初中几何必做经典难题

1、精选优质文档-倾情为你奉上初中几何经典题 初中几何经典题一、解答题（共20小题，满分0分）1已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO求证：CD=GF（初二）2已知：如图，P是正方形ABCD内点，PAD=PDA=15°求证：PBC是正三角形（初二）3如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证：四边形A2B2C2D2是正方形（初二）4已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F求证：DEN=F5已知：ABC中，H

2、为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OMBC于M（1）求证：AH=2OM；（2）若BAC=60°，求证：AH=AO（初二）6设MN是圆O外一直线，过O作OAMN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q求证：AP=AQ（初二）7如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q求证：AP=AQ（初二）8如图，分别以ABC的边AC、BC为一边，在ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半9如图，四边形ABCD为正方

3、形，DEAC，AE=AC，AE与CD相交于F求证：CE=CF10如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，且CE=CA，直线EC交DA延长线于F求证：AE=AF（初二）11设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PFAP，CF平分DCE求证：PA=PF（初二）12如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D求证：AB=DC，BC=AD13已知：ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5求：APB的度数（初二）14设P是平行四边形ABCD内部的一点，且PBA=PDA求证：PAB=PCB15设ABCD为圆内接凸四边形，求证：ABCD+

4、ADBC=ACBD（初三）16平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE=CF求证：DPA=DPC（初二）17设P是边长为1的正ABC内任一点，L=PA+PB+PC，求证：L218已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值19P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长20如图，ABC中，ABC=ACB=80°，D、E分别是AB、AC上的点，DCA=30°，EBA=20°，求BED的度数初中几何经典题参考答案与试题解析一、解答题（共20小题，满分0分）1已知：如

5、图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO求证：CD=GF（初二）考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理菁优网版权所有分析：首先根据四点共圆的性质得出GOFE四点共圆，进而求出GHFOGE，再利用GHCD，得出=，即可求出答案解答：证明：作GHAB，连接EOEFAB，EGCO，EFO=EGO=90°，G、O、F、E四点共圆，所以GFH=OEG，又GHF=EGO，GHFOGE，CDAB，GHAB，GHCD，=，又CO=EO，CD=GF点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及其性质和四点共圆的性质，根据已知得出GOFE四点共圆是解题关键2已知：如图，P是正方形

6、ABCD内点，PAD=PDA=15°求证：PBC是正三角形（初二）考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定菁优网版权所有专题：证明题分析：在正方形内做DGC与ADP全等，根据全等三角形的性质求出PDG为等边，三角形，根据SAS证出DGCPGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可解答：证明：正方形ABCD，AB=CD，BAD=CDA=90°，PAD=PDA=15°，PA=PD，PAB=PDC=75°，在正方形内做DGC与ADP全等，DP=DG，ADP=GDC=DAP=DCG=15

7、6;，PDG=90°15°15°=60°，PDG为等边三角形（有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形），DP=DG=PG，DGC=180°15°15°=150°，PGC=360°150°60°=150°=DGC，在DGC和PGC中，DGCPGC，PC=AD=DC，和DCG=PCG=15°，同理PB=AB=DC=PC，PCB=90°15°15°=60°，PBC是正三角形点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全

8、等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求3如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证：四边形A2B2C2D2是正方形（初二）考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：连接BC1和AB1分别找其中点F，E，连接C2F与A2E并延长相交于Q点，根据三角形的中位线定理可得A2E=FB2，EB2=FC2，然后证明得到B2FC2=A2EB2，然后利用边角边定理证明得到B2FC2与A2EB2全等，根据全等三角形对应边相等

9、可得A2B2=B2C2，再根据角的关系推出得到A2B2 C2=90°，从而得到A2B2与B2C2垂直且相等，同理可得其它边也垂直且相等，所以四边形A2B2C2D2是正方形解答：证明：如图，连接BC1和AB1分别找其中点F，E连接C2F与A2E并延长相交于Q点，连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由A2E=A1B1=B1C1=FB2，EB2=AB=BC=FC2，GFQ+Q=90°和GEB2+Q=90°，所以GEB2=GFQ，B2FC2=A2EB2，可得B2FC2A2EB2，所以A2B2=B2C2，又HB2C2+HC2B2=90°

10、和B2C2Q=EB2A2，从而可得A2B2 C2=90°，同理可得其它边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形点评：本题主要考查了正方形的性质与判定，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，综合性较强，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键4已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F求证：DEN=F考点：三角形中位线定理菁优网版权所有专题：证明题分析：连接AC，作GNAD交AC于G，连接MG，根据中位线定理证明MGBC，且GM=BC，根据AD=BC证明GM=GN，可得GNM=GMN，根据平行线性质可得：GMF

