南京市2010届高三数学考前综合训练题

1、南京市2010届高三数学考前综合训练题1定义：在数列an中，若an2an12p，（n2，nN*，p为常数），则称an为“等方差数列”下列是对“等方差数列”的有关判断：若an是“等方差数列”，则数列an2是等差数列；(1)n是“等方差数列”；若an是“等方差数列”，则数列akn（kN*，k为常数）也是“等方差数列”；若an既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列其中判断正确的序号是2已知向量a(sin，2)与b(1，cos)互相垂直，其中(0，)（1）求sin和cos的值；（2）若sin(j)，0j，求j的值3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B，cosA，b（1）求s

2、inC的值；（2）求ABC的面积4在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知c2，C（1）若ABC的面积等于，求a，b的值；（2）若sinCsin(BA)2sin2A，求角A的大小5在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列（1）若·，b，求ac的值；（2）求2sinAsinC的取值范围6如图1所示，在边长为12的正方形AA'A1'A1中，点B，C在线段AA'上，且AB3，BC4，作BB1/AA1，分别交A1A1'、AA1'于点B1、P，作CC1/AA1，分别交A1A1'、AA1'于点C1、

3、Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得A'A1'与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABCA1B1C1（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，求证：AB平面BCC1B1；（2）求平面APQ将三棱柱ABCA1B1C1分成上、下两部分几何体的体积之比图1ABCA'A1B1C1A1'PQ图2ABCA1B1C1PQ7如图，在四棱锥PABCD中，CDAB，ADAB，ADDCAB，BCPC（1）求证：PABC；（2）试在线段PB上找一点M，使CM平面PAD，并说明理由PABCDTABCDA1B1C1D1R1S1T1SRPQ8如图所示，两个全等的正方体ABCDA1B1C1D1，

4、CRSTC1R1S1T1有一条公共的棱CC1，且平面BCC1B1与平面CTT1C1在同一平面内，平面CDD1C1与平面CRR1C1在同一平面内，P、Q分别是棱B1C1、CC1的中点（1）求证：PQ平面CRS1T1；（2）求证：B1D平面BTS1R19如图，底面为菱形的直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为A1B1、B1C1的中点，G为DF的中点CABA1B1C1D1EGFDH（1）求证：EF平面B1BDD1；（2）过A1、E、G三点平面交DD1于H，求证：EGA1H10在平面直角坐标系xOy中，点P是坐标为（0，1），直线l1的方程为y1（1）若动圆C过点P且与直线l1相切，求动圆圆

5、心C的轨迹方程；（2）设A（0，a）（a2）为y轴上的动点，B是（1）中所求轨迹上距离A点最近的点，求证：以AB为直径的圆在y轴上截得的弦长为定值，并求此定值11已知椭圆1(ab0)的上顶点为A（0，3），左、右焦点分别为B、C，离心率为（1）试求椭圆的标准方程；（2）若直线PC的倾斜角为，直线PB的倾斜角为，当时，求证：点P一定在经过A，B，C三点的圆M上；PAPBPC12已知曲线E：ax2by21（a0，b0），经过点M（，0）的直线l与曲线E交于点A、B，且2（1）若点B的坐标为（0，2），求曲线E的方程；（2）若ab1，求直线AB的方程13要设计一容积为V的下端为圆柱形、上端为半球形的

6、密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积的造价的一半，问储油罐的下部圆柱的底面半径R为何值时造价最低？14某公司为了加大产品的宣传力度，准备立一块广告牌，在其背面制作一个形如ABC的支架，要求ACB60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米为节省材料，要求AC的长度越短越好，求AC的最短长度，且当AC最短时，BC的长度为多少米？BCA15直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m（1）过点P的一条直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边的夹角为q (0q)，试用q表示线段AB的长度l

7、(q)；2mABPC2mq（2）一根长度为5m的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？并请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）16已知各项均为实数的数列an是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，且满足S42S28（1）求公差d的值；（2）若数列an的首项的平方与其余各项之和不超过10，则这样的数列至多有多少项；（3）请直接写出满足（2）的项数最多时的一个数列（不需要给出演算步骤）17（1）已知函数f(x)数列an满足：an0，a11，且f()，记数列bn的前n项和为Sn，且Sn(1)n求数列bn的通项公式；并判断b4b6是否仍为数列bn中的项？若是，请证明；否则，说明理由（2）设数列cn

