第25讲定积分的计算学习教案

1、会计学1第第25讲定讲定(jin dn)积分的计算积分的计算第一页，共58页。第四节 定积分(jfn)的计算第五章 一元函数的积分(jfn)一. 利用(lyng)不定积分计算定积分二. 定积分的换元法三. 定积分的分部积分法四. 定积分的近似计算请点击请点击第1页/共57页第二页，共58页。 由牛顿莱布尼兹公式，可以通过不定积分来计算定积分. 一般是将定积分的计算截然分成两步：先计算相应的不定积分，然后再运用牛顿莱布尼兹公式代值计算出定积分. 这种作法相当麻烦，我们希望将不定积分的计算方法与牛顿莱布尼兹公式有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法定积分的换元法和定积分的分部积分法. 一. 利用

2、(lyng)不定积分计算定积分第2页/共57页第三页，共58页。例1解 . d1 1 0 2xx计算 数的一个原函数：先用不定积分求被积函ttxxdcosd1 22 sin tx 令tt d)2cos1 (21Ctt42sin2Cxxx21 21arcsin21 得，莱布尼兹公式由牛顿 . 4 1 21arcsin21d1 1021 0 2xxxxx第3页/共57页第四页，共58页。例1解 . d1 1 0 2xx计算 数的一个原函数：先用不定积分求被积函ttxxdcosd1 22 sin tx 令tt d)2cos1 (21Ctt42sin2Cxxx21 21arcsin21 得，莱布尼兹公

3、式由牛顿 . 4 1 21arcsin21d1 1021 0 2xxxxx10 x20 t2 0 21 0 2dcosd1 ttxxtt d)2cos1 (212 0 20 42sin2tt . 4有什么想法没有？第4页/共57页第五页，共58页。 就是说，计算定积分时可以使用换元法 . 换元时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到原来的变量，直接往下计算并运用牛顿莱布尼兹公式便可得到定积分的结果 . 第5页/共57页第六页，共58页。二. 定积分(jfn)的换元法定理 ; ) , ()( ) 1 ( baCxf设且单调； ) , ()( )2(1Ctx，ba)( )( )3( . d)(

4、)(d)( tttfxxfba则第6页/共57页第七页，共58页。证 . )( 3 )2( btat时，有可知：当）（和由条件 . , )() , ()( 上有原函数存在在，所以，因为baxfbaCxf . , )( )( 上的一个原函数在为不妨设baxfxF 2 ，得）（及条件由复合函数的求导法则 , , )()()()()(tttfttFtF . )()( )( 的一个原函数为即ttftF 莱布尼兹公式，得由牛顿 )()( )(d)()( FFtFtttf)()(aFbF . d)( baxxf证毕第7页/共57页第八页，共58页。例2解 . 1 d 53 21 2 xxx计算 dd 1

5、2，则令ttxtx 35 2 : 53 21 : ，故时，且tx35 2 253 21 2 1d 1 dttxxx2 35 2 1d tt2352 |1|lntt . 3ln)32ln(第8页/共57页第九页，共58页。例3解 . d 0 22axxa计算 dcosd sin ，则令ttaxtax 2 0 : 0 : ，故时，且tax . 2 , 0 sin上单调、连续可导在tax 2 0 22 0 22dcosdttaxxaa d) 2cos1 ( 22 0 2tta202 ) 22sin (2tta . 42a第9页/共57页第十页，共58页。例4解 . d)1 (arcsin 43 41

6、 xxxx计算 dcossin2d sin arcsin 2，则令tttxtxtx的单调性保证 )( tx 3 6 : 43 41 : ，故时，且tx )sin1 (sin dcossin2 d)1 (arcsin 3 6 2243 41 ttttttxxxx3 6 d 2tt362 t12 2第10页/共57页第十一页，共58页。例5解 . 1d 2 2 2xx计算 dtansecd sec ，则令tttxtx . 2 sec 0 ttx中，故因为 43 32 : 2 2 : ，故时，且tx tan dsectan 1d43 32 2 2 2ttttxx dsec 43 32 tt4332

7、|tansec|ln tt . 2132ln第11页/共57页第十二页，共58页。例6 . dcosdsin 2 0 2 0 xxxxnn证明：证 dd 2 ，则令txtx 0 2 : 2 0 : ，故时，且tx 02 0 2sind(sin ( ) ( d ) 2nnxxtt dcos 0 2 ttn dcos2 0 ttn . dcos2 0 xxn第12页/共57页第十三页，共58页。例7证 ) , ()( ，证明：设aaCxf . d)( 2d)( )( ) 1 ( 0 aaaxxfxxfxf为偶函数，则 . 0d)( )( )2( aaxxfxf为奇函数，则 , d)(d)(d)(