11、=F，GNM=DEN从而得出DEN=F解答：证明：连接AC，作GNAD交AC于G，连接MGN是CD的中点，且NGAD，NG=AD，G是AC的中点，又M是AB的中点，MGBC，且MG=BCAD=BC，NG=GM，GNM为等腰三角形，GNM=GMN，GMBF，GMF=F，GNAD，GNM=DEN，DEN=F点评：此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明GNM为等腰三角形5已知：ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OMBC于M（1）求证：AH=2OM；（2）若BAC=60°，求证：AH=AO（初二）考点：三角形的外接圆与外心；三角形内角和定理；等腰三角形的性质

12、；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理菁优网版权所有专题：证明题分析：（1）过O作OFAC，于F，则F为AC的中点，连接CH，取CH中点N，连接FN，MN，得出平行四边形OMNF，即可得出答案（2）根据圆周角定理求出BOM，根据含30度角的直角三角形性质求出OB=2OM即可解答：证明：（1）过O作OFAC，于F，则F为AC的中点，连接CH，取CH中点N，连接FN，MN，则FNAD，AH=2FN，MNBE，ADBC，OMBC，BEAC，OFAC，OMAD，BEOF，M为BC中点，N为CH中点，MNBE，OMFN，MNOF，四边形OMNF是平行四边形，OM=FN，A

13、H=2FN，AH=2OM（2）证明：连接OB，OC，BAC=60°，BOC=120°，BOM=60°，OBM=30°，OB=2OM=AH=AO，即AH=AO点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的中位线定理、含30度角的直角三角形性质、三角形的外接圆与外心、三角形的内角和定理等知识点，题目综合性较强，有一定的难度，但题型较好，难点是如何作辅助线6设MN是圆O外一直线，过O作OAMN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q求证：AP=AQ（初二）考点：圆周角定理；垂线；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；圆

14、内接四边形的性质；轴对称的性质菁优网版权所有专题：证明题分析：作E点关于GA的对称点F，连FQ、FA，FC，根据轴对称和平行线性质推出FAP=EAQ，EAP=FAQ，FA=EA，求出FCQ=FAQ，推出FCAQ四点共圆，推出PEA=QFA，根据ASA推出PEA和QFA全等即可解答：证明：作E点关于GA的对称点F，连FQ、FA，FC，OAMN，EFOA，则有FAP=EAQ，EAP=FAQ，FA=EA，E，F，C，D共圆PAF=AFE=AEF=180°FCD，PAF=180FAQ，FCD=FAQ，FCAQ四点共圆，AFQ=ACQ=BED，在EPA和FQA中，EPAFQA，AP=AQ点评：

15、本题综合考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，轴对称的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂线等知识点，解此题的关键是求出AEP=AFQ，题型较好，有一定的难度，通过做题培养了学生分析问题的能力，符合学生的思维规律，证两线段相等，一般考虑证所在的两三角形全等7如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q求证：AP=AQ（初二）考点：四点共圆；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有分析：作OFCD，OGBE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ，证明ADFABG，所以AFC=AGE，再利用

16、圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角，证得AOP=AOQ，进而得到AP=AQ解答：证明：作OFCD，OGBE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ由于，FDA=ABQ，ADFABG，AFC=AGE，四边形PFOA与四边形QGOA四点共圆，AFC=AOP；AGE=AOQ，AOP=AOQ，AP=AQ点评：本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，以及圆的内接四边形性质：对角互补，外角等于内对角，解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形8如图，分别以ABC的边AC、BC为一边，在ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半考点：梯形中位线定

17、理；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则PQ=（ER+FS），易证RtAERRtCAT，则ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得证解答：解：分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则ERPQFS，P是EF的中点，Q为RS的中点，PQ为梯形EFSR的中位线，PQ=（ER+FS），AE=AC（正方形的边长相等），AER=CAT（同角的余角相等），R=ATC=90°，RtAERRtCAT（AAS），同理RtBFSRtCBT，ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT

18、=AB，PQ=AB点评：此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点，辅助线的作法很关键9如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，AE=AC，AE与CD相交于F求证：CE=CF考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：把ADE顺时针旋转90°得到ABG，从而可得B、G、D三点在同一条直线上，然后可以证明AGB与CGB全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，所以AGC为等边三角形，根据等边三角形的性质可以推出CEF=CFE=75°，从而得解解答：证明：如图所示，顺时针旋转