8、是首项为c1，公差d0的等差数列求证：“数列cn中任意不同两项之和仍为数列cn中的项”的充要条件是“存在整数m1，使c1md”18已知数列an中，a11，anan12n(nN*)，bn3an（1）试证数列an×2n是等比数列，并求数列bn的通项公式（2）在数列bn中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由（3）试证在数列bn中，一定存在满足条件1rs的正整数r，s，使得b1，br，bs成等差数列；并求出正整数r，s之间的关系在数列bn中，是否存在满足条件1rst的正整数r，s，t，使得b1，br，bs，bt成等差数列？若存在，确定正整数r，s，t

9、之间的关系；若不存在，说明理由19已知函数f（x）（1）判断函数f（x）在区间（0，）上的单调性，并加以证明；（2）如果关于x的方程f（x）kx2有四个不同的实数解，求实数k的取值范围20对于定义在区间D上的函数f(x)，若存在闭区间a，bÍD和常数c，使得对任意x1a，b，都有f(x1)c，且对任意x2D，当x2a，b时，f(x2)c恒成立，则称函数f(x)为区间D上的“平底型”函数（1）判断函数f1(x)|x1|x2|和f2(x)x|x2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；（2）若函数g(x)mx是区间2，)上的“平底型”函数，求m和n的值21设定义在R上的奇函数f(x)a

10、x3bx2cxd，a，b，c，dR当x1时，f(x)取得极大值（1）求函数yf(x)的表达式；（2）判断函数yf(x)的图象上是否存在两点，使得以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标在区间，上，并说明理由；（3）设xn12n，ym(3m1)（m，nN*），求证：|f(xn)f(ym)|南京市2010届高三数学考前综合训练题参考答案1、2(1)因为a与b互相垂直，所以a·b0所以sin2cos0，即sin2cos因为sin2cos21，所以（2cos）2cos21解得cos2则sin2因为(0，)，所以sin0，cos0，所以sin，cos(2)因为0j，0，所以j，所以cos(

11、j)，所以cosjcos(j)coscos(j)sinsin(j)所以j3(1)因为A、B、C为ABC的内角，B，cosA，所以CA，sinA所以sinCsin(A)cosAsinA(2)由(1)，知sinA，sinC因为B，b，所以在ABC中，a所以ABC的面积SabsinC××4（1）由余弦定理及条件，得a2b2ab4，absinC，即ab4联立方程组解得a2，b2（2）由题意，得sin(2A)2sin2A即sin(2A)因为A(0，)，所以2A(，)所以2A或2A则A，或A5（1）因为A，B，C成等差数列，所以B因为·，所以accos(B)，所以ac，即ac

12、3因为b，b2a2c22accosB，所以a2c2ac3，即(ac)23ac3所以(ac)212，所以ac2（2）2sinAsinC2sin(C)sinC2(cosCsinC)sinCcosC因为0C，所以cosC（，）所以2sinAsinC的取值范围是（，）6(1)证明：在正方形AA'A1'A1中，因为A'CAA'ABBC5，所以三棱柱ABCA1B1C1的底面三角形ABC的边AC5因为AB3，BC4，所以AB2BC2AC2所以ABBC因为四边形AA'A1'A1为正方形，BB1/AA1，所以ABBB1而BCBB1B，BCÌ平面BCC1B

13、1，BB1Ì平面BCC1B1，所以AB平面BCC1B1(2)解：因为AB平面BCC1B1，所以AB为四棱锥ABCQP的高因为四边形BCQP为直角梯形，且BPAB3，CQABBC7，所以梯形BCQP的面积为SBCQP(BPCQ)×BC20所以四棱锥ABCQP的体积VABCQPSBCQP×AB20由(1)，知BB1AB，BB1BC，且ABBCB，ABÌ平面ABC，BCÌ平面ABC所以BB1平面ABC所以三棱柱ABCA1B1C1为直棱柱所以三棱柱ABCA1B1C1的体积为VABCABCSABC×BB172故平面APQ将三棱柱ABCA1B1C

14、1分成上、下两部分的体积之比为7（1）证法一：连结AC，在四边形ABCD中，ADAB，CDAB，所以ADCD设ADa因为ADDCAB，所以CDa，AB2a在ADC中，ÐADC90°，ADDC，所以ÐDCAÐDAC45°，ACa在ACB中，AB2a，ACa，ÐCAB45°，所以BCa所以AC2BC2AB2所以ACBC又因为BCPC，ACÌ平面PAC，PCÌ平面PAC，ACPCC，所以BC平面PAC因为PAÌ平面PAC，所以PABC证法二：连结AC，过C作CEAB，垂足为E在四边形ABCD中，ADA

