矩阵是线性代数的一个最基本的概念

1、1第二章 矩阵 矩阵是线性代数的一个最基本的概念，矩阵是线性代数的一个最基本的概念，也是数学的最基本的一个工具。它在二十世纪也是数学的最基本的一个工具。它在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、得到飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支，现在矩阵比经济学等中有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。行列式在数学中占有更重要的位置。2引例引例. 线性方程组线性方程组11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb的解取决于的解取决于1,2,1,2,ijai

2、m jn系数系数1,2,ib im常数项常数项311121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究. .线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为4引例引例. . 某物资有四个产地，五个销地，调配方案如表：某物资有四个产地，五个销地，调配方案如表：销地销地数量数量（吨）（吨）把表中数据按原来次序抽出来作一个数表把表中数据按原来次序抽出来作一个数表332265216443410101425(1,1, )ijaim jn排成的一个排成的一个m行行n列的矩形数表，并括以圆

3、括号：列的矩形数表，并括以圆括号：在数域在数域F F中，由中，由mn个数个数111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为一个称为一个m行行n列矩阵，简称为列矩阵，简称为mn矩阵。矩阵。ija矩阵的第矩阵的第 i 行行 j 列元素列元素定义定义2 21 16例如例如2 4110221203A2 24 4矩阵矩阵3 3112()0133345ija3 33 3矩阵矩阵矩阵常用的记号：矩阵常用的记号： 大写英文字母大写英文字母A、B、C、 Amn A=(=(ai j) )mn 7 当当m= =n时，时，111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa当当m=1=1时，时，111

4、21nAaaa称为称为n阶方阵阶方阵称为行矩阵称为行矩阵当当n=1=1时，时，11211maaAa称为列矩阵称为列矩阵当当m= =n=1=1时，时，11Aa可视为普通数可视为普通数 来处理来处理11a8当当0ija 时时000000000A 对对n阶方阵阶方阵A=(=(aijij),),1,0iiijaaij若若100010001A 记为记为 或或O OnmO称为零矩阵，称为零矩阵，称为单位矩阵，称为单位矩阵， 记为记为 或或nII9对矩阵对矩阵 A=(=(aijij) )，称，称(- (- ai j) )为矩阵为矩阵A的负矩阵，的负矩阵，记为记为 A， 111212122212nnmmmna

5、aaaaaAaaa10矩阵概念与行列式概念的区别：矩阵概念与行列式概念的区别：111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa1、行列式行列式 代表代表一个算式，数值一个算式，数值111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa矩阵矩阵代表一个代表一个数表数表11例如例如1110226003D而而111022003A表示一个数表表示一个数表若若detdetA=0,=0,则称矩阵则称矩阵A为奇异矩阵，为奇异矩阵，否则，称为非奇异矩阵否则，称为非奇异矩阵. .称称111022003 为矩阵为矩阵 的行列式的行列式，111022003A122 2、二者、二者记号不同记号不同：行列式用

6、行列式用，矩阵用（矩阵用（ ）或）或 。3 3、行列式的行列式的行数和列数必须相同，行数和列数必须相同， 而矩阵的而矩阵的行数与列数可以不同。行数与列数可以不同。13数域数域的概念的概念 在讨论方程有没有解时，我们需要明确在讨论方程有没有解时，我们需要明确是在什么数集范围内讨论。是在什么数集范围内讨论。方程方程 3x1 在整数集内没有解，在整数集内没有解，但是在有理数集内有解但是在有理数集内有解 x1/3。定义：定义：数集数集F 称为一个数域，如果数集称为一个数域，如果数集 F 满足满足: 1.0, 1F2. F 对加、减、乘、除四种运算是封闭的对加、减、乘、除四种运算是封闭的.,(0)a b

7、F ab ab ab bF14例如：有理数集例如：有理数集Q、实数集、实数集R、复数集、复数集C都是数域，都是数域， 并分别称为有理数域、实数域和复数域，并分别称为有理数域、实数域和复数域， 但是整数集不是数域。但是整数集不是数域。命题：任一个数域都包含有理数域。命题：任一个数域都包含有理数域。15消元法的基本思想是通过消元变形，消元法的基本思想是通过消元变形，把方程组化成易于求解的同解方程组。把方程组化成易于求解的同解方程组。21 高斯消元法高斯消元法16线性方程组线性方程组11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb（*）

