电路定理及应用

1、电路定理及应用第第3章章教学重点：教学重点：1. 熟练掌握叠加定理、替代定理、戴维南熟练掌握叠加定理、替代定理、戴维南和诺顿定理、特勒根定理和互易定理；和诺顿定理、特勒根定理和互易定理；2. 了解对偶原理。了解对偶原理。第第3章章 电路定理及应用3.1 叠加定理和齐性定理叠加定理和齐性定理3.2 替代定理替代定理3.3 戴维南定理和诺顿定理戴维南定理和诺顿定理3.4 最大功率传输定理最大功率传输定理3.5 特勒根定理特勒根定理3.6 互易定理互易定理3.7 对偶定理对偶定理3.8 应用应用3.1叠加定理叠加定理 (Superposition Theorem)一、叠加定理一、叠加定理:在线性电路

2、中，任一支路电流在线性电路中，任一支路电流( (或电压或电压) )都是电路中各都是电路中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流( (或电压或电压) )的代数和。的代数和。2I1I(a)原电路原电路+-U1R1R2SI=U1单独作用IS=0+-U1R1R2(b)1I2II1I2IS单独作用单独作用U1=0R1R2(c)SI2121RRUII （C）IS单独作用电路单独作用电路SIRRRI2121 SIRRRRRUIII21221111 同理同理：222III用支路法证明用支路法证明（b）U单独作用电路单独作用电路2I1I(a)+-U1R1R2SI+-U

3、1R1R2(b)1I2II1I2R1R2(c)SI221121RIRIUIIIS 解方程得解方程得11212211IIRRRIRRUIS 211RRUI SIRRRI2121 思考题：思考题：应用结点法该应用结点法该如何求解？如何求解？+-U1R1R2SI2I1I当一个电源单独作用时，其余电源不作用，就意味着取零当一个电源单独作用时，其余电源不作用，就意味着取零值。即对值。即对电压源电压源看作看作短路短路，而对电流源而对电流源看作看作开路开路。即如下图：即如下图：三个电源共同作用三个电源共同作用= = =us1单独作用单独作用+ +us2单独作用单独作用+ + +us3单独作用单独作用+ +R

4、1us1R2us2R3us3i1i2i3+iaibi1i3R1us1R2R3i2+R1R2us2R3i1i2i3+R1R2R3us3i1i2i3+1. 叠加定理只适用于线性电路。叠加定理只适用于线性电路。2. 一个电源作用，其余电源为零一个电源作用，其余电源为零 电压源为零电压源为零短路。短路。电流源为零电流源为零开路。开路。3. 功率不能叠加功率不能叠加(功率为二次函数功率为二次函数)。4. u, i叠加时要注意各分量的方向。叠加时要注意各分量的方向。5. 含受控源含受控源(线性线性)电路亦可用叠加，但叠加只适用于电路亦可用叠加，但叠加只适用于独立源，受控源应始终保留。独立源，受控源应始终保

5、留。 注意注意：例例3-1 用叠加定理求如图所示电路中的支路电流用叠加定理求如图所示电路中的支路电流I。 解解 ： 画出各个独立电源分别作用时的分电路如图画出各个独立电源分别作用时的分电路如图 (b)和和(c)所示。所示。 对于图对于图 (b)有有 (1)s1210164UIRR对于图对于图 (c)有有 (2)2s12441.664RIIRR (1)(2)1( 1.6)0.6 AIII (a)I4A4610VIsR1Us+R24610VI(1)Us+R2(b)R14A46IsR2I(2)(c)R1讨论讨论 (1)若若R2处再串接一个处再串接一个4 V的电压源，如图的电压源，如图(a)所示，再重

6、新所示，再重新 求支路电流求支路电流I。 图图 (b)的解为的解为 (1)0.6I 图图 (c)的解为的解为 (2)12440.446IRR (1)(2)0.6( 0.4)1 AIII 叠加定理可以分组使用 4V+(a)I4A4610VIsR1Us+R2(b)I(1)4A4610VIsR1Us+R2(c)I(2)464VR1+R2US和和IS为一组为一组4V为一组为一组（2）R1消耗的功率消耗的功率122R16( 0.6)2.16 WPR I 1212(1)(1)21R(2)(2)21R616 W6( 1.6)15.36 WPR IPR I 分别计算有分别计算有 111(1)(2)RRRPPP

7、叠加定理不能用来计算功率叠加定理不能用来计算功率 ！例例3-2如图如图 (a)所示电路，用叠加定理求电流所示电路，用叠加定理求电流I。 解解 按叠加定理，作出分电路如图按叠加定理，作出分电路如图 (b)、(c)所示所示。注意：受控注意：受控源保留在分电路中。源保留在分电路中。 对于图对于图 (b)，列列KVL方程有方程有 (1)(1)(1)21 (5)20III (1)1 I 对于图对于图 (c)，列列KVL方程有方程有 (2)(2)(2)212100III (2)2I(1)2121 A III （ ）(a)2I5AI1+10V+2(b)5AI(1)12I (1)+2(c)I(2)12I(2)

