第8章--扭-转学习教案

1、会计学1第第8章章-扭扭-转转第一页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 扭转扭转(nizhun)实例：实例：第1页/共93页第二页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电电子教案子教案 第第8章章 扭扭 转转 第2页/共93页第三页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子电子教案教案 第第8章章 扭扭 转转 第3页/共93页第四页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子教案电子教案 第第8 8章章 扭转扭转(

2、nizhun) (nizhun) 8-1 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图ABl第4页/共93页第五页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子教案电子教案 第第8 8章章 扭转扭转(nizhun) (nizhun) 如上图所示，杆件在横向平面内的外力偶作用如上图所示，杆件在横向平面内的外力偶作用下发生扭转变形。其侧面上原有的直线下发生扭转变形。其侧面上原有的直线ab变为螺旋变为螺旋线线ab, 诸横截面诸横截面(jimin)绕杆的轴线相对转动，例绕杆的轴线相对转动，例如如B截面截面(jimin)相对于相对于A截面截面(jimin)转过一角度转过一角度bOb。为了分

3、析横截面上的内力，取为了分析横截面上的内力，取m-m截面。截面。第5页/共93页第六页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8 8章章 扭转扭转(nizhun) (nizhun) 由图示任意横截面由图示任意横截面m- m左段杆的平衡条件可左段杆的平衡条件可知，受扭杆件横截面上的内力是一个作用于横截知，受扭杆件横截面上的内力是一个作用于横截面平面面平面(pngmin)内的力偶。这一力偶之矩称为内的力偶。这一力偶之矩称为扭矩，常用符号扭矩，常用符号T表示。表示。 第6页/共93页第七页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(di

4、nz)教案教案 第第8 8章章 扭转扭转(nizhun) (nizhun) 由由Mx（F）= 0T Me = 0即即T=Me 取取(c)图列方程可得相同图列方程可得相同(xin tn)的计算结的计算结果。果。第7页/共93页第八页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8 8章章 扭转扭转(nizhun) (nizhun) 扭矩的正负号由右手螺旋法则扭矩的正负号由右手螺旋法则(fz)规定：规定： 使卷曲右手的四指其转向与扭矩使卷曲右手的四指其转向与扭矩T的转向相同，若大的转向相同，若大拇指的指向离开横截面，则扭矩为正；反之为负。拇指的指向离开横截面

5、，则扭矩为正；反之为负。扭矩图：表示扭矩随横截面位置变化的图线。扭矩图：表示扭矩随横截面位置变化的图线。T矢量指向离开截面为正，反之为负矢量指向离开截面为正，反之为负第8页/共93页第九页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8 8章章 扭转扭转(nizhun) (nizhun) 一传动轴的计算一传动轴的计算(j sun)简图如图所示，简图如图所示，作用于其上的外力偶矩之大小分别是：作用于其上的外力偶矩之大小分别是：MA=2 kNm , MB=3.5kNm , MC =1 kNm , MD = 0.5 kNm , 转向如图。转向如图。试作该传动轴

6、之扭矩图。试作该传动轴之扭矩图。 解：只要求出解：只要求出AB、BC、CD段中任意截面上的扭段中任意截面上的扭矩，即可作出扭矩图。矩，即可作出扭矩图。例题例题 8-1第9页/共93页第十页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子教案电子教案 第第8 8章章 扭转扭转(nizhun) (nizhun) 1-1截面截面(jimin)：Mx（F）= 0MA + T1 = 0得得T1=MA= -2 kNm 分别作截面分别作截面1-1、2-2、3-3，如右图所，如右图所示。示。考虑考虑1-1截面截面例题例题 8-1第10页/共93页第十一页，共93页。# 工程力学

7、教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8 8章章 扭转扭转(nizhun) (nizhun) 例题例题(lt) 8-1同理得同理得T2=1.5kNm , T3 = 0.5 kNm第11页/共93页第十二页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电电子教案子教案 第第8 8章章 扭转扭转(nizhun) (nizhun) 该传动轴横截面上的最大扭矩是多少该传动轴横截面上的最大扭矩是多少(dusho)？思考题思考题8-1第12页/共93页第十三页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子教案电子教案

8、第第6 6章章 内力内力(nil)(nil)和和内力内力(nil)(nil)图图 作杆的扭矩图。作杆的扭矩图。思考题思考题8-21 m1 m0.2m0.1 m0.1 m4 kN1 kN2 kN第13页/共93页第十四页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子教案电子教案 第第8 8章章 扭转扭转(nizhun) (nizhun) 思考题思考题8-2参考答案参考答案T /kNmx0.40.2O1 m1 m0.2m0.1 m0.1 m4 kN1 kN2 kN第14页/共93页第十五页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案