8、111212122212nnmmmnm naaaaaaAaaa121mmbbbb121nnxxxx系数矩阵系数矩阵常数项矩阵常数项矩阵未知量矩阵未知量矩阵1711121121222212(1)( , )nnmmmnmmnaaabaaabA baaab增广矩阵增广矩阵在中学代数中学过的消元法解方程组，在中学代数中学过的消元法解方程组，现在可以用对其增广矩阵的初等行变换来表示。现在可以用对其增广矩阵的初等行变换来表示。一个线性方程组与其增广矩阵是一一对应的。一个线性方程组与其增广矩阵是一一对应的。18例例1. 解线性方程组解线性方程组1231231232262435728xxxxxxxxx解：第一

9、、二个方程交换顺序：解：第一、二个方程交换顺序：1231231232432265728xxxxxxxxx22161243571281243221657128方程方程2（2） 方程方程1，方程，方程3（5） 方程方程1：1912312312324306900171913xxxxxxxxx方程方程2 ：1312312312324302300171913xxxxxxxxx124306900171913124302300171913方程方程3（8） 方程方程2：20123123123243023001513xxxxxxxxx方程方程2（2） 方程方程3，第二、三个方程交换顺序：，第二、三个方程交换顺序

10、：12312312324301513001326xxxxxxxxx 1243023001513124301513001326方程方程3 ：1()13 211231231232431243015130151300120012xxxxxxxxx阶梯形线性方程组阶梯形线性方程组1. 每条阶梯线下方全为零；每条阶梯线下方全为零；2. 每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数， 阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元。阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元。阶梯形矩阵阶梯形矩阵方程方程2（5） 方程方程3，方程，方程1（4） 方程方程3 ：22方程方程12 方程方程

11、2：12312312300110010103010300120012xxxxxxxxx高斯消元法将方程组化成了容易求解的、同解的高斯消元法将方程组化成了容易求解的、同解的阶梯形线性方程组。阶梯形线性方程组。行简化行简化阶梯矩阵阶梯矩阵12312312320512050103010300120012xxxxxxxxx 23用高斯消元法解线性方程组，实际上就是对用高斯消元法解线性方程组，实际上就是对方程组反复进行以下三种操作（变换）：方程组反复进行以下三种操作（变换）：1. 交换方程的次序；交换方程的次序；2.2. 以不等于以不等于0 的数乘某个方程；的数乘某个方程；3.3. 一个方程加上另一个方

12、程的一个方程加上另一个方程的k k倍。倍。由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换是同解变换24用消元法解方程的过程实质上也就是对其增广矩阵用消元法解方程的过程实质上也就是对其增广矩阵进行一系列对应变换（行变换）的过程。进行一系列对应变换（行变换）的过程。定义定义2 22 2对矩阵进行下列对矩阵进行下列 3 种变换称为矩阵的种变换称为矩阵的初等变换初等变换：1. 交换矩阵的两行（列）。交换矩阵的两行（列）。2. 以一个非零的数乘以矩阵的某一行（列）。以一个非零的数乘以矩

13、阵的某一行（列）。3. 矩阵的某一行矩阵的某一行(列列)加上另一行加上另一行(列列)的的 k 倍。倍。25例例2. （系数行列式为零，克来姆法则无法解决）（系数行列式为零，克来姆法则无法解决） 解线性方程组解线性方程组1234123412341234512333819377xxxxxxxxxxxxxxxx 解解 对其增广矩阵进行一系列的变换：对其增广矩阵进行一系列的变换：1511112133( , )3811119377A b1511107244072440144882615111072440000000000151112440177700000000003131310777244017770

14、000000000化成行简化阶梯矩阵化成行简化阶梯矩阵1234234517244xxxxxxx 全零行对应的方程对方程组而言是多余的。全零行对应的方程对方程组而言是多余的。27两个方程四个未知量，两个方程四个未知量，所以方程组有无穷多解所以方程组有无穷多解13423413313777424777xxxxxx 方程组的解方程组的解表示表示为：为：自由未知量自由未知量1234121212(,)13313424(,)777777xxxxkkkk k k3131310777244017770000000000 107/47/13017/27/3007/47/13214321kkxxxx28例例3. 解

15、线性方程组解线性方程组1234123412341234231041234236xxxxxxxxxxxxxxxx 解：解：1123101141( , )1231423116A b1123101141011430157811231011410000200639112310114100213000022911231011410021300002123423434231412302xxxxxxxxx所得方程组无解，它与原方程组同解，所得方程组无解，它与原方程组同解，所以原方程组无解。所以原方程组无解。 称为不相容方程组。称为不相容方程组。在高斯消元法的消元过程中，增广矩阵会清楚地在高斯消元法的消元过程

