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文档简介
1、导数及其应用【本章知识结构】第1课时 变化率与导数的概念、导数的计算【复习目标】1了解导数的定义、掌握函数在某一点处导数的几何意义图象在该点处的切线的斜率;2掌握幂函数、多项式函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式及两个函数的和、差、积、商的导数运算法则及简单复合函数的求导公式,并会运用它们进行求导运算;【重点难点】导数的定义,求导公式理解导数的物理、几何意义,求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬时速度.【高考要求】B级【基础过关】1导数的概念:函数y的导数,就是当0时,函数的增量y与自变量的增量的比的,即2导函数:函数y在区间(a, b)内的导数都存在,就说在区间(
2、 a, b )内,其导数也是(a ,b )内的函数,叫做的,记作或,函数的导函数在时的函数值,就是在处的导数.3导数的几何意义:设函数y在点处可导,那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的.4求导数的方法(1) 八个基本求导公式; ;(nQ) , , , (2) 导数的四则运算 ,(3) 复合函数的导数设在点x处可导,在点处可导,则复合函数在点x处可导, 且,即.【典型例题】例1求函数y=在x0到x0+x之间的平均变化率.解 y=变式训练1. 求y=在x=x0处的导数.例2. 求下列各函数的导数: (1) (2) (3) (4) 解 (1) y (2)方法一 y=(x2+3x+2)(x
3、+3)=x3+6x2+11x+6,y=3x2+12x+11.方法二 =(x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(3)y=(4) ,变式训练2:求y=tanx的导数.解y例3. 已知曲线y=(1)求曲线在x=2处的切线方程;(2)求曲线过点(2,4)的切线方程. 解 (1)y=x2,在点P(2,4)处的切线的斜率k=|x=2=4. 曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. (2)设曲线y=与过点P(2,4)的切线相切于点,则切线的斜率k=|=. 切
4、线方程为即点P(2,4)在切线上,4=即(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 变式训练3:若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切,则k=. 答案2或例4. 设函数 (a,bZ),曲线在点处的切线方程为y=3.(1)求的解析式;(2)证明:曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.(1)解,于是解得或因为a,bZ,故(2)证明 在曲线上任取一点由知,过此点的切线方程为令x=1,得,切线与直线x=1交点为令y=x,得,切线与直线y=x的交点为直线x=1与直线y=x的交点为(1,1
5、)从而所围三角形的面积为所以,所围三角形的面积为定值2.变式训练4:偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求y=f(x)的解析式.解 f(x)的图象过点P(0,1),e=1. 又f(x)为偶函数,f(-x)=f(x).故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.b=0,d=0. f(x)=ax4+cx2+1.函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2,可得切点为(1,-1).a+c+1=-1. =(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c,4a+2c=1. 由得a=,c=.函数y=f(x)的解析式为
6、【小结归纳】1理解平均变化率的实际意义和数学意义。2要熟记求导公式,对于复合函数的导数要层层求导.3搞清导数的几何意义,为解决实际问题,如切线、加速度等问题打下理论基础.【课后练习】1. 函数yax21的图象与直线yx相切,则a2在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+x,2+y),则为3一质点的运动方程为s=53t2,则在一段时间1,1+t内相应的平均速度为4若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为5.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)0的解集是( )A(3,0)(3,+) B(3,0)(0, 3)C(, 3)(3,+) D(, 3)(0, 3)6函数,已知在时取得极值,则=7在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数有个。8函数yax21的图象与直线yx相切,则a9曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为_。10曲线在点(1,3)处的切线方程是11曲线在点(1,1)处
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