9、教案 第第8章章 扭扭 转转 我们在前面讲扭矩与扭矩图的时候我们在前面讲扭矩与扭矩图的时候(sh hou)，涉及到这样的问题：涉及到这样的问题： 杆件在横向平面杆件在横向平面内的外力偶内的外力偶(l u)的作的作用下，要发生扭转变用下，要发生扭转变形，产生相对扭转角形，产生相对扭转角 bO b (B截面相对于截面相对于A截面），受扭杆之内截面），受扭杆之内力如右图。用分离体力如右图。用分离体分析扭矩分析扭矩T 。第15页/共93页第十六页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 本章主要本章主要(zhyo)研究以下内容：研究以下内

10、容：(1) 薄壁圆筒扭转时的应力薄壁圆筒扭转时的应力(yngl)和应变；和应变； (2) 等直圆截面杆受扭时的应力和变形；（等直圆杆受扭等直圆截面杆受扭时的应力和变形；（等直圆杆受扭时其横截面仍为平面，求解较简单。）时其横截面仍为平面，求解较简单。）(3) 简要介绍非圆截面杆受扭时的一些弹性力学简要介绍非圆截面杆受扭时的一些弹性力学中的分析结果。（非圆截面杆受扭时，横中的分析结果。（非圆截面杆受扭时，横截面不再保持平面，要发生翘曲求解复杂截面不再保持平面，要发生翘曲求解复杂。）。）第16页/共93页第十七页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子电子教案

11、教案 第第8章章 扭扭 转转 受扭杆件横截面上与扭矩对应的应力受扭杆件横截面上与扭矩对应的应力(yngl)是正应力是正应力(yngl)还是切应力还是切应力(yngl)？为什么？为什么？思考题思考题 8-3 答：切应力，因为与正应力相应的分布内力答：切应力，因为与正应力相应的分布内力之合力之合力(hl)不可能是个作用在横截面上的力偶。不可能是个作用在横截面上的力偶。第17页/共93页第十八页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子教案电子教案 第第8章章 扭扭 转转 受扭后，圆周线与纵向直线之间原来的直角受扭后，圆周线与纵向直线之间原来的直角改变了一数量。

12、物体改变了一数量。物体(wt)受力变形时，直角的受力变形时，直角的这种改变量（以弧度计）称之为切应变。这种改变量（以弧度计）称之为切应变。8-2 薄壁圆筒扭转时的应力薄壁圆筒扭转时的应力(yngl)与应变与应变平均半径为平均半径为 R0、厚度为、厚度为，且且 R0 。 Me A D B C Me g g第18页/共93页第十九页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称性根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称性容易判明，圆筒表面同一圆周线上各处的切应变均相容易判明，圆筒表面同一圆周线上各处

13、的切应变均相同同(xin tn)。因此，在材料为均匀连续这个假设条。因此，在材料为均匀连续这个假设条件下，圆筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小件下，圆筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外圆周上各点处必相等；至于此切应力的方向，从在外圆周上各点处必相等；至于此切应力的方向，从相应的切应变发生在圆筒的切向平面可知，是沿外圆相应的切应变发生在圆筒的切向平面可知，是沿外圆周的切向。周的切向。Me A D B C Me g g第19页/共93页第二十页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子电子教案教案 第第8章章 扭扭 转转 上述内容主要说明：上述内容

14、主要说明：(1) 薄壁圆筒圆周薄壁圆筒圆周(yunzhu)上各点处的切应变相上各点处的切应变相同；同；(2) 薄壁圆筒圆周上各点处的切应力薄壁圆筒圆周上各点处的切应力(yngl)相等相等；(3) 薄壁圆筒圆周上各点处切应力的方向沿外周线的薄壁圆筒圆周上各点处切应力的方向沿外周线的切线。切线。第20页/共93页第二十一页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 对于薄壁圆筒（对于薄壁圆筒（d 很小），横截面上其它各点处的切很小），横截面上其它各点处的切应力可以认为与外圆周处相同，即不沿径向变化。于是可应力可以认为与外圆周处相同，即不

15、沿径向变化。于是可以认为薄壁圆筒受扭时，横截面上的切应力大小处处相等以认为薄壁圆筒受扭时，横截面上的切应力大小处处相等(xingdng)，方向则垂直于相应的半径。，方向则垂直于相应的半径。 即如图中所示。即如图中所示。第21页/共93页第二十二页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 这样，知道了切应力这样，知道了切应力t 的分布规律后的分布规律后 ，便可以利用，便可以利用(lyng)静力学关系静力学关系r r 切向力相对圆心切向力相对圆心(yunx(yunxn)n)的力臂的力臂, ,可用平均半径可用平均半径R0R0代替代替 上