16、中，增广矩阵会清楚地揭示出方程组的多余方程和矛盾方程。揭示出方程组的多余方程和矛盾方程。30 用消元法解用消元法解m个方程个方程n个未知数的线性方程组的个未知数的线性方程组的方法就是利用初等行变换把线性方程组的增广矩阵方法就是利用初等行变换把线性方程组的增广矩阵化成行简化阶梯矩阵：化成行简化阶梯矩阵：111,111222,122,11000000( , )00000000000000000rnrnrrr rrnrrcccdcccdcccdA bd线性方程组有解的充分必要条件：线性方程组有解的充分必要条件：10rd31在线性方程组有解的情况下：在线性方程组有解的情况下：（1）当当 r n 时：时

17、：12100010(, )00100000000nddA bd有唯一解：有唯一解：1122,nnxdxdxd32（2）当当 r n 时：不可能。时：不可能。34注意：注意：不同的消元步骤将增广矩阵化为阶梯矩阵时，不同的消元步骤将增广矩阵化为阶梯矩阵时，阶梯矩阵的形式不是唯一的，但阶梯矩阵非零行的阶梯矩阵的形式不是唯一的，但阶梯矩阵非零行的行数是唯一确定的，这表明当线性方程组有解时，行数是唯一确定的，这表明当线性方程组有解时，解中的任意常数的个数是相同的，但是解的表示形式解中的任意常数的个数是相同的，但是解的表示形式不是唯一的，然而每一种解的表示中包含的无穷解的不是唯一的，然而每一种解的表示中包

18、含的无穷解的解集是相等的。解集是相等的。35小结小结1. 高斯消元法高斯消元法：初等行变换按：初等行变换按“固定的程序固定的程序” 消元，消元， 将线性方程组的将线性方程组的增广矩阵增广矩阵化为化为阶梯型矩阵阶梯型矩阵。2. 每行第一个非零元对应的未知量取为基本未知量，每行第一个非零元对应的未知量取为基本未知量， 其它的取为其它的取为自由未知量自由未知量，并依次取任意的常数，并依次取任意的常数 将其代入方程组，求出将其代入方程组，求出基本未知量基本未知量。3. 为了使求基本未知量更加方便，把阶梯型矩阵为了使求基本未知量更加方便，把阶梯型矩阵 进一步化为进一步化为行简化的阶梯型矩阵行简化的阶梯型

19、矩阵。12,n rk kk3622 矩阵的加法、数量乘法、乘法37矩阵的基本运算：矩阵的加法、数量乘法、乘法矩阵的基本运算：矩阵的加法、数量乘法、乘法定义定义2 23 3而且如果而且如果ai j = bi j，(i =1，2,m; j=1,2,n)，就称就称A 和和B 相等，记为相等，记为A = B 。例如：由例如：由183104024xzy可得：可得：3,2,8xyz 如果两个矩阵如果两个矩阵 A=(ai j)和和 B=(bi j)的行数和列数的行数和列数分别相等，他们就称为同型的，分别相等，他们就称为同型的，38、定义、定义 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA

20、221122222221211112121111一、矩阵的加法一、矩阵的加法设有两个设有两个 矩阵矩阵 那么矩阵那么矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为，规定为nm ),(),(ijijbBaA ABBA 39说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，只有当两个矩阵是同型矩阵时， 才能进行加法运算才能进行加法运算. . 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 402 2、 矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113 ., 04BABAAA ,）（j

21、 ia .负矩阵负矩阵的的称为矩阵称为矩阵A411 1、定义、定义.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘规定为规定为或或的乘积记作的乘积记作与矩阵与矩阵数数, AAA42 ;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算线性运算. .（设（设 为为 矩阵，矩阵， 为数）为数） ,nm BA、43、定义、定义 skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi .ABC 三、矩阵与矩阵相乘

22、三、矩阵与矩阵相乘设设 是一个是一个 矩阵，矩阵， 是一个是一个 矩阵，矩阵，sm ns )(ijbB )(ijaA nm )(ijcC AB那么规定矩阵那么规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中44例例1222263422142 C22 16 32 816例例2 2? 121113121430415003112101ABC. 5 671026 2 17 1045 106861985123321例例 123321 132231 .10 不存在不存在.46矩阵的乘法需注意：矩阵的乘法需注意：第一，第一，只有矩阵只有矩阵A 的列数等于的列数等于B 的行数时，的行数