8、+10V+2例例3-3 典型的叠加定理解题方法典型的叠加定理解题方法 如图所示线性网络如图所示线性网络N，只含电阻。若只含电阻。若Us=5V，Is=12 A时，时，U=80V；若若Us=5 V，Is=4A时，时，U=0V。求当求当Us=6V，Is=10 A时，时，U为多少？为多少？解解 由于由于N为只含电阻的线性网络，则由为只含电阻的线性网络，则由叠加定理可得叠加定理可得(1)(2)1s2 sUUUK UK I代入已知条件得代入已知条件得 1280512KK12054KK 解得：解得：K1=4， K2=5 ss45UUI当当Us = 6 V，Is =10 A时，时，465 1074 VU U+

9、Us+IsN补例补例求电压求电压Us。(1) 10V电压源单独作用：电压源单独作用：(2) 4A电流源单独作用：电流源单独作用：解解:Us= - -10 I1+4 I1 = - -10 1+4= - -6VUs= - -10I1+2.4 4 = - -10 (- -1.6)+9.6=25.6V共同作用：共同作用：Us= Us +Us= - -6+25.6=19.6V+10V6 I14A+Us+10 I14 +10V6 I1+Us+10 I14 6 I14A+Us+10 I14 uu二、齐性原理二、齐性原理（homogeneity property): 线性电路中，所有激励线性电路中，所有激励(

10、独立源独立源)都增大都增大(或减小或减小)同样的同样的K倍（倍（K为实常数）为实常数） ，则电路中，则电路中响应响应(电压或电流电压或电流)也增大也增大(或减或减小小)同样的同样的K倍倍。例例.解解:采用倒推法：设采用倒推法：设i=1A。则则求电流求电流 i 。RL=2 R1=1 R2=1 us=51Vi2A+3V+8V+21V+us=34V3A8A21A5A13AR1R1R1R2RL+R2R2i =1AA5 . 113451 ssss iuuiuuii即即 1）、当激励只有一个时，则响应与激励成正比。）、当激励只有一个时，则响应与激励成正比。例例3-4求如图所示电路中各支路电压。求如图所示电

11、路中各支路电压。 解 设 412 VU 54121IU4443IU3454III33624 VUI23436 VUUU22182IU1236IIIs1266 VUUUss165 662.5KUU给定的激励比假定的激励增大给定的激励比假定的激励增大 1122334475 V,90 V60 V,30 VUKUUKUUKUUKUV30511 IUU1+U3+U2I312I4I14U4+165V+5I5I2186例例3-1(a)中中Us增加一倍，则增加一倍，则I为多少？为多少？ (1)(1)22II(1)(2)21.60.4 AIII(a)I4A4620VIsR1Us+R2举例。举例。4620VI(1

12、)Us+R2(b)R14A46IsR2I(2)(c)R1分开后单独计算分开后单独计算 2）、当存在多个激励源时，一）、当存在多个激励源时，一般表达式为般表达式为y=k1x1+k2x2+knxn ，式式中中y为任一响应，为任一响应，xi为激励。采用可为激励。采用可加性加性(additivity property)分析。分析。(c)IS = I3 = 1AI1I220V+683.2 替代定理替代定理(Substitution Theorem)I1 = 2 A , I2 = 1 A , I3 =1 A , U3 = 8 V 用用Us = U3 = 8 V的电压源替代的电压源替代 用用Is = I3

13、= 1 A的电流源替代的电流源替代 替代后电路中各支路电压和电流均保持不变替代后电路中各支路电压和电流均保持不变 ！这条有这条有固定解固定解的支路的支路可以被可以被替代替代(a)+U3I3I1I220V+684V+4(b)US = U3 = 8VI1I220V+68+这条有这条有固定解固定解的支路的支路可以被可以被替代替代替代后电路中替代后电路中全部全部的电压和电流均保持不变的电压和电流均保持不变。 替代定理：在任意线性和非线性，定常和时变电路中，在任意线性和非线性，定常和时变电路中，如果第如果第k条支路的电压条支路的电压uk和电流和电流ik为已知，为已知，只要该支路和电路的其他支路之间无耦合

14、，只要该支路和电路的其他支路之间无耦合，那么该支路可以用一个电压等于那么该支路可以用一个电压等于uk的电压源或一个的电压源或一个电流等于电流等于ik的电流源替代，的电流源替代，适用范围适用范围要求要求条件条件如何替代如何替代替代后结果替代后结果A+ukikAAik+uk支支路路 k 证明证明 替代前后替代前后KCL，KVL关系相同，其余支路的关系相同，其余支路的u、i关系不变。关系不变。A+ukikAAik+uk支支路路 k 用用uk替代后，其余支路电压不变替代后，其余支路电压不变(KVL)，其余支路其余支路电流也不变，故第电流也不变，故第k条支路条支路ik也不变也不变(KCL)。 用用ik替

