平方差公式与完全平方公式试题(含答案)1

1、、复习：(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)22c、 I 2=a +2ab+b(a-b)2=a2-2ab+b2位置变化，x yy2 2 2x y指数变化，2x2 y2x换式变化，xyzm2 2xy2小2z2zm m增项变化，xyzx连用公式变化，xyx逆用公式变化，xyzx y z2x2y例1 .a b2 ,ab1，求解- (a b)22 a2abb2 a b 2,ab 1例2 .a b8,ab2，求解2: (a b)a22abb2 (a b)2(ab)24ab a b 8,ab2归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式:2y2z2z例3:计算2 a19992 -2000 X 19982y

2、1解析此题中 2000=1999+1,2解：1999 -2000 X 1998 =1999=1999符号变化,系数变化,2a2a4a2b2xyxy2zn+m2xy4xy4xz2b的值。2 b2=(a a2b2=222(a b)的值。(a b)2 a2 (ab)2(a b)21998=1999-1 ,b)22ab2abb24ab = (a b)2824 256正好符合平方差公式。2-(1999+1)X( 1999-1 )2,22、2 2-(1999 -1 ) =1999 -1999 +1 =1例 4: a+b=2, ab=1,求 a2+b2和(a-b) 2的值。1解析此题可用完全平方公式的变形得

3、解。2 2 2解：a+b=(a+b) -2ab=4-2=22 2(a-b) =(a+b) -4ab=4-4=02 2例 5: x-y=2 , y-z=2 , x+z=14。求 x -z 的值。1解析此题假设想根据现有条件求出x、y、z的值，比拟麻烦，考虑到x2-z 2是由x+z 禾口 x-z的积得来的，所以只要求出x-z的值即可。、 2 2解：因为 x-y=2 , y-z=2，将两式相加得 x-z=4，所以 x -z = (x+z) (x-z)=14 X 4=56。例6:判断(2+1) (22+1) (24+1)(22048+1) +1的个位数字是几？22048+1)+1(22048+1)+1

4、循环平方差。解：2+1 22+1 24+1=2-1 22+1 24+1=24096=1610246，所以上式的个位数字必为6。因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幕的个位数字都是例7 运用公式简便计算2 2(1) 103(2) 1982解：(1) 10310032 1002210033210000600910609(2) 198220022 200222002 2240000800439204例8 计算(1)a4b3ca4b3c(2)3xy23xy2解：1原式a3c4ba3c4ba3c24b2 2a6ac 9c216b22原式3xy23xy 29x2y24y42 29xy4y4

5、例9.解以下各式(1) a2b213,ab6，求a b 2,a b 2的值。(2) a b 27,ab24，求 a2b2, ab的值。(3)a a 12 ab2 求 a2 b22，求ab的值。24x 13，求x44的值。xx分析：在公式2 a2 b2 2ab中，如果把ab, a2 b2和ab分别看作是一个整体，那么公式中有三个未知数,知道了两个就可以求出第三个。2/ ab213, ab 6b22ab1325. 2 2 . 2 . a b a b2ab1326(2)7,(3)a22ab得得4 abb23,2abb2b2ab11,112a2b2b 2ab(4)由 x即x2丄xx211x121即x4

6、14x2 121例10.四个连续自然数的乘积加上定是平方数吗?为什么?分析:由于125解：设n，451121561361112219得猜测：任意四个连续自然数的乘积加上3是四个连续自然数1,都是平方数。3n23n3n3n22n3n1n是整数,3n都是整数3n定是整数2n3n是一个平方数四个连续整数的积与 1的和必是个完全平方数。二、乘法公式的用法一、套用：这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨 认和运用公式打下根底，同时能提高学生的观察能力。例 1.计算：5x2 3y2 5x2 3y2解：原式5x2 23y2 2 25x4 9y4二、连用：连续使