16、述薄壁圆筒横截面上扭转切应力的这一计算公式是上述薄壁圆筒横截面上扭转切应力的这一计算公式是在假设它们的大小沿径向（壁厚）不变的情况下导出的。在假设它们的大小沿径向（壁厚）不变的情况下导出的。当当d d /R0=10 ，其误差为，其误差为4.5。AATrd则则AARART00d从而有从而有)2/()2/()/(20000ddRTRRTARTdAdAd0RoTd0R dd0R dd第22页/共93页第二十三页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 由上图得由上图得 式中式中 R 为圆筒的外半径为圆筒的外半径(bnjng)。 则则lR

17、g /R lgMe A D B C Me g g第23页/共93页第二十四页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子电子教案教案 第第8章章 扭扭 转转 TOg O20/(2)/TRR ldg剪切比例剪切比例 极限极限 p 通过对薄壁圆筒所作的扭转实验可以发现，当通过对薄壁圆筒所作的扭转实验可以发现，当外加力偶矩在某一范围内时，扭转角外加力偶矩在某一范围内时，扭转角 与外力偶矩与外力偶矩M(此时此时 T=M )之间成正比。之间成正比。第24页/共93页第二十五页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章

18、扭扭 转转 图中的线性关系为图中的线性关系为 = Gg g 上式称之为材料上式称之为材料(cilio)的剪切胡克定的剪切胡克定律。律。 式中式中 G切变模量，单位切变模量，单位(dnwi)为为MPa。各种钢的切。各种钢的切变模量约为变模量约为8.0104 MPa，至于剪切比例极限，则随钢，至于剪切比例极限，则随钢种而异；种而异；Q235钢，钢，tp 120 MPa。g O剪切比例剪切比例 极限极限 p 理论分析和实验都表明，对于各向同性材料，切变模理论分析和实验都表明，对于各向同性材料，切变模量与其它两个弹性常数量与其它两个弹性常数E和和n n 之间存在下列关系：之间存在下列关系：泊松比泊松比

19、 )1(2n n EG第25页/共93页第二十六页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电电子教案子教案 第第8章章 扭扭 转转 实心圆截面杆和非薄壁空心圆截面杆受扭时，实心圆截面杆和非薄壁空心圆截面杆受扭时，我们没有理由认为我们没有理由认为(rnwi)它们横截面上的切应力如它们横截面上的切应力如同在受扭的薄壁圆筒中那样是均匀分布的。同在受扭的薄壁圆筒中那样是均匀分布的。8-3 圆杆扭转圆杆扭转(nizhun)时的应力与变时的应力与变形形横截面上的切应力横截面上的切应力 现在的关键在于：现在的关键在于： 确定切应力在横截面上的变化规律，即横截确定切应力在横

20、截面上的变化规律，即横截面上距圆心为任意半径面上距圆心为任意半径r r 的一点处切应力的一点处切应力 r r与与r r的的关系。关系。第26页/共93页第二十七页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 首先观察受扭时，表面首先观察受扭时，表面(biomin)的变形情况，据此作的变形情况，据此作出涉及杆件内部变形情况的假设出涉及杆件内部变形情况的假设，最后还要利用应力和应变之间，最后还要利用应力和应变之间的物理关系。的物理关系。 (1) 几何方面几何方面(fngmin) (2) 物理方面物理方面(fngmin) (3) 静力学方面

21、静力学方面(fngmin) 第27页/共93页第二十八页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 1. 几何几何(j h)方面方面(1) 等直圆杆受扭时，画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转等直圆杆受扭时，画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其大小和形状都不改变动，其大小和形状都不改变(gibin)；且在变形较小的情况；且在变形较小的情况下，圆周线间的相对纵向距离也不变。下，圆周线间的相对纵向距离也不变。 如下图，实验表明：如下图，实验表明：第28页/共93页第二十九页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(

22、dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 (2) 平面假设平面假设 等直圆杆受扭时，它的横截面如同刚性的圆盘那样等直圆杆受扭时，它的横截面如同刚性的圆盘那样绕杆的轴线转动绕杆的轴线转动(zhun dng)。同样，等直圆杆受扭时，。同样，等直圆杆受扭时，其横截面上任一条半径其直线形状仍然保持为直线，只其横截面上任一条半径其直线形状仍然保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度。是绕圆心旋转了一个角度。 第29页/共93页第三十页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 取微段取微段dx分析：得半径为分析：得半径为r的任意的任意(rny)