15、代后，其余支路电流不变替代后，其余支路电流不变(KCL)，其余支路其余支路电压不变，故第电压不变，故第k条支路条支路uk也不变也不变(KVL)。ukukAik+uk支支路路 k A+ukAik+uk 支支路路 k uk又证又证:证毕证毕!无电压源回路；无电压源回路；无电流源结点无电流源结点(含广义结点含广义结点)。.替代后其余支路及参数不能改变替代后其余支路及参数不能改变(一点等效一点等效)。例例.若要使若要使试求试求Rx。. 替代后电路必须有唯一解替代后电路必须有唯一解+10V-0.5 0.5 +3 1 RxIx+UI0.5 ,IIx81 注意！注意！解：解：用替代：用替代：U=U+U=(0

16、.8- -0.6)Ix=0.2IxRx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2 (或或U=(0.1- -0.075)I=0.025I)0.5 0.5 0.5 1 +UI81.2012500250 IIIURXx1 +UI0.5 I810.5 0.5 =+0.5 0.5 1 +UI0.5 U1U2再叠加：再叠加：xIIIIUUU8 .01 .05 .05 .215 .05 .25 .112 xIIIU6.0075.01815.25.1 3.3 戴维南定理和诺顿定理(Thevenin-Norton Theorem)统称为发电机定理、有源二端网络定理、等效电源定理。统称为发电机定理、有源二端网络定理、等

17、效电源定理。工程实际中，常常碰到只需研究某一工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的情况。这时，可以将除我们需保留支路的情况。这时，可以将除我们需保留的支路外的其余部分的电路的支路外的其余部分的电路(通常为二端通常为二端网络或称一端口网络网络或称一端口网络),等效变换为较简单等效变换为较简单的含源支路的含源支路 (电压源与电阻串联或电流源电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路与电阻并联支路),可大大方便我们的分析可大大方便我们的分析和计算。戴维南定理和诺顿定理正是给出和计算。戴维南定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。了等效含源支路及其计算方法。R3R1R5R4R2iRxab+us(

18、1) 端口端口( port ) 端口端口指电路引出的一对端钮，其中从指电路引出的一对端钮，其中从一个端钮一个端钮(如如a)流入的电流一定等于从另流入的电流一定等于从另一端钮一端钮(如如b)流出的电流。流出的电流。Aabii(2) 一端口网络一端口网络 (network) (亦称二端网络亦称二端网络)网络与外部电路只有一对端钮网络与外部电路只有一对端钮(或一个端口或一个端口)联接。联接。(3) 含源含源(active)与无源与无源(passive)一端口网络一端口网络 网络内部网络内部含有独立电源的含有独立电源的一端口网络称为一端口网络称为含源一端口网络。含源一端口网络。 （用（用A表示）表示）

19、 网络内部网络内部不含有独立电源不含有独立电源的一端口网络称为的一端口网络称为无源一端口网络。无源一端口网络。 （用（用P表示）表示）1. 概念解释概念解释2. 戴维南定理:任何一个线性含有独立电源、线性电阻和线性受控任何一个线性含有独立电源、线性电阻和线性受控源的一端口网络源的一端口网络A ，对对外电路外电路来说，可以用一个电压源来说，可以用一个电压源(Uoc)和电阻和电阻Req的串联组合来等效置换；此电压源的电压的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时网络等于外电路断开时网络A端口处的端口处的开路电压开路电压(Uoc) ，而电而电阻等于一端口网络阻等于一端口网络A中全部独立电源

20、置零后的中全部独立电源置零后的无源一端口无源一端口P P端口端口等效电阻等效电阻Req。AabiuiabReqUoc+- -u证明证明:(a)(b)(对对a)利用替代定理，将外部电路用电流源替代，此时利用替代定理，将外部电路用电流源替代，此时u, i值不变。计算值不变。计算u值。（用叠加定理）值。（用叠加定理）=+根据叠加定理，可得根据叠加定理，可得电流源电流源i为为零零网络网络A中中独立源全部置零独立源全部置零abAi+uNabAi+uabA+uabPi+uRiu= Uoc (外电路开路时外电路开路时a 、b间开路电压间开路电压) u= - Ri i则则u = u + u = Uoc - -

21、 Ri i此关系式恰与图此关系式恰与图(b)电路相同。证毕！电路相同。证毕！iUoc+uNab+Ri（1）先求含源一端口的开路电压）先求含源一端口的开路电压uoc，要画出相应的电路，要画出相应的电路，标明开路电压的标明开路电压的极性极性。（2）求戴维南等效电阻）求戴维南等效电阻Req，也必须画出相应的电路，按照也必须画出相应的电路，按照前面求前面求等效电阻等效电阻的方法求得。的方法求得。（3）画出含源一端口的戴维南等效电路。注意：等效电压源）画出含源一端口的戴维南等效电路。注意：等效电压源的极性应与所求的极性应与所求uoc的的极性极性一致。一致。注意：注意：(1) 外电路发生改变时，含源一端口