7、用同一公式或连用两个以上公式解题。例 2.计算：1 a a 1 a21 a41解：原式 1 a2 1 a2 1 a41 a4 1 a41 a8例 3.计算：2y5z 13x2y5z1解：原式2y 5z 3x 1 2y 5z 3x 14ab2x2 那么2 22y 5z 3x 14y2 9x225z2 20yz 6x 1三、逆用：学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用 其解决问题。2例 4.计算：5a 7b 8c 5a 7b 8c解：原式 5a 7b 8c 5a 7b 8c 5a 7b 8c 5a 7b 8c10a 14b16c140ab160ac

8、四、变用：题目变形后运用公式解题。例 5.计算：x y 2z x y 6z解：原式 x y 2z 4z x y 2z 4z2 2x y 2z 4z2 2 2x y 12z 2xy 4xz 4yz五、活用：把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几 个比拟有用的派生公式：2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21. a b 2ab a b 2. a b 2ab a b 3. a b a b 2 a b 4. a b灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。例6.a b 4，ab 5 ,求|a2 b21的值。解：a2 b

9、2a b2 2ab 42 2 5 262 2例 7.计算： a b c d b c d a2 2解：原式 b c a d b c a d2 22 b c a d2 2 2 22a 2b2c2 2d 4bc 4ad三、学习乘法公式应注意的问题(一) 、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数.例 1 计算(-2 x2-5)(2 x2-5)分析：此题两个因式中“ -5 相同，“ 2x2符号相反，因而“ -5 是公式(a+b)( a- b)= a2- b2中的a,而是公式中的b.2 2 2 2 2 4 解：原式 =(-5-2 x 2 2)(-5+2 x2)=(-5) 2-(2 x2) 2=25-4 x

10、=4a2+4b2+4c2例 2 计算(- a2+4b) 2分析：运用公式(a+b)=2(a+b) +(a-b) +4c=a2+2ab+b2时，“-a(五) 、注意乘法公式的逆运用就是公式中的a,“4b就是公式中的b；假设将题目变形为(4Aa2)2时，那么“ 4b是公式中的a，而“ a2就是公式中的b.(解略)(二) 、注意为使用公式创造条件例 3 计算(2x+y-z+5)(2 x- y+z+5).分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x、“ 5两项同号，“ y、“ z两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式2 2 2 2解：原式 =(2x+5)+(

11、y-z)(2x+5)-( y-z)=(2x+5)2-( y-z)2=4x2+20x+25-y+2yz-z2248例 5 计算(2+1)(2 2+1)(2 99 例 9 计算(a- 2 b+3c) -( a+2b-3 c).分析：假设按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，那么能使运算简便得多+1)(2 解：原式 =(a-b+3c)+( a+b-3c)(a-b+3c)-(a+ b-3c)=a(-4b+6c)=-8ab+1ac+1)分析：此题乍看无公式可用，“硬乘太繁，但假设添上一项(2-1)，那么可运用公式，使问题化繁为简解：原式 =(2-1)(2+1)(22+1)(2 4+1)

12、(2 8+1) =(2 2-1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1)=(2 9-1)(2 例 10 计算(2 a+3b) -2 (2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b)+1)(2 分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，那么运算更为简便+1)=( 2解：原式 =(2a+3b)2+2(2a+3b)(4 a-5b)+(4 a-5b)2=(2 a+3b)+(4 a-5b) 2=(6 a-2b) 2=36a2-24 ab+4b2-1 )( 2四、怎样熟练运用公式： (一)、明确公式的结构特征 这是正确运用公式的前提， 如平方差公式的结构特征是： 符号

13、左边是两个二项式相乘， 且在这四项中有两项完全+1) =216-1(三) 、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b) 2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.可表达为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍例 6 计算 (2 x+y-3) 22 2 2 2 2解：原式=(2 x) +y +(-3) +2 2x y+2 2x(-3)+2 y(-3)=4 x +y +9+4xy-12 x-6 y.(四) 、注意公式的变换，灵活运用变形公式2 例 7(2) ：x+2y=7，xy=6，求(x-2 y)的值.分析：粗看似乎无从下