23、圆杆面上的切应圆杆面上的切应变。变。(1)ddtan()ddxxrrr ggr式中：式中： 是扭转角沿杆长的变化率，按平面假设是是扭转角沿杆长的变化率，按平面假设是常量。这样，等直圆杆受扭时，常量。这样，等直圆杆受扭时， g gr r 与与r r 成线性关系。成线性关系。ddx第30页/共93页第三十一页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子教案电子教案 第第8章章 扭扭 转转 2. 物理物理(wl)方面方面由剪切胡克定律由剪切胡克定律(h k dn l)：tr=Ggr ，在，在 ttp 时，可把时，可把(1)式代入，得：式代入，得： 上式表明：受扭的

24、等直杆在线性上式表明：受扭的等直杆在线性弹性范围内工作时，横截面上的切弹性范围内工作时，横截面上的切应力在同一半径应力在同一半径r r 的圆周上各点处的圆周上各点处大小相同，但它们随大小相同，但它们随r r 作线性变作线性变化，同一横截面上的最大切应化，同一横截面上的最大切应力在圆周边缘上，方向垂直于力在圆周边缘上，方向垂直于各自的半径。各自的半径。 (2)d()dGGxrrgr第31页/共93页第三十二页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 3. 静力学方面静力学方面(fngmin)ATAd r r r r2dddATGAx

25、r式中的积分是整个横截面面积式中的积分是整个横截面面积A范围内每个微面积范围内每个微面积dA乘以它到圆心的距离平方之总和，因此它是横截面的乘以它到圆心的距离平方之总和，因此它是横截面的几何性质几何性质(xngzh)，称之为横截面的极惯性矩，常用，称之为横截面的极惯性矩，常用Ip来表示，即：来表示，即：（单位：（单位：mm4或或m4） AAId2pr rd()dGGxrrgrpddTxGI故故pITr r r r 第32页/共93页第三十三页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 等直圆杆受扭时横截面上任一点等直圆杆受扭时横截面上

26、任一点(y din)处切应力的计算公式：处切应力的计算公式：若求若求 max，则令，则令r r =R，有，有pITr r r r pmaxITR上述公式只适用上述公式只适用(shyng)于实心或空心圆截面等于实心或空心圆截面等直杆在线性弹性范围内受扭的情况。直杆在线性弹性范围内受扭的情况。改写成改写成PmaxWT 其中扭转截面系数其中扭转截面系数 ， 常用单位：常用单位：mm3或或m3 。RIWpP第33页/共93页第三十四页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 .OABT 思考题思考题8-4 下图所示为一由均质材料制成的空心

27、下图所示为一由均质材料制成的空心(kng xn)圆轴圆轴之横截面，该截面上的扭矩之横截面，该截面上的扭矩T 亦如图所示，试绘出水平亦如图所示，试绘出水平直径直径AB上各点处切应力的变化图。上各点处切应力的变化图。第34页/共93页第三十五页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 T ABO思考题思考题8-4参考答案参考答案:第35页/共93页第三十六页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子教案电子教案 第第8章章 扭扭 转转 一受扭圆轴一受扭圆轴,由实心杆由实心杆1和空心杆和空心杆2紧配

28、合而成。整个紧配合而成。整个杆受扭时两部分无相对滑动杆受扭时两部分无相对滑动,试绘出切应力沿水平直径的试绘出切应力沿水平直径的变化图，若变化图，若(1) 两杆材料两杆材料(cilio)相同，即相同，即G1=G2=G；(2) 两材料两材料(cilio)不同，不同，G1=2G2。T 12思考题思考题8-5第36页/共93页第三十七页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 思考题思考题8-5(1)答案答案(d n)：T G1=G2=G21第37页/共93页第三十八页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jioch

29、ng)电子教案电子教案 第第8章章 扭扭 转转 思考题思考题8-5(2)答案答案(d n)：T G1=2G221第38页/共93页第三十九页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 扭转扭转(nizhun)角角d()dGxrrATAd r r r rpddTxGIpddTxGI0pddllTxGI第39页/共93页第四十页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 主要计算实心主要计算实心(shxn)圆截面和空心圆截圆截面和空心圆截面。面。如图有如图有极惯性矩和抗扭截面

30、极惯性矩和抗扭截面(jimin)系数系数Ip和和Wp 对于实心圆截面对于实心圆截面 AAId2pr rr rr rd2d A32/d2d422/02pdAIdA r rr rr rr r第40页/共93页第四十一页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子教案电子教案 第第8章章 扭扭 转转 对于对于(duy)空心圆截面（外径空心圆截面（外径D，内径，内径d） 式中：式中：a a =d / D16/2/3ppddIW )1(32)(32d2d444422/2/2pa ar rr rr rr r DdDAIDdA()3p4p/ 2161 1IDWDa a-第