22、网络的等效电路不变外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏伏-安安特性等效特性等效)。(2) 当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。含在被化简的同一部分电路中。3.戴维南定理的解题过程与注意事项戴维南定理的解题过程与注意事项具体求解任务具体求解任务 ：(1) 开路电压开路电压Uoc(2) 求等效电阻求等效电阻 等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源电压源短路，电流源开路短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的等效电阻。后，所得无源一端口网络的等

23、效电阻。等效电阻的计算方法：等效电阻的计算方法：当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法计算；当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法计算；12加压求流法或加流求压法。加压求流法或加流求压法。开路电压，短路电流法。开路电压，短路电流法。32 3方法更有一般性。方法更有一般性。 戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。电压源方向与所求开路电压方向有关。 计算一个电量的方法有很多，可以用第计算一个电量的方法有很多，可以用第2章中支路法、章中支路法、结点法、回路法、网孔法等。结点

24、法、回路法、网孔法等。例例3-5求如图所示含源一端口的戴维南等效电路。求如图所示含源一端口的戴维南等效电路。 8I18V+39V+6+Uoc11836Req11ReqUoc+11解： 先求含源一端口的开路电压先求含源一端口的开路电压Uoc。 1891 A36Ioc6915 VUI再求戴维南等效电阻再求戴维南等效电阻Req。 eq3/6810 R戴维南等效电路如图所示。戴维南等效电路如图所示。 或或结点法结点法：设求取结点设求取结点a电压电压Uaa69318)6131(aUUOC=Ua=15Vui例3-5 外加电压源一次求两个参数8I118V+39V+6+Uoc11ReqUoc+11我们知道，上

25、述两个电路等效我们知道，上述两个电路等效是对图示电流电压而言的（端口等效）是对图示电流电压而言的（端口等效）uiui+_ui 因此假想两个图都接有图示电因此假想两个图都接有图示电压源及电流参考方向压源及电流参考方向 原电路采用网孔（回路）电流原电路采用网孔（回路）电流方法列写方程：方法列写方程：9186)63(1iII1iuiI9)86(61消去消去I1可得可得 ：iu1015 而右侧等效电路的而右侧等效电路的 ui 关系关系：iRUueqoc 比较可得比较可得 oceq15 V, 10 URui 作为已知量列写在方程中作为已知量列写在方程中ui+_ui 计算计算Rx分别为分别为1.2 、5.

26、2 时的时的I；IRxab+10V4 6 6 4 解：解：保留保留Rx支路，将其余一端口网络化为戴维南等效电路：支路，将其余一端口网络化为戴维南等效电路：ab+10V4 6 6 +U24 +U1IRxIabUoc+RxReq补例补例1(1) 求开路电压求开路电压Uoc = U1 + U2 = - -10 4/(4+6)+10 6/(4+6) = - -4+6=2Vab+10V4 6 6 +U24 +U1+- -Uoc(2) 求等效电阻求等效电阻ReqRi=4/6+6/4=4.8 (3) Rx =1.2 时，时，I= Uoc /(Ri + Rx) =0.333ARx =5.2 时，时， I= U

27、oc /(Ri + Rx) =0.2AIabUoc+RxReqRiab4 6 6 4 补例补例2电路如图：求：电路如图：求：U=?4 4 50 5 33 AB1A+_8V_+10VCDERLUUx第一步：求开端电压第一步：求开端电压Ux。解解: :V954010 EBDECDACocUUUUU此值是所求此值是所求结果结果U吗？吗？第二步：第二步：求等效电阻求等效电阻 Req。Req 5754/450eqR4 4 50 5 AB1A+_8V_+10VCDEUx4 4 50 5 +_E0R057 9V等效电路等效电路 57eqRV90 xUE4 4 50 5 33 AB1A+_8V_+10VCDE

28、RLU第三步：求电压第三步：求电压V3 . 33333579 U33 例例3-6用戴维南定理求图用戴维南定理求图 (a)所示电路中的所示电路中的U0 。 (1)求开路电压求开路电压Uoc。用结用结点电压法，有点电压法，有 oc111124222UIoc1122UI联立解得联立解得 oc10U解解：(a)I1+212V+ U0ba24I1120V+(b)I1212V+ba24I1Uoc(2)求戴维南等效电阻求戴维南等效电阻Req ：采用外加电压源法采用外加电压源法 。 111422UII12IU eq1 3RU Ioc0eq2010201511 V11 1 32UUR +UI列方程仍然采用结点法