8、0 0 aaaaxxfxxfxxf因为 0: 0: dd ，从而时，且，则故令ataxtxtx0 0 )d)(d)(aattfxxfattf 0 d)( . d)( 0 axxf .d)()( d)(d)(d)( 0 0 0 aaaaaxxfxfxxfxxfxxf于是第13页/共57页第十四页，共58页。，故有为偶函数，则若)()( )( ) 1 (xfxfxf . d)( 2d)( 0 aaaxxfxxf，故有为奇函数，则若)()( )( )2(xfxfxf . 0d)( aaxxf .d)()( d)(d)(d)( 0 0 0 aaaaaxxfxfxxfxxfxxf第14页/共57页第十五

9、页，共58页。：，），（）（为周期，证明且以设TRxf证 . d)(d)( 0 TTaaxxfxxfRa，有 , d)(d)(d)(d)( 0 0 TaTTaTaaxxfxxfxxfxxf因为 0: : dd ，从而时，且，则故令atTaTxtxTtx d)(d)( 0 aTaTtTtfxxf d)(d)( 0 0 aaxxfttf d)(d)(d)(d)( 0 0 0 aTaTaaxxfxxfxxfxxf于是 d)(d)(d)( 0 0 0 aTaxxfxxfxxf . d)( 0 Txxf例8第15页/共57页第十六页，共58页。例9解 . cos1 dsin 0 2xxxx计算 0 :

10、0 : dd ，故时，则令txtxtx cos1 )d( sin)( cos1 dsin 0 2 0 2ttttxxxx cos1dsin cos1dsin 0 2 0 2ttttttt cos1dsin cos1dsin 0 2 0 2xxxxxxx 0 2 0 2cos1dsin 2cos1dsin xxxxxxx从而 . 4 )arctan(cos(220 xxucos第16页/共57页第十七页，共58页。三. 定积分(jfn)的分部积分(jfn)法定理 , )( )( 上可导，在，设函数baxvxu ) ,()( )( ，则，且baRxvxu . d)()( )()(d)()( bab

11、abaxxvxuxvxuxxvxu . 部积分公式该公式称为定积分的分证明与不定积分的情形类似 . 第17页/共57页第十八页，共58页。例10解 . dcos 0 xxex计算xcosxexexsin dsin cosdcos2 0 20 2 0 xxexexxexxx dsin12 0 xxexxsinxexexcos dcos sin12 0 20 xxexexx dcos12 0 2xxeex . ) 1 ( 21dcos 22 0 exxex故第18页/共57页第十九页，共58页。什么情况下运用分部积分法呢？定积分与不定积分的情形相同！第19页/共57页第二十页，共58页。例11解

12、. d |ln| 1 eexx计算eeeexxxxxx 1 1 1 1 d ln d )ln( d |ln| xln1x1xeeeexxxxxx 1 1 1 1 11dlnd ln . ) 11 ( 2e第20页/共57页第二十一页，共58页。例12证2 0 2 0 dcosdsin xxxxInnn证明： . ,! ! !)!1( ,2! ! !)!1(为正奇数为正偶数，nnnnnn dsin 2 0 ，则令xxInnxn 1sinxsinxxnncossin) 1(2xcos2 0 12 0 sincosdsinxxxxInnn2 0 22dcossin) 1(xxxnn2 0 2 0 2

13、dsin) 1(dsin) 1(xxnxxnnn . ) 1() 1(2nnInIn第21页/共57页第二十二页，共58页。 . 1 2nnInnI故 , 1 cosdsin , 2d 2 0 2 0 12 0 0 xxxIxI由于 ，所以 ; 2! ! !)!1(2143231 0nnInnnnInn为正偶数时，当 . ! ! !)!1(3254231 1nnInnnnInn为正奇数时，当 . dcosdsin 6 2 0 2 0 xxxxnn中已证明：在例证毕第22页/共57页第二十三页，共58页。例13解 . dsin 2 0 6xx计算 2! ! 6!)!1(6dsin2 0 6xx

14、. 3252246135第23页/共57页第二十四页，共58页。例14解 . , d)1 ( 1 0 2Znxxn计算 , dcosd ,sin ttxtx则令故时且 ,20 : , 10 : tx2 0 21 0 2dcoscosd1tttxxnn）（2 0 12dcosttn . !)!12(!)!2(nn第24页/共57页第二十五页，共58页。例15解 . d4 2 0 22xxx计算 , dcos2d ,sin2 ttxtx则令故时且 ,20 : , 20 : tx dcos2cos2sin4d42 0 22 0 22ttttxxx d)sin1 ( sin 162 0 22ttt d