23、时， AB 才有意义。才有意义。第二，第二，乘积乘积C =（ci j）m n的第的第 i 行第行第 j 列的元素列的元素 等于矩阵等于矩阵A的第的第 i 行的每一个元素与行的每一个元素与 矩阵矩阵B 的第的第 j 列的对应元素的乘积之和。列的对应元素的乘积之和。第三，第三，乘积乘积C的行数等于矩阵的行数等于矩阵A 的行数，的行数， 列数等于矩阵列数等于矩阵B 的列数。的列数。 47例例 求求 AB 和和 BA。其中。其中1212a,nnbbAaaBb解：解：12121 12 21annnni iinbbABaaaba ba babb11 11212212221212nnnnnnnnbbabab

24、abb ab ab aBAaaabb ab ab a48、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 为数）为数）; 4;AIIAA 若若A是是 阶矩阵，阶矩阵， 5n 个个kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 为为正正整整数数k,m?)(?)(2(?)(2 AfIAIAAIAn 493、矩阵乘法不满足的运算规律、矩阵乘法不满足的运算规律（1）矩阵乘法不满足交换律，即一般）矩阵乘法不满足交换律，即一般ABBAn AB 可乘，可乘，BA 不一定可乘。不一定可乘。例如：例如：A 为为2行行3列的矩阵，列的矩

25、阵，B 为为3行行4列的矩阵；列的矩阵；n AB、BA 都可乘，但不一定是同型矩阵，都可乘，但不一定是同型矩阵，例如：例如：A 为为2x32x3矩阵，矩阵，B 为为3X23X2矩阵；矩阵；ABBAn AB、BA 为同型矩阵，但是为同型矩阵，但是222222)(,)(BABABABABABA 50,1111 AB,2222 BA.BAAB 设设,2002 A,1111 B，若若BAAB 称称A 与与B 是可交换的。是可交换的。例例 设设.BAAB ,1111 B,4321 A,2222 AB,2222 BA51（2）由矩阵）由矩阵 AB0，不能推出，不能推出 A0 或者或者 B0， 即即A、B皆

26、非皆非0，但是有可能，但是有可能 AB0。例例 设设 1111A 1111B0000AB这说明有些非零矩阵可能存在零因子。这说明有些非零矩阵可能存在零因子。52（3）矩阵的乘法不满足消去律，即当）矩阵的乘法不满足消去律，即当 C 不等于不等于0时，时， 由由 ACBC 不能消去不能消去 C，得到，得到 AB。例例1203A1004B1100C1100ACBC则则但是但是AB, 0)( CBABCAC但是不能推出但是不能推出., 0BABA 即即53例例3 3 计算下列乘积：计算下列乘积： 21322 1 12 22 12 22 13 23 .634242 3213332312322211312

27、113212bbbaaaaaaaaabbb 332222112bababa 321bbb.222322331132112233322222111bbabbabbabababa 331221111bababa =333223113bababa 54解解 0010010010012A.002012222 .,001001kAA求求设设 例例4 4 0010010020122223A 32323003033 kkkkkkkkkk 00021121用数学归纳法证明用数学归纳法证明.554 4、几种特殊矩阵、几种特殊矩阵100010()001nnIIEE单位矩阵单位矩阵全为全为1000000nnkkkI

28、kIkEkEk数量矩阵数量矩阵全为全为k与任意与任意 n 阶矩阵可交换的矩阵必是阶矩阵可交换的矩阵必是 n 阶数量矩阵阶数量矩阵. .5612000000naaa 对角矩阵对角矩阵12(,)ndiag a aa不全为不全为011121222000nnnnaaaaaAa上三角矩阵上三角矩阵。 O下三角矩阵下三角矩阵。 11212212000nnnnaaaBaaaO两对角矩阵相乘两对角矩阵相乘? ?两上两上( (下下) )三角矩阵相乘三角矩阵相乘? ?5711112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 线性方程组线性方程组 inin

29、iibxaxaxa2211第第 i 个方程：个方程：mnmnmmnnbbbxxxaaaaaaaaa2121212222111211线性方程组可以用矩阵等式表示为：Ax =b58例例 设设A、B是两个是两个 n 阶矩阵，则乘积阶矩阵，则乘积AB的行列式的行列式等于等于A 和和 B 行列式的乘积，即行列式的乘积，即ABA B 证明证明111212122212111212122212000000000100010001nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaA Bbbbbbbbbb 将第将第n+1行乘行乘 加到第一行，第加到第一行，第n+2行乘行乘 加到加到第一行，第一行，第，第2n行乘行乘 加到

30、第一行，即得：加到第一行，即得：11a12a1na59111212122212111212122212000000000100010001nnnnnnnnnnnncccaaaaaaA Bbbbbbbbbb 其中，其中，111 1122111(1,2, ).njjjnnjkkjkca ba ba ba bjn 即即 是是AB的第一行，仿照上述步骤，的第一行，仿照上述步骤，将行列式中将行列式中 全消为零全消为零: 11121,nccc2122212,nnnnnaaaaaa60( 1)n nnABI 0AA BIB 0ABIB ( 1)( 1)n nnAB (1)( 1)nnAB AB 61定义定义

