华师版 12 二次函数与一元二次方程及不等式的关系新

1、 二次函数与二次函数与 一元二次方程及一元二次方程及 不不 等式的关系等式的关系学习目标：学习目标： 1、通过探索，理解二次函数与、通过探索，理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。间的联系。 2、能够运用二次函数及其图象、能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高用数学的性质解决实际问题，提高用数学的意识。意识。 3、进一步养成综合解题能力，渗、进一步养成综合解题能力，渗透数形结合思想。透数形结合思想。 回顾回顾： 一元二次方程一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)的的解的情况与解的情况与的关系。的关系。 w(1).每个图象与每个图象与

2、x轴有几个交点？轴有几个交点？w(2).一元二次方程一元二次方程x x2 2+2x=0,x+2x=0,x2 2-2x+1=0-2x+1=0有几个根有几个根? ?验证一下一元二次方程验证一下一元二次方程x x2 2-2x+2=0-2x+2=0有根吗有根吗? ?二次函数与一元二次方程 w二次函数二次函数y=xy=x2 2+2x,y=x+2x,y=x2 2-2x+1,y=x-2x+1,y=x2 2-2x+2-2x+2的图象如图所示的图象如图所示. .y=xy=x2 2+2x+2xy=xy=x2 2-2x+1-2x+1y=xy=x2 2-2x+2-2x+2w二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx

3、+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点有三种情况轴交点有三种情况: :w 有两个交点有两个交点, ,w 有一个交点有一个交点, ,w 没有交点没有交点. .w 当二次函数当二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴有交点时轴有交点时, , 交点的横坐标就是当交点的横坐标就是当y=0y=0时自变量时自变量x x的值的值, ,即一即一 元二次方程元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根. .w(3).(3).二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点的坐标与一元二次轴交点的坐标与一元二次方程方程ax

4、ax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么关系的根有什么关系? ?一、探究一、探究探究探究1、求二次函数图象、求二次函数图象y=x2-3x+2与与x轴轴的交点的交点A、B的坐标。的坐标。解：解：A、B在轴上，在轴上， 它们的纵坐标为它们的纵坐标为0， 令令y=0，则，则x2-3x+2=0 解得：解得：x1=1，x2=2； A（1，0） ， B（2，0）你发现方程你发现方程 的解的解x1、x2与与A、B的的坐标有什么联系？坐标有什么联系？x2-3x+2=0点燃智慧的火花点燃智慧的火花结论结论1：方程：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线的解就是抛物线y=x2-3x+2与与x轴的两个交点的横

5、坐标。轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。联系的。即：若一元二次方程即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是的两个根是x1、x2， 则抛物线则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交与轴的两个交点坐标分别是点坐标分别是A（ ），）， B（ ）x1，0 x2，0 xOABx1x2y开启 智慧二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的的图象和图象和x x轴交点轴交点一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0根的判别式

6、根的判别式=b=b2 2-4ac-4ac有两个交点有两个交点有两个相异的实数根有两个相异的实数根b b2 2-4ac 0-4ac 0有一个交点有一个交点有两个相等的实数根有两个相等的实数根b b2 2-4ac = 0-4ac = 0没有交点没有交点没有实数根没有实数根b b2 2-4ac 0-4ac 0 (a0）或）或 ax2+bx+c0的解集是的解集是_(3)不等式不等式-x2+3x+40的解集是的解集是_xyo12345-1-21234-1-2-3-4-5X=-1,x=4X4-1x0 或或 ax2+bx+c0,c0时时,图象与图象与x轴交点情况是轴交点情况是( )A 无交点无交点 B 只有

7、一个交点只有一个交点 C 有两个交点有两个交点 D不能确定不能确定DC3.如果关于如果关于x的一元二次方程的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等有两个相等的实数根的实数根,则则m=,此时抛物线此时抛物线 y=x2-2x+m与与x轴有个交点轴有个交点.4.已知抛物线已知抛物线 y=x2 8x +c的顶点在的顶点在 x轴上轴上,则则c=.1116一课一测一课一测P18、 7、 P19、 14、 19。加强练习：加强练习：1、已知二次函数、已知二次函数y=ax2-ax+3x+1的图象的最低点在的图象的最低点在x轴上，则轴上，则a=_；2、已知抛物线、已知抛物线y=x2-(k-1)x-3k-2与

8、与x轴轴交于两点交于两点A（a,0),B(b,0),且且a2+b2=17,则则k的值是的值是_.1或或a=92解：因为二次函数解：因为二次函数y=x-(k-1)x-3k-2的图像与的图像与x轴交于轴交于A（a,0) B(b,0),故：故：a、b是是x-(k-1)x-3k-2=0的两个实数根的两个实数根故：故：a+b=k-1，ab=-3k-2，=(k-1) +4(3k+2)0因为因为a+b=17 即：即：a+b= (a+b)-2ab=17故：故：(k-1)+2(3k+2)=17 故：故：k=-6或或k=2因为因为k=-6时，时，=(k-1) +4(3k+2)=-150 故：故：k=2回顾与反思：

9、回顾与反思：二次函数的图象与二次函数的图象与x轴有无交点问题，轴有无交点问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，可从计算根的判别式入手可从计算根的判别式入手小结：小结： 你学到了什么？谈谈你的收获？你学到了什么？谈谈你的收获？达标测试：达标测试：1、已知二次函数、已知二次函数y=x2+mx+m-2.求证：求证：无论无论m取何值，抛物线总与取何值，抛物线总与x轴有两轴有两个交点。个交点。2、已知二次函数、已知二次函数y=x2-2kx+k2+k-2.（1）当实数）当实数k为何值时，图象经过原点？为何值时，图象经过原点？（2）当实数）当实数k在何范围取值时，函数顶点在何范围取值时，函数顶点在在x轴下方？轴下方？（3）当实数当实数k在何范围取值时，函数顶在何范围取值时，函数顶点在第四象限内？点在第四