31、41页/共93页第四十二页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子教案电子教案 第第8章章 扭扭 转转 若若 l 范围范围(fnwi)内，内，T是常量，是常量，GIp也为常量，则也为常量，则上式为上式为GIp越大，扭转角越小，故称为越大，扭转角越小，故称为(chn wi)扭扭转刚度。转刚度。p p（弧（弧度度）TlTl=GIGI比较：比较：EAlFlN 0pddllTxGI第42页/共93页第四十三页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 例题例题(lt) 8-2 一水轮机的功率为一水轮机

32、的功率为P=7350 kW，其，其竖轴是直径为竖轴是直径为d =650 mm，而长度为，而长度为l =6000 mm的的等截面实心钢轴，材料的剪切弹性模量为等截面实心钢轴，材料的剪切弹性模量为G =0.8105 MPa。求当水轮机以转速。求当水轮机以转速n = 57.7 r/min匀匀速旋转时，轴内的最大切应力及轴的两个端面间的速旋转时，轴内的最大切应力及轴的两个端面间的相对扭转角相对扭转角 。 第43页/共93页第四十四页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 解：轴传递解：轴传递(chund)功率功率P (kW) ， 相当于

33、每分钟传递相当于每分钟传递(chund)功功 W=1000P60(Nm) (1) 令令(1)、(2)相等相等(xingdng)，得，得外力偶作功外力偶作功 (2) nMMW2 nPM2100060 即即m)(kN/55. 9 nPM例题例题 8-2第44页/共93页第四十五页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子电子教案教案 第第8章章 扭扭 转转 因此因此(ync)作用在轴上的外力偶矩作用在轴上的外力偶矩M为为m)(kN12177 .57/735055. 9 MmN1022. 1100012176 MT3333Pm0539. 016/)10650(1

34、6/ dWMPa6 .22/Pmax WT 极惯性矩极惯性矩44pm0175. 032/ dIp/0.00523radTl GI例题例题(lt) 8-2第45页/共93页第四十六页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电电子教案子教案 第第8章章 扭扭 转转 图示传动轴系钢制实心图示传动轴系钢制实心(shxn)圆截面轴。圆截面轴。已知：已知： M1=1592Nm，M2=955Nm，M3=637Nm截面截面(jimin)A与截面与截面(jimin)B 、C之间的距离分之间的距离分别为别为lAB=300mm 和和lAC=500mm。轴的直径。轴的直径d =70

35、mm, 钢的剪切弹性模量钢的剪切弹性模量G=8104 MPa 。试求。试求截面截面(jimin)C对对B的扭转角的扭转角例题例题 8-3M3M1 d ABlABCAClM2第46页/共93页第四十七页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 ppACABABACT lTlGIGI，例题例题(lt) 8-3M3M1 d ABlABCAClM2解：由截面法得解：由截面法得，两段内扭矩分别为两段内扭矩分别为T = 955 Nm, T = 637 Nm 。先分别计算。先分别计算B ，C截面截面对对A之扭转之扭转(nizhun)角角 ， ,

36、 则可以假想此时则可以假想此时A不动。不动。ABAC第47页/共93页第四十八页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子教案电子教案 第第8章章 扭扭 转转 上两式中的上两式中的Ip可以利用可以利用32/4pdI 94839550.38010( / 32)7101.5210radA B31.69 10radAC同理：例题例题(lt) 8-3M3M1 d ABlABCAClM241.7 10radBCACAB其转向其转向(zhunxing)与扭转力与扭转力偶矩偶矩M3相同。相同。ABAB由于假想截面由于假想截面A固定不动，故固定不动，故截面截面B、C相对于

37、截面相对于截面A的相对的相对转动应分别与扭转力偶矩转动应分别与扭转力偶矩M2、M3的转向相同，从而的转向相同，从而 和和 的转向相同。由此可见，截面的转向相同。由此可见，截面C对对B的扭转角的扭转角 应是：应是：ACBC第48页/共93页第四十九页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 直径直径(zhjng)50mm的钢圆轴，其横截面上的扭矩的钢圆轴，其横截面上的扭矩T=1.5 kNm，求横截面上的最大切应力。，求横截面上的最大切应力。思考题思考题8-6第49页/共93页第五十页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jioc