31、 行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵所构成的如下矩阵Aj iA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111称为矩阵称为矩阵 A 的的伴随矩阵伴随矩阵.性质性质.AAA AA I62 nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211AAaAaAann 1112121111AAaAaAannnnnnnn 2211, AAAAOO63nnnnnnAAAAAAAAA212221212111A例例111212122212A,nnnnnnaaaaaaaaa 设设证明： | A | 0 时

32、 , | A *| = | A |n-1。证证 IAAAAAA000000 |A| | A *|= | A A *|= | A |n.| A |0， | A *| = | A |n-1.64定义定义 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 .()TjiAaAA例例,854221 A;825241 TA ,618 B.618 TB、转置矩阵、转置矩阵65转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 66证明 (AB)T = BTAT。j = 1, n ;

33、i =1, m设设 A=(ai j ) m s , AT=(aTj i ) s m , B =(bi j ) s n , BT=(bTj i ) n s， skjkkiba1则则 (A B)T与与B T A T 都是都是 n m 矩阵，且矩阵，且 skikkji jab1)AB(TTTTTi jji)AB()AB( 故 (A B)T = B T A T。kiikjkkjaabb TT;67例例5 5 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法解法1 102324171231102AB,1013173140 解法解法2 TTTABAB 213012131027241.10

34、31314170 682、方阵的行列式、方阵的行列式定义定义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或nAAA.det A 8632A例例8632 A则则. 2 运算性质运算性质 ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB 693、对称矩阵与反对称矩阵、对称矩阵与反对称矩阵定义定义设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那末那末 称为称为对称阵对称阵.AnTAA njiaai jji, 2 , 1, A.A为对称阵为对称阵例如例如 6010861612.;AAAAAATT 反反对对称称矩矩阵阵对对称

35、称矩矩阵阵70例例6 6 设列矩阵设列矩阵 满足满足 TnxxxX),(21 , 1 XXT证明证明2TTTHIXX2TTTIXX2,TIXXH.是对称矩阵是对称矩阵H2HHHT 22TIXX44TTTIXXXXXX44TTTIXXX X X X44TTIXXXX. I为为 n 阶单位矩阵阶单位矩阵，I2THIXX证明证明H是是对称矩阵，且对称矩阵，且THHI71例例7 7 证明任一证明任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成都可表示成 对称阵与反对称阵之和对称阵与反对称阵之和.nA证明证明TAAC 设设TTTAAC)( AAT ,C , C为对称矩阵为对称矩阵.,TAAB 设设TTTAAB)( AAT

36、 ,B B为反对称矩阵为反对称矩阵.22TTAAAAA ,22BC 命题得证命题得证.72注意注意: 两个对称矩阵两个对称矩阵A和和B的乘积是对称矩阵吗的乘积是对称矩阵吗? 例例8 8 设设A是是 m n 矩阵，则矩阵，则 ATA 和和 AAT 都是对称矩阵都是对称矩阵。证明证明: 因为因为ATA是是n阶矩阵阶矩阵, 且且(ATA)T = AT(AT)T = ATA ; 同理同理 AA T是是 m 阶对称矩阵。阶对称矩阵。例例9 设设 A, B分别是分别是 n 阶对称和反对称矩阵，阶对称和反对称矩阵， 则则 AB+BA 是反对称矩阵。是反对称矩阵。证明证明: 因为因为 (AB+BA)T = B

37、TAT+ ATBT= ( B) A+A (B)= (AB+BA)。不一定不一定! (AB)T = BTA T = BA, 而而BA不一定等于不一定等于AB 。734 4、共轭矩阵、共轭矩阵;)2(AA .)3(BAAB 定义定义 当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表示表示 的的共轭复数，记，称为共轭复数，记，称为 的共轭矩阵的共轭矩阵. )(j iaA j iaj ia)(j iaA AA运算性质运算性质;)1(BABA 74矩阵运算矩阵运算 加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵对称阵与伴随矩阵与伴随矩阵方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵7

38、5（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘， 且矩阵相乘不满足交换律且矩阵相乘不满足交换律.（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，）只有当两个矩阵是同型矩阵时， 才能进行加法运算才能进行加法运算.注意注意（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.7624 可逆矩阵的逆矩阵77则矩阵则矩阵 称为称为 的逆矩阵的逆矩阵.A1 A一、概念的引入一、概念的引入, 111 aaaa在数的运算中，在数的运算中， 当数当数 时，时，0 a有有aa11 a其中其中 为为 的倒数，