15、sin 16dsin 162 0 42 0 2tttt . 2! ! 4!)!14(162! ! 2!)!12(16第25页/共57页第二十六页，共58页。四. 定积分(jfn)的近似计算简单的定积分(jfn)的近似计算方法2. 矩形(jxng)法3. 梯形法4. 抛物线法Simpson 公式请点击请点击5. 利用泰勒公式作定积分的近似计算1. 定积分近似计算的依据第26页/共57页第二十七页，共58页。 由于一些简单函数的原函数不一定简单，有些函数的原函数还不能用初等函数表示，此外，工程技术中的一些函数往往是由实验数据表示的，当对这样的函数作定积分运算时就十分(shfn)难办了. 于是我们需

16、要寻找定积分的近似计算方法 . 1. 定积分近似计算的依据第27页/共57页第二十八页，共58页。定积分(jfn)的近似计算方法大多数是依据定积分(jfn)的定义 , )(limd)( 10| niiixbaxfxxf因为 , ) 0 , 0|(| d)()( 1时xxxfxfbaniii所以 , | 有精度确定）很小时（根据所要求的故当x . )(d)(1 niiibaxfxxf和定积分(jfn)的几何意义得到：第28页/共57页第二十九页，共58页。 的选择无关，和点由于定积分的值与分法iT , 进行等法时，常将区间所以在构造近似计算方ba 也选的小区间；点个长度均为分，得到inabn 0

17、 | 的极点，这样就将择为小区间的左或右端x . 的极限过程限过程转换为n . 的“数值方法”方法均属于数学分析中常用的定积分近似计算下面介绍的工程技术中第29页/共57页第三十页，共58页。0 xOxy)(xfy ab1x . )(d)( :10 abyxxfnba 矩形法示意0y1y2. 矩形法第30页/共57页第三十一页，共58页。Oxy)(xfy ab . )(2d)( :210 yyabxxfnba )(0afy )2(1bafy0 x1x2x第31页/共57页第三十二页，共58页。Oxy)(xfy ab0 x1x2x3x4x0y1y2y3y4y)(4d)( :43210 yyyya

18、bxxfnba第32页/共57页第三十三页，共58页。继续分下去会有什么结果？ 每次分割后，取小区间的右端点进行计算行不行？第33页/共57页第三十四页，共58页。矩形法Oxy)(xfy ab0 x1x2x1nxnx取左端点(dun din)等分：分成将 , nba , 120bxxxxann , ) , 2 , 1( niinabaxi . ), 2 , 1( ninabxxi , ), 2 , 1( )()( , 11则记若取nixffyxiiiiixxfxfxxfniiniiiba111 )()(d)( . )(110nyyynab取左端点(dun din)第34页/共57页第三十五页，

19、共58页。 , ), 2 , 1( )()( , 则记若取nixffyxiiiiixxfxfxxfniiniiiba11 )()(d)( . )(21nyyynab取右端点(dun din)以上两个公式(gngsh)称为“矩形公式(gngsh)”. . )( )(d)(21 取右端点nbayyynabxxf . )( )(d)(110 取左端点nbayyynabxxf第35页/共57页第三十六页，共58页。矩形(jxng)法的误差估计： , )( 时，上单调增加或单调减少在当baxfOxyOxy)(xfy abnab abnab | 0为高为底，以以矩形公式的误差不超过yynabn . | )

20、()(| afbfnab的矩形面积值，即误差)(xfy 非单调函数可以(ky)按单调性分区间来估计误差 . . ) 1 ( nO误差总的说来，矩形公式的第36页/共57页第三十七页，共58页。3. 梯形法 )( 的下，用曲线法在与矩形公式同样的方xfyT 要求的曲用内接梯形的面积代替内折线来替代曲线，即 的梯形公式：就得到定积分近似计算边梯形的面积， . )(21d)(0121 nnbayyyyynabxxf . ) 1 ( 2nO梯形公式的误差：Oxy)(xfy ab0 x1x2x1nxnx第37页/共57页第三十八页，共58页。yxabO矩形法与梯形法的比较进一步提高精度方法？还有没有其它

21、的可以更第38页/共57页第三十九页，共58页。4. 抛物线法Simpson 公式 抛物线段代替已知曲线抛物线法是用一串二次的小曲边梯形的然后计算抛物线段构成 , )(xfy . d)( 的近似值为积分面积，这些面积的和即baxxf第39页/共57页第四十页，共58页。OxyABC0 x1x2x0y1y2ycbxaxy2)(xfy d)( , ),( ),( ),( 10 202221100 xxxcxbxaScbxaxyyxCyxByxA则相应的面积值为线方程为的抛物设过三点10 )23(23xxxcxbxa6)( 3)( 262020202212cxxbxxxxaxx)()(6020222