38、hng)(jiochng)电子电子教案教案 第第8章章 扭扭 转转 思考题思考题 8-7 实心实心(shxn)圆轴的直径圆轴的直径d =100 mm，长，长l =1m，作用在两个端面上的外力偶之矩均为，作用在两个端面上的外力偶之矩均为Me=14 kNm，转向相反。材料的切变模量，转向相反。材料的切变模量G=8104 MPa。求：。求：(1) 横截面上的切应力，以及两个端面的相对横截面上的切应力，以及两个端面的相对(xingdu)扭转角。扭转角。(2) 图示横截面上图示横截面上ABC三点处切应力的大小及方向。三点处切应力的大小及方向。第50页/共93页第五十一页，共93页。# 工程力学教程工程力

39、学教程(jiochng)(jiochng)电子电子教案教案 第第8章章 扭扭 转转 (1) max=71.3 MPa = 0.01784 rad (2) A= B= max= 71.3 MPa C=35.7 MPa思考题思考题 8-7参考答案：参考答案：第51页/共93页第五十二页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子教案电子教案 第第8章章 扭扭 转转 斜截面斜截面(jimin)上的应力上的应力通过扭转实验发现：通过扭转实验发现： (1) 低碳钢试件系横截面剪断低碳钢试件系横截面剪断(jin dun)； (2) 铸铁试件则沿着与轴线成铸铁试件则沿着与

40、轴线成45的螺旋线剪断的螺旋线剪断(jin dun)； (3) 木材试件沿与轴线平行的方向劈裂。木材试件沿与轴线平行的方向劈裂。研究类似铸铁试件破坏原因研究类似铸铁试件破坏原因考虑斜截面上的应力。考虑斜截面上的应力。第52页/共93页第五十三页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 方法：扭杆假想方法：扭杆假想(jixing)切开斜截面切开斜截面扭杆，应力分布不均匀扭杆，应力分布不均匀(jnyn)，不能切开斜截，不能切开斜截面面围绕需研究的点上切一个单元体围绕需研究的点上切一个单元体第53页/共93页第五十四页，共93页。# 工

41、程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 (1) 左、右横截面左、右横截面 (2) 顶、底面，径向顶、底面，径向(jn xin)截面截面 (3) 前、后面，切向截面前、后面，切向截面xxadcb第54页/共93页第五十五页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 思考题思考题 8-8 如图所示为从受扭实心如图所示为从受扭实心(shxn)圆截面杆中，以径向截圆截面杆中，以径向截面面ABEF取出的分离体（半个圆柱体）。试绘出取出的分离体（半个圆柱体）。试绘出（1）横截面）横截面AGB上应力

42、沿直径上应力沿直径(zhjng)AB的分布；的分布；（2）径截面）径截面ABEF上应力分别沿直径上应力分别沿直径AB、CD、EF的分布。的分布。ECFDBAGMeMe第55页/共93页第五十六页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电电子教案子教案 第第8章章 扭扭 转转 ECFDBAGMeMe思考题思考题 8-8参考答案：参考答案：第56页/共93页第五十七页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 现从受扭圆杆件的表面现从受扭圆杆件的表面(biomin)A取出一单元取出一单元体体, 它处于

43、纯剪切应力状态它处于纯剪切应力状态,现改其为平面图表示：现改其为平面图表示：y a b c d e n x aa第57页/共93页第五十八页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 y a b c d e n x aa(a) 研究垂直于前后两个面的任意斜截面研究垂直于前后两个面的任意斜截面de上的上的应力应力,如图如图(a)、(b)。de 斜面斜面(ximin)作用着未知作用着未知的正应力的正应力sa和切应力和切应力ta。 detaanxc(b)aa设设de的面积的面积(min j)为为dA，则，则a aa asindd,cosd

44、d AAAAcedc第58页/共93页第五十九页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子电子教案教案 第第8章章 扭扭 转转 detaanxcaa0dcos)sind(sin)cosd(, 0 AAAFna a a aa a a aa a 简化后：简化后：a a a a2sin 同理同理 0tF得：得： a a a a2cos 第59页/共93页第六十页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 detaanxcaa当当a a0o与与a a90o时：时： a a有最大值，即为有最大值，即为 a

45、a45o45o的情况的情况(ngkung)(ngkung)下：下： aa有极值，即为有极值，即为 。a a=+45o， a a= min=- a a=-45o， a a= max=+ 12344545abcd第60页/共93页第六十一页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子教案电子教案 第第8章章 扭扭 转转 由此看来，铸铁圆杆的所谓扭转破坏，其实质上由此看来，铸铁圆杆的所谓扭转破坏，其实质上是沿是沿45方向拉伸引起的断裂。方向拉伸引起的断裂。 也因此，在纯剪切应力状态下直接也因此，在纯剪切应力状态下直接(zhji)引起断引起断裂的最大拉应力裂的最大拉