19、ADE90°得到ABG，连接CGABG=ADE=90°+45°=135°，B，G，D在一条直线上，ABG=CBG=180°45°=135°，在AGB与CGB中，AGBCGB（SAS），AG=AC=GC=AE，AGC为等边三角形，ACBD（正方形的对角线互相垂直），AGB=30°，EAC=30°，AE=AC，AEC=ACE=75°，又EFC=DFA=45°+30°=75°，CE=CF点评：本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定，以及旋转变换的性质，根据旋转变换构

20、造出图形是解题的关键10如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，且CE=CA，直线EC交DA延长线于F求证：AE=AF（初二）考点：正方形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的判定菁优网版权所有专题：计算题分析：连接BD，作CHDE于H，根据正方形的性质求出正方形DGCH，求出2CH=CE，求出CEH=30°，根据等腰三角形性质和三角形的外角性质求出AEC=CAE=15°，求出F的度数即可解答：证明：连接BD，作CHDE于H，正方形ABCD，DGC=90°，GC=DG，ACDE，CHDE，DHC=GCH=DGC=90°

21、;，四边形CGDH是正方形由AC=CE=2GC=2CH，CEH=30°，CAE=CEA=AED=15°，又FAE=90°+45°+15°=150°，F=180°150°15°=15°，F=AEF，AE=AF点评：本题综合考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，三角形的外角性质，正方形的性质和判定等知识点，此题综合性较强，但难度适中11设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PFAP，CF平分DCE求证：PA=PF（初二）考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题

22、分析：根据已知作FGCD，FEBE，可以得出GFEC为正方形再利用全等三角形的判定得出ABPPEF，进而求出PA=PF即可解答：证明方法一：作FGCD，FEBE，可以得出GFEC为正方形令AB=Y，BP=X，CE=Z，可得PC=YXtanBAP=tanEPF=，可得YZ=XYX2+XZ，即Z（YX）=X（YX），即得X=Z，得出ABPPEF，PA=PF方法二：在AB上截取AG=PC，连接PGABCD是正方形AB=BC，B=DCB=APF=90°AG=CPBG=BP，BGP=BPG=45°AGP=180°BGP=135°CF平分DCEFCE=45°

23、;PCF=180°FCE=135°AGP=PCFBAP+APB=90°FPC+APB=90°BAP=FPC，在AGP和PCF中，AGPPCF（ASA）PA=PF点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知得出ABPPEF是解题关键12如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D求证：AB=DC，BC=AD考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有分析：作出辅助线，利用射影定理以及四点共圆的性质得出EFOQ四点共圆，BECQ四点共圆，进而得出四边形ABCD是平行四边形，从而得出

24、答案即可解答：证明：作CQPD于Q，连接EO，EQ，EC，OF，QF，CF，所以PC2=PQPO（射影定理），又PC2=PEPF，所以EFOQ四点共圆，EQF=EOF=2BAD，又PQE=OFE=OEF=OQF，而CQPD，所以EQC=FQC，因为AEC=PQC=90°，故B、E、C、Q四点共圆，所以EBC=EQC=EQF=EOF=BAD，CBAD，易证AODCOB，所以BO=DO，即四边形ABCD是平行四边形，AB=DC，BC=AD点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及射影定理，根据已知得出EFOQ四点共圆，BECQ四点共圆是解题关键13已知：ABC是正三角形，P是三角形内一点，P

25、A=3，PB=4，PC=5求：APB的度数（初二）考点：等边三角形的性质；直角三角形的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质菁优网版权所有专题：计算题分析：先把ABP旋转60°得到BCQ，连接PQ，根据旋转性质可知BCQBAP，由于PBQ=60°，BP=BQ，易知BPQ是等边三角形，从而有PQ=PB=4，而PC=5，CQ=3，根据勾股定理逆定理易证PQC是直角三角形，即PQC=90°，进而可求APB解答：解：把ABP绕点B顺时针旋转60°得到BCQ，连接PQ，PBQ=60°，BP=BQ，BPQ是等边三角形，PQ=PB=4，而PC=5，CQ=4，在P