15、B，CDAB，ADDC，所以四边形ADCE为正方形所以ÐACDÐACE45°PABCDMFE因为AECDAB，所以BEAECE所以ÐBCE45°所以ÐACBÐACEÐBCE45°45°90°所以ACBC又因为BCPC，ACÌ平面PAC，PCÌ平面PAC，ACPCC，所以BC平面PAC因为PAÌ平面PAC，所以PABC（2）当M为PB中点时，CM平面PAD证法一：取AP中点F，连结CM，FM，DF则FMAB，FMAB因为CDAB，CDAB，所以FMCD，FM

16、CD所以四边形CDFM为平行四边形所以CMDF因为DFÌ平面DAP，CM平面PAD，所以CM平面PAD证法二：在四边形ABCD中，设BC的延长线与AD的延长线交于点Q，连结PQ ，CM因为CDAB，所以ÐQCDÐQBA因为ÐCQDÐBQA所以CQDBQA所以所以C为BQ的中点PABCDMQ因为M为BP的中点，所以CMPQ因为PQÌ平面PAD，CM平面PAD，所以CM平面PAD证法三：取AB中点E，连结EM，CE，CM在四边形ABCD中，CDAB，CDAB，E为AB的中点，所以AEDC，且AEDC所以四边形AECD为平行四边形所以CED

17、A因为DAÌ平面PAD，CE平面PAD，所以CE平面PAD同理，根据E，M分别为BA，BP的中点，得EM平面PAD因为CEÌ平面CEM，MEÌ平面CEM，CEEME，所以平面CEM平面PAD，因为CMÌ平面CEM，所以CM平面PAD8（1）连接B1C，因为P、Q分别是棱B1C1、CC1的中点，所以PQB1C因为平面BCC1B1与平面CTT1C1在同一平面内，所以CR平面BCC1B1，又因为B1CÌ平面BCC1B1，所以CRB1C因为PQB1C，所以PQCR在正方体ABCDA1B1C1D1，CRSTC1R1S1T1中，B1CC1C1CT145&#

18、176;，所以B1CT190°，即CT1B1C因为PQB1C，所以PQCT1TABCDA1B1C1D1R1S1T1SRPQ又因为CRCT1C，CRÌ平面CRS1T1，CT1Ì平面CRS1T1，所以PQ平面CRS1T1（2）连接B1R1、DT、D1T1因为DD1TT1，所以DD1T1T为平行四边形，则DTD1T1由题意知C1为D1R1，B1T1的中点，所以B1R1D1T1，则DTB1R1所以DTR1B1为平行四边形，则B1DTR1又因为B1D平面BTS1R1，TR1Ì平面BTS1R1，所以B1D平面BTS1R1说明：关注几个图形的组合体中各种线面关系的研究

19、9（1）因为E、F分别为A1B1、B1C1的中点，所以EFA1C1，因为底面A1B1C1D1为菱形，所以A1C1B1D1，所以EFB1D1因为直四棱柱ABCDA1B1C1D1，所以DD1平面A1B1C1D1，CABA1B1C1D1EGFHDM又因为EFÌ平面A1B1C1D1，所以DD1EF又B1D1DD1D1，B1D1Ì平面B1BDD1，DD1Ì平面B1BDD1，所以EF平面B1BDD1（2）延长FE交D1A1的延长线于点H，连接DH，因为E、F分别为A1B1、B1C1的中点，所以EFB1EHA1，所以HEEF，在FDH中，因为G、F分别为DF、HF的中点，所以G

20、EDH又GE平面AA1D1D，DHÌ平面AA1D1D，故EG平面AA1D1D因为过A1、E、G三点平面交DD1于M，所以面A1MGE面AA1D1DA1M，EGÌ面A1MGE，所以EGA1M10（1）由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以（0，1）为焦点，y1为准线的抛物线，所以动圆圆心C的轨迹方程x24y（2）设点B（x，y）（y0），则x24y因为A（0，a）（a2），所以AB2x2(ya)24yy22aya2y22 (2a)ya2对称轴ya20，所以当ya2时，AB取得最小值，此时点B（±2，a2）以AB为直径的圆M的圆心M为（±，a1），半径r2a21