39、的倒数，a （或称（或称 的逆）；的逆）；A那么，对于矩阵那么，对于矩阵 ，1 A如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵 ,11,AAA AI使得使得 在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，单位阵单位阵 相当于数的相当于数的 1，I78二、逆矩阵的概念和性质二、逆矩阵的概念和性质 定义定义 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个，如果有一个 阶矩阵阶矩阵nn nAF,n nBF,ABBAIn使得使得例例 设设,21212121,1111 BA,ABBAI.的一个逆矩阵的一个逆矩阵是是AB.1 AA的逆矩阵记作的逆矩阵记作BAA则说矩阵则说矩阵 是可逆矩阵，并把矩阵是可逆矩阵，并把矩阵 称为称为 的逆矩阵的逆

40、矩阵.79定理定理 若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.AA证明证明: 若设若设 和和 是是 的逆矩阵，的逆矩阵，BCA,ABBAIACCAI可得可得BIBCA B C ABCI.C所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即A.1 ACB80例例1 1 设设,0112 A.的的逆逆阵阵求求 A解解设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵, dcbaBA dcbaAB0112 1001 100122badbca待定系数法待定系数法. . 2, 1, 1, 0dcba 0112 2110,1001 AB.21101 A81定理定理 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条

41、件是 ，且，且 ,11 AAAA0 A证明证明若若 可逆，可逆，A11.AAAI即有使11,AAI故. 0 A所所以以.的伴随矩阵的伴随矩阵为矩阵为矩阵其中其中AA ,0时时当当 AAAA AA I,AAAAIAA.1AAA 按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得证毕证毕82.,0,0称称为为非非奇奇异异矩矩阵阵时时当当称称为为奇奇异异矩矩阵阵时时当当AAAA 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义.为为非非奇奇异异矩矩阵阵是是可可逆逆阵阵定定理理：AA1,ABI0,0AB故1,AB-1因而和存在BA 11A ABAA IA证毕证毕,.ABIBAIBAIABAB若或则即 、 皆可逆，而

42、且 和 互为逆矩阵推论推论证明证明I83 且且可逆可逆则则数数可逆可逆若若, 0,2AA 且且亦可逆亦可逆则则为同阶方阵且均可逆为同阶方阵且均可逆若若,3ABBA1111ABBAABAB1AIA1,AAI.111ABAB证明证明 1ABB1 1 A .111 AA .,1111AAAA 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质 .1212 AA推推广广1AmA1 mA1 1A84TTTAAAA11TI, I.11TTAA01,0,.kkAAIAA另外 当时 定义证明证明为正整数k .,4AAAAT 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若TT1 1 85 .AA,A115 则有

43、则有可逆可逆若若证明证明1AAI11 AA.AA11 因此因此 注意注意: A, B都可逆，而A+B不一定可逆，即使A+B可逆, 也有(A+B) 1 A1 + B1。 86例例1 1 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵. . 343122321A解解343122321 A0,.1存在存在 A, 2341211 A, 3331212 A三、逆矩阵的求法三、逆矩阵的求法287同理可得同理可得, 2, 6, 6, 223222113 AAAA, 2, 5, 4333231 AAA,222563462 A得得 AAA11 22256346221.11125323231 88,331212321 A解解33

44、1212321 A.,?,求求出出其其逆逆矩矩阵阵若若可可逆逆是是否否可可逆逆下下列列矩矩阵阵BA例例2 2231135 .164B 4 , 0 .A可可逆逆所所以以., 0不可逆不可逆BB , 3332111 A, 4312212 A, 5311213 A89.A,A,A,A,A,A341103333231232221 同理可求得同理可求得 33231332221231211111AAAAAAAAAAAAA. 3154041334190,130231,3512,343122321 CBA例例3 3 设设.CAXBX 使满足使满足求矩阵求矩阵解解, 02343122321 A, 013512

45、B.,11都存在都存在 BACAXB 1111 CBABBXAAI91,111253232311 A且且,25131 B11 CBAX 251313023111125323231 2513202011.41041012 92例例4用逆矩阵方法求解线性方程组：用逆矩阵方法求解线性方程组：123123123242424xxxxxxxxx解：解：把系数行列式记为把系数行列式记为A，未知量记为，未知量记为x，常数记为常数记为b，则方程可记为：，则方程可记为：Ax = =b。21112140,112A 因为因为所以所以A可逆可逆. .11()AAxA b1xA b93131111314113A31141

