四边形吗？四边形吗？ 图（图（1）图（图（2）图（图（3）已知：平行四边形已知：平行四边形ABCD中对角线中对角线AC、BD相交于点相交于点O， E、F、G、H分别是分别是AO、BO、CO、DO的中点四边形是平行四边形的中点四边形是平行四边形吗？说说你的理由。吗？说说你的理由。DOABCEFHG1)1) 1,1,D(D( ),),2 2 , ,3 3C(C( 1),1), 1,1, B(B( ),),2 2 , ,3 3A(A(如图如图四边形四边形ABCD是不是平行四边形？请给出

27、证明是不是平行四边形？请给出证明.ABCDxyo-1-1112 22 23 33 3)关于原点O对称)关于原点O对称2 2 , ,3 3C(C( 与与 ) )2 2 , ,3 3A(A( 对对称称 原原点点O O关关于于与与1) 1,D( 1) 1, B( 平分，平分平分，平分连接对角线，则有连接对角线，则有，四边形是平行四边形四边形是平行四边形例例3：已知点：已知点D、E、F分别在分别在 ABC的边的边BC、AB、AC上，且上，且DE AF，DE=AF，G在在FD的延长线上，的延长线上，DG=DF。求证：求证：AG与与ED互相平分。互相平分。AGFEDCB判判定定文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言定定义义两组对边分别平行的两组对边分别平行的四边形是平行四边形四边形是平行四边形ABCD, A