21、a1圆心M到y轴的距离为d|±|，则圆M在y轴上截得的弦长为22所以以AB为直径的圆在y轴上截得的弦长为定值211（1）因为b3，b2c2a2，解得a212，b29，c23，所以椭圆的标准方程为1（2）因为B（，0），C（，0），A（0，3），所以ABC为等边三角形经过A，B，C三点的圆M的方程为x2(y1)24，即x2y22y3设点P（x，y），则kPCtan，kPBtan因为，所以tan()因为tan()，所以化简得x2y22y3所以点P一定在经过A，B，C三点的圆M上PA2x2(y3)2x2y26y9，因为x2y232y，所以PA2124yPB2(x)2y22y62x，PC2(

22、x)2y22y62x，2PB×PC24，因为3x293y26y，所以2PB×PC4，由于y0，所以2 PB×PC8y，从而(PBPC)2PB22 PB×PCPC24y128y124yPA2所以PAPBPC12（1）设A(x0，y0)，因为B(0，2)，M(，0)，故(，2)，(x0，y0)因为2，所以(，2)2(x0，y0)所以x0，y01即A(，1)因为A，B都在曲线E上，所以解得a1，b所以曲线E的方程为x21（2）（法一）当ab1时，曲线E为圆：x2y21设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为2，所以(x2，y2) 2(x1，y1)，即设线段AB

23、的中点为T，则点T的坐标为(，)，即(，)所以(，)，(x2x1，y2y1)(3x1，3y1)因为OTAB，所以×0，即34x13x3y0因为xy1，所以x1，y1±当点A的坐标为(，)时，对应的点B的坐标为(0，1)，此时直线AB的斜率k，所求直线AB的方程为yx1；当点A的坐标为(，)时，对应的点B的坐标为(0，1)，此时直线AB的斜率k，所求直线AB的方程为yx1（法二）当ab1时，曲线E为圆：x2y21设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为2，所以(x2，y2) 2(x1，y1)，即因为点A，B在圆上，所以由×4，得(2x1x2)(2x1x2)3所以2x

24、1x2，解得x1，x20ABxyTOM由x1，得y1±（以下同方法一）（法三）如图，设AB中点为T则TMTAMAAB，OM根据RtOTA和RtOTM，得即解得AB，OT所以在RtOTM中，tanÐOMT所以kAB或所以直线AB的方程为yx1或yx113设圆柱的高为h，下底面单位面积的造价为a则VpR2hpR3所以hR因为h0，所以0R设总造价为y，则ypR2×a2pRh×2pR2×pa(R2Rh)a(pR2pR2)a(pR2)y¢a(pR)令y¢0得R，当R(0，）时，y¢0，y为减函数；当R(，)时，y¢

25、;0，y为增函数所以当R时，y有最小值答：当储油罐的下部圆柱的底面半径R时，造价最低14设BCx米（x1），ACy米，则ABy在ABC中，由余弦定理，得(y)2y2x22xycos60°所以y（x1）法一：y(x1)22当且仅当x1，即x1时，y有最小值2法二： y由y0得x1因为当1x1时，y0；当x1时，y0，所以当x1时，y有最小值2答：AC的最短长度为2米，此时BC的长度为（1）米15（1）l(q),，q(0，)（2）法一：铁棒能水平通过该直角走廊理由如下： l¢(q)令l¢(q)0得，q当0q时，l¢(q)0，l(q)为减函数；当q时，l

26、62;(q)0，l(q)为增函数所以当q时，l(q)有最小值4因为45所以该铁棒能水平通过该直角走廊法二：铁棒能水平通过该直角走廊理由如下：l2(q)4444因为q(0，)，所以2q(0，p)，所以当2q，即q时，有最小值2所以l2(q)有最小值32l(q)有最小值4因为45所以该铁棒能水平通过该直角走廊16（1）d2；（2）考虑到d2，且首项的平方与其余各项之和不超过10，所以可用枚举法研究当a10时， 02d2d02410，而02d2d3d024610，此时，数列至多3项；当a10时，可得数列至多3项；当a10时，a12a1da12da13d10，即a123a120，此时a1有解而a12a

27、1da12da13da14d10，即a124a1100，此时a1无解所以a10时，数列至多有4项（3）a11时，数列为：1，1，3，5；或a12时，数列为：2，0，2，417(1)因为f()，所以1，即1因为1，所以1(n1)n，即an因为Sn(1)nn2(1)n，当n1时，S1b11，当n2时，bnSnSn11n，所以bnn1(nN*)所以b4b64161102令bt102(tN*)，则102t1，得t10与tN*矛盾，所以b4b6不在数列bn中(2)充分性：若存在整数m1，使c1md设cr，ct为数列cn中不同的两项，则crctc1(r1)dc1(t1)dc1(rmt2)dc1(rmt1)