29、列方程仍然采用结点法 ： 1/310V+120V+U0然后对于然后对于ab左侧的电路左侧的电路从而求取：从而求取：I1212V+ba24I112V+补例补例3.解：解：(1) a、b开路，开路，I=0，0.5I=0，Uoc= 10V(2)求求Ri：加压求流法加压求流法U0 =(I0- -0.5 I0) 103+ I0 103 =1500I0Ri = U0 / I0 =1.5k abUoc+U R0.5k Ri(含受控源电路含受控源电路)用戴维南定理求图示电路中用戴维南定理求图示电路中U。+10V1k 1k 0.5Iab R0.5k +UI1k 1k 0.5Iab+U0II0U=Uoc 500/

30、(1500+500)=2.5VIsc = - -I，(I- -0.5I) 103 +I 103+10=01500I= - -10 I= - -1/150 A即即 Isc=1/150 A Ri = Uoc / Isc =10 150=1500 ab10V+U R0.5k 1.5k (3) 等效电路：等效电路：开路电压开路电压Uoc 、短路电流短路电流Isc法求法求Ri： 即：即：Ri = Uoc / IscUoc =10V（已求出）已求出）再求短路电流再求短路电流Isc (将将a、b短路短路)：或：或：+10V1k 1k 0.5IabIIsc4. 诺顿定理诺顿定理诺顿定理：线性含源一端口诺顿定理

31、：线性含源一端口A，对外电路来说，可对外电路来说，可以用一个电流源和电导的并联组合来替代，此电流源的以用一个电流源和电导的并联组合来替代，此电流源的电流等于该一端口电流等于该一端口A的短路电流的短路电流isc，电导等于一端口电导等于一端口A中中所有独立电源置零后所得无源一端口所有独立电源置零后所得无源一端口P的等效电导的等效电导Geq。诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效变换得诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效变换得到。到。 uoc、Req（Geq）、）、isc 3个参数，其关系为个参数，其关系为 uoc=Req iscAababGeq(Req)isc但须指出，诺顿等效电路可独立进行

32、证明。证明过程从略。但须指出，诺顿等效电路可独立进行证明。证明过程从略。两个特例两个特例:1）若一端口的输入电阻为零，其戴维南等效电路为一理想电）若一端口的输入电阻为零，其戴维南等效电路为一理想电 压源，诺顿等效电路不存在。压源，诺顿等效电路不存在。2）若一端口的输入电导为零，其诺顿电路为一理想电流源，）若一端口的输入电导为零，其诺顿电路为一理想电流源， 戴维南等效等效电路不存在。戴维南等效等效电路不存在。 戴维南定理和诺顿定理统称为戴维南定理和诺顿定理统称为发电机定理发电机定理，这两个定理在，这两个定理在分析电路中分析电路中某一电阻获得最大功率某一电阻获得最大功率方面很有用处。方面很有用处。

33、如何求诺顿电路如何求诺顿电路: 1）用戴维南变换用戴维南变换 2） NS的短路电流的短路电流isc ； No的等效电阻的等效电阻Req例例3-7用诺顿定理求图用诺顿定理求图 (a)所示电路中电流所示电路中电流I。12V2 10 +24Vab4 I+(a)解：解：如图，先独立出来如图，先独立出来4 电阻支路电阻支路12V2 10 +24Vab4 I+ISC ab右侧的电路求取诺顿右侧的电路求取诺顿等效电路等效电路(1)ab间短路求短路电流间短路求短路电流I1I2I1 =12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6AIsc=- -I1- -I2=- - 3.6- -6=- -9.6A(2)

34、求求Req：串并联串并联Req =10 2/(10+2)=1.67 (3) 诺顿等效电路诺顿等效电路:I = - - Isc 1.67/(4+1.67) =9.6 1.67/5.67 =2.83AReq2 10 ab解毕！解毕！b4 Ia1.67 - -9.6A例3-8求图求图 (a)所示电路的戴维南或诺顿等效电路。所示电路的戴维南或诺顿等效电路。 (a)1163ii2Uoc+10V+4解解 先求开路电压先求开路电压uoc。 再求等效电阻再求等效电阻Req。外加电压源方法外加电压源方法 ：解得解得 ：u = 0，Req=u/i=0戴维南等效电路为一理想电压源戴维南等效电路为一理想电压源，而诺顿

35、等效电路不存在。而诺顿等效电路不存在。 0 i(V)5104266oc uu-)6(4)63(2iuuiiu +5V-讨论：讨论： 当当Req = 0时，戴维南等效电路成为一个电压源，此时，戴维南等效电路成为一个电压源，此时对应的诺顿等效电路不存在；时对应的诺顿等效电路不存在； 当当Req = 时，诺顿等效电路成为一个电流源，此时，诺顿等效电路成为一个电流源，此时对应的戴维南等效电路不存在。时对应的戴维南等效电路不存在。 通常情况下，两种等效电路同时存在。通常情况下，两种等效电路同时存在。Reqeq 也有也有可能为一线性负电阻。可能为一线性负电阻。 3.4 最大功率传输定理1 iRequoc+