46、131441134 111 bAx1 123123123242424xxxxxxxxx, 0, AbAx94证证明明220,AAI由2A AII得, 0 A2AIAI12AIA220,:,2,.AAAIA AI设方阵 满足方程证明都可逆 并求它们的逆矩阵例例5 5.可可逆逆故故A1 A11.2AAI95220AAI又由2340AIAII1234AIAII2.AI故可逆11234AIAI 且3.4IA12AI1231,4AIAI96证：证：由 B = AI , B2 = (A I)2 = A2 2 A +I 及 B2 = B = A I 得 A2 2A+I = A I A2 3A = A(A 3

47、I) = 2I , 即 A(3I A)/2 =I所以 A可逆，且A1=(3I A)/2。例例. 设方阵B为幂等矩阵( 即B2 =B ), A = I+B, 证明A是可逆阵，且 A1 = (3I A)/2。97例例主对角元都是非零数的对角阵是可逆的，且11211121nnaaaaaa000000011111baabbaab时，注意：98证证 要证要证 A 可逆，即证可逆，即证 A 0。当当A*= AT时，由时，由 AT A = A* A = A I，知，知 例 已知 A 为非零 n 阶实矩阵，当当 A*= AT 时， 证明: : A 为可逆矩阵。 A 0 AT A Onnnnnnnnnnnnnn

48、ijaaaaaaaaaaaaaaaaaaa212222111211212221212111TAA,)(A设9911211111211222221222T1212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaA Aniinniiniiaaa12122121*即即 A 为可逆矩阵。为可逆矩阵。. 0, AOAAOAT故所以因为100例例若若 A,B,C,D 均为均为n 阶矩阵阶矩阵,且且 ABCD = I(n阶单位阵阶单位阵)，以下哪个成立？以下哪个成立？解解ABCD=I,矩阵乘法满足结合律矩阵乘法满足结合律A(BCD)=I,(BCD) A =I,( (A) )成立成立。(AB)(C

49、D)=I,(CD) (AB) =I,CDAB=I,( (F) )成立。成立。(A) BCDA = I；(B) CABD = I；(C) BACD = I；(D) CBAD = I； (E) BCAD = I； (F) CDAB = I。101= 4 ( I + A ) 1 = 4 diag ( 2, 1, 2 ) 1 例例已知已知A = diag(1, 2, 1), 且且 A*BA = 2BA 8I, 求求B。解 先化简，由由 A*BA 2BA = 8I, 得得( A* 2I ) BA = 8IB = 8 ( A* 2I ) 1A 1= 8 ( A ( A* 2I ) ) 1= 8 ( A A

50、* 2 A ) 1= 8 ( 2 2I 2A ) 1 ( A = 2 )= 4 diag (2 1 , 1, 2 1 )，102例例 设设A可逆，且可逆，且A*B = A 1+B，证明，证明 B 可逆，当可逆，当200620062A时，求时，求 B.解解 由由 A*B = A 1 +B = A 1 + I B 得得 (A* I ) B = A 1，因为因为| A* I | | B | = | A 1 | 0，所以，所以，| B | 0，B 可逆。可逆。B = (A* I ) 1 A 1 =(A ( A* I ) ) 1 = ( | A | I A ) 110380026008002600800

51、2A IA10011011161B200620062A1106 011001所以所以B = ( | A | I A ) 1104(2) (A1)* = A1 (A1)1例例已知：n阶矩阵A，B均可逆，证明：(1) (AB) * =B * A *; (2) (A1) * =(A *)1; (3) (AT) * =(A*)T。证证 由。得11*,* XXXXX(1) (AB)* = AB (AB)1= B B1AA1= ( A A1)1(3) (AT)*= AT (AT)1= ( A A1)T= AB B1A1 = A1 A= A (A1)T= (A*)1= B*A*= (A*)T105证明：由于

52、证明：由于* *()AAA I* *1()AA A1nAI从而从而2* *()nAAA*1AAA IAA A而1*nAA例例 设设 和和 均为均为 n 阶可逆矩阵，阶可逆矩阵，证明证明 AB2* *()nAAA106四、小结四、小结逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质. 0 A逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法 ;21AAA 利用公式利用公式逆矩阵逆矩阵 存在存在1 A ;1 待定系数法待定系数法 3.初等变换法 下一节介绍107若若A、B为为 n 阶可逆方阵，阶可逆方阵，k 不为不为0 0：（1 1）211* *();();()nTTAAAAAAA（2 2）111*();();()TT