46、应力smax总是等于横截面上相应的切应力总是等于横截面上相应的切应力，所以在铸铁圆杆的抗扭强度的计算中也就以横截面，所以在铸铁圆杆的抗扭强度的计算中也就以横截面上的上的t 作为依据。如下图所示。作为依据。如下图所示。MMmax断裂线断裂线min第61页/共93页第六十二页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 1. 薄壁圆筒扭转薄壁圆筒扭转(nizhun)时的应力和变形。时的应力和变形。小结小结(xioji)：2. 圆杆扭转时的应力和变形。圆杆扭转时的应力和变形。(1) 横截面上的应力横截面上的应力20(1)2TRd材料的剪切胡

47、克定律材料的剪切胡克定律g g G )2(、n n三者之间的关系三者之间的关系)1 (2)3(nEG第62页/共93页第六十三页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 (a) 几何几何(j h)方面方面 (b) 物理物理(wl)方面方面(c) 静力学方面静力学方面d()d xrgrr rr rg g GddGxrr AATdr r r r2dddATGAxr代入代入Ip得得pddTxGIPmaxp,WTIT r r r r第63页/共93页第六十四页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子

48、教案电子教案 第第8章章 扭扭 转转 (d) 极惯性矩和扭转截面极惯性矩和扭转截面(jimin)系数系数实心实心(shxn)圆截面圆截面32/4pdI 16/3PdW 空心圆截面空心圆截面)(3244pdDI )(1644PdDDW 第64页/共93页第六十五页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 扭转扭转(nizhun)角角斜截面斜截面(jimin)上的上的应力应力0pddllTxGIpTlGIa a 2sin a a 2cos 第65页/共93页第六十六页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jioc

49、hng)电子教案电子教案 第第8章章 扭扭 转转 思考题思考题 8-9 直径直径d =25 mm的钢圆杆，受轴向拉力的钢圆杆，受轴向拉力60 kN作用时作用时，在标距为，在标距为200 mm的长度内伸长了的长度内伸长了 0.113 mm；当它受；当它受一对矩为一对矩为0.2 kNm的外力偶作用而扭转时，相距的外力偶作用而扭转时，相距200 mm的两个横截面相对转动了的两个横截面相对转动了0.732的角度。试求此圆杆所的角度。试求此圆杆所用钢材的弹性用钢材的弹性(tnxng)常数常数E、G和和n。 第66页/共93页第六十七页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jioch

50、ng)电子教案电子教案 第第8章章 扭扭 转转 48p24m10833. 3,m10906. 4 IAEAFll alAFlEMP1016. 25 pTlGI4p8.17 10 MPaTlGI)1 (2nEG322. 012GEn思考题思考题 8-9参考答案：参考答案：第67页/共93页第六十八页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电电子教案子教案 第第8章章 扭扭 转转 实心实心(shxn)或空心圆截面杆受扭时或空心圆截面杆受扭时,杆内所有的点均杆内所有的点均处于纯剪切应力状态处于纯剪切应力状态,而整个杆的危险点在横截面的边缘而整个杆的危险点在横截面的

51、边缘处。处。8-4 强度条件强度条件(tiojin)及刚度条及刚度条件件(tiojin)1. 强度条件强度条件受扭圆杆的强度条件：受扭圆杆的强度条件：max 对于等截面杆：危险点必在对于等截面杆：危险点必在Tmax 所在截面边所在截面边缘处缘处, 即即Pmaxmax/WT 由以上两式得到由以上两式得到/Pmax WT第68页/共93页第六十九页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 根据上述公式，可对空心或实心根据上述公式，可对空心或实心(shxn)圆截面受圆截面受扭杆件进行扭杆件进行 (1) 校核校核(xio h)强度强度(2

52、) 选择截面尺寸选择截面尺寸(3) 计算许可荷载计算许可荷载2. 刚度条件刚度条件max()ddx max 满足了强度条件，但若变形过大，必将对满足了强度条件，但若变形过大，必将对正常工作产生影响。刚度条件通常是以扭转角正常工作产生影响。刚度条件通常是以扭转角沿杆长的变化率沿杆长的变化率 , 其最大值其最大值 不不超过某一规定的许可值超过某一规定的许可值 来表达，即来表达，即 第69页/共93页第七十页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 来计算来计算(j sun)。化为角度每米则为。化为角度每米则为式中，式中，Tmax Nm

53、，G Pa，Ip m4max式中式中 为单位长度杆的许可扭转角，单位为单位长度杆的许可扭转角，单位 ( /m) pddTxGI对于等直的圆杆，其对于等直的圆杆，其 按式：按式：max max180pTGI第70页/共93页第七十一页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 书例书例8-5校核强度和刚度校核强度和刚度书例书例8-6选择截面尺寸选择截面尺寸 书例书例8-7 建立强度条件建立强度条件 许可扭转角许可扭转角 ，对于精密仪器的轴，对于精密仪器的轴 ，常常取，常常取 0.150.30 /m。至于一般的轴则取。至于一般的轴则取