22、02cxbxacxbxaxx 4)(2)(20220cxxbxxa第40页/共57页第四十一页，共58页。 ,2 120201从而中点，故与是由于xxxxxx有所以均在抛物线上又由于点 , , , , CBA , 2222ycxbxa , 0020ycxbxa , 1121ycxbxa)4(6 012020yyyxxS于是 . )(4)()(6121020222020cxbxacxbxacxbxaxxS . )4(23121002yyyxx . 202的长度表示等分区间后小区间xx 第41页/共57页第四十二页，共58页。OxyAB)(xfy abC0 x1x2x3x4x0y1y2y3y4yi

23、iiicxbxay2 . 4 , 等分分为将区间ba1C2C :根据前面的分析 , , , 1有而言对点CCA ; )4(4312100yyyabS , , , 2有而言对点BCC , )4(4314322yyyabS20 d)( SSxxfba于是 . )424(43143210yyyyyab继续往下将推出什么样的结果？第42页/共57页第四十三页，共58页。OxyAB)(xfy ab , 分成将区间ba )( 每个等分，正偶数n . nab小区间长度为0 x1x2x1nxnx0y1y2y1nyny ; )4( 32100yyynabS ; )4( 34322yyynabS ; , )4(

24、3122nnnnyyynabS d)( 220 nbaSSSxxf故 . )(2)4( 32421310nnnyyyyyyyynab第43页/共57页第四十四页，共58页。 . )(2 )4( 3d)(2421310 nnnbayyyyyyyynabxxf . Simpson 公式称为抛物线公式或 公式 . ) 1 ( O Simpson4n公式的计算误差为：第44页/共57页第四十五页，共58页。例16解 . d 1 0 2xex计算用不是初等函数，故不能因为被积函数的原函数 精确值，而只能用近似莱布尼兹公式计算出其牛顿 . 值方法计算该积分的近似 . 算形法和抛物线法进行计我们分别用矩形法

25、，梯第45页/共57页第四十六页，共58页。 10 1 , 0 等分，设分点为分成将区间 , 1 , , , , ,0109210 xxxxx . 1 . 01001 x每个小区间的长度均为 相应的函数值为 ; 10002eeyxx ; 99005. 022)1 . 0( 1 . 01eeyxx ; 96079. 02)2 . 0( 2ey 0.91393; 2)3 . 0( 3ey ; 85214. 02)4 . 0( 4ey 0.77880; 2)5 . 0( 5ey ; 69768. 02)6 . 0( 6ey 0.61263; 2)7 . 0( 7ey ; 52729. 02)8 .

26、0( 8ey ; 44486. 02)9 . 0( 9ey ; 36788. 021 10ey第46页/共57页第四十七页，共58页。 用矩形公式： . )( )(d)(110 取左端点nbayyynabxxf) 44486. 052729. 061263. 0 69768. 077880. 085214. 0 91393. 096079. 099005. 01 (1 . 0d1 0 2xex . 777817. 077817. 71 . 0第47页/共57页第四十八页，共58页。 用梯形公式： . )(21d)(0121 nnbayyyyynabxxf ) 36788. 01 (214448

27、6. 0 52729. 061263. 069768. 077880. 0 85214. 091393. 096079. 00.99005 1 . 0d1 0 2xex . 746211. 046211. 71 . 0第48页/共57页第四十九页，共58页。 Simpson 公式：用 . )(2 )4( 3d)(2421310 nnnbayyyyyyyynabxxf 0.36788) 0.52729 69768. 085214. 096079. 0 (2 ) 44486. 061263. 0 77880. 091393. 099005. 0 (41 31 . 0d1 0 2xex . 7466

28、25. 0第49页/共57页第五十页，共58页。例17解 . 1d 1 0 2 xx抛物线法计算运用矩形法，梯形法， 原问题的精确解为 . 4 arctan1d101 0 2xxx , 等分：十分成将区间ba10.90.80.70.60.50.40.30.20.100 x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 x0.862070.917430.961540.9901010y1y2y3y4y0.552490.609760.671140.735290.800005y6y7y8y9y0.5000010y第50页/共57页第五十一页，共58页。矩形法 . )( )(d)(110 取左端点nbayyynabxxf ) 55249. 060976. 067114. 0 73529. 080000. 086207. 0 91743. 096154. 099010. 01 (10011d10 2xx . 809982. 0 239928. 30.8099824 值为：由矩形法的结果算出的第51页/共57页第五十