36、1RL线性含线性含源一端源一端口网络口网络A 线性含源一端口线性含源一端口A，当它两端接上不同负载时，在什么情当它两端接上不同负载时，在什么情况下负载能获得最大功率呢？况下负载能获得最大功率呢？ 分析图中负载电阻中电流：分析图中负载电阻中电流：LeqocRRui 线性含源线性含源一端口网一端口网络络A等效等效为戴维南为戴维南电路电路A1 iRequoc+1RL则负载电阻中电功率：则负载电阻中电功率：2Leq2ocL2LeqocL2LL)()(RRuRRRuRiRP 当改变当改变RL L时，要时，要PL L使最大，则使最大，则 ：0)()(2)(dd4LeqLeq2ocL2Leq2ocLL RR

37、RRuRRRuRp当当Req= RL时，时，eq2ocLmax4Rup 若用诺顿定理等效，则若用诺顿定理等效，则 42sceqLmaxiRp 线性含源一端口线性含源一端口A，外接可变负载外接可变负载RL，当当RL = Req（含源一端口含源一端口A的等效电阻）时，负载的等效电阻）时，负载可获得最大功率，此最大功率为可获得最大功率，此最大功率为:或 满足上述条件称为负载电阻与一端口的等效电阻满足上述条件称为负载电阻与一端口的等效电阻匹配匹配。 在匹配工作状态下在匹配工作状态下 ，h h = 50 。最大功率传输定理的内容为：最大功率传输定理的内容为：eqocLRUP42max 42maxsceq

38、LIRP 例3-9 如图如图 (a)所示含源一端口外接可调电阻所示含源一端口外接可调电阻R，当当R等等于多少时，可以从电路中获得最大功率？并求此最于多少时，可以从电路中获得最大功率？并求此最大功率。大功率。 解解 先求开路电压先求开路电压uoc。 (a)3A20510V+16R(b)204V+-uocRoc1110315205U oc4Ueq20/51620R求戴维南等效电阻求戴维南等效电阻Req。 当当R=20 时，时，R可获得可获得最大功率，最大功率，Req20516(c)W(2 . 042max eqocLRUP3.5 特勒根定理特勒根定理 特勒根定理是电路理论中最普遍定理之一，其可以应

39、用于集总参数二端特勒根定理是电路理论中最普遍定理之一，其可以应用于集总参数二端元件所构成的任何电路，而不管元件的性质如何。元件所构成的任何电路，而不管元件的性质如何。1. 1. 具有相同拓扑结构（特征）的电路具有相同拓扑结构（特征）的电路两个电路，支路数和结点数都相同，而且对应支路与结点的两个电路，支路数和结点数都相同，而且对应支路与结点的联接关系也相同。联接关系也相同。R5R4NR1R3R2R6+us11234NR5R4R1R3R6us6is2+1243读作读作“N拔拔”网网络络伴随网络伴随网络互为互为伴随伴随两个电路支路与结点联接关系相同：两个电路支路与结点联接关系相同：假设两个电路中对应

40、支路电压假设两个电路中对应支路电压方向相同，支路电流均取和支路电方向相同，支路电流均取和支路电压相同的参考方向。压相同的参考方向。2 2 特勒根定理特勒根定理1 1 该定理是功率守恒的具体体现，其表明任何一个电路的全该定理是功率守恒的具体体现，其表明任何一个电路的全部支路所吸收的功率之和恒等于零。部支路所吸收的功率之和恒等于零。 对于一个具有对于一个具有n个结点和个结点和b条支路的电路，假定条支路的电路，假定各支路电压各支路电压和和支路电流支路电流取关联参考方向取关联参考方向，并设支路电压和支路电流分别为，并设支路电压和支路电流分别为（u1，u2， ，ub），（），（i1，i2，ib ），），

41、则对任何时间则对任何时间t ，有有01 bkkkiu0243516对对、结结点列点列KCL方程为方程为 证明可推广到任何具有证明可推广到任何具有n个结点和个结点和b条支路的电路。条支路的电路。 0243516 000652421631iiiiiiiii 61kkkiu 352413316322211nnnnnnnnnuuuuuuuuuuuuuuu和和证明：证明：结点电压与支路电结点电压与支路电压关系为：压关系为：061 kkkiu所所以以：63n1n53n41n23n2n12n1n)()()(iuuiuiuiuuiuu 665544332211iuiuiuiuiuiu )()()(5623n4

42、212n6311niiiuiiiuiiiu 3. 3. 特勒根定理特勒根定理2 2：说明：说明： 如果有两个具有如果有两个具有n个结点和个结点和b条支路的电路，条支路的电路，它们具有相同的拓扑图，但由内容不同的支路构成，它们具有相同的拓扑图，但由内容不同的支路构成，假定各支路电压和支路电流取关联参考方向，并分别假定各支路电压和支路电流取关联参考方向，并分别用用(u1,u2, ,ub)，(i1,i2,ib )，( )，( ) ，表示两电路中表示两电路中b条支路电压和支路电条支路电压和支路电流，则对任何时间流，则对任何时间t ，有有buuu,21biii,211 1、特勒根定理、特勒根定理2不能用