28、1d又rt3且m1，所以rmt11即crct是数列cn的第rmt1项必要性：若数列cn中任意不同两项之和仍为数列cn中的项，则csc1(s1)d，ctc1(t1)d，(s，t为互不相同的正整数)则csct2c1(st2)d令csctcl，得，2c1(st2)dc1(l1)d(s，t，lN*)，所以c1(lst1)d令整数mlst1，所以c1md下证整数m1若整数m1，则m2令km，由题设取c1，ck使c1ckcr(r1)，即c1c1(k1)dc1(r1)d，所以md(m1)d(r1)d，即rd0与r1，d0相矛盾，所以m1综上数列cn中任意不同两项之和仍为数列cn中的项的充要条件是存在整数m1

29、，使c1md18(1)由anan12n，得an12nan，所以1又因为a1，所以数列an×2n是首项为,公比为1的等比数列所以an×2n×(1)n1,即an2n(1)n，所以bn2n(1)n(2)假设在数列bn中，存在连续三项bk1，bk，bk1(kN*, k2)成等差数列，则bk1bk12bk，即2k1(1)k12k1(1)k122k(1)k，即2k14(1)k1若k为偶数，则2k10，4(1)k140，所以，不存在偶数k，使得bk1，bk，bk1成等差数列 若k为奇数，则当k3时，2k14，而4(1)k14，所以，当且仅当k3时，bk1，bk，bk1成等差数列

30、综上所述，在数列bn中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列 (3)要使b1，br，bs成等差数列，只需b1bs2br，即32s(1)s22r(1)r，即2s2r1(1)s2(1)r3， ()()若sr1，在()式中，左端2s2r10，右端(1)s2(1)r3(1)s2(1)s33(1)s3，要使()式成立，当且仅当s为偶数时成立又sr1，且s，r为正整数，所以当s为不小于4的正偶数，且sr1时，b1，br，bs成等差数列()若sr2时，在()式中，左端2s2r12r22r12r1，由(2)可知，r3，所以r14，所以左端2s2r116(当且仅当s为偶数、r为奇数时取“”)；右端(1)s

31、2(1)s30所以当sr2时，b1，br，bs不成等差数列综上所述，存在不小于4的正偶数s，且sr1，使得b1，br，bs成等差数列 假设存在满足条件1rst的正整数r，s，t，使得b1，br，bs，bt成等差数列首先找到成等差数列的3项：由第(3)小题第问，可知，b1，b2n1，b2n(nN*，且n2)成等差数列，其公差db2nb2n122n(1)2n22n1(1)2n122n12所以btb2nd22n(1)2n22n123×22n13 又bt2t(1)t，所以3×22n132t(1)t，即2t3×22n1(1)t3 ()因为t2n2n1，所以t2n1，所以()

32、式的左端2t3×22n122n13×22n122n18，而()式的右端(1)t32，所以()式不成立综上所述，不存在满足条件1rst的正整数r，s，t，使b1，br，bs，bt成等差数列19（1）方法一：因为f (x)，所以当x0时，f (x)因为当x0时f(x)0，所以f (x)在(0，)上单调递增方法二：因为f (x)，所以当x0时，f (x)在(0，)上任取x1，x2，使0x1x2，f (x1)f (x2)因为x120，x220，x1x20，所以f (x1)f (x2)0所以f (x1)f (x2)所以f (x)在(0，)上单调递增（2）方法一：原方程即为kx2(*)x0恒为方程*的一个解当x0且x2时方程*有解，则kx2，k设g(x)，h(x)kg(x)，所以令g(x)0，得x1且x2；g(x)0，得1x0所以g(x)在(，2)和(2，1)上单调递减，在(1，0)上单调递增 而g(1)1，所以当x(，2)时，g(x)(，0)；当x(2，0)时，g(x)1，)当x0时方程*有解，则kx2，k设g(x)，h(x)k因为g(x)，x0，所以g(x)0所以g(x)在(0，)上单调递减又当x(0，)时，g(x)0所以当x(0，)时，g(x)(0，)所以k(1，)时，函数g(x)与h(x)的图象有三个交点所以当k(1，)时，方程f (x)kx2有四个不同的实数