54、2 /m。第71页/共93页第七十二页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子教案电子教案 第第8章章 扭扭 转转 0.5 m 0.3 m 1 m ACDB1 2 3 1M2M3Md1 d2例题例题(lt) 8-4 阶梯形圆柱直径分别为阶梯形圆柱直径分别为d1= 4 cm , d2=7 cm,轴上装有轴上装有3个皮带轮如图所示。已知由轮个皮带轮如图所示。已知由轮3输入的功率为输入的功率为P3=30 kW,轮轮1输出的功率为输出的功率为 P1=13 kW , 轴作匀速转动轴作匀速转动,转速转速n = 200转转/分分,材料材料的剪切许用应力的剪切许用应力

55、=60 MPa,G = 80 109 Pa,许用许用扭转角扭转角 = 2 /m。试校核轴的强度和刚度。试校核轴的强度和刚度。第72页/共93页第七十三页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 解解:计算计算(j sun)扭矩的绝对扭矩的绝对值：值：强度强度(qingd)校校核：核：mkN621. 0200/1355. 9/55. 9111 nPMTmkN432. 1200/3055. 9/55. 9333 nPMTMPa4 .4910410621. 01616633311max dTAC段：段：例题例题 8-40.5 m 0.3

56、 m 1 m ACDB1 2 3 1M2M3Md1 d2第73页/共93页第七十四页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 故强度故强度(qingd)满足。满足。刚度刚度(n d)校核：校核：AC段：段：MPa3 .2110710432. 11616633323maxdTDB段：1max4948213218032 621 1801.77 /m 80 10410TGd 例题例题 8-40.5 m 0.3 m 1 m ACDB1 2 3 1M2M3Md1 d2第74页/共93页第七十五页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(ji

57、ochng)(jiochng)电子教案电子教案 第第8章章 扭扭 转转 故刚度故刚度(n d)满足。满足。DB段：段：3max4948223218032 1432 18080 107100.44 / mTGd 例题例题(lt) 8-40.5 m 0.3 m 1 m ACDB1 2 3 1M2M3Md1 d2第75页/共93页第七十六页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子教案电子教案 第第8章章 扭扭 转转 实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已知轴的转速知轴的转速n=100 转转/分，传输分，传输(c

58、hun sh)功率功率P =7.5 kW,材料的许用切应力材料的许用切应力t =40MPa , 试选择实心轴直径试选择实心轴直径d1和内和内外径比值为外径比值为0.5的空心轴的外径。的空心轴的外径。例题例题(lt) 8-52d1d3d第76页/共93页第七十七页，共93页。# 工程力学教程电子工程力学教程电子(dinz)(dinz)教案教案 第第8章章 扭扭 转转 解解:计算计算(j sun)扭矩：扭矩：计算计算(j sun)实心轴直径实心轴直径,由强度条件由强度条件2d1d3dmN716mNk1005 . 755. 955. 9 nPT1631max dTmm45m1040/71616361

59、 d例题例题 8-5第77页/共93页第七十八页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电子电子教案教案 第第8章章 扭扭 转转 计算空心轴直径计算空心轴直径,由强度由强度(qingd)条件条件:2d1d3d)1(16432max a a dTmm46m)5 . 01(1040/716163462 d例题例题(lt) 8-5第78页/共93页第七十九页，共93页。# 工程力学教程工程力学教程(jiochng)(jiochng)电电子教案子教案 第第8章章 扭扭 转转 8-6 矩形矩形(jxng)截面杆的截面杆的扭转扭转1. 几个几个(j )概念概念 非圆截面

60、杆受扭时非圆截面杆受扭时,横截面会发生翘曲。因横截面会发生翘曲。因此其变形、应力不能用由平面假设所得的圆杆此其变形、应力不能用由平面假设所得的圆杆扭转时的应力变形的计算公式。扭转时的应力变形的计算公式。(1) 约束扭转约束扭转 非圆截面杆受扭时非圆截面杆受扭时,既然横截面要发生翘曲既然横截面要发生翘曲,因此，如因此，如果翘曲受到牵制果翘曲受到牵制, 例如杆件是变截面的，或者外力偶不例如杆件是变截面的，或者外力偶不是加在杆的两端，或者杆的端面受到外部约束而不能自是加在杆的两端，或者杆的端面受到外部约束而不能自由翘曲，那么杆的横截面上除了有切应力，还有正应力由翘曲，那么杆的横截面上除了有切应力，还