43、功率守恒解释，但它具有功率之和不能用功率守恒解释，但它具有功率之和的形式，所以有时又称为的形式，所以有时又称为“似功率定理似功率定理”。 bkkkbkkkiuiu1100或者：或者：2 2、它适用于、它适用于任何集总任何集总电路，对电路，对支路内容支路内容也没有要求。也没有要求。依同理也可证明依同理也可证明证明：证明：设有两个电路的设有两个电路的G图都如右图：图都如右图：电路电路N对对、结点列结点列KCL方程为：方程为： 000652421631iiiiiiiii 000652421631iiiiiiiii电路电路 对对、结点列结点列KCL方程为：方程为： N则：则：)()()(5623n42

44、12n6311n61iiiuiiiuiiiuiukkk 061 kkkiu则：则：0243516061 kkkiu补例补例1：(1) R1=R2=2 , Us=8V时时, I1=2A, U2 =2V(2) R1=1.4 , R2=0.8 , Us=9V时时, I1=3A, 求求U2。解：解：利用特勒根定理利用特勒根定理由由(1)得：得：U1=4V, I1=2A, U2=2V, I2=U2/R2=1A222211(5/4)/ A,3 V,84 :(2) URUII.U得得由由) , ( )()(1122112211的的方方向向不不同同负负号号是是因因为为IUIUIUIUIU 128 . 425.

45、 123422 UU无源无源电阻电阻网络网络 P +U1+UsR1I1I2+U2R2V6 . 15 . 1/4 . 2 2 U补例补例2：解：解：U1=10V, I1=5A, U2=0, I2=1AP+U1+U2I2I1P+2 1 U2 U1 I2 IV102 U.U1 求求 )()(22112211IUIUIUIU 112 IUV.11 U )(2221111IUIUUU 110)5(21011 UU例例3-103-10如图所示电路中，如图所示电路中，N为仅含电阻的网络。证明：为仅含电阻的网络。证明： 22112211iuiuiuiuu222Ni2+u111i1+22N+111i2i1 u2

46、 u证明证明 ：由特勒根定理由特勒根定理2有：有： 003221132211 bkkkbkkkiuiuiuiuiuiuN为仅含电阻的网络，有为仅含电阻的网络，有，kkkiRu ,kkkiRu k=3，b。003221132211 bkkkkbkkkkiiRiuiuiiRiuiu22112211iuiuiuiu3.6 3.6 互易定理互易定理(Reciprocity Theorem) 对一个仅含线性电阻的电路，在单一激励的情况下，当激对一个仅含线性电阻的电路，在单一激励的情况下，当激励和响应互换位置时，响应不变。此即励和响应互换位置时，响应不变。此即互易定理互易定理。第一种形式第一种形式:电压源

47、激励，电流响应电压源激励，电流响应电流互易电流互易 给定任一仅由线性电阻构成的网络给定任一仅由线性电阻构成的网络(见下图见下图)，设支路，设支路j中中有唯一电压源有唯一电压源uj，其在支路其在支路k中产生的电流为中产生的电流为ikj(图图a)；若支路若支路k中有唯一电压源中有唯一电压源uk，其在支路其在支路j中产生的电流为中产生的电流为ijk(图图b)。cd线性线性电阻电阻网络网络 Nijk+ukab(b)ikj线性线性电阻电阻网络网络 N+ujabcd(a)当当 uk = uj 时，时，ikj = ijk 。则两个支路中电压电流有如下关系：则两个支路中电压电流有如下关系：jkjkjkkjkj

48、kjiuiuuiui 或或ikj线性线性电阻电阻网络网络 N+ujabcd(a)cd线性线性电阻电阻网络网络 Nijk+ukab(b)证明证明:用特勒根定理。用特勒根定理。由特勒根定理：由特勒根定理：(设设a-b支路为支路支路为支路1,c-d支路为支路支路为支路2,其余支路为其余支路为3b)。图图(a)与图与图(b)有相同拓扑特征，有相同拓扑特征，(a)中用中用uk 、ik表示支路电压，电表示支路电压，电流，流， (b)中用中用 。表表示示kkiu , 0 011 bkkkbkkkiuiu和和 0 32211322111 bkkkkbkkkbkkkiiRiuiuiuiuiuiu即：即： 0 3