26、QC中，PQ2+QC2=PC2，PQC是直角三角形，BQC=60°+90°=150°，APB=150°点评：本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理的逆定理、旋转的性质，解题的关键是考虑把PA、PB、PC放在一个三角形中，而旋转恰好能实现这一目标14设P是平行四边形ABCD内部的一点，且PBA=PDA求证：PAB=PCB考点：四点共圆；平行四边形的性质菁优网版权所有专题：证明题分析：根据已知作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使PE=AD=BC，利用ADEP，ADBC，进而得出ABP=ADP=AEP，得出AEBP共圆，即可得出答案解答：证

27、明：作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使PE=AD=BC，ADEP，ADBC四边形AEPD是平行四边形，四边形PEBC是平行四边形，AEDP，BEPC，ABP=ADP=AEP，AEBP共圆（一边所对两角相等）BAP=BEP=BCP，PAB=PCB点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关键15设ABCD为圆内接凸四边形，求证：ABCD+ADBC=ACBD（初三）考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理菁优网版权所有分析：在BD取一点E，使BCE=ACD，即得BECADC，于是可得ADBC=BEAC，又ACB=DCE，可得ABCDEC，既得=，

28、即ABCD=DEAC，两式结合即可得到ABCD+ADBC=ACBD解答：证明：在BD取一点E，使BCE=ACD，即得BECADC，可得：=，即ADBC=BEAC，又ACB=DCE，可得ABCDEC，即得=，即ABCD=DEAC，由+可得：ABCD+ADBC=AC（BE+DE）=ACBD，得证点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质和圆周角的知识点，解答本题的关键是在BD上取一点E，使BCE=ACD，此题难度一般16平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE=CF求证：DPA=DPC（初二）考点：平行四边形的性质；角平分线的性质菁优网版权所有专题：证明题分

29、析：过D作DQAE，DGCF，由SADE=SDFC，可得：=，又AE=FC，可得DQ=DG，可得DPA=DPC（角平分线逆定理）解答：证明：过D作DQAE，DGCF，并连接DF和DE，如右图所示：则SADE=SDFC，=，又AE=FC，DQ=DG，PD为APC的角平分线，DPA=DPC（角平分线逆定理）点评：本题考查平行四边形和角平分线的性质，有一定难度，解题关键是准确作出辅助线，利用角平分线的性质进行证明17设P是边长为1的正ABC内任一点，L=PA+PB+PC，求证：L2考点：等边三角形的性质；三角形三边关系；旋转的性质菁优网版权所有专题：证明题分析：只要AP，PE，EF在一条直线上，可得

30、最小L=；过P点作BC的平行线交AB，AC于点D，F，可得ADAP，BD+DPBP，PF+FCPC，DF=AF，从而得出结论解答：证明：（1）顺时针旋转BPC60°，可得PBE为等边三角形即得要使PA+PB+PC=AP+PE+EF最小，只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小L=；（2）过P点作BC的平行线交AB，AC于点D，F由于APDAFP=ADP，推出ADAP 又BD+DPBP 和PF+FCPC 又DF=AF 由可得：最大L2；由（1）和（2）即得：L2点评：综合考查了旋转的性质，等边三角形的性质和三角形三边关系，分别找到最小和最大L的求法是解题的关键18已知：P是

31、边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质菁优网版权所有分析：顺时针旋转BPC60度，可得PBE为等边三角形，若PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，求出AF的值即可解答：解：顺时针旋转BPC60度，可得PBE为等边三角形即得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC=AFBM=BFcos30°=BCcos30°=，则AM=1+=，AB=BF，ABF=150°BAF=15°既得AF=点评：本题

32、主要考查轴对称路线最短问题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握旋转的知识，此题难度一般19P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长考点：正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质菁优网版权所有专题：综合题分析：把ABP顺时针旋转90°得到BEC，根据勾股定理得到PE=2a，再根据勾股定理逆定理证明PEC是直角三角形，从而得到BEC=135°，过点C作CFBE于点F，CEF是等腰直角三角形，然后再根据勾股定理求出BC的长度，即可得到正方形的边长解答：解：如图所示，把ABP顺时针旋转90°得到BEC，APBCEB，BE=P

33、B=2a，PE=2a，在PEC中，PC2=PE2+CE2=9a2，PEC是直角三角形，PEC=90°，BEC=45°+90°=135°，过点C作CFBE于点F，则CEF是等腰直角三角形，CF=EF=CE=a，在RtBFC中，BC=a，即正方形的边长为a点评：本题考查了正方形的性质，旋转变化的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键20如图，ABC中，ABC=ACB=80°，D、E分别是AB、AC上的点，DCA=30°，EBA=20°，求BED的度数考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质菁优网版权所有专