14、手，但注意到乘法公式的以下变形：x2+y2=(x+y)2-2xy， x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y) 2-( x- y) 2=4xy，问题那么十分简单.2 2 2解：(2)( x-2 y) =(x+2y) -8xy=7-8 x 6=1.29o例 8 计算(a+b+c) +( a+b- c) +(a- b+c)+( b- a+c).分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而问题容易解决2 2 2 2 2 2 2 2解：原式=(a+b)+ c+(a+b)-c+ c+(a- b)+c-(a- b)=2 (a

15、+b)+c +2 c +(a-b)相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方明确了公式的 结构特征就能在各种情况下正确运用公式.(二) 、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母 a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式.如计算(x+2y 3z) 求(2+1) (22+1) ( 24+1) ( 28+1 ) ( 216+1 ) ( 232+1 ) ( 264+1 ) +1 的末位数字.，假设视x+2y为公式中的a,3z为b,那么就可用(a- b)2=a2- 2ab+b2来解了。(三) 、熟悉常见

16、的几种变化有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点.常见的几种变化是：1位置变化女口( 3x+5y) (5y-3x)交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了.2、符号变化女如(-2m 7n)(2m 7n)变为(2m+7n)(2n 7n)后就可用平方差公式求解了(思考：不变或不这样变，可以吗？)3、数字变化女口98X 102,992,912等分别变为(100-2)(100+2),(100-1)2,(90+1)2后就能够用乘法公式加以解答了.4、系数变化如(4mnn ) (2n- n )变为2 (2n+n ) (2n- 2)后

17、即可用平方差公式进行计算了.24 445、项数变化女口( x+3y+2z) (x - 3y+6z)变为(x+3y+4z - 2z)(x - 3y+4z+2z)后再适当分组就可以用乘法公式来解了(四) 、注意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便.如计算(a2+1) 2 ( a2- 1) 2,假设分别展开后再相乘，那么比拟繁琐，假设逆用积的乘方法那么后再进一步计算，那么非常简便.即原式=(a2+1) (a2-1) 2=(a4- 1) 2=a8- 2a4+1.对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的，还要注意逆向(从右到左)运用.如计算(1-4 )

18、 (12-丄)(1-亠)( 1 - - ) ( 1 - 2 ),假设分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错.假设注34910意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，那么可巧解此题.即原式=(1 -丄)(1 +丄)(1 - 1 ) ( 1 + 1 )XX ( 1-丄)(1 +丄)=丄 X - X - X 4 X-X X 11 =- X 11 =耳.3310102233101021020有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a2+b2= (a+b) 2-2ab, a2+b2= (a- b) 2+2ab 等.用这些变式解有关问题常能收

19、到事半功倍之效.2 2 2 2女口 m+n=7, mn=- 18, 求 m+n , m mr+ n 的值.面对这样的问题就可用上述变式来解，2 2 2 2即 m+n= (mm)- 2mn=7 -2X(- 18) =49+36=85,2 2 2 2m-mrt n=(m+n)- 3m=7 3X(- 18) =103.以下各题，难不倒你吧？！1、 假设 a+ 1 =5,求(1) a2+ , (2) (a-丄)2的值.aaa五、乘法公式应用的五个层次2 2 2 2乘法公式：(a + b)(a b)=a b , (a b)=a 2ab+ b ,33(a b)(a ab + b )=a b .第一层次正用

20、即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用. 例1计算2x y)(2x y).伶创曲冷I制;| (2)( 解原式=(討I飾寺护.2 2(2)原式=(y) 2x( y) + 2x=y 4x .第二层次一 用，即将这些公式反过来进行逆向使用.例2计算2 2(1)1998 1998 3994 + 1997;解(1)原式=19982 2 1998 1997 + 19972 =(1998 1997) 2=14)卜罪4卜卜劭T卜勻卜勻1 3248 W, 911 _ lif“vT2 239910io=20*第三层次一一活用：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵

21、 活应用公式.248例 3 化简：(2 + 1)(2 + 1)(2 + 1)(2 + 1) + 1 .分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2 1便可连续应用平方差公式,从而问题迎刃而解.248解原式=(2 1)(2 + 1)(2 + 1)(2 + 1)(2 + 1) + 12 24816=(2 1)(2+ 1)(2+ 1)(2 + 1) + 仁2 .例 4 计算：(2x 3y 1)( 2x 3y + 5)分析仔细观察，易见两个因式的字母局部与平方差公式相近，但常数不符.于是可创造条件一“拆数：-仁23, 5=2 + 3，使用公式巧解.解原式=(2x 3y 3+

22、2)( 2x 3y + 3 + 2)2 2 2 2=(2 3y) + (2x 3)(2 3y) (2x 3)=(2 3y) (2x 3) =9y 4x + 12 x 12y 5.第四层次变用 ：解某些问题时，假设能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a 2 2 2 2+ b2=(a + b)2 2ab, a=(2x + 5) (y z) =4x + 20x + 25 y + 2yz z六、正确认识和使用乘法公式1、数形结合的数学思想认识乘法公式：对于学习的两种(三个)乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2、完全平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+b2;(a-b) 2=

23、a2-2ab+b2，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。假设a、b都是正数，那么可以用以以下图形所示意的面积来认识乘法公式。如图1,两个矩形的面积之和(即阴影局部的面积)为 (a+b)(a-b)，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式 (a+b)(a-b)=a 2-b2；图2中的两个图阴影局部面积分别为 (a+b) 2与(a-b) 2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全 平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+b2 与(a-b) 2=a2-2ab+b 2。+ b3=(a + b)3 3ab(a + b)等，那么求解十分简单、明快.例 5 a+ b=9, ab=14,求 2a2+ 2b2

24、和 a3+ b3的值.2 22 2解：/ a + b=9, ab=14,. 2a + 2b =2(a + b) 2ab=2(9 2 14)=106 ,3 333a + b =(a + b) 3ab(a + b)=9 3 14 9=3512 2 2 2 2 2第五层次综合后用：将(a + b) =a + 2ab + b和(a b) =a 2ab+ b综合，_ /口222222可得(a + b) + (a b) =2 (a + b ); (a + b) (a b) =4ab;a+bV fa-bV2I 2丿等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷.例 6 计算：(2x + y z + 5)(

25、2x y+ z + 5).1 2 1 2 解：原式=(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)-(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)44*y h*a2、乘法公式的使用技巧: 提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以防止负号多带来的麻烦。例1、运用乘法公式计算：2(1)(-1+3x)(-1-3x)；( 2)(-2m-1)解：(1)(-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x)=(1-3x)(1+3x)=1 2 2=(x -1/4) (x +1/4)= x -1/16. 逆用公式将幕的公式或者乘法公式加以逆用，比方逆用平方差公式，得a2-b2 = (a+b)(a-b)，

26、逆用积的乘方公式，得anbn=(ab) n,等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。例3、计算：2 2 2 2 2 2(1) (x/2+5) -(x/2-5);( 2)(a-1/2) (a +1/4) (a+1/2)-(3x) 2=1-9x2.2 2 2 2(2) (-2m-1)=-(2m+1)=(2m+1) =4m +4m+1. 改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显例2、运用乘法公式计算：11 1a2(1)(3a- 4b )(- Jb - 3 )；( 2)(x-1/2)(x+1/4)(x+1/2)111 a1111解:( 1)(3* )(-4b