49、2211322111 bkkkkbkkkbkkkiiRiuiuiuiuiuiu两式相减，得两式相减，得将图将图(a)与图与图(b)中支路中支路1，2的条件代入，即的条件代入，即即：即：证毕！证毕！jkkkjjiiuuuiiuuu 121221 , , 0 ; , 0 ,当当 uk = uj 时，时，ikj = ijk 。 kjkjkjjkjkjkuiuiiuiu 或或cd线性线性电阻电阻网络网络 Nijk+ukab(b)ikj线性线性电阻电阻网络网络 N+ujabcd(a)kjkjkjiuiiiu120022112211iuiuiuiu第二种形式第二种形式:电流源激励，电压响应。电流源激励，电

50、压响应。电压互易电压互易 在任一线性电阻网络的一对结点在任一线性电阻网络的一对结点j，j间接入唯一电流间接入唯一电流源源ij，它在另一对结点它在另一对结点k，k产生电压产生电压ukj(见图见图a)；若改在结若改在结点点k，k间接入唯一电流源间接入唯一电流源ik，它在结点它在结点j，j间产生电压间产生电压ujk(图图b)，则上述电压、电流有如下关系：则上述电压、电流有如下关系：当当 ik = jj 时，时，ukj = ujk 。jjkkkjkjkjkjiuiuiuiu 或或ukjij+jj kk(a)ik+ujkjj kk(b) 如果按在端子如果按在端子a，b的为电流源的为电流源 Is，而端子而

51、端子c，d的短路电流的短路电流为为i2,当在端子当在端子c，d按入电压源按入电压源 us ,且有且有us= is（量值上），而在量值上），而在端子端子a，b的开路电压为的开路电压为 ,则互易定理说明则互易定理说明1 u21iu 应用互易定理时要注意应用互易定理时要注意电压和电流的电压和电流的参考方向参考方向。 21ssiuiu通用的表达关系式：通用的表达关系式：c+d NR+usab(b)1 uisNR(a)i2abdc第三种形式第三种形式: ：数值互易数值互易(1) 互易定理适用于线性网络在单一电源激励下，两个支路互易定理适用于线性网络在单一电源激励下，两个支路电压电流关系。电压电流关系。(

52、2) 激励为电压源时，响应为电流激励为电压源时，响应为电流激励为电流源时，响应为电压激励为电流源时，响应为电压电压与电流互易。电压与电流互易。(3) 电压源激励电压源激励，互易时原电压源处短路，电压源串入另一，互易时原电压源处短路，电压源串入另一支路；支路；电流源激励电流源激励，互易时原电流源处开路，电流源并，互易时原电流源处开路，电流源并入另一支路的两个结点间。入另一支路的两个结点间。(4) 互易要注意电源与电压互易要注意电源与电压(电流电流)的方向。的方向。(5) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。含有受控源的网络，互易定理一般不成立。应用互易定理时应注意：应用互易定理时应注意：例例3

53、-121221ssuiui 由互易定理得由互易定理得 代入已知条件可得代入已知条件可得 形式一形式一解解i2线性线性电阻电阻网络网络 N+us1(a)线性线性电阻电阻网络网络 N+(b)1i2su互易网络如图所示，已知互易网络如图所示，已知us1=1V，i2=2A，。，求电流，求电流122iVus Ai41 例例3-13 对于虚框内所包含的网络对于虚框内所包含的网络N（仍为电阻网络，见图仍为电阻网络，见图动画），利用互易定理有动画），利用互易定理有所以所以 1U2142UU2123 V4UU 形式二形式二解解u24A+NR(a)R1R22A+U1NR(b)R1R2如图如图 (a)所示电路中，已

54、知所示电路中，已知 u2=6V，求图求图(b)中中 （网络（网络N仅由电阻组成）。仅由电阻组成）。 1U 补例：补例：求电流求电流I 。解：解：利用互易定理利用互易定理I1 = I 2/(4+2)=2/3AI2 = I 2/(1+2)=4/3AI= I1- -I2 = - - 2/3A2 1 2 4 +8V2 IabcdI1I2IA248212428 / I解毕！解毕！2 1 2 4 +8V2 Iabcd8V2 1 2 4 +2 Iabcd先先再思考：其实用其他的方法更容易解。思考：其实用其他的方法更容易解。3.7 对偶原理对偶原理(Dual Principle)1 电路中某些元素之间的关系（或方程），用它们的对偶元素电路中某些元素之间的关系（或方程），用它们的对偶元素对应地置换后，所得到的新关系（或新方程）也一定成立，这对应地置换后，所得到的新关系（或新方程）也一定成立，这个新关系（或新方程）与原有的关系（方程）互为对偶，这就个新关系（或新方程）与原有的关系（方程）互为对偶，这就是是对偶原理。对偶原理。（1 1）对偶元素有）对偶元素有：u-i R-G us-is L-C uoc-isc（2 2）对偶关系有对偶关系有：u=Ri -i=Gu us=R1i+R2i-is=G1u+G2u（3 3）对偶电路有对偶电路有：串联串联- 并联并联 -Y T-Y T形电路形电路-形电路形电路 开