南师大附校2010高三数学一轮复习教学案第1课时变化率与导数、导数的计算

1、导数及其应用【本章知识结构】第1课时 变化率与导数的概念、导数的计算【复习目标】1了解导数的定义、掌握函数在某一点处导数的几何意义图象在该点处的切线的斜率；2掌握幂函数、多项式函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式及两个函数的和、差、积、商的导数运算法则及简单复合函数的求导公式，并会运用它们进行求导运算；【重点难点】导数的定义，求导公式理解导数的物理、几何意义，求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬时速度.【高考要求】B级【基础过关】1导数的概念：函数y的导数，就是当0时，函数的增量y与自变量的增量的比的，即2导函数：函数y在区间(a, b)内的导数都存在，就说在区间(

2、 a, b )内，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做的，记作或，函数的导函数在时的函数值，就是在处的导数.3导数的几何意义：设函数y在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的.4求导数的方法(1) 八个基本求导公式； ；(nQ) ， ， ， (2) 导数的四则运算 ，(3) 复合函数的导数设在点x处可导，在点处可导，则复合函数在点x处可导， 且，即.【典型例题】例1求函数y=在x0到x0+x之间的平均变化率.解 y=变式训练1. 求y=在x=x0处的导数.例2. 求下列各函数的导数： （1） （2） （3） （4） 解 (1) y （2）方法一 y=（x2+3x+2）（x

3、+3）=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11.方法二 =（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.（3）y=（4） ，变式训练2：求y=tanx的导数.解y例3. 已知曲线y=（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程. 解 （1）y=x2,在点P（2，4）处的切线的斜率k=|x=2=4. 曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. （2）设曲线y=与过点P（2，4）的切线相切于点，则切线的斜率k=|=. 切

4、线方程为即点P（2，4）在切线上，4=即(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 变式训练3：若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k=. 答案2或例4. 设函数 (a,bZ)，曲线在点处的切线方程为y=3.（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.（1）解，于是解得或因为a,bZ，故（2）证明 在曲线上任取一点由知，过此点的切线方程为令x=1，得，切线与直线x=1交点为令y=x，得，切线与直线y=x的交点为直线x=1与直线y=x的交点为(1,1

5、)从而所围三角形的面积为所以，所围三角形的面积为定值2.变式训练4：偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.解 f（x）的图象过点P（0，1），e=1. 又f（x）为偶函数，f（-x）=f（x）.故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.b=0，d=0. f（x）=ax4+cx2+1.函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，可得切点为（1，-1）.a+c+1=-1. =(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，4a+2c=1. 由得a=，c=.函数y=f（x）的解析式为

6、【小结归纳】1理解平均变化率的实际意义和数学意义。2要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.3搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础.【课后练习】1. 函数yax21的图象与直线yx相切，则a2在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+x,2+y)，则为3一质点的运动方程为s=53t2，则在一段时间1,1+t内相应的平均速度为4若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为5.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)0的解集是（ ）A(3,0)(3,+) B(3,0)(0, 3)C(, 3)(3,+) D(, 3)(0, 3)6函数，已知在时取得极值，则=7在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数有个。8函数yax21的图象与直线yx相切，则a9曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为_。10曲线在点（1,3）处的切线方程是11曲线在点（1，1）处