151曲边梯形的面积

1、-曲边梯形的面积曲边梯形的面积问：形如上图的曲边梯形的概念是什么？问：形如上图的曲边梯形的概念是什么？ 把由直线把由直线 和曲线和曲线 所围成的图形称为所围成的图形称为曲边梯形曲边梯形. .对它的面积又如何求呢？对它的面积又如何求呢？,(),0 xa xb aby( )yf x1.5.1曲边梯形的面积曲边梯形的面积直线直线x 0、x 1、y 0及曲线及曲线y x2所围成的图形（曲边三所围成的图形（曲边三角形）面积角形）面积S是多少？是多少？x yO1方案方案1方案方案2为了计算曲边三角形的面积为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形，将它分割成许多小曲边梯形对任意一个小曲边梯形，用

2、对任意一个小曲边梯形，用“直边直边”代替代替“曲边曲边”（即（即在很小范围内以直代曲），有以下在很小范围内以直代曲），有以下2种方案种方案“以直代以直代曲曲” 。 y = f(x)bax yO A1 A1 A1A A1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积 A1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A， 得得A A1+ A2用两个矩形的面积用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A， 得得 y = f(x)bax

3、yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积于是曲边梯形的面积A近似为近似为A1AiAn分割越细，面积的近似值就越精确。当分分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积S。下面看一下第一种方案下面看一下第一种方案“以直代曲以直代曲”的具体操作的具体操作过程：过程：（1）分割）分割把区间把区间0，1等分成等

4、分成n个小区间：个小区间：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 n1n1inix 每个区间的长度为过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小个小曲边梯形，他们的面积分别记作曲边梯形，他们的面积分别记作.S,S,S,Sni21 i-1n)(yxfini-1()nf（2 2）近似代替）近似代替第i个曲边梯形2ii 1i 11S=f() x()nnniS 当当 时，我们可以把小曲边时，我们可以把小曲边梯形近似看成什么图形？又如何计梯形近似看成什么图形？又如何计算每个近似图形的面积算每个近似图形的面积 ？0 x iS（用矩形代替曲边梯形）（用矩形代替曲

5、边梯形）(1,2,i .,n)（3）求和）求和n12nii 1nn2i 1i 1222233SSSSSi-1 1i-11f()()nnnn1012(n1) n1 (1) (21)111(1)(1)n632nnnnn (1,2,i .,n)（4）取极限）取极限分别将区间分别将区间0，1等分成等分成8，16，32，1024,等份（如下图）等份（如下图）,可以看到，可以看到，当当 即即 时，时， 从而有从而有 ,n 0 x 111(1)(1),32nSSnn1111111limlim()lim(1)(1)323nnnnniiSSfnnnn区间0，1的等分数nS的近似值20.125 000 0040.

6、218 750 0080.273 437 50160.302 734 50320.317 871 09640.325 561 52 1280.329 437 262560.331 382 755120.332 357 4110240.332 845 21 20480.333 089 23 nS我们还可以从数值上可以看我们还可以从数值上可以看出这一变化趋势（请见表）出这一变化趋势（请见表）方法总结方法总结：我们能否得到求一般性曲边梯形的面积：我们能否得到求一般性曲边梯形的面积方法（如下图所示）？方法（如下图所示）？ 一般地，对如图所示的一般地，对如图所示的曲边梯形曲边梯形，我们也可采用，我们也可

7、采用分分割割、近似代替近似代替、求和求和、取极限取极限的方法，求出其面积。的方法，求出其面积。 当分点非常多（当分点非常多（n非常大）时，可以认为非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是作为小矩形一边的长，于是f(xi) x来近似表示来近似表示小曲边梯形的面积小曲边梯形的面积x)f(xx)f(xx)x(fn21 表示了曲边梯形面积的近似值表示了曲边梯形面积的近似值演示演示 y = f(x)bax yOx1xi-1x

8、ixn-1x2 x xi f(x xi)x x1x x2 f(x x1) f(x x2) f(x xi) xi在在 a, b中任意插中任意插入入 n 1个分点个分点得得n个小区间：个小区间： xi 1 , xi (i=1, 2 , , n)把曲边梯形分成把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形个窄曲边梯形任取任取x xi xi 1，xi ，以，以f (x x i) xi近似代替第近似代替第i个窄曲边梯形的面个窄曲边梯形的面积积区间区间xi 1 , xi 的长的长度度 xi xi xi 1 曲边梯形的面积近似为：曲边梯形的面积近似为：A niiixf1)(x曲边梯形的面积近似为：曲边梯形的面积近似为：A niiixf1)(x y = f(x)bax yOx1xi-1xixn-1x2 x xi f(x xi)x x1x x2 f(x x1) f(x x2) f(x xi) xi在在 a, b中任意插中任意插入入 n 1个分点个分点得得n个小区间：个小区间： xi 1 , xi (i=1, 2 , , n)区间区间xi 1 , xi 的长的长度度 xi xi xi 1 练一练练一练:求直线求直线 与曲线与