53、TABB AABB AABB A（3 3）111*1*();();()TTnkAkAkAkAkAkA（4 4）11*11 *()() ;()() ;()()TTTTAAAAAA（5 5）111*;nTAAAAAA性质：性质：10825 矩阵的初等变换和初等矩阵109定义定义1矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换: ）；）；记作记作两行两行对调两行（对调对调两行（对调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记作记作行乘行乘（第（第krkii , .3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一

54、行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换矩阵的初等列变换（所用记号是把矩阵的初等列变换（所用记号是把“r”换成换成“c”）倍乘变换倍加变换对换变换110定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换 统称为统称为初等变换初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同且变换类型相同jirr kri 逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换;)1(krkrii 或或jikrr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或111101101ijiEjij第 行第 行第 列第 列110011第 行第 行第 列

55、第 列iEjij定义定义3 单位矩阵做单位矩阵做一次初等变换一次初等变换所得的矩阵所得的矩阵 称为称为初等矩阵初等矩阵（1 1）初等对换矩阵）初等对换矩阵112 ijE A11121121212njjjniiinmmmnaaaaaaijaaaaaa行行11111212221jinjinijmmjmimnaaaaaaaaAEaaaa 列j列i113（2 2）初等倍乘矩阵）初等倍乘矩阵11( )11iE ccii第 行第 列11111第 行第 列Eii114111211,11,21,121,11,21,12niiiniiiniiinmmmnaaaaaacacacaiaaaaaa行( )iE c A

56、111 1111121212212111( )iiiniiinimmimimimnaacaaaaacaaaAE caacaaa 列i115（3 3）初等倍加矩阵）初等倍加矩阵11( )11ijiEccjij第 行第 行第 列第 列1111第 行第 行第 列第 列iEjij1161112112112212( )niiinijjijijninmmmnaaaaaaiEc Aacaacaacajaaa行行1111112122221( )ijjnijjnijmmimjmjmnaacaaaaacaaaAE caacaaa 列j列i117nnnnnnaaacacacaaaaaaaaaaaaac3323122

57、2211121133231222211121110000001323122213212311132312221121110001001aaaacaacaaaaaaaac323331222321121311333231232221131211010100001bbbbbbbbbbbbbbbbbb118结论结论1.1.对对 mn 矩阵矩阵 A 施行一次施行一次初等行变换初等行变换相当于相当于 在在 A 的的左边乘以相应的左边乘以相应的 mm 初等矩阵初等矩阵; ; 对对 mn 矩阵矩阵 A 施行一次施行一次初等列变换初等列变换相当于相当于 在在 A 的的右边乘右边乘以相应的以相应的 nn 初等矩阵

58、初等矩阵。2.2.初等矩阵皆可逆，且其逆矩阵为其同类初等矩阵。初等矩阵皆可逆，且其逆矩阵为其同类初等矩阵。 Ei 1(c) = Ei (1/c), Ei j 1 (k) = Ei j (k), Ei j 1 = Ei j对初等矩阵再做一次同类型的初等变换可化为单位矩阵。对初等矩阵再做一次同类型的初等变换可化为单位矩阵。Ei (1/c) Ei (c) = I, Ei j ( k) Ei j (k) = I , Ei j Ei j= I119用初等变换化矩阵为标准形用初等变换化矩阵为标准形10104110010001300000A1010401103000130000021rr0000030100

59、310104100143cc 214ccc1203215334ccccF 00000001000001000001 00000301003001040001.FA矩阵称为矩阵的标准形特点：特点：的左上角是一个单位矩的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为零阵，其余元素全为零.F121标准形标准形总可经过初等变换化为总可经过初等变换化为矩阵矩阵 Anm nmrOOOEF .,零行的行数零行的行数就是行阶梯形矩阵中非就是行阶梯形矩阵中非其中其中三个数唯一确定，三个数唯一确定，此标准形由此标准形由rrnm定理定理推论推论 行列式非零的方阵可以经过初等变换行列式非零的方阵可以经过初等变换化为单位矩阵。化为

60、单位矩阵。 初等变换可以判定方阵的可逆性。初等变换可以判定方阵的可逆性。（化简过程中若矩阵出现全（化简过程中若矩阵出现全 0 行或列则不可逆）行或列则不可逆）1221012103251010120281010120012101012001100010001注意：注意：只用了行变换。只用了行变换。21sPP PAI定理定理 可逆矩阵可逆矩阵A可以经过若干次初等行变换化为可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵，即存在初等矩阵单位矩阵，即存在初等矩阵 使得：使得：12,sP PP例例: :123推论推论1 可逆矩阵可逆矩阵A可以表示成若干个初等矩阵的乘积。可以表示成若干个初等矩阵的乘积。证明：证明：