27、 -3 )=(-4b+3a )(-4b -3a )1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2=qb- 3a)(卩 + 3a)=( 4b) - ( 3a)=神-9a2 2(2) (x-1/2)(x+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x+1/4)22解：(1)(x/2+5) -(x/2-5)=(x/2+5)+(x/2-5) (x/2+5)-(x/2-5)10=10x.=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x/ 、 2 2 2 2(2)(a-1/2) (a +1/4)(a+1/2)2 2 2 2=(a-1/2)(a+1/4) (a+1/2)=(a-1

28、/2) (a+1/2) (a +1/4)=(a 2-1/4 ) (a 2+1/4) 2 =(a4-1/16 )2 =a8-a 4/8+1/256. 合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。计算：(1)(x+y+1)(1-x-y);(2) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5).2 2-(x+y)(a b c d)运用加法交换解：原式(b d) (a c) b d a c解：(1)(x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= 1+(x+y)1-(x+y

29、)=12 2 2 2=1-(x +2xy+y )= 1-x -2xy-y .(2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)=(2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z)2 2 2 2 2=(2x+5) -(y-z)=(4x +20x+25)-(y -2yz+z )2 2 2 2 2 2=4x +20x+25-y +2yz-z = 4x -y -z +2yz +20x+25 .七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中数学的重要内容，是今后学习的根底，应用极为广泛。尤其多项式乘多项式，运算过程复杂, 在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的结构特征，

30、将其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运 算就显得简便易行。.先分组，再用公式例 1.计算：(a bcd)(abcd)(b d) (a c)；将另一个整式(a b c d)变形为(b d) (a c)简析：此题假设以多项式乘多项式的方法展开，那么显得非常繁杂。通过观察，将整式律和结合律变形为，那么从其中找出了特点，从而利用平方差公式即可将其展开。2 2(b d) (a c) b2 2bd d2 a2 2ac c2二.先提公因式，再用公式例2.计算:简析：通过观察、比拟，不难发现，两个多项式中的 x的系数成倍数，y的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，假设将第一个多项式中各项提公因数2出

31、来，变为2 4x y4，那么可利用乘法公式。解：原式x的系数相同，y的系数互为相反数，符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。假设将 分组，那么可应用公式展开。解：原式=(2x 4)(2 3y) 2x 42 3y2 2 (2x 4)2 3y4x2 16x 12 12y 9y22分解成4与| 2的和，将6分解成4与2的和，再2 y2 4x432x2三.先分项，再用公式例 3.计算：| 2x 3y 2 2x 3y 6四先整体展开，再用公式例 4.计算：|(a 2b)(a 2b 1)简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两局部，即 用平方差公式即可展开。解：原式(a 2b) (a 2b)

32、1(a 2b)(a 2b) (a 2b)2 2a 4b a 2b(a 2b)1，再将第一个整式与之相乘，利五.先补项，再用公式例 5.计算：3 (381)(341)(321)(3 1)简析：由观察整式1(3 1)1，不难发现，假设先补上一项1(3 1)1，那么可满足平方差公式。屡次利用平方差公式逐步展开，使运算变得简便易行。解：原式842(31)(31)(31)(3 1)(31)23(38421)(31)(321)(31)23(3841)(341)(31)23(381)( 381)23(3161)25J63_223简析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现,111

33、111 .111111 - 11112233441010似变化，进一步变换成分数的积，化简即可。六.先用公式，再展开，可看出整式符合平方差公式，其它因式类314253 .11911223344101020解：原式七.乘法公式交替用例 7.计算：(x z)(x2 2XZ z2)(x z)(x2 2xz z2)简析：利用乘法交换律，把第一个整式和第四个整式结合在一起，把第二个整式与第三个整式结合，那么可利用乘 法公式展开。2 2 2 2解：原式(x z)(x 2xz z ) (x 2xz z )(x z)(x z)(x z)2 (x z)2(x z)(xz)3(xz)3(xz)(xz) 3z 22、3(xz )x63x4z23x2z4 z八、中考与乘法公式1.结论开放例1. ( 02年济南中考)请你观察图